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平行与垂直的向量法证明


§ 3.2

立体几何中的向量方法 (一) —— 平行与垂直关系的向量证法

知识点一 求平面的法向量 已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 α 的一个 法向量. 解 ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),

??? ? → AB =(1,-2,-4),AC=(1,-2,-4),
设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z).

??? ? → 依题意,应有 n· AB = 0, n·?AC = 0.?
? ? ?x-2y-4z=0 ?x=2y 即? ,解得? .令 y=1,则 x=2. ?2x-4y-3z=0 ?z=0 ? ?

∴平面 α 的一个法向量为 n=(2,1,0).

【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量,关键是在平面内找两个不共 线向量,列出方程组,取其中一组解(非零向量)即可. ??? ? 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,DC 的中点,求证:? AE ?
是平面 A1D1F 的法向量.? 证明 设正方体的棱长为 1,建立如图所示的空间直角坐标系,则? AE 是平面 A1D1F 的 法向量. 证明

??? ?

设正方体的棱长为 1,建立如图所示的空间直角坐标系,则 1? A(1,0,0),E? ?1,1,2?,

??? ? 1? AE =? ?0,1,2?. .D1=(0,0,1),

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1 ? F? ?0,2,0?,A1(1,0,1).

???? ? 1 ? → D1F =? ?0,2,-1?,A1D1=(-1,0,0).
??? ? ???? ? 1 ? 1 1 1 0,1, ?· 0, ,-1?= - =0, ∵ AE · D1F =? 2? ? 2 ? ? 2 2

??? ? → ??? ? → A1D1=0,∴ AE ⊥A1D1.又 A1D1∩D1F=D1, AE ·
∴AE⊥平面 A1D1F,∴ AE 是平面 A1D1F 的法向量. 知识点二 利用向量方法证平行关系 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥平面 ODC1. 证明 方法一 ∵? B1C =? A1D , ∴ B ? A1D ∴B1C∥A1D,又 A1D ? ? 面 ODC1, ∴B ? 1C∥面 ODC1.? 方法二 ∵? B1C =? B1C 1 +? B1B ? =? B1O +? OC 1 +? D1O +? OD =? OC 1 +? OD .? ∴? B1C ,? OC 1 ,? OD 共面.? 又 B1C ? ?面 ODC1,∴B1C∥面 ODC1.? 方法三

??? ?

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???? ? ????

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建系如图,设正方体的棱长为 1,则可得 B1(1,1,1),C(0,1,0), 1 1 ? O? ?2,2,1?,C1(0,1,1),

???? ? B1C =(-1,0,-1),
???? 1 1 ? OD =? ?-2,-2,-1?, ???? ? 1 1 ? OC1 =? ?-2,2,0?.
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设平面 ODC1 的法向量为 n=(x0,y0,z0),

???? ? ?n ? OD ? 0, 则? ???? ? ? ?n ? OC1 ? 0,

?-2x -2y -z =0 得? 1 1 ?-2x +2y =0 ②
0 0 0 0 0

1

1



令 x0=1,得 y0=1,z0=-1,∴n=(1,1,-1). 又 B1C · n=-1×1+0×1+(-1)×(-1)=0, ∴ B1C ⊥n,∴B1C∥平面 ODC1.

???? ?

???? ?

【反思感悟】 证明线面平行问题,可以有三个途径,一是在平面 ODC1 内找 ???? ? ???? ? 一向量与 B1C 共线;二是说明 B1C 能利用平面 ODC1 内的两不共线向量线性表示,

???? ? 三是证明 B1C 与平面的法向量垂直.

如图所示, 矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直, BE∥CF, ∠BCF=∠CEF=90° , AD= 3,EF=2. 求证:AE∥平面 DCF. 证明 如图所示,以点 C 为坐标原点,以 CB、CF 和 CD 所在直线分别作为 x 轴、y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 C—xyz.

设 AB=a,BE=b,CF=c, 则 C(0,0,0),A( 3,0,a), B( 3,0,0),E( 3,b,0),F(0,c,0).

??? ? → AE=(0,b,-a), CB =( 3,0,0),
??? ? BE =(0,b,0),

??? ? ??? ? ??? ? → 所以? CB ·?AE = 0,? CB ·? BE = 0,从而 CB⊥AE,CB⊥BE.?
所以 CB⊥平面 ABE.因为 CB⊥平面 DCF, 所以平面 ABE∥平面 DCF.故 AE∥平面 DCF.
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知识点三 利用向量方法证明垂直关系 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 的中点,试在棱 BB1 上找一点 M,使得 D1M⊥平面 EFB1. 解

建立空间直角坐标系 D—xyz,设正方体的棱长为 2,则 E(2,1,0),F(1,2,0),D1(0,0,2), B1(2,2,2).

