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【校本课程数学竞赛讲义】第10


【校本课程数学竞赛讲义】第五章
一 能力培养 1,函数与方程思想 二 问题探讨 2,数形结合思想

直线、圆、圆锥曲线
4,转化能力 5,运算能力

3,分类讨论思想

问题 1 设坐标原点为 O,抛物线 y 2 ? 2 x 与过焦点的直线交于 A,B 两点,求 OA ? OB 的值.

r />问题 2 已知直线 L 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 交于 P,Q 不同两点,记 OP,OQ 的斜率分别为 a 2 b2 b2 ,求 PQ 连线的中点 M 的轨迹方程. a2

kOP , kOQ ,如果 kOP ? kOQ ? ?

问题 3 给定抛物线 C: y 2 ? 4 x ,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点. (I)设 l 的斜率为 1,求 OA 与 OB 夹角的大小; (II)设 FB ? ? AF ,若 ? ? [4,9] ,求 l 在 y 轴上截距的变化范围.

问题 4 求同时满足下列三个条件的曲线 C 的方程: ①是椭圆或双曲线; ②原点 O 和直线 x ? 1 分别为焦点及相应准线; ③被直线 x ? y ? 0 垂直平分的弦 AB 的长为 2 2 .

1

三 习题探 选择题 1 已知椭圆

x2 y 2 10 ? ? 1 的离心率 e ? ,则实数 k 的值为 5 k 5
B,3 或

A,3

25 3

C, 5

D, 15 或

15 3

2 一动圆与两圆 x 2 ? y 2 ? 1和 x2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆心的轨迹为 A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线

3 已知双曲线的顶点为 (2, ?1) 与(2,5),它的一条渐近线与直线 3x ? 4 y ? 0 平行,则双曲 线的准线方程是 A, y ? 2 ?

9 5

B, x ? 2 ?

9 5

C, y ? 2 ?

12 5

D, x ? 2 ?

12 5

4 抛物线 y 2 ? 2 x 上的点 P 到直线 y ? x ? 4 有最短的距离,则 P 的坐标是 A,(0,0) B, (1, )

1 2

C, ( ,1)

1 2

D, ( , )

1 1 2 2

5 已知点 F ( , 0) ,直线 l : x ? ?

1 4

1 ,点 B 是 l 上的动点.若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 4
D,抛物线

BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是 A,双曲线 B,椭圆 C,圆 填空题 6 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的一点到左焦点的最大距离为 8,到右准线的最小距离 a 2 b2
. .



10 ,则此椭圆的方程为 3

3 7 与方程 x ? y 的图形关于 y ? ? x 对称的图形的方程是 2

8 设 P 是抛物线 y ? 4 y ? 4 x ? 0 上的动点,点 A 的坐标为 (0, ?1) ,点 M 在直线 PA 上, 且分 PA 所成的比为 2:1,则点 M 的轨迹方程是 .

9 设椭圆与双曲线有共同的焦点 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) ,且椭圆长轴是双曲线实轴的 2 倍, 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 解答题 .

10 已知点 H (?3, 0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上, 且满足 HP ? PM ? 0 , PM ? ?

3 MQ . 2

2

(I)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C; (II)过点 T (?1, 0) 作直线 l 与轨迹 C 交于 A,B 两点,若在 x 轴上存在一点 E ( x0 ,0) , 使得 ?ABE 是等边三角形,求 x0 的值.

11 已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,点 B,F 分别是双曲线 C 的右顶点和右焦点, a 2 b2

O 为坐标原点.点 A 在 x 轴正半轴上,且满足 OA , OB , OF 成等比数列,过点 F 作双曲 线 C 在第一,第三象限的渐近线的垂线 l ,垂足为 P. (I)求证: PA ? OP ? PA ? FP ; 支分别相交于点 D,E,求 (II)设 a ? 1, b ? 2 ,直线 l 与双曲线 C 的左,右两分 的值.

DF DE

12 已知双曲线的两个焦点分别为 F 1 , F2 ,其中 F 1 又是抛物线 y ? 4 x 的焦点,点 A ( ?1, 2) ,
2

B (3, 2) 在双曲线上. (I)求点 F2 的轨迹方程; (II)是否存在直线 y ? x ? m 与点 F2 的轨迹有且只

有两个公共点?若存在,求实数 m 的值,若不存在,请说明理由.

