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广东省河源市2013届高三质量检测数学理科卷四


广东省河源市 2013 届高三质量检测数学理科卷 4
第Ⅰ卷 (选择题, 共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 题,每小题 5 分,共 40 分. 在每题列出的四个选项中,只有一项是最符合题 目要求的) 1. 已知复数 z ? i (1+ i) (i为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上所对应的点位于 ( 限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 ) )A.

第一象

2. 等差数列 ?an ? 中,若 a2 ? a8 ? 15 ? a5 ,则 a5 等于( A.3 B.4 C.5 D.6

? ? ? ? ? 3. 已知向量 a ? (cos ? , ?2), b ? (sin ? ,1), 且a / / b,则 tan(? ? ) 等于 ( 4 1 1 C. D. ? 3 3
4. 直线 l : ax ? y ? 2 ? a ? 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是( C. ?2 或 ?1 D. ?2 或 1

) 3 A.

B. ? 3

)A.1

B. ?1

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 5. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 7 ? 0 ,则 的最大值为( x ?x ? 1 ?
A.
a



9 5
b

B. 3

C. 4

D. 6 ) B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6. “ 2 ? 2 ”是 “ log 2 a ? log 2 b ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 7. 若一个底面边长为

6 ,棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上,则此球的体积为 2
B. 32 3π C. 9 2π D. 4 3π

A. 72 2π

8. 设 S 是至少含有两个元素的集合. 在 S 上定义了一个二元运算“*” (即对任意的 a,b∈S,对于有 序元素对(a,b),在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应). 若对于任意的 a,b∈S,有 a*( b * a)=b, 则对任意的 a,b∈S,下列等式中不能成立的是( ) .. B . [ a*( b * a)] * ( a*b)=a D. ( a*b) * [ b*( a * b)] =b 第Ⅱ卷 (非选择题, 共 110 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分)
·1·

A. ( a * b) * a =a C. b*( b * b)=b

开始

k ?1
(一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. ( x ? ) 的展开式中的常数项为
2 3

2 x



S ?0


10. 如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? _________ 11. 若 直 线 l : a x ?

b ? 1 ? 0 ( a 0 , b 始0终 平 分 圆 M : y ? ? )
.

k ≤ 50?

1 4 x2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 1 ? 0 的周长,则 ? 的最小值为 a b

? 是
S ? S ? 2k

输出 S 结束

12. 如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲线 y ? x2 和 曲线 y ? ,向正方形 AOBC 内随机 x 围成一个叶形图(阴影部分)

k ? k ?1

投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的) ,则所投的 点落在叶形图内部的概率是___________

13. 某班有 50 名学生,一次考试的成绩 ? (? ? N ) 服从正态分布 估计该班数学成绩在 110 N (100,102 ) . 已知 P(90 ? ? ? 100) ? 0.3 , 第 12 题图

分以上的人数为______________. (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做其中的一题,两题全答的,只计算前一题的得 分. 14.(几何证明选讲选做题)如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC ,已知 C

AD ? 2 3 , AC ? 6 ,圆 O 的半径为 3 ,则圆心 O 到 AC 的距离为


B O

15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若过点 A(3,0) 且与极轴垂直的直线
A D

交曲线 ? ? 4 cos? 于 A、B 两点,则 | AB |? ______

_.

三、解答题(本大题共 6 小题, 共 80 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分12分)已知向量 m ? (sin A,cos A) , n ? ( 3, ?1) ,且 m ? n ? 1 ,A为锐角. (Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域.

??

?

?? ?

17. (本小题满分12分) 在一个圆锥体的培养房内培养了 40 只蜜蜂,准备进行某种实验,过圆锥高的中点有一个不计厚
·2·

度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区,其中小锥体叫第一实验区,圆台体叫第二实 验区,且两个实验区是互通的. 假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的,且蜜蜂落入哪个位置 相互之间是不受影响的. (1)求蜜蜂落入第二实验区的概率; (2)若其中有 10 只蜜蜂被染上了红色,求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率; (3)记 X 为落入第一实验区的蜜蜂数,求随机变量 X 的数学期望.

