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高一火箭班讲义(一)


高一火箭班讲义(一)
杨 2013-9-15
1、对于函数 f ( x ) ,若 f ( x) ? x ,则称 x 为 f ( x ) 的“不动点” ,若 f [ f ( x)] ? x ,则称 x 为

f ( x) 的“稳定点” ,函数 f ( x ) 的“不动点”和“稳定点”的集合分别是 A 和 B ,即

A ?

{x f ( x) ? x} , B ? {x f [ f ( x)] ? x}
(1)求证: A ? B ; (2)若 f ( x) ? ax 2 ?1 (a ? R, x ? R) ,且 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

2 2、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,且 f ( x) ? x 没有实数根,问: f [ f ( x)] ? x 是否

有实数根?并证明你的结论。

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3、已知 f ( x) ? x2 ? px ? q ,且方程 f ( f ( x)) ? 0 有且只有一解,求证: p ? 0, q ? 0

4、设 f ( x) ? x2 ? ax ? b , g ( x) ? x2 ? cx ? d ,如果方程 f ( g ( x)) ? 0 和 g ( f ( x)) ? 0 都没 有实数根,求证:方程 f ( f ( x)) ? 0 和 g ( g ( x)) ? 0 中至少有一个没有实数根。

5、已知函数 f ( x ) 满足: (1) f (1) ? 1 ; (2) ?x ? [0,1] , f ( x) ? 0 ; (3)任取 x, y ? [0,1] 且 x ? y ? [0,1] ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 。 求证: ?x ? [0,1] , f ( x) ? 2 x

第 2 页 共 4 页

6、若函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,且同时满足 ? ? ?

f (1) ? 3 ; f ( x) ? 2 恒成立;
若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2

(1) 试求函数 f ( x ) 的最大值和最小值;

1 1 ) 与 n ? 2 的大小( n ? N ) ; n 2 2 1 * 某人发现:当 x ? n ( n ? N ) 时,有 f ( x) ? 2 x ? 2 。由此他提出猜想:对一切 x ? [0,1] , 2
(2) 试比较 f ( 都有 f ( x) ? 2 x ? 2 ,请你判断此猜想是否正确,并说明理由。

2 7、设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ( a, b, c ? R , a ? 0 )满足条件:

? ? ?

当 x ? R 时, f ( x ? 4) ? f (2 ? x) ,且 f ( x) ? x ; 当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? (

x ?1 2 ) ; 2

f ( x) 在 R 上的最小值为 0

求最大的 m ( m ? 1 ) ,使得存在 t ? R ,只要 x ? [1, m] ,就有 f ( x ? t ) ? x

第 3 页 共 4 页

8、部分知识梳理 ? 函数概念

?

求值域 ? 分式型

?

根式型

?

函数的性质 ? 单调性

?

对称性

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