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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第3课时课后达标检测


[基础达标] 一、选择题 1.如果 a?α,b?α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系成立的是( ) A.l?α B.l?α C.l∩α=A D.l∩α=B 解析:选 A.∵a?α,l∩a=A,∴A∈α,A∈l,同理 B∈α,B∈l,∴l?α. 2.正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是线段 C1D,BC 的中点,则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 解析:选 A.直线 A1B 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1,EF?平面 A1BCD1,且两 直线不平行,故两直线相交. 3.对于直线 m、n 和平面 α,下列命题中的真命题是( ) A.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n∥α B.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线, 那么 n 与 α 相交 C.如果 m?α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n D.如果 m?α,n∥α,m、n 共面,那么 m 与 n 相交 解析:选 C.对于选项 A,n 可以与平面 α 相交,对于选项 B,n 可以与平面 α 平行,故 选项 A、B 均错;由于 m?α,n∥α,则 m、n 无公共点.又 m、n 共面,所以 m∥n,选项 C 正确,选项 D 错. 4. 如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且 C?l,直线 AB∩l=M,过 A,B,C 三点的平 面记作 γ,则 γ 与 β 的交线必通过( )

A.点 A B.点 B C.点 C 但不过点 M D.点 C 和点 M 解析:选 D.∵AB?γ,M∈AB,∴M∈γ. 又 α∩β=l,M∈l,∴M∈β. 根据公理 3 可知,M 在 γ 与 β 的交线上. 同理可知,点 C 也在 γ 与 β 的交线上. 5.在四面体 SABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形,E、F 分别是 SC 和 AB 的 中点,则异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( ) A.90° B.60° C.45° D.30°

a 解析:选 C.取 SB 的中点 G,则 GE=GF= ,且 GF∥SA, 2 则∠GFE 即为异面直线 SA 与 EF 所成的角(或其补角).

由于 FC=

3 a=SF, 2 2 a, 2

故 EF⊥SC,且 EF=

则 GF2+GE2=EF2, 故∠EFG=45° . 二、填空题 6. 平面 α, β 相交, 在 α, β 内各取两点, 这四点都不在交线上, 这四点能确定__________ 个平面. 解析:如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面;如果这四点不共面,则任意三点 可确定一个平面,所以可确定四个. 答案:1 或 4 7.设 a,b,c 是空间的三条直线,下面给出四个命题: ①设 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ②若 a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 也是异面直线; ③若 a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交; ④若 a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面. 其中真命题的个数是__________个. 解析:∵a⊥b,b⊥c, ∴a 与 c 可以相交,平行,异面,故①错. ∵a,b 异面,b,c 异面,则 a,c 可能异面,相交,平行,故②错. 由 a,b 相交,b,c 相交,则 a,c 可以异面,相交,平行,故③错. 同理④错,故真命题的个数为 0. 答案:0 8. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, 与 AD1 异面且与 AD1 所成角为 90° 的面对角线(面对角 线是指正方体各个面上的对角线)共有________条. 解析:B1C 与 AD1 异面,连接 B1C,BC1(图略),则 BC1∥AD1,且 BC1⊥B1C,所以 AD1 与 B1C 所成的角为 90° . 答案:1 三、解答题 9. 如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别为 CC1,AA1 的中点,画出平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线.

解:如图所示.PB 即为平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线.

10.已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 BC、 CD 的中点. (1)求证:BC 与 AD 是异面直线; (2)求证:EG 与 FH 相交.

证明:(1)假设 BC 与 AD 共面,不妨设它们所共平面为 α,则 B、C、A、D∈α. 所以四边形 ABCD 为平面图形,这与四边形 ABCD 为空间四边形相矛盾.所以 BC 与 AD 是异面直线. (2)如图,连接 AC,BD,则 EF∥AC,HG∥AC, 因此 EF∥HG; 同理 EH∥FG,则 EFGH 为平行四边形. 又 EG、FH 是平行四边形 EFGH 的对角线, 所以 EG 与 HF 相交. [能力提升]

一、选择题 1. 如图所示,ABCDA1B1C1D1 是正方体,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则下列结论正确的是( )