3

四 参考答案 问题 1 解:(1)当直线 AB ? x 轴时,在 y 2 ? 2 x 中,令 x ?

1 ,有 y ? ?1 ,则 2

1 1 1 1 3 A( ,1), B( , ?1) ,得 OA ? OB ? ( ,1) ? ( , ?1) ? ? . 2 2 2 2 4
(2)当直线 AB 与 x 轴不互相垂直时,设 AB 的方程为: y ? k ( x ? )

1 2

1 ? 1 ? y ? k(x ? ) 由? 2 ,消去 y ,整理得 k 2 x 2 ? (k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 ,显然 k ? 0 . 4 ? y2 ? 2 ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

k2 ? 2 1 , x1 ? x2 ? ,得 2 k 4

1 1 OA ? OB ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) = x1 ? x2 + y1 y2 = x1 ? x2 + k ( x1 ? ) ?k ( x2 ? ) 2 2
= (1 ? k ) x1 ? x2 ?
2

k2 1 ( x1 ? x2 ) ? k 2 2 4

3 1 k2 k2 ? 2 1 2 2 ? 2 ? k =? . = (1 ? k ) ? 4 4 2 k 4
综(1),(2)所述,有 OA ? OB ? ?

3 . 4

问题 2 解:设点 P,Q,M 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) , ( x, y )

由条件知

x12 y12 x2 2 y2 2 ? ? 1 ? ?1 ① a 2 b2 a 2 b2
2



y p x o Q

x?

x1 ? x2 y ? y2 yy b ,y? 1 ③ 1 2 ?? 2 2 2 x1 x2 a



①+②得

x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 ? ?2 a2 b2



( x1 ? x2 )2 ( y1 ? y2 )2 2 x1 x2 2 y1 y2 4x2 4 y 2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2, , 将③ , ④代入得 a2 b2 a2 b2 a2 b

x2 y2 于是点 M 的轨迹方程为 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2
问题 3 解:(I)C 的焦点为 F(1,0),直线 l 的斜率为 1,所以 l 的方程为 y ? x ? 1 ,

4

把它代入 y 2 ? 4 x ,整理得 x ? 6 x ? 1 ? 0
2

设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) 则有 x1 ? x2 ? 6, x1 x2 ? 1 .

OA? OB ? ( x1, y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? x1x2 ? y1 y2 ? 2x1x2 ? (x1 ? x2 ) +1= ?3 .
OA OB ? x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? x1 x2 [ x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16] ? 41

cos ? OA, OB ??

OA ? OB OA OB

??

3 41 , 41

所以 OA 与 OB 夹角的大小为 ? ? arccos

3 41 . 41

(II)由题设 FB ? ? AF 得 ( x2 ?1, y2 ) ? ? (1 ? x1 , ? y1 ) ,即 ?

? x2 ? 1 ? ? (1 ? x1 ) . ? y2 ? ?? y1

得 y22 ? ? 2 y12 ,又 y12 ? 4x1 , y22 ? 4x2 ,有 x2 ? ? 2 x1 ,可解得 x2 ? ? ,由题意知 ? ? 0 , 得 B (? , 2

? ) 或 (?, ?2 ? ) ,又 F(1,0),得直线 l 的方程为

(? ?1) y ? 2 ? ( x ?1) 或 (? ?1) y ? ?2 ? ( x ?1) ,
当 ? ? [4,9] 时, l 在 y 轴上的截距为

2 ? 2 ? 2 ? 2? 2 或? ,由 ,可知 ? ? ? ?1 ? ? 1 ? ?1 ? ? 1 ? ?1

2 ? 3 2 ? 4 4 2 ? 3 ? ,? ? ? ?? , 在[4,9]上是递减的,于是 ? ? ?1 4 ? ?1 3 3 ? ?1 4
所以直线 l 在 y 轴上的截距为[ ?

