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人教A版必修2《第1章 空间几何体》2013年同步练习卷A(3)


人教 A 版必修 2《第 1 章 空间几何体》2013 年同 步练习卷 A(3)

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人教 A 版必修 2《第 1 章 空间几何体》2013 年同 步练习卷 A(3)
一、选择题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 1. (3 分)一飞行昆虫被长为 12cm 的细绳绑在房间一角,则飞虫活动范围的体积为( ) 3 3 3 A.144πcm B.288πcm C.576πcm D.864πcm3 2. (3 分)如图所示是一个空间几何体的三视图.则这个几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

3. (3 分) (2004?广东)在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形,则截去 8 个三 棱锥后,剩下的几何体的体积是( ) A. B. C. D.

4. (3 分)若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等,体积也相等,则它们的高度之比为( A.2:1 B.2:3 C.2:π D.2:5 二、填空题(共 3 小题,每小题 3 分,满分 9 分) 5. (3 分)一个长方体的长、宽、高之比为 2:1:3,全面积为 88cm ,则它的体积为 3 _________ cm . 6. (3 分)将 4×6 的矩形铁皮作为圆柱的侧面围成一个圆柱,则圆柱的最大体积是 _________ .
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7. (3 分)如图,已知棱长为 1 的正方体容器 ABCD﹣A1B1C1D1,在棱 AB 以及 B1C 的中点处各有一个小孔 E、G, 在 B1 处有一个小孔,若此容器可以任意放置,则该容器可装水的最大容积为 _________ .

三、解答题(共 3 小题,满分 0 分) 2 2 8.在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49πcm 和 400πcm ,计算这个球的表面积.
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www.jyeoo.com 9.一试管的上部为圆柱形,底部为与圆柱底面半径相同的半球形.圆柱形部分的高为 h cm,半径为 r cm,试管的 容量为 108πcm ,半球部分容量为全试管容量的 . (1)求 r 和 h. (2)若将试管垂直放置,并注水至水面离管口 4cm 处,求水的体积. 10.已知球的半径为 R,在球内作一个内接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它的侧面积最大?侧面积的最 大值是多少?
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人教 A 版必修 2《第 1 章 空间几何体》2013 年同 步练习卷 A(3)
参考答案与试题解析
一、选择题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 1. (3 分)一飞行昆虫被长为 12cm 的细绳绑在房间一角,则飞虫活动范围的体积为( ) 3 3 3 A.144πcm B.288πcm C.576πcm D.864πcm3 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据题意,虫子的活动范围是以房间一角为球心的球与房间长方体的公共总分,由此结合球的体积公式加 以计算,即可得到所求活动范围的体积. 解答: 解:根据题意,可得这个虫子的活动范围为 以房间一角为球心、12cm 为半径的球与房间长方体的公共部分 因此,该活动范围的体积为
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V= ×

=

×12 =288πcm

3

3

故选:B 点评: 本题给出实际应用问题,求飞虫的活动范围.着重考查了球的体积公式及其应用的知识,属于基础题. 2. (3 分)如图所示是一个空间几何体的三视图.则这个几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

由三视图求面积、体积. 计算题;空间位置关系与距离.
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由几何体的三视图可知,该几何体是底面圆直径为 2,高为 的圆锥,利用锥体体积公式求解即可. 解:由几何体的三视图可知,该几何体是底面圆直径为 2,高为 的圆锥, 体积 V= =

故选:B 点评: 本题考查由三视图求几何体的体积,考查由三视图还原几何体直观图,考查圆锥的体积公式,本题是一个 基础题. 3. (3 分) (2004?广东)在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形,则截去 8 个三 棱锥后,剩下的几何体的体积是( )

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www.jyeoo.com A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

组合几何体的面积、体积问题. 计算题;转化思想. 剩下的几何体的体积,就是正方体的体积求得 8 个正三棱锥的体积,求出体积差即可. 解:由题意几何体的体积,就是正方体的体积求得 8 个正三棱锥的体积,
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故选 D; 点评: 本题考查多面体的体积的求法,考查转化思想,计算能力,是基础题. 4. (3 分)若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等,体积也相等,则它们的高度之比为( A.2:1 B.2:3 C.2:π D.2:5 考点: 球的体积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 设球半径为 R,利用球体积公式算出半球的体积为 V1=
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;设圆锥的高为 h,根据圆锥的体积等于半

球体积,利用圆锥体积公式建立关于 h、R 的等式,解出 h=2R,即可得到圆锥与半球的高度之比. 解答: 解:设半球的半径为 R,则它的体积 V1= =

∵ 圆锥的底面半径和一个半球的半径相等,体积也相等, ∴ 设圆锥的高为 h,得圆锥的体积 V2= =

解之得 h=2R. 因此圆锥与半球的高度之比为 h:R=2:1 故选:A 点评: 本题给出体积相等的半球和圆锥,它们的底面半径也相等,求它们的高度之比.着重考查了球体积、圆锥 体积公式等知识,属于基础题. 二、填空题(共 3 小题,每小题 3 分,满分 9 分) 2 5. (3 分)一个长方体的长、宽、高之比为 2:1:3,全面积为 88cm ,则它的体积为 3 48 cm . 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题. 分析: 长方体的全面积=2(长×宽+长×高+宽×高) ;长方体的体积=长×宽×高;由长、宽、高之比为 2:1:3 和全面 积,求出长,宽,高;得出体积. 解答: 解:由长方体的长、宽、高之比为 2:1:3,不妨设长、宽、高分别为 2x,x,3x;则 2 长方体的全面积为:2(2x?x+2x?3x+x?3x)=2×11x =88,∴ x=±2,这里取 x=2; 所以,长方体的体积为:V=2x?x?3x=4×2×6=48. 故答案为:48 点评: 本题考查了长方体的全面积和体积公式的应用,是基础题.
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6. (3 分)将 4×6 的矩形铁皮作为圆柱的侧面围成一个圆柱,则圆柱的最大体积是



