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2013届高中数学总复习阶段性测试题7 常用逻辑用语、推理与证明 新人教A版必修1


阶段性测试题七(常用逻辑用语、推理与证明)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.(2010· 广东湛江模拟)“若 x≠a 且 x≠b,则 x2-(a+b

)x+ab≠0”的否命题是( ) A.若 x=a 且 x=b,则 x2-(a+b)x+ab=0. B.若 x=a 或 x=b,则 x2-(a+b)x+ab≠0. C.若 x=a 且 x=b,则 x2-(a+b)x+ab≠0. D.若 x=a 或 x=b,则 x2-(a+b)x+ab=0. [答案] D π 2.(文)(2011· 牡丹江一中模拟)已知命题 p:?x∈?0,2?,cos2x+cosx-m=0 为真命题,则 ? ? 实数 m 的取值范围是( 9 A.?-8,-1? ? ? C.[-1,2] [答案] C π π [解析] 依题意,cos2x+cosx-m=0 在 x∈?0,2?上有解,即 cos2x+cosx=m 在 x∈?0,2? ? ? ? ? π 1 9 上有解. f(x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=2(cosx+ )2- , 令 由于 x∈?0,2?, ? ? 所以 cosx 4 8 ∈[0,1],于是 f(x)∈[-1,2],因此实数 m 的取值范围是[-1,2]. (理)(2011· 沈阳四校联合体期中)下列命题中的真命题是( ) π A.?x∈[0, ],sinx+cosx≥2 2 B.?x∈(3,+∞),x2>2x+1 C.?x∈R,x2+x=-1 π D.?x∈?2,π?,tanx>sinx ? ? [答案] B π [解析] 对于 A,sinx+cosx= 2sin?x+4?≤ 2,故 A 错;对于 B,由 x2-2x-1>0 解得,x>1 ? ? 1 3 3 + 2或 x<1- 2, 故当 x∈(3, +∞)时, x2>2x+1 恒成立; 对于 C, x2+x+1=?x+2?2+ ≥ , ? ? 4 4 π ∴方程 x2+x=-1 无解,故 C 错;对于 D,当 x∈( ,π)时,tanx<0,sinx>0,故 D 错. 2 → → → → → → 3.(文)(2011· 福州期末)在△ABC 中,“AB· =BA· ”是“|AC|=|BC|”的( AC BC A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ) ) 9 B.?-8,2? ? ? 9 D.?-8,+∞? ? ?

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[答案] C → → → → [解析] 如图,在△ABC 中,过 C 作 CD⊥AB,则|AD|=|AC|· cos∠CAB,|BD|=|BC|· cos∠ CBA, → → → → → → → → → → AB· =BA· ?|AB |· |· AC BC |AC cos∠CAB=|BA |· |· |BC cos∠CBA?|AC |· cos∠CAB=|BC |· cos∠ → → → → CBA?|AD|=|BD|?|AC|=|BC|,故选 C.

(理)(2011· 安徽望江期末)已知直线 y=2x 上一点 P 的横坐标为 a,有两个点 A(-1,1),B(3,3), → → 那么使向量PA与PB的夹角为钝角的一个充分不必要条件是( A.-1<a<2 C.- 2 2 <a< 2 2 B.0<a<1 D.0<a<2 )

[答案] B → → [解析] 由题知 P(a,2a),∵PA与PB的夹角为钝角, → → → → ∴PA· <0,解得 0<a<2,又当PA与PB方向相反时,a=1,∴0<a<1 或 1<a<2,故选 B. PB 4.(文)(2011· 山东烟台调研)实数 x 满足 log3x=1+sinθ,则|x-1|+|x-9|的值为( A.8 B.-8 C.0 D.10 [答案] A [解析] ∵-1≤sinθ≤1, ∴log3x=1+sinθ∈[0,2], ∴1≤x≤9, ∴|x-1|+|x-9|=(x-1)+(9-x)=8,故选 A. )

b (理)(2011· 山东济宁一中月考)函数 y=ax2+bx 与 y=log| |x(ab≠0, |a|≠|b|)在同一直角坐标系中 a 的图象可能是( )

