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高中奥林匹克物理竞赛解题方法(隔离法). 湖南


高中奥林匹克物理竞赛解题方法
二、隔离法
方法简介 隔离法就是从整个系统中将某一部分物体隔离出来,然后单独分析被隔离部分的受力情 况和运动情况,从而把复杂的问题转化为简单的一个个小问题求解。隔离法在求解物理问题 时,是一种非常重要的方法,学好隔离法,对分析物理现象、物理规律大有益处。 例 1:两个质量相同的物体 1 和 2 紧靠在一起放在光滑水平 桌面上,如图

2—1 所示,如果它们分别受到水平推 力 F1 和 F2 作用,且 F1>F2, 则物体 1 施于物体 2 的 作用力的大小为 ( ) A.F1 B.F2 C.1/2(F1+F2) D.1/2(F1-F2) 解析:要求物体 1 和 2 之间的作用力,必须把其中一个隔离出来分析。 先以整体为研究对象,根据牛顿第二定律:F1-F2=2ma ① 再以物体 2 为研究对象,有 N-F2=ma ② 解①、②两式可得 N ?

1 ( F1 ? F2 ), 所以应选 C 2

例 2:如图 2—2 在光滑的水平桌面上放一物体 A,A 上再放一物体 B, A、B 间有摩擦。施加一水平力 F 于 B,使它相对于桌面向右运 运,这时物体 A 相对于桌面 ( ) A.向左动 B.向右动 C.不动 D.运动,但运动方向不能判断 解析:A 的运动有两种可能,可根据隔离法分析 设 AB 一起运动,则 a ?

F m A ? mB

AB 之间的最大静摩擦力 f m ? ?mB g 以 A 为研究对象:若 f m ? m A a,即? ?

mA F , AB 一起向右运动. mB (mB ? m A )

若? ?

mA F , 则 A 向右运动,但比 B 要慢,所以应选 B m B (m B ? m A ) g

例 3:如图 2—3 所示,已知物块 A、B
1

的质量分别为 m1、m2,A、B 间的摩擦因数 为μ 1,A 与地面之间的摩擦因数为μ 2,在 水平力 F 的推动下,要使 A、B 一起运动而 B 不至下滑,力 F 至少为多大? 解析: B 受到 A 向前的压力 N,要想 B 不下滑,需满足的临界条件是:μ 1N=m2g. 设 B 不下滑时,A、B 的加速度为 a,以 B 为研究对象,用隔离法分析,B 受到重力,A 对 B 的摩擦力、A 对 B 向前的压力 N,如图 2—3 甲所示,要想 B 不下滑,需满足:μ 1N≥m2g, 即:μ 1m2a≥m2g,所以加速度至少为 a=g/μ 1 再用整体法研究 A、 B, 根据牛顿第二定律, 有: F—μ 2 (m1+m2) g=(m1+m2)g=(m1+m2)a, 所以推力至少为 F ? (m1 ? m2 )(

1

?1

? ?2 )g .

例 4:如图 2—4 所示,用轻质细绳连接的 A 和 B 两个物体, 沿着倾角为α 的斜面匀速下滑,问 A 与 B 之 间的细绳上有弹力吗? 解析:弹力产生在直接接触并发生了形变的物体 之间,现在细绳有无形变无法确定.所以从产生原因上 分析弹力是否存在就不行了, 应结合物体的运动情况来 分析. 隔离 A 和 B,受力分析如图 2—4 甲所示,设弹力 T 存在,将各力正交分解,由于两物 体匀速下滑,处于平衡状态,所以有:

m A g sin ? ? T ? f A ……① mB g sin ? ? T ? f B ……②
设两物体与斜面间动摩擦因数分别为 ? A 、 ? B ,则

f A ? ? A N A ? ? A mA g cos? ……③ f B ? ? B N B ? ? B mB g cos? ……④
由以上①②③④可解得: T ? mA g (sin? ? ? A cos? )和T ? mB g (?b cos? ? sin ? ) 若 T=0,应有: ? A ? tan?

?B ? t a n ?
2

由此可见,当 ? A ? 若 ?A ?

? B 时,绳子上的弹力 T 为零.

? B ,绳子上一定有弹力吗?

