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必修5 (3.2一元二次不等式及其解法)


一元二次不等式 及其解法(1)

复习:一元二次方程与一元二次函数
(1)一元二次方程的解法 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
因式分解法(十字相乘) 公式法: 韦达定理

x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? a a (2)一元二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)

口方向; 对称轴

?b ? b ? 4ac x? ; 2a b c
2

? b 4ac ? b 2 ? , 顶点 坐标 ? ? ? 2a 4a

b x?? 2a

问题:某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家 ISP 公司可供 选择,公司 A 每小时收费 1.5 元;公司 B 的收费原则如图所示,即在用 户上网的第 1 个小时内收费 1.7 元, 第 2 个小时内收费 1.6 元,以后 每小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计 算),请问该同学应选择哪家公司.

x(35 ? x) 如果选择 A 公司,则 ? 1.5x (0<x<17)要成立. 20 这是一个关于解一元二次不等式的问题

分析:假设一次上网 x 小时( 0 ? x ? 17, x ? N * ) 公司 A 收取的费用为: 1.5x (元) 公司 B 收取的费用为: x{1.7 ? [1.7 ? ( x ? 1) 0.1]} (元) 2 x(35 ? x) 即 (元 ) 20

一元二次不等式
定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次 数是2的不等式,叫一元二次不等式。

即:ax ? bx ? c ? 0 或 ax ? bx ? c ? (a 0 ? 0)
2 2

x(35 ? x) 先化简不等式 ? 1.5x 整理得 x2 ? 5x ? 0 20

二次函数、二次方程、与二次不等式的关系

函数
f ( x) ? x2 ? 5 x
y

方程

不等式

x ? 5x ? 0
2

x ? 5x ? 0
2

方程的解

不等式的解集

y>0 y>0
O

x1 ? 0, x2 ? 5

? x x ? 0或x ? 5?
x ? 5x ? 0
2

不等式的解集

? x 0 ? x ? 5?

y<0

5

一元二次不等式可用图象法求解 x

关键在于快速准确捕捉图像的特征

利用二次函数图象能解一元二次不等式! 问:y= ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点情 况有哪几种? 一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 2 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
y

一元二次函数
??0
??0

f (x)=ax2 ? bx ? c(a ? 0)

? ?0
O

? x1? {R x |xx1或 ?x } x2 ax2 ? bx ? c ? 0的解 x
x

x1 ?

?
x1=x2

?x

2

ax2 ? bx ? c ? 0的解 x ? 1? x ? x 2 ?

问: 方程ax2+bx+c=0、 不等式ax2+bx+c <0、

或ax2+bx+c >0
与函数y= ax2+bx+c的图象有什么关 系?

方程的解即函数图象与x轴交点的横标, 不等式的解集即函数图象在x轴下方或上 方图象所对应x的范围。

利用二次函数图象能解一元
二次不等式!

函数 、方程、不等式之间的关系
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c △>0 y
y>0

△=0
y
y>0

△<0
y
y>0

的图象

(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根

x1 O

x2 x
y<0

O x1

x

O 没有实根

x

有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)

有两相等实根 b x1=x2= ? 2a

ax2+bx+c>0 (y>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (y<0)的解集 {x|x1< x <x2 }

b {x|x≠ ? } 2a

R Φ

Φ

这张表是我们今后求解一 元二次不等式的主要工具, 必须熟练掌握,其关键是抓 住相应的二次函数的图像。

记忆口诀:
大于0取两边,小于0取中间.

首先,我们可以把任何一个一元二次
不等式转化为下列四种形式中的一种:

(1)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 2 (2)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 2 (3)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(4)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

我们把它们都叫做一元二次不等式 的标准形式。

以上四个不等式中我们规定了

a?0

如果题目中给出的不等式中二次项系

数小于0,哪怎么办呢? 对了,我们只要在不等式两边同乘-1,
然后把不等式的方向改变一下,就可 化为以上四种形式中的一种。

三、例题讲解
例1 解不等式2x2-3x-2>0
-1/2


o



2

x

解: 因为?>0,
? ? b 2 ? 4ac ? 32 ? 4 ? 2 ? (?2) ? 25 ? 0

方程2x2-3x-2=0 的解是

1 ( x ? )( x ? 2) 2

1 x1 ? ? , x2 ? 2 2

所以不等式的解集是

1 {x | x ? ? 或x ? 2}. 2

2x2-3x-2

>0

1 {x | x ? ? , 或x ? 2} 2

-2x2+3x+2 > 0 2x2-3x-2 < 0 1 {x | ? ? x ? 2} 2 1 2 {x | ? ? x ? 2} 2x -3x-2 ≤ 0
2

-

1 2

2

解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0
(a>0) 的步骤是:

(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0(a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) (2)求⊿,并求出方程ax2+bx+c=0 的实根 (3)根据图象写出解集(可记忆为:大于零取 两边,小于零取中 间)

解法步骤总结:一化→二算→三写 例2.解不等式: -3x2+6x>2 解:原不等式可化为 3x2-6x+2<0 因为△>0,方程3x2-6x+2=0的解是 y
3 3 x1 ? 1 ? , x2 ? 1 ? 3 3

