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2015年安徽省淮北市高三一模数学理含答案


淮北市 2015 届高三第一次模拟考试

数学试题 (理科)

2015.1.24

考生注意事项: 1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。 2. 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。

3.考生务必在答题卷上答题,考试结束后交回答题卷。

第I卷

(选择题

共 50 分)

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题只有一个正确答案,每小题 5 分) 1.已知 x, y ? R, i 为虚数单位,且 ( x ? 2)i ? y ? 1 ? i ,则 (1 ? i) x? y 的值为( A.4 B. )。

?4

C. 4 ? 4i )。

D. 2i

2.已知 X ? logm n ,则 mn ? 1 是 X ? 1 的(

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知棱长为 1 的正方体的俯视图是边长为 1 正方形,则其主视图的面积不可能是( ) A.

2

B.

2 ?1 2

C.

1

D.

3 3 4
)

4. 等差数列 ?an ? 有两项 am 和 ak (m ? k ) ,满足 am ? A.

mk ?1 2

B

mk 2


C

1 1 , ak ? ,则该数列前 mk 项之和为 ( k m mk ? 1 mk ?1 D 2 2

5.下列命题正确的是( A.函数 y ? sin( 2 x ?

, ) 内单调递增 3 3 6 4 4 B.函数 y ? cos x ? sin x 的最小正周期为 2?
C.函数 y ? cos( x ? D.函数 y ? tan( x ?

?

) 在区间 ( ?

? ?

?
?

) 的图像是关于点 ( ,0) 成中心对称的图形 6 3
) 的图像是关于直线 x ?

?

?

3

6

成轴对称的图形

?x ? 2 y ? 0 ? 6.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0 , 设 m ? x ? y ,若 m 的最大值为 6,则 m 的最小值为( ?0 ? y ? k ?



A.—3 B.—2 C.—1 D.0 7. 某项实验,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一或最后一步,程序 B 和 C 在实施时必须 相邻,问实验顺序的编排方法共有( ) A.34 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种 )

2 x 8. 若函数 f ( x) 的导函数是 f ?( x) ? x ? 4 x ? 3 ,则函数 g ( x) ? f (a ) (0<a<1)的单调递减区间是(

A、 ?loga 3,0?, ?1,???

B、 ?? ?, loga 3?,

[0,??)

C、 a , a

? ?
3

D、 ?loga 3,1?

淮北市 2015 届高三一模 第 1 页 数学试题(共 4 页 理科)

9. 若对任意 x ? ?0,5? ,不等式 1 ? A. m ?

1 1 ,n ? ? 2 3

m 2 n x? ? 1 ? x 恒成立,则一定有( ) 4 5 4? x 1 1 1 1 1 1 B. m ? ? , n ? ? C. m ? ? , n ? D. m ? ? , n ? ? 2 3 2 3 2 3

10.已知 ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,满足: CO ? mCA ? nCB , 4m ? 3n ? 2 ,且 CA ? 4 3 , CB ? 6 , 则 CA ? CB ? ( A. 36 ) B. 24 C. 24 3 D.

12 3

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2,则输出的 P 值 为 12. 在 ? 2 x 2 ?

? ?

1 ? ? 的二项展开式中, x 的系数为 5x ?
m 2 n 2 ( m ? n) 2 ,且当 ? ? x y x? y

5

13 . 已 知 m, n ? R? , m ? n, x, y ? (0,??) , 则 有

4 3 m n ? , x ? (0,1) 的最 ? 时等号成立,利用此结论,可求函数 f ( x) ? 3x 1 ? x x y
小值为 14. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,M、N 分别为 AD、CC1 的中点,O 为上底面 A1B1C1D1 的中心,则三棱锥 O-MNB 的体积是 。

x2 y 2 5 ?1 15. 称离心率为 e ? 的双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 为黄金双曲线.如图是双曲线 a b 2

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0, c ? a 2 ? b 2 ) 的图象,给出以下几个说法: 2 a b
①双曲线 x ?
2
2

2 y2 5 ?1

? 1 是黄金双曲线;

②若 b ? ac ,则该双曲线是黄金双曲线; ③若 F1,F2 为左右焦点,A1,A2 为左右顶点,B1(0,b), B2(0,-b)且∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线; ④若 MN 经过右焦点 F2 且 MN⊥F1F2,∠MON=90°,则该双 曲线是黄金双曲线. 其中正确命题的序号为

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三、解答题(共 75 分,请写出详细解答过程) 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) =sin(2x+ (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间。

? )+ cos 2x. 6

(2)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 f(A)= 的面积.

? 3 ,a=2,B= ,求△ABC 3 2

17.(本题满分 12 分)如图所示,PA⊥平面 ABC,点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上,∠CBA=30° ,PA=AB =2,点 E 为线段 PB 的中点,点 M 在弧 AB 上,且 OM∥AC. (1)求证:平面 MOE∥平面 PAC; (2)求证:平面 PAC⊥平面 PCB; (3)设二面角 M-BP-C 的大小为 θ,求 cosθ 的值.