我们知道绳子只能产生拉力. 当弹力存在时,应有:T>0 即

? A ? tan? , ? B ? tan?

所以只有当 ? A ? ? B 时绳子上才有弹力 例 5 如图 2—5 所示,物体系由 A、B、C 三个 物体构成,质量分别为 mA、mB、mC.用一水平力 F 作用在小车 C 上,小车 C 在 F 的作用下运动时能使 物体 A 和 B 相对于小车 C 处于静止状态.求连接 A 和 B 的不可伸长的线的张力 T 和力 F 的大小.(一切 摩擦和绳、滑轮的质量都不计) 解析 在水平力 F 作用下, 若 A 和 B 能相对于 C 静止, 则它们对地必有相同的水平加速度.而 A 在绳的 张力作用下只能产生水平向右的加速度,这就决定了 F 只能水平向右,可用整体法来求,而求张力必须用 隔离法. 取物体系为研究对象,以地为参考系,受重力(mA+mB+mC)g,推力 F 和地面的弹力 N, 如图 2—5 甲所示,设对地的加速度为 a,则有:

F ? (mA ? mB ? mC )a …………①
隔离 B,以地为参考系,受重力 mBg、张力 T、C 对 B 的弹力 NB,应满足:

N B ? mB a, 绳子的张力 T ? mB g …………②
隔离 A,以地为参考系,受重力 mAg,绳的张力 T,C 的弹力 NA,应满足; NA=mAg…………③ T=mAa…………④ 当绳和滑轮的质量以及摩擦都不计时,由②、④两式解出加速度

a?

mB g mA mB (m A ? mB ? mC ) g mA

代入①式可得:

F?

例 6 如图 2—6 所示,一根轻质弹簧上端固定,下端挂一质量为 m0 的平盘,盘中有一
3

物体质量为 m,当盘静止时,弹簧的长度比其自然长度伸长了 L,今向下拉盘,使弹簧再伸 长△L 后停止.然后松手放开,设弹簧总处在弹性限度以内,则刚松开手时盘对物体的支持力 等于( ) A. (1 ? ?L / L)mg C. ?Lm g B. (1 ? ?L / L)(m ? m0 ) g D. ?L / L(m ? m0 ) g

解析 确定物体 m 的加速度可用整体法,确定盘对物体的支持力需用隔离法.选整体为 研究对象,在没有向下拉盘时有 KL=(m+m0)g…………① 在向下拉伸△L 又放手时有 K△L=(m+m0)a……② 再选 m 为研究对象 FN-mg=ma……③ 解得: FN ? (1 ?

?L )mg L

应选 A.此题也可用假设法、极限法求解. 例 7 如图 2—7 所示,AO 是质量为 m 的均匀细杆,可绕 O 轴在竖直平面内自动转动. 细杆上的 P 点与放在水平桌面上的圆柱体接触,圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡,已知 杆的倾角为 θ , AP 长度是杆长的 1/4 ,各处的摩擦都不计,则挡板对圆柱体的作用力等 于 。 解析 求圆柱体对杆的支持力可用隔离法,用力矩平衡求解。求挡板对圆柱体的作用力 可隔离圆柱体,用共点力的平衡来解.

以杆为研究对象,受力如图 2—7 甲所示,根据力矩平衡条件:

mg

l 3 2 cos ? ? F l , 解得 F ? mg cos ? . 根据牛顿第三定律, 杆对圆柱体的作用力与 F 2 4 3

大小相等,方向相反,再以圆柱体为研究对象,将力 F 正交分解,如图 2—7—乙,在水平方 向有

2 1 mg sin ? cos ? ? mg sin 2? 3 3 1 即挡板对圆柱体的作用力为 mg sin 2? . 3 ?
例 8 如图 2—8 所示,质量为 m 的小球
4

被两个劲度系数皆为 k 的相同弹簧固定在一 个质量为 M 的盒中,盒从 h 高处(自桌面量 起)开始下落,在盒开始下落的瞬间,两弹簧 未发生形变, 小球相对盒静止, 问下落的高度 h 为多少时, 盒与桌面发生完全非弹性碰撞后 还能再跳起来. 解析 盒下落过程可用整体法研究,下落后弹簧的形变情况应用隔离小球研究,盒起跳 时可隔离盒研究。 在盒与桌面发生碰撞之前,小球仅受重力作用,着地时速度为: v ?