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[答案] D b b b b 1 b 1 [解析] 对于选项 A、B,对数函数单调递增,故?a?>1,∴ >1 或 <-1,- <- 或- > , ? ? a a 2a 2 2a 2 1 但 A、B 两项二次函数的对称轴都在?0,2?内,故 A、B 都不对. ? ? b b b 1 b 1 对于 C、D 两选项,对数函数单调递减,故 0<?a?<1,故-1< <1 且 ≠0,∴- <- < 且- ? ? a a 2 2a 2 1 b ≠0,选项 C 二次函数的对称轴在?-1,-2?内,故 C 不正确. ? ? 2a 5.(文)(2011· 广东龙山中学模拟)命题 p:方程 x2-x+a2-6a=0 有一正根和一负根;命题 q: 函数 y=x2+(a-3)x+1 的图象与 x 轴有公共点.若命题“p 或 q”为真命题,而命题“p 且 q” 为假命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.(1,5)∪[6,+∞) B.(-∞,0]∪(1,5) C.(-∞,0]∪[6,+∞) D.(-∞,0]∪(1,5)∪[6,+∞) [答案] D [解析] 令 f(x)=x2-x+a2-6a,则命题 P?f(0)<0?a2-6a<0?0<a<6;由命题 q 得 Δ=(a -3)2-4≥0?a≥5 或 a≤1.根据题意知命题 p 与命题 q 一真一假,当命题 p 真且命题 q 假时,a ∈(1,5);当命题 q 真且命题 p 假时,a∈(-∞,0]∪[6,+∞).综上所述,a∈(-∞,0]∪(1,5) ∪[6,+∞).故选 D. (理)(2011· 宁夏银川一中检测)下列结论错误的是( ) A.命题“若 p,则 q”与命题“若綈 q,则綈 p”互为逆否命题 B.命题 p:?x∈[0,1],ex≥1,命题 q:?x∈R,x2+x+1<0,则 p∨q 为真 C.“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真命题 D.若 p∨q 为假命题,则 p、q 均为假命题 [答案] C [解析] 根据四种命题的构成规律, 选项 A 中的结论是正确的; 选项 B 中的命题 p 是真命题, 命题 q 是假命题,故 p∨q 为真命题,选项 B 中的结论正确;当 m=0 时,a<b?/ am2<bm2, 故选项 C 中的结论不正确;选项 D 中的结论正确. 3 3 6.观察等式:sin230° +cos260° +sin30° cos60° ,sin220° = +cos250° +sin20° cos50° 和 = 4 4 3 sin215° +cos245° +sin15° cos45° ,…,由此得出以下推广命题,则推广不正确的是( = 4 3 A.sin2α+cos2β+sinαcosβ= 4 3 B.sin2(α-30° )+cos2α+sin(α-30°)cosα= 4 )

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C.sin2(α-15° )+cos2(α+15° )+sin(α-15°)cos(α+15° )= 3 D.sin2α+cos2(α+30° )+sinαcos(α+30° )= 4

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[答案] A [解析] 观察已知等式不难发现, -30° 60° =50° -20° =45° -15° =30° 推广后的命题应具备 , 此关系,但 A 中 α 与 β 无联系,从而推断错误的命题为 A.选 A. 7.(2011· 马鞍山二中月考)设 a,b∈R,现给出下列五个条件:①a+b=2;②a+b>2;③a+ b>-2;④ab>1;⑤logab<0,其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件为( ) A.②③④ B.②③④⑤ C.①②③⑤ D.②⑤ [答案] D [解析] ①a+b=2 可能有 a=b=1;②a+b>2 时,假设 a≤1,b≤1,则 a+b≤2 矛盾;③a+ b>-2 可能 a<0,b<0;④ab>1,可能 a<0,b<0;⑤logab<0,∴0<a<1,b>1 或 a>1,0<b<1, 故②⑤能推出. 1 3 8.(文)(2011· 安庆一中质检)如果不等式|x-a|<1 成立的充分非必要条件是 <x< ,则实数 a 的 2 2 取值范围是( 1 3 A. <a< 2 2 3 1 C.a> 或 a< 2 2 ) 1 3 B. ≤a≤ 2 2 3 1 D.a≥ 或 a≤ 2 2

[答案] B [解析] |x-a|<1?a-1<x<a+1,

?a-1≤2 ?1,3??(a-1,a+1),则有 由题意知?2 2? ? 3 ?a+1≥2
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1 3 (等号不同时成立),解得 ≤a≤ ,故选 B. 2 2