18. (本题满分 12 分) 近年来空气污染是一个生活中重要的话题, PM2.5 就是其中一个指标。PM2.5 指大气中直径小于或 等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级: 在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 淮北相山区 2014 年 12 月 1 日至 I0 日每天的 PM2.5 监测数据如茎叶图所示. (1)期间的某天小刘来此地旅游,求当天 PM2.5 日均监测数据未超标的概率; (2)陶先生在此期间也有两天经过此地,这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标.请计算出这两天 空气质量恰好有一天为一级的概率; (3)从所给 10 天的数据中任意抽取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ? 的分 布列及期望.

19. (本题满分 12 分)已知椭圆 C:

x2 y 2 F2,且椭圆 C ? ? 1 (a>b>0)的上顶点为 A,左,右焦点分别为 F1, a 2 b2

淮北市 2015 届高三一模 第 3 页 数学试题(共 4 页 理科)

4 b 过点 P( , ),以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2. 3 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,试问:在 x 轴上是否存在两定点,使其到直线 l 的距离 之积为 1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.

y A P F1 O F2 x

20. (本题满分 13 分) 已知数列 {a n } 满足 a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? (?1) n (n ? N * ) . (1)若 bn ? a2 n ?1 ?

1

(第 19 题图)

1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列并求其通项公式; 3

(2)求数列 {a n } 的通项公式; (3)求证:

1 1 1 ? 3. + +?+ a1 a 2 an
x , f ? x ? ? g ? x ? ? ax . ln x

21. (本题满分 14 分)已知函数 g ? x ? ? (1)求函数 g ? x ? 的单调区间;

(2)若函数 f ? x ? 在?1, ??? 上是减函数,求实数 a 的最小值;
2 (3)若 ?x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,使 f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

答案:
淮北市 2015 届高三一模 第 4 页 数学试题(共 4 页 理科)

一、选择题: 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 C 5 C 6 A 7 C 8 B 9 B 10 A

二、填空题: 11、4 12、 ?

8 25

13、

25 3

14、

7 6

15、①②③④

三、解答题: 16、(1)解: f ( x) ? sin(2 x ? = sin 2 x cos

?
6

) ? cos 2 x

?
6

? cos 2 x sin

?
6

? cos 2 x

=

3 3 1 3 sin 2 x ? cos 2 x = 3( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2 2 2

= 3 sin(2 x ? 令?

?
3

)

??????????3 分

? 2k ? 2 3 2 5? ? ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z ?? 12 3 12 5? ? ? k? , ? k? ], k ? Z0 f ( x) 的单调递增区间为: [? ??????????6 分 12 12 ?
(2)由 f ( A) ?

?

? 2 k? ? 2 x ?

?

?

3 ? 1 ,sin(2 A ? ) ? , 2 3 2

2? ? ? 5? , ? 2A ? ? , 3 3 3 3 ? 5? ? 因此 2 A ? ? ,解得: A ? 3 6 4 a B ? 由正弦定理 ,得 b ? 6 , sin A sin B
又0 ? A ? 又由 A ?

??????????8 分

?
4

,B ?

?
3

可得: sin C ?

6? 2 4

??????????10 分

故 S?ABC ?

1 3? 3 ab sin C ? 2 2

??????????12 分

17. (1)因为点 E 为线段 PB 的中点,点 O 为线段 AB 的中点, 所以 OE∥PA.
淮北市 2015 届高三一模 第 5 页 数学试题(共 4 页 理科)

因为 PA ? 平面 PAC,OE?平面 PAC, 所以 OE∥平面 PAC. 因为 OM∥AC, 又 AC ? 平面 PAC,OM?平面 PAC, 所以 OM∥平面 PAC. 因为 OE ? 平面 MOE,OM ? 平面 MOE,OE∩OM=O, 所以平面 MOE∥平面 PAC. ??????????4 分 (2)因为点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上, 所以∠ACB=90°,即 BC⊥AC. 因为 PA⊥平面 ABC,BC ? 平面 ABC, 所以 PA⊥BC. 因为 AC ? 平面 PAC,PA ? 平面 PAC,PA∩AC=A, 所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC ? 平面 PBC,所以平面 PAC⊥ 平面 PBC. ??????????9 分 (3)如图,以 C 为原点,CA 所在的直线为 x 轴,CB 所在的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系 C-xyz. 因为∠CBA=30°,PA=AB=2, 所以 CB=2cos30°= 3,AC=1. 延长 MO 交 CB 于点 D. 因为 OM∥AC, 1 3 1 3 所以 MD⊥CB,MD=1+ = ,CD= CB= . 2 2 2 2 3 3 所以 P(1,0,2),C(0,0,0),B(0, 3,0),M( , ,0). 2 2 → → 所以CP=(1,0,2),CB=(0, 3,0). 设平面 PCB 的法向量 m=(x,y,z). → ? ?m·CP=0, ?( x, y, z ) ? (1,0,2) ? 0 ?x ? 2z ? 0 ?? 因为? 即? → ?m·CB ?( x, y, z ) ? (0, 3 ,0) ? 0 ? 3y ? 0 =0. ? 令 z=1,则 x=-2,y=0. 所以 m=(-2,0,1). 同理可求平面 PMB 的一个法向量 n=(1, 3,1). m· n 1 1 所以 cos〈m,n〉= =- .所以 cosθ= . ??????????12 分 |m|· |n| 5 5 18. 解:(1)记“恰好赶上 PM2.5 日均监测数据未超标”为事件 A

