tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

第八章 解析几何3.25


第八章 解析几何 一、高考要求: 1. 理解直线的方向向量和法向量的概念,掌握直线点向式方程的和点法式方程。 2.了解直线的倾斜角和斜率的概念,会求直线的斜率,掌握直线的点斜式方程和斜截式方 程一般式方程。 3.会求两曲线的交点坐标。 4.会求点到直线的距离,掌握两条直线平行与垂直的条件。 5.了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划的概念 6.掌握二元一次不等式(组)

表示的区域。 7.掌握线性规划问题的图解法,并会解决简单的线性规划应用问题。 8.掌握圆的标准方程和一般方程以及直线与圆的位置关系,能灵活运用它们解决有关问题。 9.了解待定系数法的概念,会用待定系数法解决有关问题。 10.掌握圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的概念、标准方程和性质,能灵活运用它们 解决有关问题。 二、近五年考情 1.考查知识统计
考查知识点

年份及总分

直线的 方程

到直线的距 离,掌握两条 直线平行于 垂直的条件

线性 规划

圆的方程 及直线与 圆的位置 关系

椭圆、 的 概念、 标 准方程 和性质

双曲线的 概念、 标准 方程和性 质

抛物线的 概念、 标准 方程和性 质

考查 总分 值

2010 年 100 分 2011 年 100 分 2012 年 150 分 2013 年 150 分 2014 年 120 分

T32 X29

X21 X15,X21,X26 X9,T29,J35 X3,X8 T21 X21 X20 X16

X24 J38 X29.J35 T21

X4

J37 J38 X13,X24 J35 J30

X30 X25,T34 T30 X25 X19

X27 J10 X14 X15

18 分 21 分 31 分 31 分 26 分

2.考情分析:
本章内容是春季高考考试的重点内容,在考试中占 20%左右,出题形式灵活多样,有选 择题、填空题和解答题。考试题以基础题目为主,侧重考查基本知识和基本技能。选择题、 填空题、解答题均有出现,其中直线方程的点斜式及斜截式,点到直线的距离,圆的方程, 及直线与圆的位置关系,圆锥曲线为主要考查内容,难度为中等偏难。

三、复习建议
本章内容包括直线方程,圆的方程以及线性规划的初步知识,椭圆、双曲线和抛物线等 内容,是用代数的方法研究几何问题。 本章知识属于重难点知识,考查难度中等偏难,结合三角、向量进行考察时难度将加大, 复习时应以中等题为主,适当加强两直线的位置关系、直线与直线的位置关系、直线与圆的 位置关系以及直线与圆锥曲线的位置关系和圆锥曲线的性质的有关问题的练习。对线性规划 问题的练习以选择和填空题为主,不要太多、太难。 四、知识框架:

1

2

§ 8.1 直线方程的点向式和点法式
一、高考要求

理解直线的方向向量和法向量的概念,掌握直线点向式方程的和点法式方程。
二、基础再现 ? ? 1、直线的方向向量:如果非零向量 v 与直线 l 平行,则称向量 v 为直线 l 的方向向量,一条直线的方向向 量并不唯一。 2、若 v ? (

v , v ) 是直线 l 的一个方向向量,则 tv (t ? R, 且t ? 0) 也是这条直线的一个方向向量。 ? 3 、已知直线 l 经过点 P( x , y ) ,且与 l 平行的一个向量 v ? (v , v ) , 求这条直线 l 的方程点向式方
1 2

?

?

0

0

1

2

程: . ? 特别地,当方向向量 v 不与坐标轴平行时,直线方程可以写成比例的形式: ? 当 v 与 x 轴平行时,直线的方程为: ; ? y 当 v 与 轴平行时,直线的方程为: ; ? 4、与一条直线垂直的 向量叫做这条直线的法向量,通常用 n 表示。

5、已知点 P0(x0,y0)是直线 l 上一点,设点 P(x,y)为直线上任意一点,直线法向量 n ? ( A, B) ,则点 P 在 直线 l 上的充要条件是 。

?

6、设 n ? ( A, B) 是直线 l 的一个法向量,根据法向量 n 可知 v ? ( B,? A) 是直线的一个方向向量。 7、在一个平面内,同一条直线的所有方向向量都 ,所有法向量都 ,任意一条方向 向量和任意一条法向量之间都 . 三、基础达标 1、直线

?

