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江苏省苏州大学2015届高考考前指导数学卷1(第8稿)


苏州大学 2015 届高考考前指导卷(1)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案 直接填在答题卡相应位置上 . ........ 1.集合 A ? {x | x ? 1} , B ? {x | x2 ? 4} ,则 A ? B ? 3.双曲线 x ? y ? 2 的右准线方程为
2 2

/>▲

. ▲
开始

2.实数 a , b ? R ,i 是虚数单位,若 a+2i 与 2-bi 互为共轭复数,则 a ? b ? ▲ . ▲ . ▲ .



4. 一组数据: 9.8, 10.1, 10, 10.2, 9.9, 则该组数据的方差为 5.如右图是一个算法流程图,则输出 S 的值是

S← 0,n←1 n←n + 2 S←S + n N<10 N 输出 S 结束 (第 5 题) Y

π? ? 6 . 设函数 y = 2sin 2x+3 的图象关于点 P(x0 , 0) 成中心对称,且 ? ?

? π ? x0∈ -2,0 ,则 x0= ? ?





7. 已知函数 f ( x ) ? m ln x ? nx ( m, n ? R ) , 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 m ? n ? {an}的通项公式为 ▲ . ▲ . 8.已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,且 a3=a2 7,a2=a4+a6.则数列

? x ≥1, ? 9 . 已知点 P ? x, y? 的坐标满足条件 ? y ≥ x ? 1, 那么点 P 到直线 ? x ? 3 y ? 5 ≤ 0, ?
3x ? 4 y ? 13 ? 0 的距离的最小值为
则经过点 B 的概率是 ▲ . ▲ .
A

C B

10.如图,沿格子型路线从点 A 到点 C,如果只能向右、向上走, 11.已知圆柱的底面半径为 r,高为 h,体积为 2,表面积为 12, 则

(第 10 题图) 图

C

???? ??? ? 12.在△ABC 中,已知 M 为 BC 的中点,若 AN ? 3NB , ???? ? ???? ? ???? ,则 ? ? ? 的值为 ▲ MN ? ? AM ? ? AC ( ? , ? ? R )

1 1 ? = r h





M


?2? | x ? 2 |, 0 ≤ x ? 4, 13 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? x ?2 若 存 在 x1 , x2 , 当 ?2 ? 3, 4 ≤ x ≤6,
0 ≤ x1 ? 4 ≤ x2 ≤6 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 f ( x2 ) 的取值范围是

A

N (第 12 题图)
▲ .

B

?1? 14.已知函数 f ? x ? ? x2 ? ax ? b ? a, b ? R ? ,若存在非零实数 t ,使得 f ? t ? ? f ? ? ? ?2 ,则 ?t ?
a 2 ? 4b2 的最小值为
▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出必要 ........ 的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 △ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,满足
a ? sin A b 3 cos B


A

(1)求 ?B ; (2)若点 M 为 BC 中点, 且 AM ? AC ,求 sin ?BAC 的值.

B

M
(第 15 题图)

C

16. (本小题满分 14 分) 如图所示,已知在五棱锥 P – ABCDE 中,底面 ABCDE 为凸五边形, AE ? DC ? 2 , AB ? BC ? 3 , DE ? 1 , ?EAB ? ?BCD ? ?CDE ? ?DEA ? 120? , F 为 AE 上的点, 3 且 AF ? ,平面 PAE 与底面 ABCDE 垂直.求证: 2 P BC // 平面 PAE ; (1) (2) PA ? FC .

E F

D C

A

(第 16 题图)

B

17. (本小题满分 14 分) 为响应新农村建设,某村计划对现有旧水渠进行改造,已知旧水渠的横断面是一段抛物 线弧,顶点为水渠最底端(如图) ,渠宽为 4 m,渠深为 2m. (1)考虑到农村耕地面积的减少,为节约水资源,要减少水渠的过水量,在原水渠内填 土,使其成为横断面为等腰梯形的新水渠,新水渠底面与地面平行(不改变渠宽) ,问新水渠 底宽为多少时,所填土的土方量最少? 4 (2)考虑到新建果园的灌溉需求,要增大水渠 的过水量,现把旧水渠改挖(不能填土)成横断面 2 为等腰梯形的新水渠, 使水渠的底面与地面平行 (不 改变渠深) ,要使所挖土的土方量最少,请你设计水 渠改挖后的底宽,并求出这个底宽. (第 17 题图)

18. (本小题满分 16 分)

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点, 4 P ? 2, t ? ? t? R ,且 t ? 0? 为直线 x ? 2 上的一个动点,过点 P 任意作一条直线 l 与椭圆 G 交于 C,
如图,在平面直角坐标系 xOy 中, A , B 分别是椭圆 G: D,直线 PO 分别与直线 AC,AD 交于 E,F. (1)当直线 l 恰好经过椭圆 G 的右焦点和上顶点时,求 t 的值; (2)记直线 AC,AD 的斜率分别为 k1 , k2 .