P ( A) ?

2?4 3 ? ????????????3 分 10 5
1 1 C2 ? C4 8 ? ????????????7 分 2 C6 15

(2)记“他这两次此地 PM2.5 监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级” 为事件 B, P( B) ? (3) ? 的可能值为 0,1,2,3
3 C6 1 P(? ? 0) ? 3 ? C10 6 1 2 C6 ? C4 3 ? 3 C10 10 2 1 C6 ? C4 1 P(? ? 1) ? ? 3 C10 2 3 C4 1 ??????10 分 ? 3 C10 30

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

淮北市 2015 届高三一模 第 6 页 数学试题(共 4 页 理科)

其分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 6

1 2

3 10

1 30

E? ? 0 ?

1 1 3 1 6 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ??????12 分 6 2 10 30 5

4 b 16 1 19. 解:(1)因为椭圆过点 P( , ),所以 2+ =1,解得 a2=2, 3 3 9a 9 b b 3 又以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2.所以 AF2?F2P,即? ? =?1, b2=c(4?3c).??6 分 c4 ?c 3 而 b2=a2?c2=2?c2,所以 c2?2c+1=0,解得 c2=1, x2 2 故椭圆 C 的方程是 +y =1. 2 ?????????4 分

(2)①当直线 l 斜率存在时,设直线 l 方程为 y=kx+p,代入椭圆方程得 (1+2k2)x2+4kpx+2p2-2=0. 因为直线 l 与椭圆 C 有只有一个公共点,所以 △=16k2p2-4(1+2k2)(2p2-2)=8(1+2k2―p2)=0, 即 1+2k2=p2. ?????????????7 分

y A P F1 O
1

F2

x

设在 x 轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线 l 的距离之积为 1,则 |ks+p| |kt+p| |k2st+kp(s+t)+p2| ? 2 = =1, k2+1 k2+1 k +1 即(st+1)k+p(s+t)=0(*),或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).
?st+1=0, ?s=1 ?s=?1 由(*)恒成立,得? 解得? ,或? , ?t=?1 ?t=1 ?s+t=0.

(第 19 题图)

而(**)不恒成立.

??????????10 分

②当直线 l 斜率不存在时,直线方程为 x=? 2时, 定点(-1,0)、F2(1,0)到直线 l 的距离之积 d1? d2=( 2-1)( 2+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(?1,0),使其到直线 l 的距离之积为定值 1. ?????12 分

20. 解:(1) a2 n ?1 ? 2a2 n ? (?1) 2 n ? 2[2a2 n ?1 ? ( ?1) 2 n ?1 ] ? 1 ? 4a2 n ?1 ? 1,

1 4 a2 n?1 ? 4a2 n?1 ? bn?1 3? 3 ? 4, 又 b ? a ? 1 ? 2 . ? 1 1 1 1 bn 3 3 a2 n?1 ? a2 n?1 ? 3 3 2 2 所以 ?bn ? 是首项为 ,公比为 4 的等比数列,且 bn ? ? 4n?1. ……………5 分 3 3
淮北市 2015 届高三一模 第 7 页 数学试题(共 4 页 理科)

(2)由(Ⅰ)可知 a2 n?1 ? bn ?

1 2 n?1 1 1 2 n?1 ? ? 4 ? ? (2 ? 1) ,……………………7 分 3 3 3 3 2 1 a2 n ? 2a2 n?1 ? (?1) 2 n?1 ? (22 n?1 ? 1) ? 1 ? (22 n ? 1). ………………8 分 3 3

?1 n (2 ? 1);(n ? 2k ) ? 1 n ?3 n ?1 所以 an ? (2 ? (?1) ) ,或 an ? ? ………………9 分 3 ? 1 (2n ? 1).(n ? 2k ? 1) ? ?3
(3) ∴ a2 n ?