所以,原不等式的解集是 3 3 {x | 1 ? ? x ? 1? } 3 3

o





x

三、例题讲解

例3解不等式 4x2-4x+1 > 0
解:因为△ =0,方程4x2-4x+1 =0的解是

1 x1 ? x 2 ? 2, 所以,原不等式的解集是
1? ? ?x | x ? ? 2? ?
o

y



x

观察4x2-4x+1 <0的解

无解

例4:解不等式- x2+2x-3>0 解:整理,得 x2-2x+3<0 因为△=4-12= -8<0 方程x2-2x+3=0无实数根 所以原不等式的解集为ф

小节
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0(a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) (2)判定⊿与0的关系,并求出方程ax2+bx+c=0 的实根 (3)写出不等式的解集

(a>0) 的步骤是:

一元二次不等式 及其解法(1)

?=b2-4ac

二次函数 y=ax2+bx+c 的图像(a>0) ax2+bx+c=0 的根(a>0) ax2+bx+c>0

?>0 y o
x1, 2


?=0 y x2 x

y

?<0

x1



?b? ? ? 2a

x b x1 ? x2 ? ? 2a

o



o

?
R

x

{x | x ? x1或x ? x2 的解集 (a>0) ax2+bx+c<0 {x | x1 ? x ? x2 }
的解集 (a>0)

} { x | x ? R, x ? ?

b } 2a

?

?

解一元二次不等式ax2+bx+c>0、 ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是: (1)化成标准形式 ax2+bx+c>0(a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) (2) 判 定 ⊿ 与 0 的 关 系 , 并 求 出 方 程 ax2+bx+c=0 的实根 (3)写出不等式的解集

?=b2-4ac

二次函数 y=ax2+bx+c 的图像(a>0) ax2+bx+c=0 的根(a>0) ax2+bx+c>0

?>0 y o
x1, 2


?=0 y x2 x

y

?<0

x1



?b? ? ? 2a

x b x1 ? x2 ? ? 2a

o



o

?
R

x

{x | x ? x1或x ? x2 的解集 (a>0) ax2+bx+c<0 {x | x1 ? x ? x2 }
的解集 (a>0)

} { x | x ? R, x ? ?

b } 2a

?

?

例1

某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽

车车速x km/h有如下关系:

在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那

1 1 2 s? x? x . 20 180

么这辆汽车刹车前的车速至少为多少?(精确到0.01 km/h)
解:设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h,根据题意,得到

1 1 2 x? x ? 39.5. 20 180 移项整理,得 x2+9x-7110>0. 显然△>0, 方程x2+9x-7110=0有两个实数根,即 x1≈-88.94, x2≈79.94
画出函数y=x2+9x-7110的图 象,由图象得不等式的解集为 {x|x <-88.94, 或 x>79.94 } 在这个实际问题中,x>0,所以这辆 汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.

例2 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条 流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的 关系: y = -2 x2 + 220x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上, 那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?
解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意, 得到 -2x2 + 220x > 6000 移项整理,得 x2 - 110x + 3000 < 0. 因为△=100>0,所以方程 x2-110x+3000=0有两个实数根 x1=50, x2=60. 由函数y=x2-110x+3000的图象, 得不等式的解为50<x<60. 因为x只能取整数,所以当这条摩托 车整车装配流水线在一周内生产的摩托 车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂 能够获得6000元以上的收益.

不等式恒成立 的充要条件
?a ? 0, (1)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)恒成立 ? ? ?? ? 0. ?a<0, 2 (2)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)恒成立 ? ? ?? ? 0. a=b=0, a ? 0, 2 ? ? (3)ax ? bx ? c ? 0恒成立 ? ? ? 或 ?c ? 0. ?? ? 0.
2

a=b=0, (4)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)恒成立 ?? ?
2

?c ? 0.



?a<0, ? ?? ? 0.

(5) f ( x) ? a恒成立(x ? D) ? f ( x)max ? ( a x ? D)

f ( x) ? a恒成立(x ? D) ? f ( x)min ? ( a x ? D)
例3、对于0<x<2的一切x的值,不等式

x ? mx ? m ? 6m ? 0恒成立,
2 2

求实数m的取值范围。

小结:1.利用一元二次函数图象解一元二次不等式 (1)先求出Δ和相应方程的解, (2)再画出函数图象,根据图象写出不等式的解。 注:若a<0时,先变形! 2. 二次函数
一元二次方程的根 一元二次不等式的解 三个二次问题都可以通过图形实现转换
课外思考:

其方法步骤是:

图象

x?3 ? 0 如何求解? ⑴简单的分式不等式 x?7

例1.解不等式 2x2-3x-2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0, 先求方程的根

方程的解2x2-3x-2 =0的解 是 1 x1 ? ? , x2 ? 2. 2
所以,原不等式的解集是

然后想像图象形状

1 ? ? ? x | x ? ? , 或x ? 2?. 2 ? ?

注:开口向上,大于0 解集是大于大根,小 于小根(两边飞)
点评

若改为:不等式 2x2-3x-2 < 0 .
1 则不等式的解集为:? ? x ? 2 注:开口向上,小于0 2
图象为: 解集是大于小根且 小于大根(两边夹)

-2

3

小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式 其方法步骤是: (1)先求出Δ和相应方程的解, (2)再画出函数图象,根据图象写出不等式的解。

若a<0时,先变形!

小结:1.利用一元二次函数图象解一元二次不等式 (1)先求出Δ和相应方程的解, (2)再画出函数图象,根据图象写出不等式的解。 注:若a<0时,先变形! 2. 二次函数
一元二次方程的根 一元二次不等式的解 三个二次问题都可以通过图形实现转换
图象

其方法步骤是:


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