?

?

x ?1 y ? 3 经过的一个点和一个方向向量可能是 ? 2 3





A.(-1,-3) , (-2,3) B.(-1,3) , (2,-3) C.(1, 3) (2, 3) D.(-1,3) , (2,3) 2、 直线 2(x-1)-3(y-3)=0 经过的一个点和一个方向向量可能是 ( ) A. (1,3) , (-2,3) B. (1,3) , (3,2) C. (1,3) , (2,-3) D. (-1,3) , (2,3) ? 3、过点 P0(3,-2),且垂直于向量 n =(3,0)的直线方程是 ( ) A. 2x-3y+7=0 B.y=-2 C. x=3 D. x-3y-9=0. 4、直线-2(x+1)-3(y+4)=0 经过的一个点和一个法向量可能是 ( ) A. (1,-4) , (2,3) B. (-1,4) , (2,-3) C. (1,4) , (2,3) D. (-1,-4) , (-2,-3) 5、已知直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的一个方向向量是( ). A. (2,-3,) B. (2,3,) C. (-3,2) D. (3,2) 6、写出与直线 4x-3y-3=0 的法向量同向的一个单位向量是 7、已知直线 l 经过点 A(-2,0) ,B(0,2) ,则 l 的点向式方程是 。 8、已知直线的斜率 2,则它的一个方向向量为_______,它的一个法向量为_______________。 ? 9、求过点 P,且方向向量为 v 的直线的点向式方程。 ? (1)P(-3,0), v =(-1,2) ? (2)P(-4,-2), v =(-1,1) 10、求经过点 A(1,-2) ,B(2,3)的直线的点法式方程.

四、名师指导 1、求解直线的点向式方程,其关键是要把握住一个点和一个方向向量。一个点就是直线经过的已知点, 一个方向向量就是与直线平行的一个方向向量。方向向量有时并不是直接给出,而是通过直线的两个点的 坐标间接给出。 2、直线的点法式方程的本质是两个向量垂直时内积为零,其表达式就是两个向量垂直时的内积的坐标表 达式。
3

五、特别提醒 1、对于经过已知点
0 0

P ( x0, y ) ,方向向量 v ? (v , v ) 的直线点向式方程 v ( x ? x ) ? v ( y ? y ) ? 0 y? y x? x 的适用条件是任意类型,但对于比例形式的 点向式方程适用条件是 v ? 0, v ? 0 ,即直 ? v v
1 2
2 0 1 0

?

0

0

1

2

1

2

线的方向向量不能和坐标轴平行。 2、直线的方向向量和法向量不唯一,所有的直线的方向向量或法向量都共线。 六、典型例题 题型一、已知点与方向向量求直线方程 ? 例 1 求通过点 P0(1,3),且直线的一个方向向量为 v ? (3,2) 的直线方程。

? 【思路点拨】:由于直线的方向向量 v ? (3,2) 不和坐标轴平行,可以采用比例式得到 x ? 1 ? y ? 3 , 3 2
经过整理可得 2x-3y+7=0

变式训练: 求通过点 P(-2,-3) ,且方向向量分别为 v1 ? (0,?1) , v2 ? (3,0) 时的两条直线方程。

题型二、已知两点求直线方程 例 2、已知 A(3,-10)、B(-9,2),求线段 AB 的垂直平分线 l 的点法式方程。

【思路点拨】:根据题意可知,向量 AB 为垂直平分线 l 的法向量,线段 AB 的中点是直线 l 必过的一点, 由此可知已经满足直线点法式的条件,容易求出直线 l 的方程

【变式训练】已知 A(3,-10)、B(-9,2),求 AB 所在的直线方程

题型三、通过直线的截距求直线其它问题 ? 例 3、已知直线在 x 轴的截距为-2,在 y 轴的截距为 3,求出该直线的一个法向量 n 【思路点拨】:直线与坐标轴的截距的本质就是直线上有两个已知点(-2,0) 、 (0,3) ,再根据这两点 可以确定直线的一个方向向量,由此可以写出该直线的一个法向量。

4

变式训练: 已知直线的点法式方程-12(x+3)+12(y+4)=0,请写出该直线的一个点向式方程。

七、知能训练 1、直线

x ?6 y ?5 的一个方向向量是( ? 3 ?4

).