A.A,M,O 三点共线 B.A,M,O,A1 不共面 C.A,M,C,O 不共面 D.B,B1,O,M 共面 解析:选 A.连接 A1C1,AC(图略),则 A1C1∥AC, ∴A1,C1,A,C 四点共面,∴A1C?平面 ACC1A1. ∵M∈A1C,∴M∈平面 ACC1A1.又 M∈平面 AB1D1, ∴M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上, 同理 A,O 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上. ∴A,M,O 三点共线. 2.(2012· 高考重庆卷)设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2和 a,且长为 a 的棱与 长为 2的棱异面,则 a 的取值范围是( ) A.(0, 2) B.(0, 3) C.(1, 2) D.(1, 3)

解析:选 A.在如图所示的四面体 ABCD 中,设 AB=a,则由题意可得 CD= 2,其他 棱的长都为 1, 故三角形 ACD 及三角形 BCD 都是以 CD 为斜边的等腰直角三角形, 显然 a>0. 2 2 取 CD 中点 E,连接 AE,BE,则 AE⊥CD,BE⊥CD 且 AE=BE= 1-? ?2= ,显然 2 ?2?

A, B, E 三点能构成三角形, 应满足任意两边之和大于第三边, 可得 2×

2 > a, 解得 0<a< 2. 2

二、填空题 3.(2012· 高考大纲全国卷)已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别为 BB1,CC1 的中 点,那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为__________. 解析:

连接 DF,则 AE∥DF, ∴∠D1FD 即为异面直线 AE 与 D1F 所成的角. 设正方体棱长为 a, 5 5 则 D1D=a,DF= a,D1F= a, 2 2 5 5 ? a?2+? a?2-a2 ?2 ? ?2 ? 3 ∴cos∠D1FD= = . 5 5 5 2· a· a 2 2 3 答案: 5 4.

如图所示,在三棱锥 ABCD 中,E,F,G,H 分别是棱 AB,BC,CD,DA 的中点, 则当 AC,BD 满足条件________时,四边形 EFGH 为菱形;当 AC,BD 满足条件________ 时,四边形 EFGH 是正方形. 1 1 解析: 易知 EH∥BD∥FG, 且 EH= BD=FG, 同理 EF∥AC∥HG, 且 EF= AC=HG, 2 2 显然四边形 EFGH 为平行四边形.要使平行四边形 EFGH 为菱形需满足 EF=EH,即 AC= BD;要使四边形 EFGH 为正方形需满足 EF=EH 且 EF⊥EH,即 AC=BD 且 AC⊥BD. 答案:AC=BD AC=BD 且 AC⊥BD 三、解答题

5.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点.

证明:(1)连接 EF、CD1、A1B. ∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点, ∴EF∥BA1. 又∵A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F 四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则由 P∈CE,CE?平面 ABCD, 得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA, ∴CE、D1F、DA 三线共点. 6. (选做题)如图所示,三棱锥 PABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=60° ,PA=AB=AC =2,E 是 PC 的中点.

(1)求证 AE 与 PB 是异面直线; (2)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值; (3)求三棱锥 AEBC 的体积. 解:(1)证明:假设 AE 与 PB 共面,设平面为 α. ∵A∈α,B∈α,E∈α, ∴平面 α 即为平面 ABE, ∴P∈平面 ABE, 这与 P?平面 ABE 矛盾, 所以 AE 与 PB 是异面直线. (2) 取 BC 的中点 F,连接 EF,AF,

则 EF∥PB, 所以∠AEF 或其补角就是异面直线 AE 和 PB 所成的角. ∵∠BAC=60° ,PA=AB=AC=2,PA⊥平面 ABC, ∴AF= 3,AE= 2,EF= 2,

2+2-3 1 cos∠AEF= = , 2× 2× 2 4 1 ∴异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为 . 4 (3)∵E 是 PC 的中点, 1 ∴E 到平面 ABC 的距离为 PA=1, 2 1 1 3 3 VA)×1= . EBC=VEABC= ×( ×2×2× 3 2 2 3


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