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广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件:专题2 第11课时 三角恒等变换


专题二 三角函数

1

考点1 化简与求值
15 例1 已知? 为第二象限的角,且 sin ? ? , 4 sin(? ? ) 4 则 的值为 sin 2? ? cos 2? ? 1

?



切入点:本题属于“给值求值”问题,可先化简, 再求值.
2<

br />
解析

π π π sin(α+ ) sinαcos +cosαsin 4 4 4 = sin2α+cos2α+1 2sinαcosα+2cos 2 α

2 2 (sinα+cosα) = 2 = 2 2cosα(sinα+cosα) 2cosα 15 因为α在第二象限,且sinα= , 4 1 2 所以cosα=- 1-sin α =- , 4 2 所以原式= 2 =- 2. 答案: 2 2cosα
3

1.化简与求值是三角恒等变换的常见题型, 在高考中常将化简与求值结合起来进行考查.解 此类题常遵循“先化简再求值”的原则. 2.对于附加条件的求值问题,要注意条件和 所求式子之间的相互关系,常从“角度”“名称” 及“运算结构”上进行分析,找到已知和未知之 间的联系. 3.利用平方关系求三角函数值时,要注意根 据角所在的象限确定所求三角函数值的符号.
4

变式1 不查表求sin 2 20? ? cos 2 80? ? 3sin20?cos80?的值.
解析 sin 2 20? ? cos 2 80? ? 3sin20?cos80? 1 1 ? (1 ? cos40?) ? (1 ? cos160?) ? 3sin20?cos(60? ? 20?) 2 2 1 1 ? 1 ? cos40? ? (cos120?cos40? ? sin120?sin40?) ? 2 2 3sin20?(cos60?cos20? ? sin60?sin20?) 1 1 3 3 3 2 ? 1 ? cos40? ? cos40? ? sin40? ? sin40? ? sin 20? 2 4 4 4 2 3 3 1 ? 1 ? cos40? ? (1 ? cos40?) ? . 4 4 4
5

考点2 角的变换与求值
? ?

例2(2011? 佛山联考)已知? ? (0, ),? ? ( ,? ), 2 2 7 7 cos2? ? ? ,sin(? ? ? ) ? . 9 9 ?1? 求cos?的值;

? 2 ? 求sin?的值.

6

切入点: ?已知倍角的余弦值,求该角的余弦值 ?1 可用降幂扩角公式,但应注意角的范围问题; ? ?2 使用配角技巧.
7 1 ? (? ) 1 ? cos 2? 2 9 ? 1. 解析 ?1?因为cos ? ? ? 2 2 9 ? 1 又因为? ? ( ,? ),所以cos? ? ? . 2 3

7

1 2 2 2 . ? 2 ?由?1? 知sin? ? 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) ? 3 3 ? ? ? 3? 由? ? (0, ),? ? ( ,? ),得? ? ? ? ( , ), 2 2 2 2
2

所以cos(? ? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) 7 2 4 2 ? ? 1? ( ) ? ? , 9 9 所以sin? ? sin(? ? ? ? ? ) ? sin(? ? ? )cos? ? cos(? ? ? )sin? 7 1 4 2 2 2 1 ? ? (? ) ? (? )? ? . 9 3 9 3 3
8

1.角的变换应特别注意范围的变化与确定. 2. “变角”是三角变换的灵魂,因此,要注意 分析条件与所求之间角的联系,常考察是否具有 和、差、倍、半关系或互余、互补关系.如本题 中2? 与? 是倍角关系.此外,根据条件与所求中 的角的特点,常要对角进行恰当的配凑,如:? ? (? ? ? ) ? ?,

? ??

2 ? ) ? (? ? ? )等.

? (? ?

?
2

)?(

?
2

? ? ),? ? (? ? 2

9

3? 12 变式2 已知 ? ? ? ? ? ,cos(? ? ? ) ? , 2 4 13 3 sin(? ? ? ) ? ? ,求sin2?的值. 5

?

10

解析

3? 所以0 ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ? , 4 2 5 2 所以sin(? ? ? ) ? 1 ? cos ?? ? ? ? ? , 13 4 2 cos(? ? ? ) ? ? 1 ? sin ?? ? ? ? ? ? , 5 所以sin2? ? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? sin(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )sin(? ? ? ) 5 4 12 3 56 ? ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 5 65
11

3? 因为 ? ? ? ? ? 2 4

?