??? ? → 设 M(2,2,m) ,则? EF =( ? 1,1,0) ,?B1E=(0, ? 1, ? 2) ,?
? D1M =(2,2,m ? 2).? ∵ D1M ⊥平面 EFB1,? ∴ D1M ⊥EF, D1M ⊥B1E,?

????? ?

????? ? ??? ? ????? ? → ∴? D1M ·? EF = 0 且? D1M ·?B1E = 0,?
于是 ?

?-2+2=0, ?-2-2(m-2)=0,

∴m=1, 故取 B1B 的中点为 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1.

【反思感悟】 证明直线与平面垂直有两种方法:(1)用直线与平面垂直的判 定定理;(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行.
在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,B1C⊥A1B. 求证:AC1⊥A1B.

证明 建立空间直角坐标系 C1—xyz, 设 AB=a,CC1=b. 则 A1? 3 a ? 3 1 ,B(0,a,b),B1(0,a,0),C(0,0,b),A? a, a,b?, 2 ? 2 a,2,0? ?2 ?

C1(0,0,0).

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于是? A1B =?

???? ?

? 3 1 ? ???? ,? a, a,b ? B1C =(0, ? a,b) 2 ?2 ?

???? ? 3 a AC1 =?- 2 a,-2,-b?. ? ? ???? ? ???? ? a2 ∵B1C⊥A1B,∴ B1C ·A1B = - +b2=0, 2 ???? ? ???? ? 3 2 1 2 2 a2 2 而 A1C ·A1B = a - a -b = -b =0 4 4 2
∴ A1C ⊥ A1B 即 AC1⊥A1B. 课堂小结: 1.用待定系数法求平面法向量的步骤: (1)建立适当的坐标系. (2)设平面的法向量为 n=(x,y,z). (3)求出平面内两个不共线向量的坐标 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
?a· n=0 ? (4)根据法向量定义建立方程组? . ?b· n =0 ?

???? ?

???? ?

(5)解方程组,取其中一解,即得平面的法向量. 2.平行关系的常用证法

??? ? → AB =λCD.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直,然后说明直
线在平面外,证面面平行可转化证两面的法向量平行. 3.垂直关系的常用证法 要证线线垂直,可以转化为对应的向量垂直. 要证线面垂直,可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直. 要证面面垂直,可以转化为证明两个平面的法向量垂直.

一、选择题 1. 已知 A(3,5,2) ,B(-1,2,1) ,把 AB 按向量 a=(2,1,1)平移后所得的向量是( A.(-4,-3,0) C.(-2,-1,0) 答案 B B.(-4,-3,-1) D.(-2,-2,0)

??? ?

)

??? ? AB =(-4,-3,-1).平移后向量的模和方向是不改变的.
2.平面 α 的一个法向量为(1,2,0),平面 β 的一个法向量为(2,-1,0),则平面 α 与平面 β 的位置关系是( ) A.平行 B.相交但不垂直
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C.垂直 D.不能确定 答案 C 解析 ∵(1,2,0)· (2,-1,0)=0, ∴两法向量垂直,从而两平面也垂直. 3. 从点 A(2, -1,7)沿向量 a=(8,9, -12)的方向取线段长 AB=34, 则 B 点的坐标为( A.(-9,-7,7) B.(18,17,-17) C.(9,7,-7) D.(-14,-19,31) 答案 B 解析 ,设 B(x,y,z) ,? AB =(x ? 2,y+1,z ? 7)? =λ (8,9, ? 12) ,λ >0. 故 x ? 2=8λ ,y+1=9λ ,z ? 7= ? 12λ ,? 又(x ? 22+(y+12+(z ? 72 = 342,? 得(17λ )2 = 342,∵λ >0,∴λ =2.? ∴x = 18,y = 17,z = ? 17,? 即 B(18,17, ? 17). 4.已知 a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线 l1、l2 的方向向量,若 l1∥l2,则( A.x=6,y=15 C.x=3,y=15 答案 D 解析 ∵l1∥l2,∴a∥b, 2 4 5 则有 = = , 3 x y 解方程得 x=6,y= 15 . 2 B.x=3,y= D.x=6,y= 15 2 15 2

)

??? ?

)

5.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 u=(-2,0,-4),则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.l 与 α 斜交 答案 B 解析 ∵u=-2a, ∴a∥u,∴l⊥α. 二、填空题 6.已知 A(1,1,-1),B(2,3,1),则直线 AB 的模为 1 的方向向量是________________. 1 2 2? ? 1 2 2 , , 或 - ,- ,- ? 答案 ? 3 3? ?3 3 3? ? 3 解析,? AB =(1,2,2) ,| AB | = 3 .?

??? ?

??? ?