18. (本小题满分 14 分)在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是一直 角 梯 形 , , ?BAD ? 90? , AD // BC, AB ? BC ? a

AD ? 2a, PA ? 底面ABCD, PD 与 底 面 成 30? 角 . ( 1 ) 若 AE ? PD, E 为垂足,求证: BE ? PD ; (2)在(1)的条件下, 求异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值; (3)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的正切值.

19. (本小题满分14分) 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A 、B 两点,M a 2 b2
1 x 上, (1)求椭圆的离心率; (2)若椭 2

是线段 AB 上的一点, AM ? ? BM ,且点M在直线 l : y ?
2 2

???? ?

???? ?

圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x ? y ? 1上,求椭圆的方程. 20. (本小题满分14分)已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ? 1) ? 2ln x . (I)当 a ? 1 , 求f ( x) 的单调区间; 时 (II)若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 求a 的最小值; (III)若 0 ? n ? m, 求证:

1 2

m?n ? 2m . ln m ? ln n
·3·

21. (本小题满分 14 分)设单调递增函数 f ( x ) 的定义域为 ? 0, ??? ,且对任意的正实数 x,y 有:

1 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 且 f ( ) ? ?1 . 2
⑴、一个各项均为正数的数列 ?an ? 满足: f (sn ) ? f (an ) ? f (an ? 1) ?1其中 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵、在⑴的条件下,是否存在正数 M 使下列不等式:

2n ? a1a2 ??an ? M 2n ?1(2a1 ?1)(2a2 ?1)??(2an ?1)
对一切 n ? N 成立?若存在,求出 M 的取值范围;若不存在,请说明理由.
*

参考答案
一、 选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 1 2 3 4
·4·

5

6

7

8

答案

B

C

B

D

D

B

D

A

1.选B.提示:因为 z ? i (1+ i) = -1+ i ,所以 z ? i (1+ i) = -1+ i 对应的点在复平面的第二象限. 2.选C.提示: a2 ? a8 ? 15 ? a5 得 a2 ? a8 ? 2a5 ? 15 ? a5 ,所以 a5 =5.

, , 3.选B.提示: 由a // b,得 cos ? +2sin ? =0即 tan ? =-2所以 tan(? ?

? ?

?
4

)=-3

4.选D.提示:注意直线可以过原点和同截正负半轴(截距有正负之分)两种情形. 5.选D.提示:画出可行域,在数形结合中的斜率解决. 6.选B.提示:注意 a.b 的正负号. 7.选D.提示: 把六棱柱镶嵌到球体里面中,注意半径、棱柱的高、及棱柱底面边长的关系. 8.选A.提示:此题为信息题,认真反复阅读理解题意,依样画葫芦. 二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. 12 10.

2550

11. 16

12.

1 3
2

13. 10

14. 5

15. 2 3
2 2 3? 2

9. 12.提示: ( x ? ) 的展开式中的常数项即T2+1 ? C3 ( x )
3

2 x

2 (? ) 2 . x

10. 2550 .提示:.依照框图运行. 11. 16.提示:始终平分圆就是圆心在直线上,然后用基本不等式. 12.

1 .提示:此题为几何概型,用定积分求出面积的比值. 3

13. 10 提示:有正态分布的性质知,90~110 有 30 人,90 分以下和 110 以上.分别 10 人. 14.
2 2 5 提示:先用切割线定理求出BC的长度,然后 距离d ? r ? ( BC )

1 2

15. 2 3 .提示:全部转化到直角坐标系中去解决. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的 最值等基本知识,考查运算能力) 解: (Ⅰ)由题意得 m? ? 3 sin A ? cos A ? 1, ???2 分 n
·5·

?? ?

? 2sin( A ? ) ? 1, 6 ? 1 sin( A ? ) ? . 6 2 由 A 为锐角
得 A?

???4 分

, ), 6 3 ? ? ? A? ? , A ? . 6 6 3 6 1 , 2

?

? (?

? ?

???6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得

cos A ?

???7 分

所以 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x

? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x
1 3 ? ?2(sin x ? ) 2 ? . 2 2
因为 x ? R , 则 sin x???1,1? , ???9 分

1 时, 2 3 f ( x) 有最大值 . 2 sin x ? ?1 时, 当
当 sin x ?

f ( x) 有最小值 ?3 ,
故所求函数 f ( x ) 的值域是 ? ?3, ? . 2

???11 分

? ?