2gh .

碰撞后盒静止,球先压缩下面的弹簧,同时拉上面的弹簧,当小球向下的速度减为零后, 接着又向上运动,在弹簧原长位置上方 x 处,小球的速度又减为 0,则在此过程中,对小球 有:

1 2 1 mv ? mgx ? 2 ? kx 2 2 2
把盒隔离出来, 为使盒能跳起来, 需满足:2kx ? Mg 代入上式可解得 : h ? 例 9 如图 2—9 所示,四个相等质量的质点 由三根不可伸长的绳子依次连接, 置于光滑水平面 上, 三根绳子形成半个正六边形保持静止。 今有一 冲量作用在质点 A,并使这个质点速度变为 u,方 向沿绳向外,试求此瞬间质点 D 的速度. 解析 要想求此瞬间质点 D 的速度,由已知 条件可知得用动量定理,由于 A、B、C、D 相关 联,所以用隔离法,对 B、C、D 分别应用动量定 理,即可求解.以 B、C、D 分别为研究对象,根据 动量定理: 对 B 有:IA—IBcos60°=mBu…………① IA cos60°—IB=mBu1…………② 对 C 有:IB—ID cos60°=mCu1……③ IBcos60°—ID=mcu2…………④ 对 D 有:ID=mDu2……⑤ 由①~⑤式解得 D 的速度 u 2 ?

Mg M (1 ? ). 2k 2m

1 u 13

例 10 有一个两端开口、粗细均匀的 U 形玻 璃细管,放置在竖直平面内,处在压强为 p0 的大 气中,两个竖直支管的高度均为 h,水平管的长度 为 2h,玻璃细管的半径为 r,r<<h..今将水平管内灌 满密度为ρ 的水银,如图 2—10 所示.
5

1. 如将 U 形管两个竖直支管的开口分别密封起 来,使其管内空气压强均等于大气压强,问当 U 形 管向右做匀加速移动时, 加速度应为多大时才能使水 平管内水银柱的长度稳定为(5/3)h? 2.如将其中一个竖直支管的开口密封起来,使 其管内气体压强为 1 个大气压.问当 U 形管绕以另一 个竖直支管(开口的)为轴做匀速转动时,转数 n 应为多大才能使水平管内水银柱的长度稳定为 (5/3) h(U 形管做以上运动时,均不考虑管内水银液面的 倾斜) 解析 如图 2—10—甲所示, U 形管右加速运动 时,管内水银柱也要以同样加速度运动,所以 A 管 内气体体积减小、压强增大,B 管内气体体积增大、 压强减小, 水平管中液体在水平方向受力不平衡即产 生加速度.若 U 形管以 A 管为轴匀速转动时,水平部 分的液体也要受到水平方向的压力差而产生向心加 速度. 1.当 U 形管以加速度 a 向右运动时,对水平管中水银柱有 F1—F2=ma 即 ( p A ? ?g

h 5 ) S ? p B S ? hS? ? a ……① 3 3 h 3 对A中气体有 : p 0 hs ? p A (h ? ) S , 解得 p A ? p0 ……② 3 2 h 3 对B中气体有 : p 0 hs ? p B (h ? ) S , 解得 p B ? p 0 ……③ 3 4

2—10—乙

将②、③式代入①式可得 a ?

9 p0 ? 4 ?gh 20h?

2.如图 2—10—乙,若 U 形管以 A 管为轴 匀速转动时,对水平管中水银柱有 F2—F1=ma. 若转轴为 n,则有:

h 7 ( p? ) S ? p 0 S ? m ? (2?n) 2 h ……① B ? ?g 3 6 h 3 ) ? S , 解得: p ? p 0 ……② 对 B 中气体有 p 0 hS ? p ? B (h ? B ? 3 2
将②式代入①式可解得转速

n?

1 9 p0 ? 6 ?gh ?h 140?