A.(6,5) B.(3,-4) C.(-4,3) D.(5,6) x-2 y-3 2、直线 = 经过下列的点是( ) 5 -3 A.(5,-3) B.(2,3) C.(-2,-3) D.(-3,5) ? 3、已知直线的一个法向量 n =(2,7), 则还可能是直线的一个法向量的是 ( A. (2,-7) B.(7,2) C. (-2,-7) D.(-2,7) 4、已知直线的倾斜角为 A.



? ,下列向量不是该直线的法向量的是( 6
(
D.



3 3 ,?1) C. (? ,?1) 3 3 ? 5、过点(3,-2)且平行于向量 v =(1,0)的直线方程是( (? 3 ,1) 3
B.

(? 3,3)

). A.x=3 B.y=-2 C.3x-2y=0 D.2x-3y=0 6、.若 A(2,2),B(a,0) ,C(0,4)三点共线,则 a 等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7、已知直线的倾斜角为

? ,下列说法正确的是( 2



A. 方向向量不存在 B. 斜率不存在 C.法向量不存在 D.都不存在 8、b=0 直线 y=-3x+b 经过原点的( ) 条件 A.充分 B.必要 C. 充要 D.即不充分也不必要 9、经过点C(2,3)且平行y轴的直线方程为 .经过点C(2,3)且平行x轴的直线 方程为 . ? 10、已知直线的法向量 n ? (?2,1) ,则它的一个方向向量为_______,它的一斜率为_______________。 11、已知直线 l 的一个法向量为 n ? (?1,2) ,该方向向量的单位向量

?

x ?1 y ? 3 的任意两个不同的方向向量 . ? 2 3 1 13、已知点A(3,-1),B(-2,1),C( ,0)上,判断三点是否在同一条直线上。 2
12、写出直线

14、若 ?ABC 的顶点 A(0,1), B(?1, ?2), C (3,2) ,求 BC 边上的高所在的直线方程。

15、已知直线 l 过点 P (2, ?3) ,且在 x 轴、 y 轴上的截距相等,求:

(1)直线 l 的点法式方程; (2)当 x ? ?2 时, y 的值.

5

§ 8.2 直线方程的点斜式和一般式
一、高考要求

1.了解直线的倾斜角和斜率的概念,会求直线的斜率 2. 掌握直线的点斜式方程和斜截式方程一般式方程。
二、基础再现 1、直线的斜率的定义:如果 v ? (v1 , v2 ) ,是直线 l 的一个方向向量,且 v1 ? 0 ,那么 率;已知直线上两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则该直线的斜率 k=

?

v2 就叫做直线 l 的斜 v1


? 2、当 v ? (v1 , v2 ) 的 v1 ? 0 时,直线的斜率
设 ? 是直线的倾斜角,则 ? 的取值范围是

.

,此时直线 l 与 x 轴 3、如果已知直线的斜率为 k,则(1,k)是该直线的一个方向向量。

当 ;当 2 时,直线的斜率 k 与倾斜角 ? 的关系是 4、已知直线经过点 P( x0 , y0 ) ,斜率为 k,那么该直线的点斜式方程为

??

?

??

?
2 时,直线的斜率为

5、若直线与 y 轴的交点(0,b),且该直线的斜率为 k,则直线的斜截式方程是 ;直线在 y 轴 上的截距是直线与 y 轴交点的纵坐标,不要错误认为是截得的距离。它的取值可正、可负、还可是 0. ? 6 、方程 Ax ? By ? C ? 0 ( A, B 不全为零 ) 叫做直线的一般式方程 . 方向向量 v =__________, 法线向量

? n =___________,斜率 k =________( B ? 0 ).

7、任何关于 x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(A、B______________)的图象都是__________________.在 平面直角坐标系中,任意一条直线都可以用二元一次方程 Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0)来表示。 三、基础达标 1、方程y+1=k(x+2)表示 ( ) A.通过点(-2,-1)的所有直线 B.通过点(-2,-1)且不垂直于x轴的所有直线; C.通过点(-2,-1)且去除x轴的所有直线. D.通过点(-2,-1)且不垂直于y轴的所有直线; 2、已知直线的斜率为 3,则不是这条直线的一个方向向量可能是( ) A.(3,1) B.(-1,-3) C.( ?