1 1 ①若 t ? ? 1 ,求证: ? 为定值; k1 k 2 ②求证:四边形 AFBE 为平行四边形.
A

y

C E O F D P B x

(第 18 题图)

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为 2,并且
a2 ? a4 ? a1 ? a5 , a7 ? a9 ? a8 .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求使得 am ? am?1 ? am? 2 ? am ? am?1 ? am? 2 成立的所有正整数 m 的值; (3)在数列 {an } 的奇数项中任取 s 项,偶数项中任取 k 项(s,k∈N*,s>1,k>1) ,按 照某一顺序排列后成等差数列,当 s+k 取最大值时,求所有满足条件的数列.

20. (本小题满分 16 分) x2 ? ax ? 2ln x ( a ? R ) 有一个极值点为 x ? 1 . 已知函数 f ( x ) ? 2 (1)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2)设函数 F(x)= f ( x) ? f (2 x) ,当 t ?[ , 1) 时,比较 F (t ) 与 F (1) 的大小. (3)若方程 f ( x) ? m (m ? R) 有三个实数根 x1 , x 2 , x3 ,且 x1 ? x2 ? x3 , 证明: x1 ? x2 ? (2,3) . (参考数据 ln 2 ? 0.6931 , ln 3 ? 1.0986 , ln 5 ? 1.6094 )

3 4

苏州大学 2015 届高考考前指导卷(1)参考答案
一、填空题 1. (1, 2) 2.4 3.x ? 1 4.0.02 5.25 π 6.-6 7.

1 2

8.an=-5n+40 二、解答题

9.2

10.

4 7

11.3

12. ?

1 4

13. [1, 4]

14.

16 5

15. 解(1)由正弦定理得

a b a b ? ,又有 , ? sin A sin A sin B 3 cos B ? 所以 sin B ? 3 cos B ,即 2cos( B ? ) ? 0 , 6 ? ? ? 所以 B ? ? k ? ? , k ? Z ,又 0 ? B ? ? ,所以 B ? . 6 2 3 a ? (2)由(1)知 B ? ,又 M 为 BC 中点,所以 BM =MC= , 3 2 △ ABM △ABC 在 与 中 , 由 余 弦 2 a a a ac AM 2 ? ( ) 2 ? c 2 ? 2 c cos B ? ? c2 ? , 2 2 4 2











AC 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac,
a2 ac ? c2 ? ? a 2 ? c 2 ? ac , 4 2 7 3a a, 因为 a ? 0 ,所以 c ? ,故 b ? 2 2 7 a 21 a 由 . ? 2 ,得 sin ?BAC ? 7 sin ?BAC sin π 3 16.证明 (1)如图凸五边形 ABCDE ,延长 AE , CD 交于点 H . ∵ ?AED ? ?EDC ? 120? ,∴ ?HED ? ?HDE ? 60? . ∴ ?HED 为等边三角形, ?H ? 60? . ∴ ?H ? ?BCD ? 60? ? 120? ? 180? ,即有 BC // AE . 又∵ AE ? 平面 PAE , BC ? / 平面 PAE , ∴ BC // 平面 PAE . (2)连结 AC ,∵ ?HED 为等边三角形 ∴ HE ? HD ? ED ? 1 ,∴ HA ? HC ? 3 . 又 ∵ ?H ? 60? ,∴ ?HAC 为正三角形.

又 AM ? AC ,所以

H E F D

A

C

又∵ AF ?

1 2

AH ,∴ CF ? AE .

∵ 平面 PAE ? 平面 ABCDE , 平面 PAE ? 平面 ABCDE ? AE , CF ? 平面 ABCDE ,∴ CF ? 平面 PAE . B 又∵ PA ? 平面 PAE ,∴ CF ? PA . 17. 解 建立如图所示的直角坐标系, 设抛物线的方程为 x2 ? 2 py ? p ? 0? , 由已知点 P ? 2, 2? 在 抛物线上,得 p ? 1 ,所以抛物线的方程为 y ?

1 2 x . 2
y

(1) 为了使填入的土最少, 内接等腰梯形的面积要最大, ? 1 ? 如图 1,设点 A ? t , t 2 ? ? 0 ? t ? 2 ? ,则此时梯形 APQB 的面积 ? 2 ?