例 11 如图 2—11 所示,一个上下都与大气相通
6

的竖直圆筒,内部横截面的面积 S=0.01m2,中间用两 个活塞 A 与 B 封住一定质量的理想气体,A、B 都可 沿圆筒无摩擦地上、下滑动,但不漏气,A 的质量可 不计,B 的质量为 M,并与一倔强系数 k=5× 103N/m 5 的较长的弹簧相连 .已知大气压强 p0=1× 10 Pa,平衡 时,两活塞间的距离 l0=0.6m.现用力压 A 使之缓慢向 下移动一定距离后,保持平衡,此时,用于压 A 的力 F=5×102N.求活塞 A 向下移动的距离(假定气体温度 . 保持不变.) 解析 活塞 A 下移的距离应为 B 下降的距离与气体长度的减小量之和, B 下降的距离可 用整体法求解.气体长度的变化可隔离气体来求解. 选 A、B 活塞及气体为研究对象,设用力 F 向下压 A 时,活塞 B 下降的距离为 x, 则有:F=kx…………① 选气体为研究对象,据玻意耳定律有 p 0 l 0 S ? ( p 0 ?

F )l ? S …………② S

解①②两式可得 x=0.1m l=0.4m 则活塞 A 下移的距离为:左=0.1+0.6—0.4=0.3m 例 12 一个密闭的气缸,被活塞分成体积相等 的左右两室, 气缸壁与活塞是不导热的, 它们之间没 有摩擦,两室中气体的温度相等,如图 2—12 所示, 现利用右室中的电热丝对右室中的气体加热一段时 间,达到平衡后,左室的体积变为原来体积的 3/4, 气体的温度 T1=300K.求右室中气体的温度. 解析 可隔离出 A、B 两部分气体,用理想气体状态方程求解. 设原来两室中气体的压强都为 p,温度都为 T,体积都为 V,

3 5 p? V p? V pV pV ? 4 ……①对右边气体有 ? 4 ② 对左边气体有 T T1 T T2
①、②两式相比,可得右室中气体温度 T2 ?

5 T1 ? 500 K 3

例 13 如图 2—13 所示, 封闭气缸的活塞被很 细的弹簧拉着,气缸内密封一定质量的气体,当温 度为 27℃时,弹簧的长度为 30cm,此时缸内气体 的压强为缸外大气压的 1.2 倍,当气温升到 123℃ 时,弹簧的长度为 36cm,求弹簧的原长.
7

解析 本题所研究的对象就是密封在气缸内的一定质量的气体,气体所处的初态为: T1=300K、 V1=SL1、 (S 为气缸横截面积, L1 为弹簧长度) p1=p0+F1/S=1.2P0 末态为 T2=396K、 V2=SL2 p2=p0+F2/S(p0 为大气压强,F1、F2 为弹簧的弹力).气体从初态过渡到末态时质量恒 定,所以可利用状态方程求解: 将上述各状态参量代入状态方程:

p1V1 p2V2 ? T1 T2

解得: p2 ? 1.1p1 ? 1.32 p0 由于弹力产生的压强等于气缸内外气体的压强差, 所以:

K?L1 ? p1 ? p 0 ? 0.2 p 0 S



K?L2 ? p 2 ? p0 ? 0.32 p 0 S
联立①、②式得: ?l 2 ? 1.6?L1



即 : L2 ? L0 ? 1.6( L1 ? L0 )
解得弹簧的原长为 L0=20cm 例 14 一个由绝缘细细构成的钢性圆形轨道,其半径为 R,此轨道水平放置,圆心在 O 点,一个金属小珠 P 穿在此轨道上,可沿轨道无摩擦地滑动,小珠 P 带电荷 Q.已知在轨道平 面内 A 点(OA=r<R)放有一电荷 q.若在 OA 连线上某一点 A1 放电荷 q1,则给小珠 P 一个初 速度,它就沿轨道做匀速圆周运动,求 A1 点的位置及电荷 q1 之值. 解析 小珠 P 虽沿轨道做匀速圆周运动,但 受力情况并不清楚,因此不能从力的角度来解决, 可以从电势的角度来考虑,因为小珠 P 沿轨道做 匀速圆周运动,说明小珠只受法向的电场力 .由此 可知,电场力对小珠 P 做功为零,根据 W=qU 可 知,圆轨道上各点电势相等,根据题意作图如图 2 —14,设 A1 点距圆形轨道的圆心 O 为 r1,A 点放 的电荷 q 距圆心为 r 由此得:

kq1 kq ? R ? r r1 ? R kq1 kq ? R ? r r1 ? R
8

解①、②两式可得:A1 点的位置距圆心 O 的距离为 r1 ? 例 15 如图 2—15 所示,两个电池组的电动 势 ? 1 ? ? 2 ? 3V , 每节电池的内阻均为 0.5Ω ,R1=1

