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基本初等函数


2.1 指数函数

考试大纲

① 了解指数函数模型的实际背景. ② 理解有理指数幂的含义,了解实 数指数幂的意义,掌握幂的运算. ③ 理解指数函数的概念,并理解指 数函数的单调性与函数图像通过的特殊 点. ④ 体会指数函数是一类重要的函数 模型.

一、指数幂的定义及性质
1.整数指数幂的概念

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知识回顾

定义(a 的 n 次幂) a n ? a ??? a? a( n ? N *) : ?a ? ? ?
n个a

特殊: a ? 1(a ? 0)
0



a

?n

1 ? n (a ? 0, n ? N *) a

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2.运算性质:

a m ? a n ? a m?n (m, n ? Z ) (a ) ? a ( m , n ? Z )
m n mn
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(ab)n ? a n ? b n ( n ? Z )
注意:① a m ? a n 可看作 a m ? a ? n ∴a m ? a n =a m ? a ?n =a m ?n
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a n ② ( ) 可看作 a n ? b ? n b

a n n ?n a n ∴( ) = a ? b = n b b

3.分数批数幂的定义: (1)正数的正分数指数幂的意义
m n

a ? n a m (a>0,m,n∈N*,且 n>1)
(2)正数的负分数指数幂的意义
? m n

a
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?

1 a
m n

(a>0,m,n∈N*,且 n>1)

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4.有理指数幂的运算性质:(当 a>0 时)

a m ? a n ? a m?n (m, n ? Q ) (a ) ? a ( m , n ? Q )
m n mn

(ab)n ? a n ? b n ( n ? Q )

二、指数函数的定义: 函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1)叫做指数函数, 其中 x 是自变量,函数定义域是 R 。
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探究 1:为什么要规定 a>0,且 a ? 1 呢? ①若 a=0,则当 x>0 时, a x =0;当 x ? 0 时, a x 无意义. ②若 a<0,则对于 x 的某些数值,可使 a x 无意义. 如(?2) x ,

1 1 这时对于 x= ,x= ,…等等,在实数范围内函数值不存在. 4 2 ③若 a=1,则对于任何 x?R,a x =1,是一个常量,没有研究
的必要性.

为了避免上述各种情况,所以规定 a>0 且 a?1 在规定以
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后,对于任何 x?R,a 都有意义,且 a >0. 因此指数函数的
x x

定义域是 R,值域是(0,+∞). 探究 2:函数 y ? 2? 3 x 是指数函数吗? 指数函数的解析式 y= a 中, a 的系数是 1. 有些函数貌似指数函数, 实际上却不是, y= a x +k (a>0 如 且 a ? 1, ?Z); k 有些函数看起来不像指数函数, 实际上却是, 如 y= a
?x x x

1 ?1? (a>0,且 a ? 1), 因为它可以化为 y=? ? , 其中 >0, a ?a?

x

1 且 ? 1。 a

三、指数函数的图象和性质:

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
a>1

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0<a<1

图 象

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

例 1 比较下列各题中两个值的大小: ①1.7 ,1.7 ; ② 0.8 ,0.8 ; ③1.7 ,0.9
解:利用函数单调性 ①1.7 与1.7 的底数是 1.7,它们可以 看成函数 y=1.7 ,当 x=2.5 和 3 时的函数 值;因为 1.7>1,所以函数 y=1.7 在 R 是增 函数,而 2.5<3,所以,1.7 <1.7 ;
2 .5 3
x x

2 .5

3

? 0 .1

? 0 .2

0.3

3.1

2 .5

3

② 0 .8

? 0 .1

与 0 .8

? 0 .2

的底数是 0.8,它们可以看成函数

y= 0.8 x ,当 x=-0.1 和-0.2 时的函数值;因为 0<0.8<1, 所以函数 y= 0.8 在 R 是减函数,而-0.1>-0.2,所以,
x

0 . 8 ? 0 .1 < 0 . 8 ? 0 .2 ;
③:由1.7 >1; 0.9 <1;可得1.7 > 0.9
0.3 3.1 0.3 3.1

小结:对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单 调性,必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个 函数值;对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进 行比较.