Q

P

S ?t ? ?

1 1 2? 1 3 2 ? 2t ? 4 ? ? ? ? 2 ? t ? ? ? t ? t ? 2t ? 4 , 2 2 2 ? ? 3 3 ∴ S ' ? t ? ? ? t 2 ? 2t ? 2 , 令 S ' ? t ? ? ? t 2 ? 2t ? 2=0 , 得 2 2

B O

A x

(图 1)

2 t? , 3
? 2? ?2 ? 当 t ? ? 0, ? 时,S ' ? t ? ? 0 ,S ? t ? 单调递增,当 t ? ? , 2 ? 时,S ' ? t ? ? 0 ,S ? t ? 单调递减, ? 3? ?3 ?
所以当 t ? 为

2 128 时, S ? t ? 有最大值 ,改挖后的水渠的底宽 3 27

y C P B

4 m 时,可使填土的土方量最少. 3

(2)为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线 ? 1 ? 相切,如图 2,设切点 M ? t , t 2 ? ? t ? 0 ? , ? 2 ? 则函数在点 M 处的切线方程为 y ? t 2 ? t ? x ? t ? ,

M x

1 A O 2 ? ?t 2 ? ?t (图 2) 分别令 y ? 0, y ? 2 得 A ? , 0 ? , B ? ? , 2 ? , ?2 ? ?2 t ? 1? 2? 2 所以此时梯形 OABC 的面积 S ? t ? ? ? t ? ? ? 2 ? t ? ≥ 2 2 ,当且仅当 t ? 2 时,等号 2? t? t 2 成立,此时 OA ? .所以设计改挖后的水渠的底宽为 2 m 时,可使挖土的土方量最少. 2 18.解(1)由题意:上顶点 C ? 0,1? ,右焦点 E ? 3,0 ,所以 l : y ? ? 3x ? 1 ,

?

?

令 x ? 2 ,得 t ? 1 ?

2 3 . 3

(2)直线 AC : y ? k1 ? x ? 2? 与

? 2 ? 8k12 4k1 ? x2 ? y 2 ? 1 联立,得 C ? , , 2 2 ? 4 ? 1 ? 4k1 1 ? 4k1 ?

2 ? 2 ? 8k2 4k 2 ? 同理得 D ? ,由 C , D , P 三点共线得 kCP ? k DP , , 2 2 ? ? 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2 ? 4k1 4k 2 ?t ?t 2 2 1 ? 4k1 1 ? 4k 2 即 ,化简得 4k1k2 ? t ? k1 ? k2 ? , ? 2 2 ? 8k12 2 ? 8k2 ?2 ?2 2 1 ? 4k12 1 ? 4k2 1 1 ? ?4 (定值) ① t ? ? 1 时, ? k1 k2

②要证四边形 AFBE 为平行四边形,即只需证 E,F 的中点即点 O, t ? 4k 2 4k1 ? y ? x, 由? 得 xE ? ,同理 xF ? , 2 t ? 2k1 t ? 2k 2 ? y ? k1 ? x ? 2 ? ? 将t ?

2 ? k1 ? k2 ? 2 ? k1 ? k2 ? 4k1k2 4k1 4k 2 分别代入得 xE ? , xF ? , ? ? k1 ? k2 t ? 2k1 k2 ? k1 t ? 2k 2 k1 ? k2

所以 xE ? xF ? 0 , yE ? yF ?

t ? xE ? xF ? ? 0 . 2

即四边形 AFBE 为平行四边形. ? n, n为奇数, ? 19.解(1)由题意,解得 an ? ? n 2 ? ?2 , n为偶数.

(2)当 m 为奇数时,由题意得 m(m ? 2) ? 2 即 (m2 ? 2m ? 1) ? 2 ? 2(m ? 1) . 当 m=1 时,上式成立;
m ?1 2

