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2015新课标全国卷Ⅰ(文数)


2015 新课标全国卷Ⅰ
为( D ) (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 解析:由已知得 A={2,5,8,11,14,17,…}, 又 B={6,8,10,12,14},所以 A∩B={8,14}.故选 D.

(文数)

一、选择题 1.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 1)已知集合 A={x|x=3n+2,n∈N},

B={6,8,10,12,14},则集合 A∩B 中元素的个数

2.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 2)已知点 A(0,1),B(3,2),向量

=(-4,-3),则向量

等于(

A

)

(A)(-7,-4) (B)(7,4)

(C)(-1,4) (D)(1,4)

解析:根据题意得

=(3,1),

所以

=

-

=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).

故选 A. 3.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 3)已知复数 z 满足(z-1)i=1+i,则 z 等于( (A)-2-i (B)-2+i (C)2-i (D)2+i C )

解析:因为(z-1)i=1+i,所以 z=

+1=2-i,选 C.

4.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 4)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一 组勾股数.从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( C )

(A) (B)

(C)

(D)

解析:从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,有{1,2,3}、 {1,2,4}、 {1,2,5}、 {1,3,4}、 {1,3,5}、 {1,4,5}、 {2,3,4}、 {2,3,5}、

{2,4,5}、{3,4,5}共 10 个基本事件,其中这 3 个数能构成一组勾股数的只有{3,4,5},所以所求概率为

,选 C.

5.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 5)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C:y2=8x 的

焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|等于(

B )

(A)3 (B)6 (C)9 (D)12

解析:因为抛物线 C:y2=8x 的焦点坐标为(2,0),准线 l 的方程为 x=-2①,设椭圆 E 的方程为 + =1(a>b>0),

所以椭圆 E 的半焦距 c=2,又椭圆 E 的离心率为 ,所以 a=4,b=2

,椭圆 E 的方程为

+ =1②,联立①②,

解得 A(-2,3),B(-2,-3)或 A(-2,-3),B(-2,3),所以|AB|=6,选 B. 6.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有 委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的 四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积 约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有( B )

(A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛 解析:设圆锥底面半径为 r, 因为米堆底部弧长为 8 尺,

所以 r=8,r= ≈

(尺),

所以米堆的体积为

V= × ×π×

2×5 ≈

(立方尺),

又 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,

所以该米堆有

÷1.62≈22(斛),选 B.

7.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 7)已知{an}是公差为 1 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和.若 S8=4S4,则 a10 等 于( B )

(A) (B)

(C)10

(D)12

解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由题设知 d=1,S8=4S4,

所以 8a1+28=4(4a1+6),解得 a1= ,

所以 a10= +9= ,选 B.

8.

(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 8)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为(

D )

(A) kπ- ,kπ+ ,k∈Z

(B) 2kπ- ,2kπ+ ,k∈Z

(C) k- ,k+ ,k∈Z

(D) 2k- ,2k+ ,k∈Z

解析:由题图知,函数 f(x)的最小正周期 T= - ×2=2,所以ω=π,又 ,0 可以看作是余弦函数与平衡位置的第

一交点,

所以 cos +φ =0, +φ= ,

解得φ= ,

所以 f(x)=cos πx+ .

所以由 2kπ<πx+ <2kπ+π,k∈Z,

解得 2k- <x<2k+ ,k∈Z,

所以函数 f(x)的单调递减区间为 2k- ,2k+ ,k∈Z,选 D.

9.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 9)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n 等于(

C )

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

解析:执行程序框图,输入 t=0.01,S=1,n=0,m= ;

S= ,m= ,n=1,S= >0.01;

S= ,m= ,n=2,S= >0.01;

S= ,m=

,n=3,S= >0.01;

S=

,m=

,n=4,S= >0.01;

S=

,m=

,n=5,S= >0.01;

S=

,m=

,n=6,S= >0.01;

S=

,m=

,n=7,S=

<0.01,

输出 n=7,选 C.