3? ?

???12 分

17. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查几何概型、二项分布、数学期望等知识,考查或然与必然的数学思想方法,以及 数据处理能力、运算求解能力和应用意识) 解: (1)记“蜜蜂落入第一实验区”为事件 A , “蜜蜂落入第二实验区”为事件 B .???1 分

·6·

依题意, P ? A? ?

V小椎体 V圆椎体

1 1 1 ? ? S圆锥底面 ? h圆锥 1 2 ?3 4 ? 1 8 ? S圆锥底面 h圆锥 3 7 ∴ P( B) ? 1 ? P ? A ? ? 8
∴ 蜜蜂落入第二实验区的概率为

?????3 分

7 . 8

????4 分

(2)记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件 C , 则 ????5 分

7 ?1? 70 70 P(C ) ? C ? ? ? ? ? 10 ? 30 8 ?8? 8 2
1 10

9



恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率

70 . 2 30

????8 分

(3)因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的, 且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的, 所以变量 X 满足二项分布,即 X ~ ? 40, ? ∴随机变量 X 的数学期望 EX =40×

? ?

1? 8?

?????10 分

1 =5 8

?????12 分

18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线线关系、面面关系、空间向量及坐标运算等知识,考查数形结合、化归与 转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解法一: (1)? ?BAD ? 90 ,
?

? BA ? AD

? PA ? 底面ABCD, 又? PA ? AD ? A,
? BA ? 平面PAD. ? PD ? 平面PAD.

BA ? PA.

·7·

? PD ? BA. 又? PD ? AE, 且BA ? AE ? A,
? PD ? 平面BAE.

? PD ? BE,即BE ? PD.

????4 分

(2)过点 E 作 EM / / CD 交 PC 于 M ,连结 AM , 则 AE 与 ME 所成角即为 AE 与 CD 所成角.

? PA ? 底面ABCD, 且PD与底面ABCD成30? 角 .
??PDA ? 30?.

?在Rt?PAD中, ?PAD ? 90? , ?PDA ? 30? , AD ? 2a.
2 3 2 a) PA 3 3 ? PE ? ? ? a, CD ? 2a. PD 3 4 3 a 3
2

(

CD ? PE ? ME ? ? PD

2a ?

3 a 3 ? 2 a. 4 4 3 a 3

? PA ?

2 3 4 3 a, PD ? a. 3 3
2 3 a ? 2a 3 ? a. 4 3 a 3

PA ? AD ? AE ? ? PD

连结AC.
·8·

?在?ACD中AD ? 2a, AC ? 2a, CD ? 2a,
? AD2 ? AC 2 ? CD2 , ??ACD ? 90? ,
? CD ? AC ,
? ME ? AC.

又? PA ? 底面ABCD,
? PA ? CD,
? ME ? PA.

? ME ? 平面PAC.

? MA ? 平面PAC,
? ME ? AM . ? 在Rt ?AME中, cos ?MEA ? ME 2 ? . AE 4
2 . 4
????9 分

∴异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值为

(3)延长 AB 与 DC 相交于 G 点,连 PG , 则面 PAB 与面 PCD 的交线为 PG ,易知 CB ⊥平面 PAB , 过 B 作 BF ? PG于F点, 连CF , 则CF ? PG ,

??CFB为二面角C ? PG ? A的平面角 ,
? CB / / 1 AD , 2

? GB ? AB ? a, ?PDA ? 30? , PA ?

2 3 a, AG ? 2a. 3

??PGA ? 30? , 1 a a ? BF ? GB ? , tan BFC ? ? 2, a 2 2 2
·9·

∴平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的正切值为 2. 解法二: (1)如图建立空间直角坐标系,

??14 分

1 3 2 3 则A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), E (0, a, a), C (a, a, 0), D(0, 2a, 0), P(0, 0, a). 2 2 3

??? ? 1 3 ? BE ? (?a, a, a), 2 2 ??? ? 2 3 PD ? (0, 2a, ? a), 2 ??? ??? ? ? 1 3 2 3 ? BE ? PD ? (?a) ? 0 ? a ? 2a ? a ? (? ) ? 0, 2 2 2
? BE ? PD
(2)由(1)知, AE ? (0, ????4 分

