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反射变换与旋转变换


反射变换 【问题引入】在平面直角坐标系中,第一象限内有一点 P( x, y) ,将它做关 于 x 轴, y 轴和坐标原点的对称的变换,分别得到点 P1, P2 , P3 . 由题意知:假设三个变换分别为 T1, T2 , T3 ,对应的变换矩阵分别为 M1, M 2 , M3 , 则有:
? x ? ? x? ? ? x ? ?1 0 ? T1 : ? ? ? ? ?

? ? ? , M1 ? ? ? ? y ? ? y?? ? ? y ? ?0 ?1? ? x ? ? x? ? ? ? x ? ? ?1 0? T2 : ? ? ? ? ? ? ? ? , M 2 ? ? ? ? y ? ? y?? ? y ? ? 0 1? ? x ? ? x? ? ? ? x ? ??1 0 ? T3 : ? ? ? ? ? ? ? ? , M 3 ? ? ? ? y ? ? y?? ? ? y ? ? 0 ?1?

1 1.反射变换概念:像 ? ?

0? ?1 0? ?1 0 ? ,? ,? 这样将一个平面图形 F ? ? ? ? ? ? 0 ?1? ?0 ?1? ? 0 1?

变为关

于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵,称之为反射变换矩阵,对 应的变换叫做反射变换,相应地,前者称作轴反射,后者称做中心反射, 其中定直线称为反射轴,定点称做反射点.

2.反射变换的分类:
1 与矩阵 M1 ? ? ? 0? 对应的变换是关于 x 轴的轴反射变换. ? ?0 ?1? 0? 对应的变换是关于 y 轴的轴反射变换. 1? ? 0? 对应的变换是关于原点的中心反射变换. ?1? ?

?1 与矩阵 M 2 ? ? ? ?0 ?1 与矩阵 M 3 ? ? ? ?0

0 与矩阵 M 4 ? ? ?

1? 对应的变换是关于直线 y ? x 的中心反射变换. ? ?1 0 ?

3.线性变换的概念:一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线, 这种把直线变为直线的变换,通常叫做线性变换.

考查点 1:有关反射变换的问题
0 例1. 求直线 y ? 6 x 在矩阵 ? ? 1? 对应的变换下所得的图形的表达式. ? ?1 0 ?

例2. 求出曲线 y ?

?1 0 ? 作用下变换得到的曲线的表达式. x ( x ? 0) 在矩阵 ? ? ?0 ?1?

0 例3. 求曲线 C : x2 ? y 2 ? 9 在矩阵 M ? ? ?

1? 对应的反射变换作用下得到的 ? ?1 0 ?

图形的周长

例 4:研究直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 在矩阵 ? 达式

?1 0 ? ? 对应的变换作用下变成曲线的表 ?1 -1?

解: 任取直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 的一点 P( x0 , y0 ) , 它在矩阵 ?
? , y0 ?) , 作用下变为 P?( x0

?1 0 ? ? 对应的变换 ?1 -1?

则有 ?

?? ? ? ? x0 ? x0 ?1 0 ? ? x0 ? ? x0 ? x ? x0 ? ? ? ,故 ? ,即? 0 ? ? ? ?? ? ? ? y0 ? ?1 -1? ? y0 ? ? y0 ? x0 ? y0 ? y0 ? y0 ? x0

又因为点 P 在直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 上,所以 3x0 ? 2 y0 ? 1 ? 0
? ? 2( x0 ? ? y0 ? ) ? 1 ? 0, x0 ? ? 2 y0 ? ?1 ? 0 即有 3x0

从而直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 在矩阵 ?

?1 0 ? ? 作用下变成直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 。 ?1 -1?

旋转变换
【问题引入】 假设大风车的叶片在同一个平面内转动, 以旋转中心 O 为 坐标原点建立坐标系, 在大风车的叶片上任取一点 P( x, y) , 它围绕中心点 O 逆时针旋转 ? 角后得到另外一点 P?( x?, y?) ,则旋转前后叶片上的点的位置变 化也可以看做是一个几何变换,怎样用矩阵来刻画这一变换呢?

? x ? r cos ? 设 OP 与 x 轴正向夹角为 ? , | OP |?| OP? |? r ,则有 ? , ? y ? r sin ?