(理)(2011· 辽宁大连期中)已知命题 p:x2-4x+3<0 与 q:x2-6x+8<0;若“p 且 q”是不等式 2x2-9x+a<0 成立的充分条件,则实数 a 的取值范围是( ) A.(9,+∞) B.{0} C.(-∞,9] D.(0,9] [答案] C [解析] 由 x2-4x+3<0 可得 p: 1<x<3; x2-6x+8<0 可得 q: 由 2<x<4, 且 q 为: ∴p 2<x<3, 由条件可知,{x|2<x<3}是不等式 2x2-9x+a<0 的解集的子集,即方程 2x2-9x+a=0 的两
?f?2=8-18+a≤0 ? ? 根中一根小于等于 2, 另一根大于等于 3.令 f(x)=2x2-9x+a, 则有? ?a≤9. ? ? ?f?3=18-27+a≤0

故选 C. 9.(2011· 淮阳中学月考)在等差数列{an}中,若 an>0,公差 d>0,则有 a4· a6>a3· a7,类比上述 性质,在等比数列{bn}中,若 bn>0,公比 q>1,则 b4,b5,b7,b8 的一个不等关系是( ) A.b4+b8>b5+b7 B.b4+b8<b5+b7 C.b4+b7>b5+b8 D.b4+b7<b5+b8 [答案] A

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[解析] 在等差数列{an}中,由于 4+6=3+7 时有 a4· a6>a3· a7,所以在等比数列{bn}中,由 于 4+8=5+7,所以应有 b4+b8>b5+b7 或 b4+b8<b5+b7. ∵b4=b1q3,b5=b1q4,b7=b1q6,b8=b1q7, ∴(b4+b8)-(b5+b7)=(b1q3+b1q7)-(b1q4+b1q6) =b1q6· (q-1)-b1q3(q-1)=(b1q6-b1q3)(q-1) =b1q3(q3-1)(q-1). ∵q>1,bn>0,∴b4+b8>b5+b7.故选 A. 10.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下 4 个命题中,假命题是( ) A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 [答案] B [解析] 如右图,由“等腰四棱锥”的定义知,PA=PB=PC=PD. 设 P 点在底面 ABCD 内的射影为 O,则 OA=OB=OC=OD,从而 ∠PAO=∠PBO=∠PCO=∠PDO,且四边形存在以 O 为圆心的外 接圆,故 A,C 都对;在△PAO 所在平面内作线段 PA 的中垂线交 PO 于 M.则 MP=MA, 从而 MP=MA=MB=MC=MD.故四棱锥的 顶点都在以 M 为球心的球面上. D 正确; 故 显然当四棱锥为正四棱 锥时,各侧面与底面成的角相等.当底面上四点任意排布在⊙O 的 圆周上时,B 错. 考查命题的判断与信息捕捉分析能力. 11.(文)(2011· 长春十一中月考)规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步,现程序设计师让 机器狗以“前进 3 步,然后再退 2 步”的规律移动.如果将此机器狗放在数轴原点,面向正方 向, 1 步的距离为 1 个单位长度移动, P(n)表示第 n 秒时机器狗所在的位置坐标, P(0) 以 令 且 =0,则下列结论中错误的是( ) A.P(2007)=403 B.P(2008)=404 C.P(2009)=403 D.P(2010)=404 [答案] D [解析] 显然每 5 秒前进一个单位,且 P(1)=1,P(2)=2,P(3)=3,P(4)=2,P(5)=1, ∴P(2007)=P(5× 401+2)=401+2=403, P(2008)=404,P(2009)=403,P(2010)=402,故选 D. 1 1 1 1 n (理)证明 1+ + + +…+ > (n∈N*)时,假设 n=k 时成立,当 n=k+1 时,左端增 2 3 4 2n-1 2 加的项数是( ) A.1 项 B.2k 项 C.k 项 D.k-1 项 [答案] B 1 1 1 1 [解析] 显然当 n=k 时, 左边为 1+ +…+ , 而当 n=k+1 时, 左边为 1+ +…+ 2 2 2k-1 2k-1 1 +…+ .增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k 项.故选 B. 2k+1-1

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1 12.(文)(2011· 怀化市模拟)已知命题“?x∈R,2x2+(a-1)x+ ≤0”是假命题,则实数 a 的取值 2 范围是( ) A.(-∞,-1) C.(-3,+∞) [答案] B B.(-1,3) D.(-3,1)

