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高中数学 空间点、直线平面之间的位置关系 单元测试 新人教A版必修2


高中数学新人教 A 版必修 2:空间点、直线平面之间的位置关系 单元 测试
一、选择题 1. a,b 是两条异面直线, ( ) A.若 P 为不在 a、b 上的一点,则过 P 点有且只有一个平面与 a,b 都平行 B.过直线 a 且垂直于直线 b 的平面有且只有一个 C.若 P 为不在 a、b 上的一点,则过 P 点有且只有一条直线与 a,b 都平行 D.若 P 为不在

a、b 上的一点,则过 P 点有且只有一条直线与 a,b 都垂直 2.若三棱锥 S—ABC 的项点 S 在底面上的射影 H 在△ABC 的内部,且是在△ABC 的垂心,则 ( ) A.三条侧棱长相等 B.三个侧面与底面所成的角 相等 C.H 到△ABC 三边的距离相等 D.点 A 在平面 SBC 上的射影是△SBC 的垂心 3. a、b 是异面直线,下面四个命题: ①过 a 至少有一个平面平行于 b;②过 a 至少有一个平面垂直于 b;③至少有一条直线与 a、b 都垂直;④至少有一个平面分别与 a、b 都平行,其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时,直 线 BD 和平面 ABC 所 成的角的大小为 ( ) A. 90° B .60° C. 45° D.30° 5. 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,A1A=AB=2,若棱 AB 上存在一点 P,使得 D1P⊥PC,则棱 AD 的 长的取值范围是 ( ) A. [1, 2 ] 二、填空题 6. 已知直线 m,n,平面 ? , ? ,给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ? , 则? ? ? ;②若 m // ? , m // ? , 则? // ? ; ③若 m ? ? , m // ? , 则? ? ? ;④若异面直线 m,n 互相垂直,则存在过 m 的平面与 n 垂直. 其 中正确的命题的题号为 ③④ 7. 设 l、 m、 n 是三条不同的直线, ?、? 、? 是三个不同的平面,下面有四个命题: ① 若l ∥ ? , ? ∥ ? ,则l ∥?; ③ 若? ? ? , l ∥? ,则l ? ?; ② 若l ∥ n, m ∥ n,则l ∥ m; ④ 若l ? ? , m ? ? , ? ? ? , 则l ? m. B. (0, 2 ] C. (0, 2 ) D. (0,1]

其中假命题的题号为 ①③ 8. 在右图所示的是一个正方体的展开图,在原来的正方体中,有下列命题: ①AB 与 EF 所在的直线平行;②AB 与 CD 所在的直线异面;③MN 与 BF 所在的直线成 60°角; ④MN 与 CD 所在的直线互相垂直.其中正确的命题是 ② ④ 9. 有 6 根细木棒,其中较长的两根分别为 3a , 2a ,其 余 4 根均为 a ,用它们搭成三棱锥,则其中两条较长的棱所 F C D B

E

N

A M

-1-

在的直线所成的角的余弦值为

.

10. 下面是关于四棱柱的四个命题: ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱 ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为 直四棱柱 其中,真命题的编号是 ②④ (写 出所有真命题的编号). 三、解答题 11. 下列五个正方体图形中, l 是正方体的一条对角线,点 M,N,P 分别为其所在棱的中点, 求能得出 l ⊥面 MNP 的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)

12.

如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长的 3,侧棱 AA1=

3 3 , D 是 CB 延长线上一点, 2

且 BD=BC. (Ⅰ)求证:直线 BC1//平面 AB1D; (Ⅱ)求二面角 B1—AD—B 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 C1—ABB1 的体积.