1 2n 1 2 1 ? 2 ? , a2 n?1 ? ? 22 n?1 ? . 3 3 3 3 1 1 3 3 ? ? 2 n ?1 ? 2n a2 n ?1 a2 n 2 ?1 2 ?1

3 ? (22 n ? 22 n ?1 ) 22 n ?1 ? 22 n ? 22 n ? 22 n ?1 ? 1 3 ? (22 n ? 22 n ?1 ) 3 ? (22 n ? 22 n ?1 ) ? 2 n ?1 2 n ? 2 ? 2 ? 22 n ?1 ? 1 22 n ?1 ? 22 n ?
1 ? ? 1 ? 3 ? 2 n ?1 ? 2 n ? 2 ? ?2
当 n=2k 时, …………………………………11 分

?1 1? ?1 1? ? ? ??? ? ?? ? a1 a2 ? ? a3 a4 ?
?1 1 1 ? 3? ? 2 ? 3 ? ?2 2 2
当 n=2k-1 时,

? 1 1 ? ?? ? ? ? a2 k ?1 a2 k ?
1 1 (1 ? 2 k ) 3 ? 2 2 ? 3 ? 2k ? 3 ? ? 3? 1 2 ? 1? 2

1 ? 2k 2

?1 1? ?1 1? ? ? ??? ? ?? ? a1 a2 ? ? a3 a4 ?
<? ∴

? 1 1 ? 1 ?? ? ?? ? a2 k ?3 a2 k ?2 ? a2 k ?1 ? 1 1 ?? ? ? a2 k ?1 a2 k ? ? <3 ?

?1 1? ?1 1? ? ??? ? ?? ? a1 a2 ? ? a3 a4 ?

1 1 1 + +?+ <3.…………13 分 a1 a2 an

21. 解:由已知函数 g ( x), f ( x) 的定义域均为 (0,1) ? (1,??) ,且 f ( x ) ?

x ? ax . ??1 分 ln x

(1)函数 g ?( x ) ?

ln x ? x ?

1 x ? ln x ? 1 , 2 (ln x) (ln x) 2

当 0 ? x ? e 且 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, g ?( x) ? 0 . 所以函数 g ( x) 的单调减区间是 (0,1), (1, e) ,增区间是 (e,??) . ??????4 分

淮北市 2015 届高三一模 第 8 页 数学试题(共 4 页 理科)

1 ? a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立. (2)因 f(x)在 (1, ??) 上为减函数,故 f ?( x) ? ln x ?2 (ln x)
所以当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) max ? 0 .
1?a ?? 1 又 f ?( x) ? ln x ?2 ln x (ln x)
? 1 ?a, ? ? ? ln1x ? a ? ? ? ln1x ? 1 2? 4
2
2

故当 1 ? 1 ,即 x ? e2 时, f ?( x)max ? 1 ? a . 4 ln x 2 所以 1 ? a ? 0, 于是 a ≥ 1 ,故 a 的最小值为 1 . 4 4 4 ????????????7 分

(3)命题“若 ?x1 , x2 ? [e,e 2 ], 使 f ( x1 ) ? f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于 “当 x ? [e, e 2 ] 时,有 f ( x)min ? f ? ? x ?max ? a ”. 由(Ⅱ),当 x ? [e, e 2 ] 时, f ?( x)max ? 1 ? a ,? f ? ? x ?max ? a ? 1 . 4 4 问题等价于:“当 x ? [e, e 2 ] 时,有 f ( x)min ? 1 ”. 4
10 当 a ? 1 时,由(Ⅱ), f ( x) 在 [e,e 2 ] 上为减函数, 4
2 则 f ( x)min = f (e2 ) ? e ? ae2 ? 1 ,故 a ? 1 ? 1 2 . 2 4e 2 4

????????????9 分

20 当 a ? 1 时,由于 f ?( x) ? ?

4

? 1 ? a 在 [e,e ] 上为增函数, ? ln1x ? 1 2? 4
2

2

故 f ?( x) 的值域为 [ f ?(e), f ?(e 2 )] ,即 [?a, 1 ? a] . 4 (i)若 ?a ? 0 ,即 a ? 0 , f ?( x) ? 0 在 [e,e 2 ] 恒成立,故 f ( x) 在 [e,e 2 ] 上为增函数, 于是, f ( x)min = f (e) ? e ? ae ? e> 1 ,不合题意. 4 (ii)若 ?a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 ,由 f ?( x) 的单调性和值域知, 4 ????????11 分

? 唯一 x0 ? (e,e2 ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,且满足:
当 x ? (e, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? ( x0 ,e2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数; 所以, f ( x)min = f ( x0 ) ?
x0 2 ? ax0 ? 1 , x0 ? (e,e ) . ln x0 4

所以, a ? 1 ? 1 ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,与 0 ? a ? 1 矛盾,不合题意. 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 综上,得 a ? 1 ? 1 2 . 2 4e ?????????????14 分

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