例 2 求下列函数的定义域、值域: ⑴ y ? 0.4
1 x ?1

⑵y ? 3

5 x ?1

⑶y ? 2

x

?1

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解(1)由 x-1≠0 得 x≠1 所以,所求函数定义域为{x|x≠1}

1 ? 0 ,得 y≠1 由 x ?1

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所以,所求函数值域为{y|y>0 且 y≠1}

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1 (2)由 5x-1≥0 得 x ? 5

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1 所以,所求函数定义域为{x| x ? } 5


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5 x ? 1 ≥0 得 y≥1
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所以,所求函数值域为{y|y≥1}

(3)所求函数定义域为 R 由 2 >0 可得 2 +1>1
x x
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所以,所求函数值域为{y|y>1}

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2.2 对数函数

考试大纲

① 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能 将一般对数转化成自然对数或常用对数; 了解对数在简化运 算中的作用. ② 理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性与函 数图像通过的特殊点. ③ 体会对数函数是一类重要的函数模型; ④ 了解指数函数 y ? a 与对数函数 y ? log a x 互为反 函数( a ? 0且a ? 1).
x

一、对数的定义及有关性质:
1. 对数的定义:

知识回顾
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log a N ? b,其中 a ?(0,1) ? (1,??) 与 N?(0,?? )
2.指数式与对数式的互化
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3.重要公式:⑴负数与零没有对数; ⑵ log a 1 ? 0 , log a a ? 1 ⑶对数恒等式 a
log a N
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?N

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4、积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

log a (MN) ? log a M ? log a N M log a ? log a M ? log a N N n log a M ? nlog a M(n ? R)
5、对数换底公式:

(1) ( 2) ( 3)

log m N log a N ? log m a
( a > 0 ,a ? 1 ,m > 0 ,m ? 1,N>0)
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二、对数函数的定义及性质
1.对数函数的定义: 函数 y ? log a x (a ? 0且a ? 1)叫做对数函数;它是指数 函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1)的反函数 .
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对 数 函 数 y ? log a x

(a ? 0且a ? 1) 的 定 义 域 为

( 0,?? ),值域为( ?? ,?? ) 。
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2.对数函数的图象及性质 由于对数函数 y ? log a x 与指数函数 y ? a x 互为反函 数,所以 y ? log a x 的图象与 y ? a x 的图象关于直线 y ? x 对 称 因此,我们只要画出和 y ? a x 的图象关于 y ? x 对称的曲
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线,就可以得到 y ? log a x 的图象,然后根据图象特征得出 对数函数的性质。 (如下表所示)

a>1
3

0<a<1
3 2.5 2 1.5

2.5

2

1.5

图 象

1
-1

1

0.5

1
1

1

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1
-1.5

-1.5
-2

-2
-2.5

-2.5

定义域: (0,+∞) 值域:R 性 质 过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0

x ? (0,1) 时 y ? 0 x ? (1,?? ) 时 y ? 0
在(0,+∞)上是增函数

x ? (0,1) 时

y?0

x ? (1,?? ) 时 y ? 0
在(0,+∞)上是减函数

巩固练习:1、求下列函数的定义域:

y (1) ? log a x 2 ; (2) ? log a (4 ? x ); (3) ? log a (9 ? x 2 ) y y
分析:此题主要利用对数函数 y ? log a x 的定义域 (0,+∞)求解
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x 2 >0 得 x ? 0 , 解: (1)由
∴函数 y ? log a x 2 的定义域是?x | x ? 0?; (2)由 4 ? x ? 0 得 x ? 4, ∴函数 y ? log a (4 ? x )的定义域是?x | x ? 4? (3)由 9- ? x 2 ? 0 得-3 ? x ? 3 , ∴函数 y ? log a (9 ? x 2 )的定义域是?x | ?3 ? x ? 3?

2、比较下列各组数中两个值的大小: ⑴ log 2 3.4, log 2 8.5; ⑵ log 0.3 1.8, log 0.3 2.7 ; ⑶ log a 5.1, log a 5.9(a ? 0, a ? 1)
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解:⑴考查对数函数 y ? log 2 x ,因为它的底数 2>1,所以 它在(0,+∞)上是增函数,于是 log 2 3.4 ? log 2 8.5 它在(0,+∞)上是减函数,于是 log 0.3 1.8 ? log 0.3 2.7
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⑵考查对数函数 y ? log 0.3 x , 因为它的底数 0<0.3<1, 所以
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小结 1:两个同底数的对数比较大小的一般步骤: ① 确定所要考查的对数函数; ② 根据对数底数判断对数函数增减性; ③比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两对数值的 大小.