1 1 [解析] “?x∈R,2x2+(a-1)x+ ≤0”,即不等式 2x2+(a-1)x+ ≤0 有实数解,因为这是一 2 2 1 1 个假命题,∴2x2+(a-1)x+ >0 恒成立,∴Δ=(a-1)2-4× <0,∴-1<a<3,故选 B. 2× 2 2 (理)(2011· 河南周口调研)若函数 f(x)=-xex,则下列命题正确的是( 1 A.?a∈?-∞,e?,?x∈R,f(x)>a ? ? 1 B.?a∈? e,+∞?,?x∈R,f(x)>a ? ? 1 C.?x∈R,?a∈?-∞,e?,f(x)>a ? ? 1 D.?x∈R,?a∈?e,+∞?,f(x)>a ? ? [答案] A [解析] f ′(x)=-ex(x+1), 由于函数 f(x)在(-∞, -1)上递增, 在(-1, +∞)上递减, f(x)max 故 1 1 =f(-1)= ,故?a∈?-∞,e?,?x∈R,f(x)>a. ? ? e 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上.) 13.(文)(2011· 孝感高中期末)方程 x2 y2 + =1 表示曲线 C,给出以下命题: 4-t t-1 )

①曲线 C 不可能为圆; ②若 1<t<4,则曲线 C 为椭圆; ③若曲线 C 为双曲线,则 t<1 或 t>4; 5 ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t< . 2 其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号). [答案] ③④ 5 3 5 [解析] 显然当 t= 时,曲线为 x2+y2= ,方程表示一个圆;而当 1<t<4,且 t≠ 时,方程 2 2 2 5 表示椭圆;当 t<1 或 t>4 时,方程表示双曲线,而当 1<t< 时,4-t>t-1>0,方程表示焦点 2 在 x 轴上的椭圆,故选项为③④. (理)(2011· 江苏盱眙中学月考)若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的是__________(写出所有正确命题的编号). ①ab≤1 ② a+ b≤ 2; ③a2+b2≥2;

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1 1 ④a3+b3≥3; ⑤ + ≥2. a b [答案] ①③⑤ [解析] ∵a+b=2,∴0<ab≤? a+b? ? 2 ?2=1,∴①正确;假设 a+ b≤ 2正确,则 a+b+2 ab

≤2 正确.∴2 ab≤0 正确,但 a>0,b>0,最后一个不等式显然错误,∴②错;∵a2+b2=(a +b)2-2ab=4-2ab≥4-2× 1=2,∴③正确;当 a=1,b=1 时,满足 a+b=2,但 a3+b3≥3 1 1 a+b 2 不成立,∴④错;∵ + = = ≥2,故⑤正确. a b ab ab 14.(2011· 广东六校联合体联考)对于平面上的点集 Ω,如果连接 Ω 中任意两点的线段必定包 含于 Ω,则称 Ω 为平面上的凸集.给出平面上 4 个点集的图形如下(阴影区域及其边界):

其中为凸集的是________(写出所有凸集相应图形的序号). [答案] ②③ [解析] 如图可知,①④不满足凸集的定义.