10.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 10)已知函数 f(x)=

且 f(a)=-3,则 f(6-a)等于(

A )

(A)- (B)- (C)- (D)-

解析:因为 f(x)=

f(a)=-3,

所以



解得 a=7,

所以 f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=- ,故选 A.

11.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何 体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π,则 r 等于( B )

(A)1 (B)2 (C)4 (D)8 解析:由已知可知,该几何体的直观图如图所示,其表面积为 2πr2+πr2+4r2+2πr2=5πr2+4r2.由 5π r2+4r2=16+20π,得 r=2.

12.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 12)设函数 y=f(x)的图象与 y=2x+a 的图象关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1, 则 a 等于( C )

(A)-1 (B)1 (C)2 (D)4 解析:设(x,y)是函数 y=f(x)图象上任意一点,它关于直线 y=-x 的对称点为(-y,-x),由 y=f(x)的图象与 y=2x+a 的图 象关于直线 y=-x 对称,可知(-y,-x)在 y=2x+a 的图象上,即-x=2-y+a,解得 y=-log2(-x)+a,所以 f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1,解得 a=2,故选 C. 二、填空题 13.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和.若 Sn=126,则 n= . 解析:因为在数列{an}中,a1=2,an+1=2an, 所以数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 因为 Sn=126,

所以

=126,

解得 2n+1=128,所以 n=6. 答案:6 14.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 14)已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则 a= . 解析:因为 f(x)=ax3+x+1, 所以 f'(x)=3ax2+1, 所以 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 k=3a+1, 又 f(1)=a+2, 所以切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1),

因为点(2,7)在切线上, 所以 7-(a+2)=3a+1,解得 a=1. 答案:1

15.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 15)若 x,y 满足约束条件

则 z=3x+y 的最大值为

.

解析:作出不等式组所表示的可行域(如图中阴影部分所示),作直线 l0:3x+y=0,平移直线 l0, 当直线 3x+y=z 过点(1,1)时, zmax=3+1=4. 答案:4

16.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 16)已知 F 是双曲线 C:x2- =1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6

).

当△APF 周长最小时,该三角形的面积为

.

解析:依题意,双曲线 C:x2- =1 的右焦点为 F(3,0),实半轴长 a=1,左焦点为 M(-3,0),因为 P 在 C 的左支上,所

以△APF 的周长 l=|AP|+|PF|+|AF|=|AF|+|AP|+|PM|+2a≥|AF|+|AM|+2a=15+15+2=32,当且仅当 A,P,M 三点

共线且 P 在 A,M 中间时取等号,此时直线 AM 的方程为 +

=1,与双曲线的方程联立得 P 的坐标为(-2,2

),

此时,△APF 的面积为 ×6×6

- ×6×2

=12

.

答案:12 三、解答题 17.(本小题满分 12 分) (2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 17)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sin Asin C. (1)若 a=b,求 cos B; (2)设 B=90°,且 a= ,求△ABC 的面积.

解:(1)由题设及正弦定理可得 b2=2ac. 又 a=b,可得 b=2c,a=2c.

由余弦定理可得 cos B=

= .

(2)由(1)知 b2=2ac. 因为 B=90°,由勾股定理得 a2+c2=b2. 故 a2+c2=2ac,得 c=a= 所以△ABC 的面积为 1. 18.(本小题满分 12 分) (2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 18)如图,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD. (1)证明:平面 AEC⊥平面 BED; .

(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥 E ACD 的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.

(1)证明:因为四边形 ABCD 为菱形, 所以 AC⊥BD. 因为 BE⊥平面 ABCD, 所以 AC⊥BE. 故 AC⊥平面 BED. 又 AC?平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 BED. (2)解:设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由∠ABC=120°,可得

AG=GC=

x,GB=GD= .

因为 AE⊥EC,

所以在 Rt△AEC 中,可得 EG=

x.

由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形,可得 BE= x.

由已知得,三棱锥 E ACD 的体积

= × AC×GD×BE=

x 3= .

故 x=2. 从而可得 AE=EC=ED= . .