1 ,-1) 3

D.(

1 ,1 ) 3


3、已知直线的一个方向向量(3,-1) ,则这条直线的斜率是( A. 3 B.-3 C. ?

1 3 4、平面直角坐标系中,直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角为( ) 2? 5? ? ? A. B. C. D. 3 6 6 3 5、.直线 ax ? by ? 1 ? 0 经过一、二、四象限的充要条件为( ). A. a ? 0, b ? 0 B. ab ? 0 C. a ? 0, b ? 0 D. a ? 0, b ? 0 6、已知直线 l 经过点 A(1,-2) ,B(-3,2) ,则直线 l 的斜率是 ,倾斜角是 7、直线 l 的方程为 y=-3,该直线的倾斜角是 斜率是 1 3
D.

.

8、直线 3x-2y+k=0 在两坐标轴上的截距之和为 2,则实数 k 的值是 9、已知直线 l 与直线 2x+3y-7=0 的斜率相同,且过点 P(2,-1),求该直线 l 的方程. 10、已知直线过点(2,-3) ,且与 3x -2y+5=0 的法向量同向,求该直线的方程 四、名师指导 1、直线的斜率与直线的方向向量二者之间的转换,是把点向式方程和点斜式方程统一起来的关键。如果 已知直线 l 的一个方向向量 v ? (v1 , v2 ) ,那么斜率 k

?

2 ?v v1

;如果已知直线 l 的斜率为 k ,那么(1,k)就是它的

6

一个方向向量. 2、直线的一般式方程首先要记住它的结构:方程 Ax ? By ? C

? 0 ( A, B 不全为零),用 x 的系数,y 的系 ? 数做成的向量 n ? ( A, B) 是一个有序的数对,也就是直线的法向量。同一直线的法向量、方向向量、斜率、
倾斜角等之间有着内在的联系,它们之间的转换是学好本节的关键。 五、特别提醒 1、直线的点斜式方程,从本质上来讲是为(1,k)为方向向量的点向式方程。从这个意义上来讲,直线 的点向式和点斜式是一样的。但二者又有一点区别,特殊在于当倾斜角为

? 时,直线的斜率不存在,也就 2

是直线此时没有点斜式方程,但直线的点向式方程依然存在。 ? ? 2、 直线方程 Ax ? By ? C ? 0 ( A, B 不全为零)的一个法向量 n ? ( A, B) 是不唯一的, 方向向量 v ? ( B,? A) 或 v ? ( ? B, A) ;特别当 B ? 0 时,斜率 k ? ?

?

A . B

六、典型例题 题型一、已知点和倾斜角求方程 例 1、已知一条直线经过点 P(-2,3), 倾斜角为 60o,求这条直线的方程。

【思路点拨】:根据倾斜角和斜率的关系,不难知道斜率 k=tan60o = 3 ,再由直线的点斜式方程不难得
到该直线的方程.

变式训练: 已知直线的方程为 3x ? y ? 2 3 ? 0 ,求该直线的倾斜角.

题型二、已知两点利用点斜式求直线方程 例 2、已知直线过点 A(1,-4) 、B(2,-2) ,求该直线方程. 【思路点拨】: 首先通过直线上两点来求直线的斜率, 然后再使用点 A 或者点 B 的坐标。 根据直线的点斜式方程便可求出 直线方程.

变式训练: 设直线过点 P(-2,-3),且在 y 轴上的截距为-5,求出该直线方程.

题型三、利用点斜式或点向式求直线一般式方程 例 3、根据下列条件,写出直线的方程,并把它写成一般式 (1)经过点 (8, ?2) ,斜率为 ? (2)经过点 (3, ?2), (5, ?4) ;

1 ; 2

【思路点拨】:本题主要是从前面学习的点斜式方程,点向式方程出发,整理成直线的一般式方程,目
的是让大家熟悉直线方程的各种形式的转化与异同。
7

变式训练: 写出直线的方程,并把它化为一般式: (1)在 x 轴和 y 轴的截距分别为

3 , ?3 ; 2

(2)经过点 (3, 0) ,且直线的法向量为(2,1) ;

七、知能训练 1、直线 y ? ? A.