15.(文)(2011· 山东济阳一中检测)有下列命题: ①命题“?x∈R,使得 x2+1>3x”的否定是:“?x∈R,都有 x2+1<3x”; ②设 p、q 为简单命题,若“p∨q”为假命题,则“(綈 p)∧(綈 q)为真命题”; ③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件; ④若函数 f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则 a=-1. 其中所有正确的说法序号是________. [答案] ②④ [解析] ①命题“?x∈R,使得 x2+1>3x”的否定应是“?x∈R,都有 x2+1≤3x”,故①假; ②“p∨q”为假命题,∴p、q 都是假命题,∴綈 p 与綈 q 都是真命题,从而(綈 p)∧(綈 q)为真 命题,故②真; ③a>2?/ a>5,∴③假; ④∵f(x)=f(x+1)(x+a)为偶函数,∴f(-1)=f(1),∴0=2(1+a),∴a=-1,故④真,因此 填②④. (理)(2011· 河南豫南九校联考)下列正确结论的序号是________. ①命题?x∈R,x2+x+1>0 的否定是:?x∈R,x2+x+1<0. ②命题“若 ab=0,则 a=0,或 b=0”的否命题是“若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0”. ^ ③已知线性回归方程是y=3+2x,则当自变量的值为 2 时,因变量的精确值为 7.
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1 π ④若 a,b∈[0,1],则不等式 a2+b2< 成立的概率是 . 4 4 [答案] ② [解析] ?x∈R,x2+x+1>0 的否定应为?x∈R,x2+x+1<0,故①错;对于线性回归方程 1 ^ y=3+2x,当 x=2 时,y 的估计值为 7,故③错;对于 0≤a≤1,0≤b≤1,满足 a2+b2< 的概率 4 1 1 ×π×?2?2 ? ? 4 π 为 p= = ,故④错,只有②正确. 1× 1 16 [点评] 将多个知识点融合在一起,组成一个命题组判断真假,是考查逻辑用语的重要命题 方式,顺利解答这类问题的前提是对常用逻辑用语和数学的基础知识要熟练,还要注意解答 的策略,①选择题应先从最熟悉的开始判断,②考虑问题要细致、全面,③注意特例排除法 运用,请再练习下题: (2011· 山东临沂期中)下列命题: ①命题“?x∈R,x2+x+1=0”的否定是“?x∈R,x2+x+1≠0”; ②若 A={x|x>0},B={x|x≤-1},则 A∩(?RB)=A; π ③函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是 φ=kπ+ (k∈Z); 2 ④若非零向量 a,b 满足 a=λb,b=λa(λ∈R),则 λ=1. 其中正确命题的序号有________. [答案] ②③ 16.(文)(2011· 河北安新中学月考)如果一个自然数 n,我们可以把它写成若干个连续自然数之 和,则称为自然数 n 的一个“分拆”.如 9=4+5=2+3+4,我们就说“4+5”与“2+3+4”是 9 的两个“分拆”.请写出 70 的三个“分拆”:70=________. [答案] 16+17+18+19,12+13+14+15+16,7+8+9+10+11+12+13 [解析] 若分拆成两个数的和,则应为奇数;若分拆成三个数的和,则 70 应能被 3 整除,显 然不行;若分拆成 4 个数的和,则分两组,每组和为 35,即 35=17+18=16+19;若分拆成 5 个数的和则中间一个数为 70 =14,即 12+13+14+15+16,∵70 不能被 3 整除,故也不能 5

70 分拆成 6 个数的和;若分拆成 7 个数的和,则中间一个数应为 =10,即 6+8+9+10+11 7 70 +12+13,若分拆成 10 个数的和,则中点两个数的和为 × 2=14,显然不行. 10 (理)(2011· 山东潍坊一中期末)一次研究性课堂上,老师给出函数 f(x)= 丙三位同学在研究此函数时分别给出命题: 甲:函数 f(x)的值域为(-1,1); 乙:若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2); 丙:若规定 f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),则 fn(x)= 其中正确命题有________个. [答案] 3 x x [解析] 当 x>0 时,f(x)= ∈(0,1),当 x=0 时,f(0)=0,当 x<0 时,f(x)= ∈(-1,0), 1+x 1-x x 对任意 n∈N*恒成立 1+n|x| x (x∈R),甲、乙、 1+|x|

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∴f(x)的值域为(-1,1), f(x)在(-∞, 且 +∞)上为增函数, 因此, x1≠x2 时, 一定有 f(x1)≠f(x2). x x ∵f(x)= ,f1(x)=f(x),∴f1(x)= , 1+|x| 1+|x| 又 fn(x)=f(fn-1(x)), x x 1+|x| 1+2|x| x x x ∴f2(x)=f(f1(x))=f ?1+|x|? = = ,f3(x)=f(f2(x))=f ?1+2|x|? = = |x| |x| ? ? ? ? 1+2|x| 1+ 1+ 1+|x| 1+2|x| x …… 1+3|x| x 可知对任意 n∈N*,fn(x)= 恒成立. 1+n|x| 因此甲、乙、丙三个命题都正确. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 雅安五校联考)给出下列命题: (1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0. (2)p:m<-2;q:方程 x2-x-m=0 无实根. (3)已知四边形 M,p:M 是矩形;q:M 的对角线相等. 试分别指出 p 是 q 的什么条件. [解析] (1)∵x-2=0?(x-2)(x-3)=0; 而(x-2)(x-3)=0?/ x-2=0. ∴p 是 q 的充分不必要条件. (2)∵m<-2?方程 x2-x-m=0 无实根; 方程 x2-x-m=0 无实根?/ m<-2. ∴p 是 q 的充分不必要条件. (3)∵矩形的对角线相等,∴p?q; 而对角线相等的四边形不一定是矩形. ∴q?/ p. ∴p 是 q 的充分不必要条件. (理)(2011· 华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)设命题 p:命题 f(x)=x3-ax-1 在区间[-1,1]上单调递减;命题 q:函数 y=ln(x2+ax+1)的值域是 R,如果命题 p 或 q 为真 命题,p 且 q 为假命题,求 a 的取值范围. [解析] p 为真命题?f ′(x)=3x2-a≤0 在[-1,1]上恒成立?a≥3x2 在[-1,1]上恒成立?a≥3, q 为真命题?Δ=a2-4≥0 恒成立?a≤-2 或 a≥2. 由题意 p 和 q 有且只有一个是真命题,
? ?a≥3 p 真 q 假?? ?a∈?, ? ?-2<a<2 ?a<3 ? p 假 q 真?? ?a≤-2 或 2≤a<3, ? ?a≤-2或a≥2