所以△EAC 的面积为 3,△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 故三棱锥 E ACD 的侧面积为 3+2 19.(本小题满分 12 分) .

(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千 元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响.对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,…,8)数据 作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

(xi- )2

(wi-

)2

(xi- )(yi- )

(wi-

)(yi- )

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中 wi=

, =

wi.

(1)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d 判断即可,不必说明理由)

哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出

(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?

附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线 v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为

=

, = -

.

解:(1)由散点图可以判断,y=c+d (2)令 w=

适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型.

,先建立 y 关于 w 的线性回归方程.

由于 =

=

=68.

= -

=563-68×6.8=100.6,

所以 y 关于 w 的线性回归方程为 =100.6+68w,

因此 y 关于 x 的回归方程为 =100.6+68

.

(3)①由(2)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值

=100.6+68

=576.6,

年利润 z 的预报值

=576.6×0.2-49=66.32. ②根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值

=0.2(100.6+68

)-x=-x+13.6

+20.12.

所以当

=

=6.8,

即 x=46.24 时, 取得最大值. 故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.

20.(本小题满分 12 分) (2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 20)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围;

(2)若

·

=12,其中 O 为坐标原点,求|MN|.

解:(1)由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1. 因为直线 l 与圆 C 交于两点,

所以

<1.

解得

<k<

.

所以 k 的取值范围为

,

.

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2). 将 y=kx+1 代入圆 C 的方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,

所以 x1+x2=

,x1x2=

.

·

=x1x2+y1y2

=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1

=

+8.

由题设可得

+8=12,

解得 k=1,所以 l 的方程为 y=x+1. 故圆 C 的圆心(2,3)在 l 上,所以|MN|=2. 21.(本小题满分 12 分) (2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 21)设函数 f(x)=e2x-aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f'(x)零点的个数;

(2)证明:当 a>0 时,f(x)≥2a+aln .

(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),

f'(x)=2e2x- (x>0).

当 a≤0 时,f'(x)>0,f'(x)没有零点;

当 a>0 时,因为 y=e2x 单调递增,y=- 单调递增,所以 f'(x)在(0,+∞)上单调递增,又 f'(a)>0,当 b 满足 0<b< 且 b<

时,f'(b)<0,故当 a>0 时,f'(x)存在唯一零点. (2)证明:由(1),可设 f'(x)在(0,+∞)上的唯一零点为 x0,当 x∈(0,x0)时,f'(x)<0;当 x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0. 故 f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当 x=x0 时,f(x)取得最小值,最小值为 f(x0).

由于 2

- =0,

所以 f(x0)=

+2ax0+aln

≥2a+aln

.

故当 a>0 时,f(x)≥2a+aln

.

22.(本小题满分 10 分)选修 4 1:几何证明选讲

(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 22)如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,BC 交☉O 于点 E. (1)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是☉O 的切线; (2)若 OA= CE,求∠ACB 的大小.

(1)证明:如图,连接 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.

在 Rt△AEC 中,由已知得,DE=DC, 故∠DEC=∠DCE. 连接 OE, 则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°, 所以∠DEC+∠OEB=90°, 故∠OED=90°,DE 是☉O 的切线.

(2)解:设 CE=1,AE=x,由已知得 AB=2

,BE=

.

由射影定理可得,AE2=CE·BE,

所以 x2=

,

即 x4+x2-12=0. 可得 x= ,所以∠ACB=60°.

23.(本小题满分 10 分)选修 4 4:坐标系与参数方程 (2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 23)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程;

(2)若直线 C3 的极坐标方程为θ= (ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面积.

解:(1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ, 所以 C1 的极坐标方程为ρcos θ=-2, C2 的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.

(2)将θ= 代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,

得ρ2-3

ρ+4=0,

解得ρ1=2 故ρ1-ρ2= 即|MN|= , .

,ρ2 =

.

由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为 .

24.(本小题满分 10 分)选修 4 5:不等式选讲 (2015 高考新课标全国卷Ⅰ,文 24)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解; 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,

解得 <x<1;


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