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www.jyeoo.com 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 2 当矩形的边长 4 作为圆柱的底面周长时,圆柱的高为 6,求得此时圆柱的体积为 π?r ?h=
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.当矩形的边

长 6 作为圆柱的底面周长时,圆柱的高为 4,求得此时圆柱的体积为 π?R ?h= 大值. 解答:

2

,从而求得圆柱体积的最

解:当矩形的边长 4 作为圆柱的底面周长时,圆柱的高为 6,设底面半径为 r,由 2πr=4 可得 r= 此时圆柱的体积为 π?r ?h=π?
2



?6=

. ,

当矩形的边长 6 作为圆柱的底面周长时,圆柱的高为 4,设底面半径为 R,由 2πR=6 可得 R= 此时圆柱的体积为 π?R ?h=π? 故圆柱的最大体积为 故答案为 . ,
2

?4=



点评: 本题主要考查求旋转体的体积,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 7. (3 分)如图,已知棱长为 1 的正方体容器 ABCD﹣A1B1C1D1,在棱 AB 以及 B1C 的中点处各有一个小孔 E、G, 在 B1 处有一个小孔,若此容器可以任意放置,则该容器可装水的最大容积为 .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 当 E、G、B1 三点共面,平行于水平面,B 在水平面之上时装水最多,这时整个正方体就只有 EBGB1 这个 椎体没有装水,用正方体的体积减去这个椎体的体积,就是装水最多时候的体积. 解答: 解:当 E、G、B1 三点共面,平行于水平面,B 在水平面之上时装水最多,这时整个正方体就只有 EBGB1 这个椎体没有装水,用正方体的体积减去这个椎体的体积,就是装水最多时候的体积.
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VEBGB1= V=1﹣VEBGB1= 故答案为:

=

=



点评: 本题是一道以实际问题为背景的几何体体积问题,考查分析解决问题,运算求解能力. 三、解答题(共 3 小题,满分 0 分)
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www.jyeoo.com 2 2 8.在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49πcm 和 400πcm ,计算这个球的表面积. 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由圆的面积公式,算出两个截面圆的半径分别为 r1=7cm,r2=20cm.设球心到较近截面圆心的距离为 x,利 用球的截面圆性质建立关于 x 的方程,解出 x=15cm,进而算出 R=25cm.最后利用球的表面公式,可得答 案. 解答: 解:球半径为 R,设两个截面圆的半径分别为 r1、r2 2 2 ∵ 两个截面圆的面积分别为 49πcm 和 400πcm
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=49πcm ,

2

=400πcm ,解之得 r1=7cm,r2=20cm
2 2

2

设球心到较近截面圆心的距离为 x,根据球的截面圆性质得 R =x +20 =(x+9) +7 ,解之得 x=15cm,R=25cm 2 2 2 因此这个球的表面积为 S=4πR =4π×25 =2500πcm 答:该球的表面积为 2500π 平方厘米.
2 2 2

点评: 本题给出球的两个平行截面,在已知截面间的距离和截面面积的情况下求球的表面积.着重考查了球的表 面积公式、球的截面圆性质和二次方程的解法等知识,属于中档题. 9.一试管的上部为圆柱形,底部为与圆柱底面半径相同的半球形.圆柱形部分的高为 h cm,半径为 r cm,试管的 容量为 108πcm ,半球部分容量为全试管容量的 . (1)求 r 和 h. (2)若将试管垂直放置,并注水至水面离管口 4cm 处,求水的体积. 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由已知,得知半球容积,利用球体体积公式求解 r. (2)水的体积为半球形体积加上圆柱形部分体积 解答: 解: (1)半球部分容量 V1= π
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3

∴ r =27,r=3, 圆柱形容量 V2= ,

3

h=10 (2)水的体积为半球形体积加上圆柱形部分体积: V=18π+π×3 ×6=72π 点评: 本题考查球、圆柱的体积计算,是道简答题. 10.已知球的半径为 R,在球内作一个内接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它的侧面积最大?侧面积的最 大值是多少? 考点: 基本不等式在最值问题中的应用.
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www.jyeoo.com 专题: 应用题. 分析: 由题意圆柱的底面为球的截面, 由球的截面性质可得出圆柱的高为 h、 底面半径为 r 与球的半径为 R 的关系, 再用 h 和 r 表示出圆柱的侧面积,利用基本不等式求最值即可. 解答: 解:如图为轴截面,令圆柱的高为 h, 底面半径为 r,侧面积为 S, 则( ) +r =R , 即 h=2 ∵ S=2πrh=4πr? =4π .
2 2 2

≤4π

=2πR , R,高为 R.

2

取等号时,内接圆柱底面半径为

点评: 本题考查球与圆柱的组合体问题、以及利用基本不等式求最值问题,难度一般.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:zwx097;caoqz;qiss;742048;俞文刚;wdlxh(排名不分先后)
菁优网 2014 年 2 月 12 日

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