综上所述:a∈(-∞,-2]∪[2,3). 18.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 汤阳一中月考)已知函数 f(x)=x2-2x+5,若对任意一个实 数 x0,不等式 f(x0)-m>0 都成立,求实数 m 的取值范围.

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[解析] 不等式 f(x0)-m>0 可化为 m<f(x0),若对任意一个实数 x0 不等式 m<f(x0)都成立, 只需 m<f(x)min. 又∵f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4, ∴f(x)min=4,∴m<4. 故所求实数 m 的取值范围是(-∞,4). (理)(2010· 常德模拟)已知命题 p:?x∈[1,2],x2-a≥0.命题 q:?x0∈R,使得 x2+(a-1)x0 0 +1<0.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. [解析] 由条件知,a≤x2 对?x∈[1,2]成立,∴a≤1; ∵?x0∈R,使 x2+(a-1)x0+1<0 成立, 0 ∴不等式 x2+(a-1)x+1<0 有解,∴Δ=(a-1)2-4>0,∴a>3 或 a<-1; ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假, ∴p 与 q 一真一假. ①p 真 q 假时,-1≤a≤1; ②p 假 q 真时,a>3. ∴实数 a 的取值范围是 a>3 或-1≤a≤1. 19.(本小题满分 12 分)(文)先阅读下面结论的证明,再解决后面的问题:

(1)若 a1,a2,a3,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,试写出上述结论的推广式; (2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明. 1 [解析] (1)若 a1,a2,a3,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,求证:a2+a2+…+a2≥ . 1 2 n n (2)证明:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2 =nx2-2(a1+a2+…+an)x+a2+a2+…+a2 1 2 n =nx2-2x+a2+a2+…+a2, 1 2 n ∵对一切 x∈R 恒有 f(x)≥0. ∴Δ=4-4n(a2+a2+…+a2)≤0, 1 2 n 1 a2+a2+…+a2≥ . 1 2 n n (理)(2011· 萧山三校联考)先观察不等式(a2+a2)(b2+b2)≥(a1b1+a2b2)2 1 2 1 2 R)的证明过程: (a1、a2、b1、b2∈

设平面向量 α=(a1,b1),β=(a2,b2),则|α|= a2+b2,|β|= a2+b2,α·β=a1a2+b1b2. 1 1 2 2 ∵|α·β|≤|α|·|β|, ∴|a1a2+b1b2|≤ a2+b2· a2+b2, 1 1 2 2 ∴(a1a2+b1b2)2≤(a2+b2)(a2+b2), 1 1 2 2 再类比证明: (a2+b2+c2)(a2+b2+c2)≥(a1a2+b1b2+c1c2)2. 1 1 1 2 2 2 [分析] 把平面向量类比推广到空间向量可以证明.

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[解析] 设空间向量 α=(a1, c1), b1, β=(a2, c2), b2, 则|α|= a2+b2+c2, 1 1 1 |β|= a2+b2+c2, 2 2 2 α·β=a1a2+b1b2+c1c2, ∵|α·β|≤|α|·|β|, ∴|a1a2+b1b2+c1c2| ≤ a2+b2+c2· a2+b2+c2, 1 1 1 2 2 2 ∴(a1a2+b1b2+c1c2)2≤(a2+b2+c2)(a2+b2+c2). 1 1 1 2 2 2 20.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 山东省实验中学)已知 a>0,命题 p:函数 y=ax 在 R 上单调
?2x-2a,?x≥2a? ? 递减,q:设函数 y=? ,函数 y>1 恒成立,若 p∧q 为假,p∨q 为真,求 a 的 ? ?2a,?x<2a?