R R2 ,所带电量 q1 ? q. r r

Ω ,R2=2Ω ,R3=1.8Ω ,求通过 R1、R2、R3 的电流及 两个电池组的端电压各是多少? 解析 解此题时,可采用与力学隔离法相似 的解法,即采用电路隔离法. 气体从初态过渡到末态时质量恒定,所以可利用状态方程求解. 先将整个电路按虚线划分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个部分,则有: UAB=ε 1—I1(R1+2r)……① UAB=ε 2—I2(R2+2r)………………② UAB=I3R3……………………③ I1+I2=I3………………④ 联立①②③④四式解得:I1=0.6A,I2=0.4A,I3=1A,电池组ε 的端电压 U1=2.4V,电池组ε 2 的端电压 U2=2.6V. 例 16 如图 2—16 所示,两根相互平行的间距 L=0.4m 的金属导轨水平放在 B=0.2T 的 匀强磁场中,磁场垂直于导轨平面,导轨上的滑杆 ab、cd 所受摩擦力均为 0.2N,两杆电阻 均为 0.1Ω , 导轨电阻不计.当 ab 受到恒力 F 作用时,ab 以 v1 做匀速运动, cd 以 v2 做匀速运动, 求通过 ab 杆的电流强度的大小和方向. 解析 要求通过 ab 杆的电流强度,应通过 ab 杆受的安培力求解,这就需要隔离出 ab 杆 进行受力分析.

以 ab 杆为研究对象,因右手定则确定电流的方向为 b→a,受力如图 2—6—甲所示.因为 ab 杆匀速运动处于平衡状态,故有 F=f+BIL. 再以滑杆 ab、cd 整体作为研究对象,受力如图 2—16—乙所示,因为 ab、cd 均做匀速 运动,受力平衡,故有
9

F ? 2 f ? 0.4 N .
代入上式,解得通过 ab 杆的电流为

I?

F? f ? 2.6 A BL

所以通过 ab 杆的电流的大小为 2.5A,方向 b→a.

针对训练
1.质量为 8kg 的木块 m 放在质量为 16kg 的木板 M 上,并通过滑轮用细绳连接,如图 2 —17 所示,M 与 m 间,M 与水平地面间的动摩擦因数μ 均为 0.25,滑轮摩擦不计.欲使 M 向 匀速运动,水平拉力应为多大?(g 取 10m/s2)

2.在水平面上有两个物体 A 和 B,它们之间用不可伸缩的质量不计的细绳连接起来, 其中 mA=3kg,mB=2kg,它们与地面间的动摩擦因数μ =0.1.如图 2—18 所示,今用一与水平方 向成 37°角、大小为 10N 的恒力拉 B,使 AB 一起向右做匀加速直线运动,试求 A 对 B 的 拉力.(g 取 10m/s2) 3.如图 2—19 所示,小物体 m 放在大物体 M 上,M 系在固定于墙上的水平弹簧的另一 端,并置于光滑水平面上,若弹簧的劲度系数为 k,将 M 向右拉离平衡位置 x 后无初速度释 放,在以后的运动中 M 与 m 保持相对静止,那么 m 在运动中受到的最大和最小摩擦力分别 为多大?