4 3 3 4 ,? ] [ , ]. 3 4 4 3

问题 4 解:设 M ( x, y ) 为曲线 C 上任一点,曲线 C 的离心率为 e (e ? 0, e ? 1) ,由条件①,②得

x2 ? y 2 ? e ,化简得: (1 ? e2 ) x2 ? y2 ? 2e2 x ? e2 ? 0 x ?1
设弦 AB 所在的直线方程为 y ? x ? m (ii)代入(i)整理后得: (2 ? e ) x ? 2(m ? e ) x ? m ? e ? 0
2 2 2 2 2

(i) (ii) (iii),

可知 e ? 2 不合题意,有 2 ? e ? 0 ,
2 2

设弦 AB 的端点坐标为 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,AB 的中点 P ( x0 , y0 ) .则 x1 , x2 是方程(iii)的两根.

5

x1 ? x2 ? ?

2(m ? e2 ) 2(m ? e2 ) y ? y ? ( x ? m ) ? ( x ? m ) ? ? ? 2m , 1 2 1 2 2 ? e2 2 ? e2

x0 ?

x1 ? x2 m ? e2 y ? y2 (m ? 1)e2 ? m ? 2 ? , y0 ? 1 ,又中点 P ( x0 , y0 ) 在直线 x ? y ? 0 上, 2 e ?2 2 e2 ? 2



m ? e 2 (m ? 1)e2 ? m + =0,解得 m ? ?2 ,即 AB 的方程为 y ? x ? 2 ,方程(iii)为 e2 ? 2 e2 ? 2

(2 ? e2 ) x2 ? 2(e2 ? 2) x ? 4 ? e2 ? 0 ,它的 ? ? 8(e2 ? 2) ? 0 ,得 e2 ? 2 .
x1 ? x2 ? ? 2(?2 ? e2 ) 4 ? e2 ? 2 x ? x ? , 1 2 2 ? e2 2 ? e2
2

由 AB ? 1 ? k
2 2

x1 ? x2 ,得 AB2 ? ( x1 ? x2 )2 (1 ? k 2 ) ? [( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ](1 ? k 2 )

即 (2 2) ? (2 ? 4 ?

4 ? e2 )(1 ? 12 ) ,得 e2 ? 4 ? 2 ,将它代入(i)得 3x2 ? y 2 ? 8x ? 4 ? 0 . 2 ? e2

4 ( x ? )2 2 3 ? y ?1. 所求的曲线 C 的方程为双曲线方程: 4 4 9 3 25 1 焦点在 x 轴得 k ? 3 ;焦点在 y 轴得 k ? ,选 B. 3
' ' ' 2 设圆心 O(0,0), O1 (?4, 0) , O 为动圆的圆心,则 O O1 ? O O ? (r ? 4) ? (r ? 1) ? 3 ,选 C.

3 知双曲线的中心为(2,2),由 3x ? 4 y ? 0 变形得

y 2 x2 ? ? 0 ,于是所求双曲线方程为 9 16

9 9 ( y ? 2)2 ( x ? 2)2 ? ? 1 ,它的准线为 y ? 2 ? ? ,即 y ? 2 ? ,选 A. 5 5 9 16
2 2 2 4 设直线 y ? x ? m 与 y ? 2 x 相切,联立整理得 x ? 2(m ?1) x ? m ? 0 ,

由 ? ? 4(m ? 1) ? 4m ? 0 ,得 m ?
2 2

1 1 ,这时得切点( ,1),选 B. 2 2

5 由 MF ? MB 知点 M 的轨迹是抛物线,选 D.

?a ? c ? 8 8 ? 2 6 可得 ? a 2 10 ,消去 c ,整理得 3a ? 7a ? 40 ? 0 ,有 a ? 5 或 ? (舍去),得 c ? 3 , 3 ? ?a ? 3 ?c

6

b ? 4 ,所以所求的椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1. 25 16

7 设点 P ( x, y ) 是所求曲线上任一点,它关于 y ? ? x 对称的点 P' (? y, ? x) 在 x ? y3 上, 有 ? y ? ( ? x ) 3 ,即 y ? x 3 . 8 设点 P ( x0 , y0 ) ,M ( x, y ) ,有 x ?

x0 ? 2 ? 0 y ? 2 ? (?1) ,y? 0 ,得 x0 ? 3x , y0 ? 3 y ? 2 3 3

而 y02 ? 4 y0 ? 4x0 ? 0 ,于是得点 M 的轨迹方程是 9 y 2 ?12 x ? 4 ? 0 . 9 由条件可得 PF 1 ? 3 PF 2 或 PF 2 ? 3 PF 1 ,设 P ( x, y ) 代入可知交点的轨迹是两个圆. 10 解:(I) 设点 M ( x, y ) ,由 PM ? ? 由 HP ? PM ? 0 ,得 (3, ? ) ? ( x,