? 6

3 x ? 1的倾斜角是( ) 3 5? ? 2? B. C. D. 6 3 3


2、已知直线的方程为 x+2y-6=0,则该直线的斜率为(

1 A. 2

1 B. ? C.2 D.-2 2 3、经过点 (3, 0) ,且直线的法向量为(2,1),该直线的一般式方程是(
A.2(x-3)+y =0 B.2x-y+6=0 C.2x+y-6=0 D.2x+y+6=0 4、已知直线的倾斜角为 45°,在 y 轴上的截距为 2,则此直线方程为( A.y=x+2 B.y=x-2 C.y=-x+2 D.y=-x-2 5、直线 y ? ax ?
y

) )

1 的图象可能是( a
y


y

y

0

x

0

x

0

x

0

x

6、 已

A

知点(x0 , y0 )

B

在 直 线

C

y?

1 x ? 1 上, 2 D

则 x0-2y0 等于(



A.2 B.1 C.-1 D.不确定 7、直线 l 过点(3,2)且斜率为-4,则直线 l 的方程为( ) A.x+4y-11=0 B.4x+y-14=0 C.x-4y+5=0 D.4x+y-10=0 8、直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 45°,则实数 a、b 满足的关系是(
A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1



9、经过点(-4,3) ,且倾斜角为 75o 的直线方程为 10、求经过点 A(2,1)且与直线 2x+ay-10=0 垂直的直线 l 的方程

.

11、已知直线的斜截式方程是 y=-x-6 那么直线的斜率为___________,倾斜角为_______,在 y 轴的截距 为____________. 12、若 ac>0 且 bc<0,直线 ax+by+c=0 不通过第 象限 13、已知直线 l 与直线 2x-3y+7=0 的斜率相同,且过点 A(2,1),求该直线的方程.

8

14、已知:一条直线过点(1,-2),它的倾斜角等于直线 y ? 3x ?1 倾斜角的 2 倍,求该直线的方程.

15、直线 l 的方程为 (a ? 1) x ? y ? 2 ? 0 (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 a 的值; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围。

§ 8.3 两条直线的位置关系
一、高考要求

1.会求两直线的交点坐标。 2.会求点到直线的距离,掌握两条直线平行与垂直的条件。
二、基础再现 1、平面内两条直线的位置关系:_____________、___________、______________. 2、两条直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0 l1与l2平行的充要条件:_______________________________;或_______________________. l1 与 l2 重合的充要条件:____________________________;或_________________________. 3、两条直线的方程为 l1 :A1x+B1y+C1=0与 l2 :A2x+B2y+C2=0

l1 与 l2 相交的充要条件:_____________________; l1 与 l2 垂直的充要件:________________; 4、 求两条直线 l1 :A1x+B1y+C1=0与 l2 :A2x+B2y+C2=0
的交点,就是________________________;方程组的解就是这两条直线的________________. 5、点到直线的距离: 点 P( x0 , y 0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离:______________ _____. 点 P( x0 , y 0 ) 到直线 Ax ? C ? 0 的距离:___________.点 P( x0 , y 0 ) 到直线 By ? C ? 0 的距离: ______________ _____. 6、两平行线间的距离: 两平行线 Ax ? By ? C1 ? 0 和 Ax ? By ? C 2 ? 0 的距离________________. 三、基础达标 1、过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2、直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定,与m,n取值有关
3、两平行直线 y=kx+b1 与 y=kx+b2 之间的距离是(



A .b1-b2

B.

b1 ? b2 1? k 2

C. b1 ? b2

D. b2 ? b1 )

4、直线Ax+4y-1=0与直线3x-y-C=0重合的条件是(
9

A.A=12,C≠0 C.A=-12,C≠-

B.A=-12,C=

1 4

1 4

D.A=-12,C=-

1 4


5、点 p(x,y)在直线 x-y-4=0 上,O 是原点,则 op 的最小值是( A. 10 B. 2 2 C. 6 D.2 6、到直线 3x-4y-1=0 的距离为 2 的直线方程是 7、已知直线 3x+2y-3=0 与 6x+my+1=0 互相平行,则 m= 8、直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1,m),则a=

,c=

,m=

.