?

考点3 三角恒等变换的综合
例3(2011? 肇庆模拟)已知A、B、C是? ABC的三个内角, 向量m ? (1, 3),n ? (cosA,sinA),且m ? n ? ?1. ?

?1? 求角A的大小;
sin B ? cos B ? 3,求tanC的值. ? 2? 若 sin B ? cos B

切入点: ? 先“脱去”向量包装,利用数量积公式 ?1 转化为三角方程再求角A; ? 先解方程求出tanB, ?2 再利用内角和定理及和角的正切公式求tanC即可.
12

解析

? ?1?因为m ? (1,

3),n ? (cosA,sinA),

m ? n ? ?1, 1 所以cosA ? 3sinA ? ?1,所以sin( A ? ) ? . 6 2 ? ? 5? ? ? 因为 ? ? A ? ? ,所以A ? ? , 6 6 6 6 6 得A ?

?

?
3

.

13

sin B ? cos B ? 3,cosB ? 0, ? 2 ?因为 sin B ? cos B tan B ? 1 所以 ? 3,所以tanB ? 2, tan B ? 1 所以tanC ? tan[? ? ? A ? B ?] ? ? tan ? A ? B ? tan A ? tan B ?? , 1 ? tan A tan B 3 ?2 8?5 3 即tanC ? ? ? . 11 1? 2 3
14

1.三角问题常和向量知识综合在一起,求解 的关键是“脱去”向量包装,将其转化为相应的三角 问题进行求解. 1 ? cos 2? 2.倍角公式及其变形sin ? ? 与cos 2? 2 1 ? cos 2? ? 可实现三角函数的升、降幂变化,也可 2 实现角的形式的转化.
2

3.关于sin?,cos?的同次式,常化正切进行处 理.
15

??? ? 变式3(2011? 广州调研)设向量OA ? (3, 3), ? ??? ? ? OB ? (cos?,sin? ),其中0 ? ? ? . 2 ?1? 若 AB ? 13,求tan?的值;

? 2 ? 求?AOB面积的最大值.

16

解析

??? ??? ??? ? ? ? ?1? 依题意得 AB ? OB ? OA

? (cos? ? 3,sin? ? 3), ??? 2 ? 所以 | AB | ? (cos? ? 3)2 ? (sin? ? 3)2 ? 13 ? 6cos? ? 2 3sin? ? 13, 所以 3sin? ? 3cos? . 因为cos? ? 0,所以tan? ? 3.

17

? 2 ?由0 ? ? ?
所以S ? AOB

?

1 ? ? ? 2 3 ? 1 ? sin(? ? ) 2 6 ? 3sin(? ?

2 6 ? ? 1 ??? ??? ? | OA || OB | sin?AOB 2

,得?AOB ? ? ?

?



?
6

).

所以,当? ?

?
3

时,?AOB的面积取得最大值 3.

18

1.三角恒等变换的基本题型一般有化简、 求值和证明三种.解这类题时需注意以下几个方 面: (1)角少、项少、次数低是化简的目标.当题 中角不同(有单角、倍角),名不同(有正弦、余弦), 次数不同(有一次、二次)时,可以从变角、变名、 变次入手求解. (2)求值要注意象限角的范围、三角函数值的 符号之间的联系与影响,较难的问题需要根据已 知的某三角函数值进一步缩小角的范围.
19

(3)证明是利用恒等变换公式将等式的左边 变同于右边,或右边变同于左边,或将左右都进 行变换使其左右相等. 2.三角恒等变换的过程与方法,实际上是 对三角函数式中的角、名、形的变换,即: (1)找差异:角、名、形的差别; (2)建立联系:角的和差关系、倍半关系等, 名、形之间可以用哪个公式联系起来;

20

? 3? 变公式:在实际变换过程中,往往需要
将公式加以变形后顺用或逆用公式,如升、降 幂公式, cos? ? cos? cos(? ? ? ) ? sin? sin(? ? ? ),? 1 sin 2? ? cos 2?, 1 ? tan 30? tan 45? ? tan 30? ? ? tan(45? ? 30?)等. 1 ? tan 30? 1 ? tan 45? tan 30?

21


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