⑶当 a ? 1时, y ? log a x 在(0,+∞)上是增函数, 于是 log a 5.1 ? log a 5.9 当 0 ? a ? 1时, y ? log a x 在(0,+∞)上是减函 数,于是 log a 5.1 ? log a 5.9 小结 2:分类讨论的思想
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对数函数的单调性取决于对数的底数是大于 1 还 是小于 1 而已知条件并未指明,因此需要对底数 a 进
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行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌 握
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3、比较下列各组中两个值的大小: ⑴ log 6 7, log 7 6 ; ⑵ log 3 ? , log 2 0.8
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分析:由于两个对数值不同底,故不能直接比较大小,可在两对 数值中间插入一个已知数,间接比较两对数的大小 解 : ⑴ ? log 6 7 ? log 6 6 ? 1 , log 7 6 ? log 7 7 ? 1 ,

? log 6 7 ? log 7 6

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⑵ ? log 3 ? ? log 3 1 ? 0 , log 2 0.8 ? log 2 1 ? 0 ,

? log 3 ? ? log 2 0.8 ;
小结 3:引入中间变量比较大小 例 3 仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小,当 不能直接比较时,经常在两个对数中间插入 1 或 0 等,间接比 较两个对数的大小
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4、求下列函数的定义域、值域:

1 ⑴y ? 2 ⑵ y ? log 2 ( x 2 ? 2 x ? 5) ? 4 ⑶ y ? log 1 ( ? x 2 ? 4 x ? 5) ⑷ y ? log a ( ? x 2 ? x ) ( 0 ? a ? 1)
? x 2 ?1
3

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解:⑴要使函数有意义,则须:

1 2 ? ? 0 即: ? x 2 ? 1 ? ?2 ? ?1 ? x ? 1 4 ∵? 1 ? x ? 1 ∴? 1 ? ? x 2 ? 0
? x 2 ?1

? 2 ? ? x 2 ? 1 ? ?1 从而

1 ∴ ? 2? x 4

1 1 ? ? ∴0 ? 2 4 4 1 ∴定义域为[-1,1],值域为[0, ] 2
2

?1

1 ? 2

? x 2 ?1

1 ∴0 ? y ? 2

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⑵∵ x 2 ? 2 x ? 5 ? ( x ? 1)2 ? 4 ? 4对一切实数都恒成立 ∴函数定义域为 R 从而 log 2 ( x 2 ? 2 x ? 5) ? log 2 4 ? 2 ⑶要使函数有意义,则须: 即函数值域为[ 2,?? )
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? x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ? x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ? ?1 ? x ? 5 由? 1 ? x ? 5 ∴在此区间内 ( ? x 2 ? 4 x ? 5)max ? 9
∴ 0 ? ? x2 ? 4x ? 5 ? 9
3
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从而 log 1 ( ? x 2 ? 4 x ? 5) ? log 1 9 ? ?2 即: 值域为 y ? ?2
3
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∴定义域为[-1,5],值域为[?2,?? )

?? x 2 ? x ? 0 ⑷要使函数有意义,则须: ? log a ( ? x 2 ? x ) ? 0 ?
由①: ? 1 ? x ? 0 由②:∵ 0 ? a ? 1时 则须 ? x 2 ? x ? 1 综合①②得 ,x? R

(1) ( 2)

?1? x ? 0
2

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当 ? 1 ? x ? 0时

( ? x ? x )max

1 ? 4

1 ∴0 ? ? x ? x ? 4
2

1 ∴ log a ( ? x ? x ) ? log a 4
2

∴ y?