9、已知直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0,且在 y 轴上的截距为

1 ,求 m、n 的值 3

10、已知直线 x+2y=6 和两坐标轴交于 A,B 两点,求 AB 线段垂直平分线的方程. 四、名师指导: 1、判断两条直线的平行时的位置关系,可以通过直线一般式方程的系数来确定;当然也可通过直线的方 向向量,法向量,斜率等视角来分析判断。 2、关于两条直线相互垂直的问题,要把握住两条直线的法向量互相垂直,方向向量也互相垂直;而且当 两条直线垂直时,一条直线的法向量正好是另一条直线的方向向量。 3、直线方程的形式有好多种,但最后都可以转化为一般式。这样点到直线的距离公式,最终以直线的一 般式为标准确定为一种形式,便于记忆和应用。 五、特别提醒 1、在解决两直线垂直的问题时,尽量把直线化为一般式,缺失项看作其系数为零。两直线的交点坐标就 是由直线的方程做成的方程组的解。 2、两条平行线之间的距离公式 d ?

c2 ? c1 A2 ? B 2

,应用之前首先要观察两条直线的一般式方程的系数是否一

样,如果不一样就要进行相等转化,然后才能应用公式。 六、典型例题 题型一、判断两条直线平行的条件 例 1、判断或证明直线的平行关系 已知直线 l1 , l2 ,求证: l1 // l2 (1) l1 :3x+6y+10=0, l2 :x=-2y+5 (2) l1 :3x+9=0, l2 :2x=10

【思路点拨】:把直线的方程都化成一般式,然后根据直线平行的充要条件来证明。

变式训练:若直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与 x ? (a ? 1) y ? 2 ? 0 平行,求 a 的值

题型二、直线相交求交点 例2、已知两条直线的方程 l1 :3x+4y-2=0, l2 :2x+y+2=0,判断这两条直线是否相交,如果相交,求出 交点的坐标。 【思路点拨】: 根据直线相交的充要条件来判断两条直线是否相交; 如果相交再把两条直线的方程联立方程组, 解方程组,
10

从而求出交点坐标。

变式训练: 求经过直线 l1 :x-6y+4=0 和直线 l2 :2x+y=5 的交点,并且与直线 l2 垂直的直线方程;

题型三、两平行直线间的距离 例 3、求两条平行直线 x+3y-4=0 与 2x+6y-9=0 之间的距离。 【思路点拨】:应用之前首先要观察两条直线的一般式方程的系数是否一样,然后再利用两平行线间的 距离公式。

变式训练:两直线 3x+y-3=0 与

6 1 x ? y ? ? 0 平行,求它们之间的距离。 m m

七、知能训练 1、已知直线 l1 : (k-3)x+(4-k)y+1=0 与 l 2 :2(k-3)x-2y+3=0 平行,则 k 的值是( A.1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 2、点(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离是( ) A. )

1 2

B.

2 3 2 3 C. D. 2 2 2
)A. k ? ?

3、若直线 l1 :y=kx+k+2 与 l2 :y=-2x+4 的交点在第一象限,则实数 k 的取值范围是(

2 3

2 或 k>2 3 4、直线 2x–y+c=0(c>0)与 2x-y+2=0 的距离等于 5 ,则 c 等于( 1 A.3 B.7 C. D.-3,7 10
B.k<2 C. ? D. k ? ?

2 ?k ?2 3



5、在坐标平面内,与点 A(-2,-1)和点 B(4,7)的距离均为 5 的直线共有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 6、若直线 l1 :ax+3y+1=0 与 l2 :2x+(a+1)y+1=0 互相平行,则 a 的值是( ) A.-3 B.2 C.-3 或 2 D.3 或-2 7、点(4,a)到直线 4x-3y=1 的距离不大于 3,则实数 a 的取值范围是( ) A.[2,12] B.[1,12] C.[0,10] D.[-1,9]
11

8、若过点 A(2,-2) 、B(5,0)的直线与过点 P(2m,1) 、Q(-1,1-m)的直线平行,则 m 的值为( A.-1 B.1 C.-2 D.



1 2

9、直线 x+y+2=0 上点到原点的距离的最小值为 10、过点(1,2)且与直线 x+2y-1=0 平行的直线的方程是 11、过直线 l1 :2x-3y+2=0 与 l2 :3x-4y-2=0 的交点且与 4x+y-4=0 平行的直线方程为 12、直线 l 过 P(3,4) ,且 A(-2,3) ,B(8,13)到直线 l 距离相等,则直线 l 的方程为 13、直线 l1 :ax+(1-a)y-3=0 与 l2 :(a-1)x+(2a+3)y=2 互相垂直,求 a 的值.