4.电梯内有一个物体,质量为 m,用细线挂在电梯的天花板上,当电梯以 g/3 的加速度 竖直加速度竖直加速下降时(g 为重力加速度) ,细线对物体的拉力为( )
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A.2/3mg B.1/3mg C.4/3mg 5.两物体 A 和 B,质量分别为 m1 和 m2,互 相接触放在光滑水平面上,如图 2—20 所示,对物 体 A 施以水平的推力 F, 则物体 A 对物体 B 的作用 力等于( ) A.m1F/(m1+m2) B.m2F/(m1+m2) C.F D.m2/m1F 6.在光滑水平面上有一木板,一木棒 A、B 可 沿水平轴 O 转动, 其下端 B 搁在木板下, 而整个系 统处于静止状态(如图 2—21 所示).现在用水平力 F 向左推木板,但木板仍未动.由此可以得出结论: 施力 F 后,木板和木棒之间的正压力( ) A.变大 B.不变 C.变小 D.条件不足,不能判断如何改变 7.如图 2—22 所示,两木块的质量分别为 m1 和 m2,两轻质弹簧的劲度系数分别为 k1 和 k2,上面木块压 在上面的弹簧上(但不拴接) ,整个系统处于平衡状态. 现缓慢向上提上面的木块,直到它刚离开上面弹簧,在 这过程中下面木块移动的距离为( ) A.m1g/k1 B.m2g/k1 C.m1g/k2 D.m2g/k2 8.如图 2—23,质量为 2m 的物块 A 与水平地面 的摩擦可忽略不计, 质量为 m 的物块 B 与地面的摩擦 系数为μ .在已知水平推力 F 的作用下,AB 做加速运 动,A 对 B 的作用力为 .

D.mg

9.如图 2—24 所示,两块木块 A 和 B,质量分 别为 mA 和 mB,紧挨着并排在水平桌面上,AB 间的 接触面垂直于图中纸面且与水平面成θ 角。A、B 间 的接触面是光滑的,但它们与水平桌面间有摩擦,静 摩擦系数和滑动摩擦系数均为μ .开始时 A、 B 都静止, 现施一水平推力 F 于 A.要使 A、 B 向右加速运动且 A、 B 之间不发生相对滑动,则 (1)μ 的数值应满足什么条件? (2)推力 F 的最大值不能超过多少? (只考虑平动,不考虑转动问题) 10. 系统如图 2—25 所示, 滑轮与绳的质量忽略,
11

绳不可伸长。设系统所有部位都没有摩擦,物体 B 借 助导轨(图中未画出来)被限定沿物体 C 的右侧面运 动,试求物体 C 的运动加速度。

11.质量分别为 m1、m2 和 m3 的三个质点 A、B、 C 位于光滑的水平桌面上,用已拉直的不可伸长的柔 软的轻绳 AB 和 BC 连接, 角 ABC 为 ? ? ? , ? 为一锐 角, 如图 2—26 所示, 今有一冲量为 I 的冲击力沿 BC 方向作用于质点 C,求质点 A 开始运动时的速度. 12.如图 2—27 所示,四个质量均为 m 的质点,用同样长度且不可伸长的轻绳连结成菱 形 ABCD, 静止放在水平光滑的桌面上.若突然给质点 A 一个力时极短沿 CA 方向的冲击, 当 冲击结束的时刻,质点 A 的速度为 V,其他质点也获得一定的速度, ?BAD ? 2? (? ? 求此质点系统受到冲击后所具有的总动量和总能量.

?
4

).

13.如图 2—28 所示,一三角木块 ABC 置于光滑水平面上,两斜边与平面夹角分别为 30°、60°.在斜边上有两个物体 m1、m2,用不可伸长的细绳连接并跨在顶点 A 的定滑轮上, m1、m2 可在斜面上无摩擦地滑动.已知木块的质量为 M,三物体的质量比为 m1:m2:M=4:1:16, 滑轮光滑且质量可忽略. (1)求 M 的加速度 a 及 m1 相对于 M 的加速度 a′ (2)若 m1 从静止开始沿斜面移动 20cm,求 M 沿水平面移动的距离. 14.如图 2—29 所示,可沿气缸壁自由活动的活塞将密封的圆筒形气缸分隔成 A、B 两 部分.活塞与气缸顶部有一弹簧相连.当活塞位于气缸底部时弹簧恰好无形变,开始时 B 内充 有一定量的气体,A 内是真空,B 部分高度为 l1=0.10 米,此时活塞受到的弹簧作用力与重力
12

的大小相等.现将整个装置倒置.达到新的平衡后 B 部分的高度 L2 于多少?设温度不变.