1 log a 4
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1 ∴定义域为(-1,0),值域为[ log a , ? ) ? 4

高考题回放(广东卷)

? 2? x ? 1, x ? 0, ? (03 广东)6.设函数 f ( x ) ? ? 1 若 f ( x0 ) ? 1,则 ?x2 , x ? 0 ?
x0 的取值范围是 ( A. (-1,1)

D

) B. (-1,+∞)

C. (-∞,-2)∪(0,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞)

2 ?3x ? 2 ? , ( x ? 2) ? 2 (04 广东)3.设函数 f ( x ) ? ? x ? 4 x ? 2 在 x=2 ? a ( x ? 2) ?
处连续,则 a= (

C



1 A. ? 2

1 B. ? 4

1 C. 4

1 D. 3

(04 广东)16. 函数 f ( x ) ? ln( x ? 1 ? 1)( x ? 0) 的反函数
e 2 x ? 2e x _________。 f ( x ) ? __________ ( x ? R)
?1

(05 广东) 函数 f ( x ) ? x 3 ? 3 x 2 ? 1是减函数的区间为 D) 6. ( A.( 2,?? ) B.(?? ,2) C.(?? ,0) D. (0,2)

1 {x|x<0} . (05 广东)11.函数 f ( x ) ? 的定义域是 x 1? e 3 x2 (06 广东)1、函数 f ( x ) ? ? 1 g( 3 x ? 1) 的定义域是 1? x B 1 1 1 1 1 A.( ? ,??) B. (? ,1) C. (? , ) D. ( ??,? ) 3 3 3 3 3

(05 广东)9.在同一平面直角坐标系中,函数 y ? f ( x ) 和

y ? g ( x ) 的图象关于直线 y ? x 对称. 现
将 y ? g ( x ) 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单 位,再沿 y 轴向上平移 1 个单位,所得的 图象是由两条线段组成的折线(如图 2 所 示) ,则函数 f ( x )的表达式为(

A )
? 2 x ? 2,?1 ? x ? 0 B. f ( x ) ? ? x ? ? 2 ? 2,0 ? x ? 2 ? ? 2 x ? 6,1 ? x ? 2 D. f ( x ) ? ? x ? ? 2 ? 3,2 ? x ? 4 ?

? 2 x ? 2,?1 ? x ? 0 A. f ( x ) ? ? x ? ? 2 ? 2,0 ? x ? 2 ?
? 2 x ? 2,1 ? x ? 2 C. f ( x ) ? ? x ? ? 2 ? 1,2 ? x ? 4 ?

(06 广东)3、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是 减函数的是(
3

A)
B. y = sinx,x∈R

A.y = -x ,x∈R

1 x C. y = x,x∈R D. y ? ( ) , x∈R 2 (06 广东)7、函数 y ? f ( x ) 的
反函数 y ? f ?1 ( x )的图像与 y 轴交于点 P ( 0,2) (如图 2 所 示),则方程 f ( x ) ? 0 在[1,4] 上的根是 x=( A.4 B.3

C )
C. 2 D.1

2.3 幂函数

考试大纲

① 了解幂函数的概念. 1 ② 结合函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ? , y ? x
2 3

1 2

x

的图像,了解它们的变化情况.

一、 幂函数的定义: 一般地,把形如:把形如: y ? x? 的函数称 为幂函数,其中? 为常数。 二、 几种幂函数的图象及性质:
1 初中已学过的有 y ? x , y ? x , y ? , x
2

知识回顾

高中学过的有: y ? x

1 2

, y ? x3 ,

性质:结合图像了解函数性质 1、定义域: 2、值域: 3、单调性: 4、奇偶性:

性质:结合图像了解函数性质 1、定义域: 2、值域: 3、单调性: 4、奇偶性:

函数图象的变换 平移变换: (1) y=f(x)----→y=f(x)+b (2) y=f(x)----→y=f(x-a) 对称变换: (3) y=f(x)----→y=f(-x) (4) y=f(x)----→y=-f(x) (5) y=f(x)----→y=-f(-x) (6) y=f(x)----→y=f-1(x) (关于 y 轴对称) (关于 x 轴对称) (关于原点对称) (关于直线 y=x 对称) (上下移动) (左右移动)

(7) y=f(x)----→y=︱f(x)︱ (保留 x 轴上方图象,并作其关 于 x 轴对称图象,去掉 x 轴下方图象。 ) (8) y=f(x)----→y=f(︱x︱) (保留 y 轴右边图象,并作其

关于 y 轴对称图象,去掉 y 轴左边图象。 )


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