1 3 a, a), CD ? (?a, a,0) 2 2

??? ??? ? ? 设AE与CD所成角为? ,
??? ??? ? ? AE ? CD ? ? 则 cos ? ? ??? ??? ? | AE | ? | CD | 1 3 0 ? (?a) ? a ? a ? a?0 2 2 2 ? , ∴异面直线 AE 与 CD 4 1 3 02 ? ( a) 2 ? ( a) 2 ? (? a) 2 ? a 2 ? 02 2 2
????9 分

所成角的余统值为

2 . 4

(3)易知, CB ? AB, CB ? PA, 则 CB ? 平面PAB.

??? ? ? BC是平面PAB 的法向量.

??? ? ? BC ? (0, a,0).

·10·

?? 又设平面PCD的一个法向量为m ? ( x, y, z ), ?? ?? ??? ? ??? ? 2 3 则m ? PC , m ? CD. 而 PC ? (a, a, ? a ), CD ? (?a, a, 0), 3 ?? ??? ? ?? ??? ? ?由m ? PC ? 0, m ? CD ? 0. ? 2 3 ? az ? 0, ?ax ? ay ? ? x ? y, 得? ?? 3 ? z ? 3 y. ? ?? ax ? ay ? 0. ? ?? ??? ?? ? 令y ? 1, ? m ? (1,1, 3), 设向量 BC与m所成角为? , ??? ?? ? BC ? m 0 ?1 ? a ?1 ? 0 ? 3 a 5 ? ?? ? 则 cos ? ? ??? ? ? . 2 2 2 2 2 2 5 | BC | ? | m | a? 5 0 ? a ? 0 ? 1 ? 1 ? ( 3) ? tan ? ? 2.
∴平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的正切值为 2. ????14 分

19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、对称问题等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与 方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) 解:设 A 、 B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( I)由 AM ? ?BM 知 M 是 AB 的中点,

???? ?

???? ?

??????1 分

?x ? y ?1 ? 0 ? 由 ? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 ?a b
x1 ? x2 ?

得: (a ? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 ???????4 分
2 2 2 2 2 2 2

2a 2 2b 2 , y1 ? y2 ? ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2 a 2 ? b2 a ? b2

????5 分

a2 b2 ? M 点的坐标为 ( 2 , ) a ? b2 a 2 ? b2
又 M 点在直线 l 上: ?

a2 2b 2 ? 2 ?0 a 2 ? b2 a ? b2
·11·

?6 分

?a2 ? 2b2 ? 2(a2 ? c2 ) ?a2 ? 2c2
?e ? c 2 ? a 2
??7 分

(II)由(1)知 b ? c ,不妨设椭圆的一个焦点坐标为 F (b, 0) , 设 F (b, 0) 关于直线 l : y ?

1 x 的对称点为 ( x0 , y0 ) ,??????8 分 2

? y0 ? 0 1 ? x ? b ? 2 ? ?1 ? 则有 ? 0 ? x0 ? b ? 2 ? y0 ? 0 ? 2 ? 2
3 ? ? x0 ? 5 b ? 解得: ? ?y ? 4 b ? 0 5 ?
2 2 由已知 x0 ? y0 ? 1,

?????11 分

3 4 ? ( b) 2 ? ( b) 2 ? 1 , 5 5

?b2 ? 1 .
? ?

???13 分

所求的椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

?????14 分

20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数与导数等知识,考查恒成立问题,化归与转化的数学思想方法,以及推理论 证能力和运算求解能力)

时 (I)解:当 a ? 1 , f ( x) ? x ? 1 ? 2ln x,
2 则f ?( x) ? 1 ? , x
由 f ?( x) ? 0, 得x ? 2; 由 f ?( x) ? 0, 得0 ? x ? 2. ????3 分
·12·

????1 分

故 f ( x)的单调减区间为? 0,2? ,

单调增区间为?2, ???
1 2

????4 分

(II)解:因为 f ( x) ? 0在区间(0, ) 上恒成立不可能,

故要使函数 f ( x)在(0, ) 上无零点,

1 2

只要对任意的 x ? (0, ), f ( x) ? 0 恒成立,

1 2

1 2 ln x 恒成立。 2 x ?1 2 ln x 1 , x ? (0, ), 令 l ( x) ? 2 ? x ?1 2
即对 x ? (0, ), a ? 2 ?