??? ? AB ? , 模为 1 的方向向量是± ??? | AB |
7.已知平面 α 经过点 O(0,0,0),且 e=(1,1,1)是 α 的法向量,M(x,y,z)是平面 α 内任意
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一点,则 x,y,z 满足的关系式是________________. 答案 x+y+z=0 解析 OM ·e=(x,y,z) · (1,1,1)= x+y+z = 0. 8.若直线 a 和 b 是两条异面直线,它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2,-3,-2),则直 线 a 和 b 的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________. 答案 (1,4,-5)(答案不唯一) 解析 设直线 a 和 b 的公垂线的一个方向向量为 n=(x,y,z),a 与 b 的方向向量分别为
? ? n1=0, ?n· ?x+y+z=0, n1,n2,由题意得? 即:? ?n· ?2x-3y-2z=0. n2=0, ? ?

???? ?

解之得:y=4x,z=-5x,令 x=1, 则有 n=(1,4,-5). 三、解答题 9.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB1、DD1 的中点,求证: (1)FC1∥平面 ADE; (2)平面 ADE∥平面 B1C1F.

证明 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz, 则有 D(0,0,0)、A(2,0,0), C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1), F(0,0,1),B1(2,2,2), 所以? FC 1 =(0,2,1) ,? ? DA =(2,0,0) ,? AE =(0,2,1).? (1)设 n1=(x1 , y1 , z1)是平面 ADE 的法向量,? 则 n1 ⊥ DA ?, n1⊥ AE ?,

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??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ? DA ? 2 x1, ? x1 ? 0, ?n1· 即 ? ??? ?得? ? ? AE ? 2 y1 ? z1, ? z1 ? ?2 y1, ? ?n1·
令 z1=2,则 y1=-1, 所以 n1=(0,-1,2). → → 因为 FC1· n1=-2+2=0,所以FC1⊥n1. 又因为 FC1?平面 ADE,所以 FC1∥平面 ADE. (2)∵? C 1B1 =(2,0,0) ,?
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设 n2 = (x2 , y2 , z 2)是平面 B1C1F 的一个法向量.?

????? → 由 n2⊥?FC1,n2⊥ C 1B1 ,得?
???? ? ? FC1 ? 2 y 2 ? z 2 ? 0, ?n 2· 得 ? ????? n 2 · C 1 B 1 ? 2 x 2 ? 0, ? ?
得?

? x 2 ? 0, ? z 2 ? ?2 y 2,

令 z2=2 得 y2=-1,所以 n2=(0,-1,2),因为 n1=n2,所以平面 ADE∥平面 B1C1F. 10.

如图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A′B′C′D′中,AP=BQ=b (0<b<1),截面 PQEF∥A′D,截面 PQGH∥AD′. (1)证明:平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直; (2)证明:截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值,并求出这个值; 1 (3)若 b= ,求 D′E 与平面 PQEF 所成角的正弦值. 2 解 以 D 为原点,射线 DA、DC、DD′分别为 x、y、z 轴的正半轴建立如图(2)所示的空 间直角坐标系 D—xyz,由已知得 DF=1-b,故 A(1,0,0),A′(1,0,1),D(0,0,0), D′(0,0,1),P(1,0,b),Q(1,1,b),E(1-b,1,0),F(1-b,0,0),G(b,1,1),H(b,0,1).

(1),证明 在所建立的坐标系中,可得? PQ = (0,1,0),? ? PF = ( ? b , 0, ? b),? PH = (b ? 1,0,1 ? b),? ? AD ' = ( ? 1,0,1),? AD = ( ? 1,0, ? 1),? 因为? AD ' · PQ = 0,? AD ' · PF ?= 0,?

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所以? AD ' 是平面 PQEF 的法向量. 因为? AD ' ·? PQ = 0,? AD ' · PH =0,? 所以? AD ' 是平面 PQGH 的法向量.? 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直.? (2)证明,因为 EF = (0, ? 1,0),? 所以? EF ∥ PQ , | EF | = | PQ |,? 又 PF ⊥ PQ ,所以四边形 PQEF 为矩形,? 同理四边形 PQGH 为矩形.? 在所建立的坐标系中可求得| PH | = 2 (1-b), 又| PQ | = 1,? 所以截面 PQEF 和截面 PQGH 的面积之和为 2 ,是定值.? (3)解 由(1)知 AD ' =(-1,0,1)是平面 PQEF 的法向量.

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| PF | =

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???? ??? ? 2 b,?所以| PH | + | PF | = 2 ,

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由 P 为 AA′的中点可知,Q、E、F 分别为 BB′、BC、AD 的中点. ????? 1 1 ,1,-1?,因此 D′E 与平面 PQEF 所成角的正弦值等 所以 E( ,1,0,) , D ' E =? 2 ? ? 2 2 → ????? 于|cos〈AD′, D ' E > = . 2

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