13. 如图,已知四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 是正方形,SA⊥底 面 ABCD,E 是 SC 上的一点. (1)求证:平面 EBD⊥平面 SAC; (2)设 SA=4,AB=2,求点 A 到平面 SBD 的距离; (3)当 的值为多少时,二面角 B-SC-D 的大小为 120?. B

S E A C D

SA AB

-2-

14. 如图,正三角形 ABC 的边长为 2,D、E、F 分别为各边的中点将△ABC 沿 DE、EF、DF 折叠, 使 A、B、C 三点重合,构成三棱锥 A— DEF . (I)求平面 ADE 与底面 DEF 所成二面角的余弦值 AM EN (Ⅱ)设点 M、N 分别在 AD、EF 上, ? ? ? (λ >O,λ 为变量) MD NF ①当λ 为何值时,MN 为异面直线 AD 与 EF 的公垂线段? 请证明你的结论②设异面直线 MN 与 AE 所成的角为 a,异面直线 MN 与 DF 所成的角为β ,试求 a+β 的值

【课时 4 2 答案】 1.D 2.D 3.A 4.C 5.D 6.③、④ 7.①、③ 8.②、④ 9.

6 3

10.②、④ 11. 为了得到本题答案,必须对 5 个图形逐一进行判别.对于给定的正方体,l 位置固定,截 面 MNP 变动,l 与面 MNP 是否垂直,可从正、反两方面进行判断.在 MN、NP、MP 三条线中, 若有一条不垂直 l,则可断定 l 与面 MNP 不垂直;若有两条与 l 都垂直,则可断定 l⊥面 MNP; 若有 l 的垂面∥面 MNP,也可得 l⊥面 MNP. 解法 1 作正方体 ABCD-A1B 1 C1 D1 如附图,与题设图形对比讨论.在附图中,三个截面 BA1D、 EFGHKR 和 CB 1 D1 都是对角线 l (即 AC1)的垂面. 对比图①,由 MN∥BA l,MP∥BD,知面 MNP∥面 BA l D,故得 l⊥面 MNP. 对比图②,由 MN 与面 CB1D1 相交,而过交点且与 l 垂直的直线都应在面 CBl Dl 内,所以 MN 不垂直于 l,从而 l 不垂直于面 MNP. 对 比图③,由 MP 与面 BA l D 相交,知 l 不垂直于 MN,故 l 不垂直于面 MNP. 对比图④,由 MN∥BD,MP∥BA.知面 MNP∥面 BA 1 D,故 l⊥面 MNP. 对比图⑤,面 MNP 与面 EFGHKR 重合,故 l⊥面 MNP. 综合得本题的答案为①④⑤.

-3-

解法 2 如果记正方体对角线 l 所在的对角截面为 ? .各图可讨论如下: 在图①中,MN,NP 在平面 ? 上的射影为同一直线,且与 l 垂直,故 l⊥面 MNP.事实上,还可这样考虑:l 在上底面的射影是 MP 的垂线,故 l⊥MP;l 在 左侧面的射影是 MN 的垂线,故 l⊥MN,从而 l⊥面 MNP. 在图②中,由 MP⊥面 ? ,可证明 MN 在平面 ? 上的射影不是 l 的垂线,故 l 不垂直于 MN.从而 l 不垂直于面 MNP. 在图③中,点 M 在 ? 上的射影是 l 的中点,点 P 在 ? 上的射影 是上底面的内点,知 MP 在 ? 上的射影不是 l 的垂线,得 l 不垂直于面 MNP. 在图④中,平面 ? 垂直平分线段 MN,故 l⊥MN.又 l 在左侧面的射影(即侧面正方形的一 条对角线)与 MP 垂直,从而 l⊥MP,故 l⊥面 MNP. 在图⑤中,点 N 在平面 ? 上的射影是对角线 l 的中点,点 M、P 在平面 ? 上的射影分别是 上、下底面对角线的 4 分点,三个射影同在一条直线上,且 l 与这一直线垂直.从而 l⊥面 MNP. 至此,得①④⑤为本题答案. 12. (Ⅰ)证明:CD//C1B1,又 BD=BC=B1C1, ∴ 四边形 BDB1C1 是平行四边形, ∴BC1// DB1. 又 DB1 ? 平面 AB1D,BC1 ? 平面 AB1D,∴直线 BC1//平面 AB1D. (Ⅱ)解:过 B 作 BE⊥AD 于 E,连结 EB1, ∵B1B⊥平面 ABD,∴B1E⊥AD , ∴∠B1EB 是二面角 B1—AD—B 的平面角, ∵BD=BC=AB, ∴E 是 AD 的中点, BE ? 1 AC ? 3 .
2 2