15.图 2—30 中竖直圆筒是固定不动的,粗筒横截面积是细筒的 4 倍,细筒足够长.粗筒 中 A、B 两轻质活塞间封有空气,气柱长 l=20 厘米.活塞 A 上方的水银深 H=10 厘米,两活 塞与筒壁间的摩擦不计.用外力向上托住活塞 B, 使之处于平衡状态, 水银面与粗筒上端相平. 现使活塞 B 缓慢上移,直至水银的一半被推入细筒中,求活塞 B 上移的距离(设在整个过程 中气柱的温度不变,大气压强 p0 相当于 75 厘米高的水银柱产生的压强). 16.如图 2—31 是容器的截面图,它是由 A、B 两部分构成,两部分都是圆筒形,高度 都是 h,底面积 SB=S,SA=2S,容器下端有一小孔 a 与大气相通,上端开口,B 中有一质量 为 m 厚度不计的活塞,它与 B 的器壁有摩擦,最大摩擦力为 f(f)mg,开始时活塞 N 位于 B 的最下端,已知大气压强为 p0,当时温度为 T0,现把 a 孔封闭,为保证封闭气体不与外界相 通,筒中气体温度允许在多大范围内变化? 17.如图 2—32 所示,长为 2l 的圆形筒形气缸 可沿摩擦因数为μ 的水平面滑动, 在气缸中央有一个 截面积为 S 的活塞,气缸内气体的温度为 T0,压强 为 p0(大气压强也为 p0).在墙壁与活塞之间装有劲 度系数为 k 的弹簧, 当活塞处于如图位置时, 弹簧恰 好在原长位置.今使气缸内气体体积增加一倍,问气 体的温度应达到多少? (气缸内壁光滑, 活塞和气缸 总质量为 m). 18.A、B 两带电小球,A 固定不动,B 的质量为 m.在库仑作用下,B 由静止开始运动. 已知初始时 A、B 间的距离为 d,B 的加速度为 a。经过一段时间后,B 的加速度变为 a/4, 此时 A、B 间的距离应为 .已知此时 B 的速度为 v,则在此过程中电势能的减少量 为 . 19. 如图 2—33 所示, 是电磁流量计的示意图,
13

在非磁性材料做成的圆管道外加一匀强磁场区域, 当管中的导电液体流过磁场区域时,测出管壁上、 下表面两点 a、b 间的电动势为ε ,从而可求出管 中液体在单位时间内的流量 Q.已知圆管的内径为 D,磁感应强度为 B,试推导出 Q 与ε 的关系表达 式. 20.如图 2—34 所示,一矩形管中(管长为 l,两侧面为导电面,并有导线在外面与之 相连,上下面则为绝缘面)有电阻率为ρ 的水银流动,当其一端加上压强 p 时,水银的流速 为 v0.现在竖直方向加上磁感应强度为 B 的匀强磁场.试证明:此时水银的流速为

v0 B 2 L ?1 v ? v0 (1 ? ) .(设水银的速度与压强成正比) ?p

答案:
1.F=100N 2.T=5.16N 3. f max ? 9. (1) ? ?

mkx M ?m

f min ? 0
(2)F ?

4.A 5.B 6.C 7.C

8. ( F ? 2m g) / 3 10. aC ?

MA tan? m A ? mB

(m A ? m B )m A ? g (tan? ? ? ) mB

m A mB g (m A ? mB ? mC )(m A ? mB ) ? m A lm2 cos? 11. v A ? 方向沿 AB 方向 m2 (m1 ? m2 ? m3 ) ? m1m2 sin 2 ?
12.P=

4mv 1 ? 2 sin 2 ?
2

E=

13. (1) a ? 0.5m / s 14.0.2m 15.8cm

2m v2 (1 ? 2 sin 2 ? ) a ? ? 0.64m / s 2 (2) 3.78cm p S ? mg? f p S ? mg? f 16. 0 T0 ? T ? 0 T0 p0 S p0 S
14

17.摩擦力足够大时 T ? 2(1 ? 18. 2d ,

kl )T0 p0 S

摩擦力不是足够大时 T ? 2(1 ? 20.证明略

?m g
p0 S

)T0

1 2 mv 2

19. Q ? ?D? /(4B)

15


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