? x? ? r cos(? ? ? ) ? r cos ? cos? ? r sin ? sin ? ? .将 x ? r cos ? , y ? sin ? ? y? ? r sin(? ? ? ) ? r sin ? cos? ? r cos ? sin ? ? x? ? x cos ? ? y sin ? 代入有 ? ? y? ? x sin ? ? y cos ?

? ? ? ? 由题意知: T : ? ? ? ? ? ? ? 即T : ? ? ? ? ? y y? x sin ? ? y cos ? y ? ? y?? ? sin ? x

? x? ? ?

? x? ? ? x cos ? ? y sin ? ? ? ? ? ?

? ?

cos ? ? sin ? ? ? x ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? y?

x?

所以得到变换矩阵为 ?

?cos? ? sin ? ? ?. ? sin ? cos? ?

1.

旋转变换的概念:矩阵 ?

?cos? ? sin ? ? ? 通常称为旋转变换矩阵,对应 ? sin ? cos? ?

的变换称做旋转变换,其中角 ? 叫做旋转角,定点 O 叫做旋转中心. 2. 知识扩展 (1) 当旋转中心为坐标原点且逆时针旋转 ? 角时, 旋转变换的变换

cos? 矩阵为 ? ? ? sin ?

? sin ? ? ;当旋转中心为坐标原点用 cos? ? ?

顺时针旋转 ? 角时,

cos? 旋转变换的矩阵为 ? ?

sin ? ? . ? ? sin ? cos ? ? ?

(2)

旋转变换只改变几何图形的相对位置, 不改变几何图形的形状

和大小. (3) (4) 图形的旋转由旋转中心和旋转的角度共同决定. 显然,绕定点旋转180 的变换相当于关于原点的中心反射变换.

【典例剖析】 考查点 1:有关旋转变换的问题 例 1: 已知 A(0,0) B(2,0) C (2,1) D(0,1) , 求矩形 ABCD 绕原点逆时针旋转 90 后 得到的图形的顶点坐标.

例 2:将双曲线 C: x2 ? y 2 ? 1上点绕原点逆时针旋转 45°,得到新图 形 C ? ,试求 C ? 的方程。

? ?cos 45 -sin45 ? ? 解:由题意,得旋转变换矩阵 M= ? ??? sin45 cos45 ? ? ? ? ?

2 2? ? 2 2 ?, 2 2 ? ? 2 2 ?

任意选取双曲线 x2 ? y 2 ? 1上的一点 P( x0 , y0 ) , 它在变换 TM 作用下变为
? , y0 ?) , P?( x0
? ?? ? x0 ? x x ? 0? ? 0? ? 则有 M﹒ ? ? ? ? ? ,故 ? ?? ? y0 ? ? y0 ? y? ? 0 ? ? ? 2 ( x0 ? y0 ) ? x0 ? ? 2 ,? ? 2 ( x0 ? y0 ) ? y0 ? ? 2 ? 2 ? ? y0 ?) ( x0 2 , 2 ? ? x0 ?) ( y0 2

又因为点 P 在曲线 x2 ? y 2 ? 1上,所以 x02 ? y02 ? 1 ,
? y0 ? ?1 。 即有 2x0
1 2

∴所求的 C ? 方程为 xy ? 。

【自我评价】
0 1. 已知点 A(2, 3) 和点 B(3, 5) ,求向量 AB 在矩阵 M ? ? ? 1? 对应的反射变换 1 0? ? ?

作用下得到的向量的坐标.

0 2. 求直线 y ? 3x 在矩阵 M ? ? ?

1? 对应的反射变换作用下得到的图形的方 ? ?1 0 ?

程.

3. 椭圆 x 形?

2

9

?

y2 0 1? 对应的变换后所得的曲线是什么图 ? 1 在经过矩阵 M ? ? ? ? 16 ?1 0 ?

4. 已知点 P(3,1) 在轴反射变换下的新坐标为 Q(1,3) . (1) 求该反射变换所对应的变换矩阵; (2) 求曲线 y 2 ? x 在此变换作用下所得的图形的表达式,并指出图形的 类型.

5. 求椭圆 x

2

9

?

? y2 ? 1 绕坐标原点逆时针旋转 后所得的曲线的方程. 3 16

6. 在平面直角坐标系 xOy 内,求关于直线 y ? 2 x 的反射变换对应的变换矩

阵.


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