在 Rt△B1BE 中,
3 3 B1 B 2 tan ?B1 BE ? ? ? 3 . ∴∠B1EB=60°. 3 BE 2

即二面角 B1—AD—B 的大小为 60° (Ⅲ)解法一:过 A 作 AF⊥BC 于 F,∵B1B⊥平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 BB1C1C, ∴AF⊥平面 BB1C1C,且 AF=
3 3 ?3 ? 3, 2 2

∴ VC ? ABB ? V A ? BB C ? 1 S ? B B C ? AF 1 1 1 1 1 1 1 1 3

1 1 3 3 3 3 27 即三棱锥 C1—ABB1 的体积为 27 . ? ( ? ? 3) ? ? . 8 3 2 2 2 8

解法二:在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,? S

?ABB1

? S ?AA B ?VC1 ? ABB1 ? VC1 ? AA1B1 ? VA? A1B1C1
1 1

1 1 3 2 3 3 27 即三棱锥 C1—ABB1 的体积为 27 . ? S?A1 B1C1 ? AA (4 ? ?3 )? ? . 1 ? 8 3 3 4 2 8

S E A O B C D

13. (1)证明:∵SA⊥底面 ABCD,BD? 底面 ABCD,∴SA⊥BD ∵ABCD 是正方形,∴AC⊥BD ∴BD⊥平面 SAC,又 BD? 平面 EBD ∴平面 EBD⊥平面 SAC. (2)解:设 AC∩BD=O,连结 SO,则 SO⊥BD 由 AB=2,知 BD=2 2

SO= SA2+AO2= 42+( 2)2=3 2
-4-

1 1 ∴S△SBD= BD·SO= ·2 2·3 2=6 2 2 1 1 令点 A 到平面 SBD 的距离为 h,由 SA⊥平面 ABCD, 则 ·S△SBD·h= ·S△ABD·SA 3 3 1 4 ∴6h= ·2·2·4 ? h= 2 3 4 ∴点 A 到平面 SBD 的距离为 3

14. ( Ⅰ)如图,取 DE 的中点 G,连接 AG、FG 由题意 AD=AE,△DEF 为正三角形,得 AG⊥DE, ∴∠AGF 为平面 ADE 与底面 DEF 所成二面角的平面角 由题意得 AG=FG=

3 .在△AGF 中, 2
2 2 2 2 2

3 ? ( 3) ? 2 1 ( ) 1 AG ? FG ? AF 2 2 cos ?AGF ? ? ? 2 AG· FG 3 3 3 2? ? 2 2

∴平面 ADF 与底面 DEF 所成二面角的余弦值为

1 3

(Ⅱ) (1)λ =1 时,MN 为异面直线 AD 与 EF 公垂线段 当λ =1,M 为 AD 的中点,N 为 FF 的中点,连结 AN、DN, 则由题意,知 AN=DN=

3 ,∴MN⊥AD,同理可证 MN⊥EF 2

∴λ =1 时,MN 为异面直线 AD 与 EF 公垂线段. (2)过点 M 作 MH∥DF,交 AF 于点 H,则∠HMN 为异面直线 MN 与 DF 所成的角 . 由 MH∥DF,得

AH AM AM EN AH EN ? ,又 ? ? ,∴ HF MD MD NF HF NF

∴HN//AE,∠MNH 为异面直线 MN 与 AE 所成的角 . ∴α +β =∠MNH+∠HMN=π —∠MHN 由题意得,三棱锤 A—DEF 是正棱锤,则点 A 在底面 DEF 上的射影为底面△DEF 的中心,记为 O. ∵ AE 在底面 DEF 上的射影 EO⊥DF, ∴AE⊥DF 又∵HN//AE,MH//DF,∴∠MNH=

?
2

,∴ ? ? ? ? ? ? ?MHN ?

?
2

-5-


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