取值范围. [解析] 若 p 为真命题,则 0<a<1,若 q 为真命题,即 ymin>1, 1 又 ymin=2a,∴2a>1,∴q 为真命题时 a> , 2 又∵p∨q 为真,p∧q 为假,∴p 与 q 一真一假. 1 若 p 真 q 假,则 0<a≤ ;若 p 假 q 真,则 a≥1. 2 1 故 a 的取值范围为 0<a≤ 或 a≥1. 2 2 (理)(2011· 丰台区期末)已知函数 f(x)=1+ ,数列{an}中,a1=a,an+1=f(an)(n∈N*).当 a x 5 11 取不同的值时,得到不同的数列{an},如当 a=1 时,得到无穷数列 1,3, , …;当 a=2 3 5 时,得到常数列 2,2,2,…;当 a=-2 时,得到有穷数列-2,0. (1)若 a3=0,求 a 的值; (2)设数列{bn}满足 b1=-2,bn=f(bn+1)(n∈N*).求证:不论 a 取{bn}中的任何数,都可 以得到一个有穷数列{an}; 5 (3)如果当 n≥2 时,都有 <an<3,求 a 的取值范围. 3 2 [解析] (1)因为 a3=0,且 a3=1+ , a2 所以 a2=-2. 2 2 同理可得 a1=- ,即 a=- . 3 3 (2)证明:假设 a 为数列{bn}中的第 i(i∈N*)项,即 a1=a=bi,则 a2=f(a1)=f(bi)=bi-1; a3=f(a2)=f(bi-1)=bi-2; …… ai=f(ai-1)=f(b2)=b1=-2; 2 ai+1=f(ai)=1+ =0,即 ai+1=f(ai)=f(-2)=0. ai 故不论 a 取{bn}中的任何数,都可以得到一个有穷数列{an}. 2 5 (3)因为 a2=f(a1)=f(a)=1+ ,且 <a2<3, a 3

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所以 1<a<3. 5 5 2 11 又因为当 <an<3 时, <1+ < <3, 3 3 an 5 5 即 <an+1<3, 3 5 ∴当 1<a<3 时,有 <an<3. 3 21. (本小题满分 12 分)(文)(2011· 天津红桥质检)设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1), 若对所有的 x≥0, 都有 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范围. [解析] 令 g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,则 g′(x)=ln(x+1)+1-a, 令 g′(x)=0,解得 x=ea-1-1. (1)当 a≤1 时,对所有 x>0,g′(x)>0. 所以 g(x)在[0,+∞)上是增函数. 又 g(0)=0,所以对 x≥0,有 g(x)≥g(0), 即当 a≤1 时,对于所有 x≥0,都有 f(x)≥ax. (2)当 a>1 时,对于 0<x<ea-1-1,g′(x)<0, 所以 g(x)在(0,ea-1-1)上是减函数. 又 g(0)=0,所以对 0<x<ea-1-1,有 g(x)<g(0), 即 f(x)<ax. 所以当 a>1 时,不是对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立.综上所述 a 的取值范围是(-∞,1]. (理)(2011· 新余四中月考)已知正项数列{an}中,对于一切的 n∈N*均有 a2≤an-an+1 成立. n (1)证明:数列{an}中的任意一项都小于 1; 1 (2)探究 an 与 的大小,并证明你的结论. n [解析] (1)由 a2≤an-an+1 得 n an+1≤an-a2. n ∵在正项数列{an}中 an>0,an+1>0, ∴an-a2>0,∴0<an<1, n 故数列{an}中的任何一项都小于 1. 1 (2)解法 1:由(1)知 0<an<1= , 1 1 1 1 1 1 那么 a2≤a1-a2=-?a1-2?2+ ≤ < ,由此猜想:an< . 1 ? ? 4 4 2 n 下面用数学归纳法证明:当 n≥2,n∈N*时猜想正确. ①当 n=2 时,显然成立; 1 1 ②假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时,有 ak< ≤ 成立. k 2 1 1 1 1 1 1 1 k-1 k-1 1 那么 ak+1≤ak-a2=-?ak-2?2+ <-?k-2?2+ = - = k ? ? 4 ? ? 4 k k2 k2 <k2-1=k+1, ∴当 n=k+1 时,猜想也正确. 1 综上所述,对于一切 n∈N*,都有 an< . n 解法 2:由 a2≤an-an+1, n