????6 分

2 2 ( x ? 1) ? 2 ln x 2 ln x ? ? 2 x ? , 则 l ( x) ? ? x 2 ( x ? 1) ( x ? 1)2
2 1 ? 2, x ? (0, ), x 2 2 2 ?2(1 ? x) 则m ?( x) ? ? 2 ? ? ? 0, x x x2 再令m( x) ? 2 ln x ?
1 故m( x)在(0, )上为减函数, 2

???7 分

1 于是m( x) ? m( ) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0, 2 1 从而,l ( x) ? 0, 于是l ( x)在(0, )上为增函数, 2 1 所以l ( x) ? l ( ) ? 2 ? 4 ln 2, 2 2 ln x 故要使a ? 2 ? 恒成立, 只要a ? ? 2 ? 4 ln 2, ?? ? , x ?1
综上,若函数 f ( x)在(0, )上无零点,

1 2

则a的最小值为2 ? 4ln 2. ????9 分
·13·

(III)证明:由第(I)问可知 f ( x) ? ( x ? 1) ? 2 ln x 在 (0,1] 上单调递减。

n n ? 1,? f ( ) ? f (1) m m n n n?m ? ( ? 1) ? 2 ln ? 0 ? ? 2(ln n ? ln m) m m m m?n ? ? 2(ln m ? ln n) , m m?n ? 2m 即 ???14 分 ln m ? ln n ?0 ?

???12 分

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查数列、不等式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运 算求解能力和创新意识) 解:⑴、? 对任意的正数 x、 y 均有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 且 f ( ) ? ?1 .???2 分 又? an ? 0且f ( S n ) ? f (an ) ? f (an ? 1) ? 1 ? f (an ) ? f (an ? 1) ? f ( )

1 2

1 2

1 ? f ( S n ) ? f [(an 2 ? an ) ? ] , 2

??????????4 分

又? f ( x) 是定义在 ? 0, ??? 上的单增函数,? Sn ? 当 n ? 1 时, a1 ?

1 2 (an ? an ) . 2

1 2 (a1 ? a1 ) ,?a12 ? a1 ? 0 .? a1 ? 0 ,?a1 ? 1 . 2

当 n ? 2 时,? 2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? an 2 ? an ? an?12 ? an?1 ,

?(an ? an?1 )(an ? an?1 ?1) ? 0 .? an ? 0?an ? an?1 ? 1(n ? 2) ,??an ? 为等差数列,a 1 ? 1, d ? 1 , ? an ? n . ???????6 分
⑵、假设 M 存在满足条件, 即M ?

2n a1a2 ?? an 2n ? 1(2a1 ? 1)(2a2 ? 1)??(2a n ?1)
*

对一切 n ? N 恒成立. ?????8分 令 g (n) ?

2n a1a2 ??an 2n ? 1(2a1 ? 1)(2a2 ? 1)??(2an ?1)



·14·

? g (n ? 1) ?
g (n ? 1) ? g (n)

2n?1 ?1? 2 ???? n ? (n ? 1) , ?????10 分 2n ? 3 ?1? 3 ???? (2n ? 1)(2n ? 1)
2n ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 4n2 ? 8n ? 4 ? 1 ,??????12 分 4n2 ? 8n ? 3



? g (n ? 1) ? g (n) ,? g (n) 单调递增,? n ? N * , g (n) ? g (1) ?

2 3 . 3

?0? M ?

2 3 . 3

???????????14 分

·15·


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浙江省嘉兴市2013届高三4月教学测试数学(理)试卷及参考答案

嘉兴市 2013 年高三教学测试(二)理科数学注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的规 定处填写学校、姓名、考号、科...


广东省惠州市2013届高三4月模拟考试理科数学试卷

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浙江省衢州市2015年4月高三年级教学质量检测理科数学试卷

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福建省2016届高三4月质量检查数学(文)试卷(含答案)

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