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高中数学解三角形方法大全


解三角形
1.解三角形:一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明, 均设 ?ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 则有以下关系成立: (1)边的关系: a ? b ? c , a ? c ? b , b ? c ? a (或满足:两条较短的边长之和大于较长边) (2)角的关系: A ? B ? C ? ? , 0 ? A、B、C ? ? , 0 ? A ? B ? ? , ? ? ? A ? B ? ? ,

sin A ? 0 , sin(A ? B) ? sin C , cos(A ? B) ? ? cosC , sin
(3)边角关系:正弦定理、余弦定理以及它们的变形

A? B C ? cos 2 2

板块一:正弦定理及其应用
1.正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R ,其中 R 为 ?ABC 的外接圆半径 sin A sin B sin C

2.正弦定理适用于两类解三角形问题: (1)已知三角形的任意两角和一边,先求第三个角,再根据正弦定理求出另外两边; (2)已知三角形的两边与其中一边所对的角,先求另一边所对的角(注意此角有两解、一解、无解 的可能) ,再计算第三角,最后根据正弦定理求出第三边 【例 1】考查正弦定理的应用 (1) ?A B C中,若 B ? 60 , t a n ? A
?

2 , BC ? 2 ,则 AC ? _____; 4

(2) ?A B C中,若 A ? 30 , b ?
?

2 , a ? 1 ,则 C ? ____;

? (3) ?A B C中,若 A ? 45 , b ? 4 2 , a ? 8 ,则 C ? ____;

(4) ?A B C中,若 a ? c s i nA ,则

a?b 的最大值为_____。 c

1

总结:若已知三角形的两边和其中一边所对的角,解这类三角形时,要注意有两解、一解和无解的可能 如图,在 ?ABC 中,已知 a 、 b 、 A

(1)若 A 为钝角或直角,则当 a ? b 时, ?ABC 有唯一解;否则无解。 (2)若 A 为锐角,则当 a ? b sin A 时,三角形无解; 当 a ? b sin A 时,三角形有唯一解; 当 b sin A ? a ? b 时,三角形有两解; 当 a ? b 时,三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时,我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。

板块二:余弦定理及面积公式
1.余弦定理:在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,则有

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 2 2 余弦定理: ?b ? a ? c ? 2ac cos B ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ?

? b2 ? c2 ? a2 cos A ? ? 2bc ? 2 ? a ? c2 ? b2 , 其变式为: ?cos B ? 2ac ? 2 ? a ? b2 ? c2 ?cosC ? 2ab ?

2.余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题: (1)已知三角形的两边及其夹角,先由余弦定理求出第三边,再由正弦定理求较短边所对的角(或 由余弦定理求第二个角) ,最后根据“内角和定理”求得第三个角;

2

(2)已知三角形的三条边,先由余弦定理求出一个角,再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦 定理求第二个角) ,最后根据“内角和定理”求得第三个角; 说明:为了减少运算量,能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3.三角形的面积公式 (1) S ?ABC ? (2) S ?ABC (3) S ?ABC (4) S ?ABC (5) S ?ABC (6) S ?ABC

1 1 1 aha ? bhb ? ch c ( ha 、 hb 、 hc 分别表示 a 、 b 、 c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 2 ? 2R sin A sin B sin C ( R 为外接圆半径) abc ? ; 4R 1 其中 p ? (a ? b ? c) ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) 2 1 ? r ? l ( r 是内切圆的半径, l 是三角形的周长) 2
?

【例】考查余弦定理的基本应用 (1)在 ?ABC 中,若 a ? 2 3 , b ? 6 ? 2 , C ? 45 ,求 c、A、B ; (2)在 ?ABC 中,若 a ? 13 , b ? 4 , c ? 3 ,求边 AC 上的高 h ;
? (3)在 ?ABC 中,若 a ? 2 13 , b ? 8 , A ? 60 ,求 c

【例】 (1)在 ?ABC 中,若 a ? 7 , b ? 8 , cos C ?

13 ,则 ?ABC 中最大角的余弦值为________ 14 1 1 1 (2) (10 上海理)某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 、 、 ,则( ) 13 11 5
A.不能作出这样的三角形 C.作出一个直角三角形 B.作出一个锐角三角形 D.作出一个钝角三角形

4 (3)以 3、 、x 为三边组成一个锐角三角形,则 x 的取值范围为__________

【例】考查正余弦定理的灵活使用 (1)在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ? c sin C ,其面积 S ?

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ) ,则 B ? _____ 4

(2)在 ?ABC 中,若 ( 3b ? c) cos A ? a cosC ,则 cos A ? _____ (3) (07 天津理)在 ?ABC 中,若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,则 A ? _____
2 2

3

(4) (10 江苏)在锐角 ?ABC 中,若

b a tan C tan C ? ? 6 cos C ,则 ? ? _________ a b tan A tan B

【例】判断满足下列条件的三角形形状
2 2 (1) a tan B ? b tan A ; (2) sin C ? 2 cos A sin B ;

(3) cos A ? cos B ?

a?b ; c

(4) (a 2 ? b 2 ) sin( A ? B) ? (a 2 ? b 2 ) sin( A ? B) ;

(5) b ? a sin C , c ? a cos B

板块三:解三角形综合问题
【例】 (09 全国 2) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c , cos( A ? C ) ? cos B ?

3 2 , b ? ac ,求 B 2

【例】 (11 西城一模)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 cos B ? (1)当 a ?

4 ,b ? 2 5

5 时,求角 A 的度数; 3

(2)求 ?ABC 面积的最大值

4

【例】在 ?ABC 中, sin A ? cos A ?

2 , AC ? 2 , AB ? 3 ,求 sin A 的值和 ?ABC 的面积 2

【例】在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 c ? 2 , C ? (1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a、 b ; (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积

?
3

【例 5】 (09 江西理)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 tan C ?

sin A ? sin B , cos A ? cos B

sin( B ? A) ? cos C
(1)求 A、C (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a、c

【例】 (09 安徽理)在 ?ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sin B ? (1)求 sin A 的值;

1 3

(2)设 AC ? 6 ,求 ?ABC 的面积

【例】 (10 辽宁理)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 且 2a sin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C (1)求 A 的大小; (2)求 sin B ? sin C 的最大值

【例】在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , S ?ABC ? , (1)求 C 的大小; (2)求 sin Asin B 的范围

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 4

5

【例】 (11 全国 2)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 A ? C ? 90 ,
?

a ? c ? 2b ,求 C
C 2

【江西理】在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,已知 sin C ? cos C ? 1 ? sin (1)求 sin C 的值; (2)若 a 2 ? b 2 ? 4(a ? b) ? 8 ,求边 c 的值

【11 江西文】在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,已知 3a cos A ? c cos B ? b cos C (1)求 cos A 的值; (2)若 cos B ? cosC ?

2 3 , a ? 1 ,求边 c 的值 3

6



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