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得 0<ak+1≤ak-a2=ak(1-ak), k ∵0<ak<1, ∴ ∴ 1 1 1 1 ≥ = + , ak 1-ak ak+1 ak?1-ak? 1 1 1 - ≥ >1. ak+1 ak 1-ak

令 k=1,2,3,…,n-1 得: 1 1 1 1 1 1 - >1, - >1,…, - >1, a2 a1 a3 a2 an an-1 1 1 1 ∴ > +n-1>n,∴an< . an a1 n 1 a 22.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 莲塘一中月考)设函数 f(x)= x3- x2+bx+c,其中 a>0, 3 2 曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=1. (1)确定 b,c 的值; (2)设曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2).证明:当 x1≠x2 时, f ′(x1)≠f ′(x2); (3)若过点(0,2)可作曲线 y=f(x)的三条不同切线,求 a 的取值范围. 1 a [解析] (1)由 f(x)= x3- x2+bx+c,得 f(0)=c,f ′(x)=x2-ax+b,f ′(0)=b,又由曲线 y 3 2 =f(x)在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=1,得 f(0)=1,f ′(0)=0,故 b=0,c=1. 1 a (2)f(x)= x3- x2+1,f ′(x)=x2-ax,由于点(t,f(t))处的切线方程为 y-f(t)=f ′(t)(x-t), 3 2 2 a 2 而点(0,2)在切线上,所以 2-f(t)=f ′(t)(-t),化简得 t3- t2+1=0,即 t 满足的方程为 t3- 3 2 3 a t2+1=0, 2 下面用反证法证明: 假设 f ′(x1)=f ′(x2),由于曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2),则 下列等式成立: 1 1 ?3x3-2x2+1=0 ? a ?2x3-2x2+1=0 ② 2 2 3 ? ?x2-ax1=x2-ax2 ③ 1 2 2 a ①

3 由③得 x1+x2=a,由①-②得 x2+x1x2+x2= a2④ 1 2 4 又 x2+x1· 1 x2+x2=(x1+x2)2-x1x2=a2-x1(a-x2) 2 a 3 3 =x2-ax1+a2=(x1- )2+ a2≥ a2 1 2 4 4 a a 故由④得,x1= ,此时 x2= 与 x1≠x2 矛盾, 2 2 所以 f ′(x1)≠f ′(x2).

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(3)由(2)知,过点(0,2)可作 y=f(x)的三条切线,等价于方程 2-f(t)=f ′(t)(0-t)有三个相异的 2 a 实根,即等价于方程 t3- t2+1=0 有三个相异的实根. 3 2 2 a a 设 g(t)= t3- t2+1,则 g′(t)=2t2-at=2t(t- )由于 a>0, 3 2 2 故有 t g′(t) g(t) (-∞,0) + ? 0 0 极大值 1 a (0, ) 2 - ? a 2 0 极小值 1- a3 24 a ( +∞) 2 + ?

a3 3 由 g(t)的单调性可知:要使 g(t)=0 有三个相异的实根,当且仅当 1- <0,即 a>2 3, 24 3 ∴a 的取值范围是(2 3,+∞). 1 1 (理)(2011· 山东省实验中学)函数 f(x)=lnx+ - (a 为常数,a>0). ax a (1)若函数 f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求 a 的取值范围; (2)求函数 f(x)在区间[1,2]上的最小值. [解析] f ′(x)= ax-1 (x>0). ax2

(1)由已知得 f ′(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立, 1 即 a≥ 在[1,+∞)上恒成立, x 1 又∵当 x∈[1,+∞)时, ≤1, x ∴a≥1,即 a 的取值范围为[1,+∞). (2)当 a≥1 时,∵f ′(x)>0 在(1,2)上恒成立,f(x)在[1,2]上为增函数,∴f(x)min=f(1)=0, 1 当 0<a≤ 时,∵f ′(x)<0 在(1,2)上恒成立,这时 f(x)在[1,2]上为减函数, 2 1 ∴f(x)min=f(2)=ln2- . 2a 1 1 1 当 <a<1 时,∵x∈[1, )时,f ′(x)<0;x∈( ,2]时,f ′(x)>0, 2 a a 1 1 ∴f(x)min=f?a?=-lna+1- . ? ? a 综上,f(x)在[1,2]上的最小值为 1 1 ①当 0<a≤ 时,f(x)min=ln2- ; 2 2a 1 1 ②当 <a<1 时,f(x)min=-lna+1- . 2 a ③当 a≥1 时,f(x)min=0.

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