14、已知点 M 是点 P(4,5)关于直线 y=3x-3 的对称点,则过点 M 且平行于直线 y=3x+3 的直线方程。

15、已知 A(-1,3),B(3,-2) ,C(6,-1) ,D(2,4) ,求四边形 ABCD 的面积. y
(-1,3)

D
(3,-2)

A

A(-1,3) D(2,4) O C x O (6,- 1) B y (3,-2)
(2,4)

§ 8.4 圆的方程及直线与圆的位置关系
一、高考要求

1.掌握圆的标准方程和一般方程以及直线与圆的位置关系,能灵活运用它们解决有关问题。 2.了解待定系数法的概念,会用待定系数法解决有关问题。
二、基础再现 1、平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是_______ _.定点是________,定长是______________. 2、圆的标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ( r ? 0 ) 其中圆心__________,半径_______________。 特别:当圆心在原点,半径为 r 时, 圆的标准方程为:______________________. 3、直线和圆的位置关系:__________,__________,________.
2 2 2

判断直线和圆的位置关系主要用几何法,利用圆心到直线的距离 d 和半径 r 比较。

d ? r ? 相交 ; d ? r ? 相切 ; d ? r ? 相离
4、圆的切线方程: 过圆 x 2 ? y 2 ? 1 上一点 P( x0 , y 0 ) 的圆的切线方程: x0 x ? y0 y ? r ? 0
2

P( x0 , y0 ) 过圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 外一点 圆的切线方程:肯定有两条,设切线的斜率为 k ,写出切线
2 2 2

方程(点斜式) ,再利用圆心到直线的距离等于半径列出方程解出 k 。 5、方程:
12

(x ?

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4
2 2

(1)当 ____________时,表示以 ________为圆心、以 _________为半径的圆; (2)当 D ? E ? 4 F ? 0 时,表示一个点 (?
2 2

D E ,? ) ; 2 2

(3)当 D ? E ? 4 F ? 0 时,不表示任何曲线。 6、圆的一般方程的特点: 二元二次方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是: (1)________________ (2)____________ (3)_________________. 三、基础达标 1、圆心(-1,0) ,半径为 3 的圆的方程是( ) 2 2 2 2 A. (x-1) +y =3 B. (x+1) +y =3 C. (x+1)2+y2=9 D. (x+1)2+y2=9 2 2 2 2、方程 x +y +2ax-b =0 表示的是( ) A.一个圆 B.只有当 a=0 时,才能表示一个圆 C.一个点 D.a,b 不全为 0 时,才能表示一个圆 3、方程 x2+y2-4x+6y+f=0 表示圆的充要条件是( ) A.f>0 B.f<52 C.f<13 D.f<5 4、已知两点 A(1,-2) ,B(-3,4) ,则以 AB 为直径的圆的方程为( ) 2 2 2 2 A. (x+1) +(y-1) =13 B. (x-1) +(y+1) =13 C. (x+1)2+(y-1)2=52 D. (x-1)2+(y+1)2=52 5、x2 +y2 -4x+6y=0 和 x2 +y2 -6x=0 的连心线方程是( ) A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0 2 2 6、直线 y ? m x ? 4 与圆 x ? y ? 4 有两个交点的充要条件是 。 2 2 7、 “k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x +y =1 相交”的 条件 2 2 8、若 x +y +(λ -1)x+2λ y+λ =0 表示圆,则λ 的取值范围是 9、求圆心在 2 x ? y ? 0 上,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 切于点(2,-1)圆的方程

10、方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线是以 (-2,3)为圆心,4 为半径的圆。求 D、 E、 F 的值

四、名师指导 1、圆的标准方程有两个主要的元素:圆心和半径。点与圆的关系本质是点与圆心的两点间的距离;线与 圆的关系的本质是圆心这个点到直线的距离。把握住这些就能够轻松解决相关的圆的问题。 2、用待定系数法求圆方程的大致步骤是: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 r,b、a、或 D、E、F 的方程组; (3)解出 r,b、a、或 D、E、F,代入标准方程或一般方程 五、特别提醒 1、过一点在求圆的切线方程时,一要注意该点在圆上还是圆外,二要注意切线没有斜率的情况。 2、何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用
13

圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程;如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往 往设圆的一般方程. 六、典型例题 题型一、求圆的标准方程 例 1、求过两点 A(1 , 4) 、 B (3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点 P ( 2 , 4) 与圆的关系.