m ?1 2

? m?m?2?2

m ?1 2



当 m ≥ 3 时, (m2 ? 2m ? 1) ? 2 2 ? m2 ? 2m ? 1 ? 2m ? 1 . 所以,m=1. 当 m 为偶数时, am ? am?1 ? am? 2 为偶数, am ? am?1 ? am? 2 为奇数,所以满足条件的偶数 m 不 存在. 综上所述,满足 am ? am?1 ? am? 2 ? am ? am?1 ? am? 2 的正整数 m 的值为 1. (3)由(1)知,数列 {an } 的奇数项均为奇数,偶数项均为偶数,因此,抽出的项按某 种顺序排成等差数列,则该等差数列中相邻的项必定一个是奇数,一个是偶数. 假设抽出的数列中有三个偶数,则每两个相邻偶数的等差中项为奇数. 设抽出的三个偶数从小到大依次为 2 i , 2 j , 2 p (1≤i ? j ? p) , i j 2 ?2 ? 2i ?1 ? 2 j ?1 为奇数,而 i≥1,j≥2,则 2 j ?1 为偶数, 2i ?1 为奇数,所以 i ? 1. 则 2 2 j ? 2p ? 2 j ?1 ? 2 p ?1 为奇数,而 j≥2,p≥3,则 2 j ?1 , 2 p ?1 均为偶数,矛盾. 又 2 因为 k ? 1,所以偶数有 2 项,则奇数最多有 3 项,s + k 的最大值为 5, 设此等差数列为 b1,b2,b3,b4,b5,则 b1,b3,b5 为奇数,b2,b4 为偶数,且 b2 ? 2. 所以 b1 ? b3 ? 2b2 ? 4,则 b1 ? 1.此数列为 1,2,3,4,5. 同理,若从大到小排列,此数列为 5,4,3,2,1. 20.解 (1) f '( x) ? x ? a ?

m ?1

2 2 x 2 ? 3 x ?2 1 ) ?a? 3 ? 0 , a ? ?3 ,且 f '( x ) ? x?a? ? ,则 f '( . x x x 当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (0,1) 上为增函数; 当 1 ? x ? 2 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (1, 2) 上为减函数; 当 x ? 2 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (2, ??) 上为增函数; 因此,函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, 1) , (2, ? ?) ;减区间为 (1, 2) . 5 当 x ? 2 时,极小值为 f (2) ? 2ln 2 ? 4 ;当 x ? 1 时,极大值为 f (1) ? ? . 2 3 3 (2) 因为 t ? [ , 1) , 2t ?[ , 2) ,由(1)可知 f (t ) ? f (1) , f (2t ) ? f (2) . 4 2 3 设函数 g (t ) ? F (t ) ? F (1) ? f (t ) ? f (2t ) ? f (1) ? f (2) ,其中 ≤t ? 1 . 4 (t ? 1)(5t ? 4) 4 3 4 则 g '(t ) ? ,当 ≤ t ? 时, g '(t ) ? 0 ;当 ? t ? 1 时, g '(t ) ? 0 ; t 5 4 5 3 4 3 4 4 4 那么,当 ≤t ? 时, g ( )≤ g (t ) ? g ( ) ;当 ? t ? 1 时, g (1) ? g (t ) ? g ( ) ; 4 5 4 5 5 5 3 3 3 45 27 9 13 ? 2ln ) ? (2ln 2 ? ) ? 0 , 经计算 g (1) ? 0 , g ( ) ? f ( ) ? f (2) ? f ( ) ? f (1) ? ( ? 4 2 4 32 4 8 2 3 因此,当 t ?[ , 1) 时, g (t ) ? 0 恒成立,即 F (t ) > F (1) . 4 (3) 由(1)可知 x1 ? (0, 1) , x2 ? (1, 2) , x3 ? (2, ? ?) ,首先有 x1 ? x2 ? 3 .
且m ?

x12 x2 ? 3 x1 ? 2ln x1 ? 2 ? 3 x2 ? 2 ln x2 , 2 2

整理得 ( x12 ? x22 ) ? 2 ? ln x1 ? ln x2 ? ? 3( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 6 ? ( x1 ? x2 ) ? 问题等价于 ( x1 ? x2 ) ?6 ? ( x1 ? x2 ) ? ? 令 w ? ( x1 ? x2 ) ?6 ? ( x1 ? x2 )? , u ?

1 2

4(ln x1 ? ln x2 ) , x1 ? x2

4(ln x1 ? ln x2 )( x1 ? x2 ) , x1 ? x2

x1 (0 ? u ? 1) ,则 w ? 4(u ? 1) ? ln u . x2 u ?1

2(u ? 1) (0 ? u ? 1) . u ?1 (u ? 1)2 2(u ? 1) h '( u ) ? 0 ? u ? 1 ( ) >0, 设函数 h(u) ? ln u ? ,则 u (u ? 1)2 1? u 2(u ? 1) 即 h '(u ) ? 0 恒成立,有 h(u ) ? h(1) ? 0 ,因此 ln u ? . u ?1 综上可知, 2 ? x1 ? x2 ? 3 ,即 x1 ? x2 ? ? 2, 3? .
下要证明 x1 ? x2 ? 2 ,即证明 w ? 8 ,只要证明 ln u ?


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