3 y x MQ ,得 P (0, ? ), Q ( , 0) 2 2 3

y 2

3y ) ? 0, 所以 y 2 ? 4x .又点 Q 在 x 轴的正半轴上,得 x ? 0 . 2

所以,动点 M 的轨迹 C 是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点. (II)设直线 l : y ? k ( x ? 1) ,其中 k ? 0 ,代入 y 2 ? 4 x ,整理得 k 2 x2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 ① 设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ? ?

2(k 2 ? 2) , x1 x2 ? 1, y1 ? y2 ? k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1) k2

= k ( x1 ? x2 ) ? 2k ?

4 2 ? k2 2 , ), ,有 AB 的中点为 ( k k2 k 2 2 2 1 2 ? k2 ? ? (x ? ) ,令 y ? 0 , x0 ? 2 ? 1 ,有 E ( 2 ? 1, 0) 2 k k k k k

AB 的垂直平分线方程为 y ?

由 ?ABE 为正三角形,E 到直线 AB 的距离为

3 4 1? k 2 AB ,知 AB ? ? 1? k 2 . 2 k2



2 3 1? k 2 2 1? k 2 11 3 ? ,解得 k ? ? ,所以 x0 ? . 2 k k 3 2
a ( x ? c) b

11(I)证明:直线 l 的方程为: y ? ?

a ? y ? ? ( x ? c) ? a 2 ab ? b 由? ,得 P ( , ) ,又 OA , OB , OF 成等差数列, c c ?y ? b x ? a ?
得 A(

a2 ab a 2 ab b2 ab ,0),有 PA ? (0, ? ), OP ? ( , ), FP ? (? , ) , c c c c c c

7

于是 PA ? OP ? ?

a 2b 2 a 2b 2 PA ? FP ? ? , ,因此 PA ? OP ? PA ? FP . c2 c2
1 ( x ? 5) 2

(II)由 a ? 1, b ? 2 ,得 c ? 5 , l : y ? ?

1 ? y ? ? ( x ? 5) ? ? 2 由? ,消去 x ,整理得 15 y2 ?16 5 y ? 16 ? 0 2 ? x2 ? y ? 1 ? ? 4



设 D ( x1 , y1 ) ,E ( x2 , y2 ) ,由已知有 y1 ? y2 ,且 y1 , y2 是方程①的两个根.

y1 ? y2 ?

1 16 y1 y2 ( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 10 y 16 5 , y1 y2 ? , ? ? ? ,解得 2 ? 3 或 . 3 15 y2 y1 y1 15 y1 y2 3

又 y1 ? y2 ,得

DF y2 1 y1 1 3 = ,因此 ? ? ? . y1 3 DE y1 ? y2 1 ? y2 2 y1

12 解:(I) F1 (1, 0) , AF1 ? BF2 ? 2 2 ,设 F2 ( x, y) 则

AF1 ? AF2 ? BF1 ? BF2 ? 2a ? 0 ,去掉绝对值号有两种情况,分别得 F2 的轨迹
方程为 x ? 1 和

( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ? ? 1( y ? 0, y ? 4 ) 8 4 ( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ? ?1 8 4

(II)直线 l1 : x ? 1 , l2 : y ? x ? m ,D(1,4),椭圆 Q:

①若 l2 过点 F 1 或 D,由 F 1 ,D 两点既在直线 l1 上,又在椭圆 Q 上,但不在 F2 的轨迹上, 知 l2 与 F2 的轨迹只有一个公共点,不合题意. ②若 l2 不过 F 1 ,D 两点( m ? ?1, m ? 3 ).则 l 2 与 l1 必有一个公共点 E,且点 E 不在椭圆 Q 上, 所以要使 l2 与 F2 的轨迹有且只有两个公共点,必须使 l2 与 Q 有且只有一个公共点,
2 2 把 y ? x ? m 代入椭圆的方程并整理得 3x ? (10 ? 4m) x ? 2m ? 8m ? 1 ? 0

由 ? ? 0 ,得 m ? 1 ? 2 3 .

8


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