【思路点拨】:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点 P 与圆的位置 关系,只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,
则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.

变式训练:已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3) ,求以 P1P2 为直径的圆的方程,并试判点 M(6,9)是否在 该圆上

题型二、求圆的切线
2

4 ? 与圆 O 相切的切线. 例 2、已知圆 O:x ? y ? 4 ,求过点 P ?2,
2

【思路点拨】: 根据两点间的距离可知,点 P 在圆外,过点 P 必定有两条切线,假设直线斜率存在,利用点斜式求出 直线的斜率,同时要考虑到可能直线的斜率不存在的情况。

变式训练: 过圆 x ? y ? 1 外一点 M ( 2,3) ,作这个圆的两条切线 MA 、 MB ,切点分别是 A 、 B ,求直线 AB 的方 程。
2 2

题型三、求直线与圆的关系问题
2 2 例 3、直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,求 a 的取值范围是。
2 2 2 【思路点拨】 :首先圆的方程化为标准方程 x ? ( y ? a) ? a ,有题意可知圆心到直线的距离大于半径。

14

变式训练: 已知直线 l :y=x+6,圆 C:x2+y2-2y-4=0,试判断直线 l 与圆 C 有无公共点,有几个公共点.

题型四、待定系数法的应用 例 4、求经过 A(4, 2), B(?1,3) 两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为 4 的圆的方程.

【思路点拨】::设出圆的一般方程,用待定系数法求解。待定系数法的一般步骤是“设(设含待定系数
的方程)→列(利用条件列出系数所满足的方程组)→求(解方程组)→写(写出所求方程) ” 。 当已知 圆上三点或两点时,选用圆的一般方程形式较为简单. 当易知圆心和半径时,选用圆的标准方程形式易求 解。

变式训练:求经过三点 A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程

七、知能训练 1、以(2,0)为圆心,经过原点的圆方程为( ) 2 2 2 2 A. (x+2) +y =4 B. (x-2) +y =4 C. (x+2)2+y2=2 D. (x-2)2+y2=2 2 2 2、已知圆的方程为 x +y -2x-2y-8=0,那么该圆的一条直径所在直线的方程为( ) A.2x-y-1=0 B.2x-y+1=0 C.2x+y+1=0 D.2x+y-1=0 2 2 3、若点 P(5cosθ ,5sinθ ) ,圆 C:x +y =25,则点 P 与圆 C 的位置关系是( ) A. 点 P 在圆 C 内 B.点 P 在圆 C 上 C.点 P 在圆 C 内或圆 C 上 D. 点 P 在圆 C 上或圆 C 外 4、若圆(x+a)2+(y+b)2=r2(r>0)的圆心在第二象限,则直线 y=ax+b 必不经过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5、A=C≠0,B=0 是方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件 6、圆 C: (x-1)2+(y-2)2=4 上的点到点(-2,-2)的最小距离为( A.9 B.7 C.5 D.3 7、经过圆 C: (x+1)2+(y-2)2=4 的圆心且倾斜角为 ) )



3? 的直线方程为( 4


A.x-y+3=0 B.x-y-3=0 C.x+y-1=0 D.x+y+3=0 8、直线 x-y+3=0 被圆(x+2)2+(y-2)2=2 截得的弦长等于(
15

A.

6 2

B. 3

C. 2 3

D. 6

9、已知圆 O 的方程(x-3)2+(y-4)2=25,点(2,3)到圆上的最大距离为 10、圆(x-a)2+(y-b)2 = r 2 经过原点的一个充要条件是 11 已知圆 C:x2+y2-2ax+2ay+2a2+2a-1=0 与直线 l :x-y-1=0 有公共点,则 a 的取值范围为 12、若 x2+y2=1,则 3x-4y 的最大值是 13、已知 A(2,2) ,B(5,3) ,C(3,-1) ,求△ABC 外接圆的方程

14、已知直线 3x+4y-25=0 与圆 x ? y ? 4 相离,求圆上一点到直线的最大距离和最小距离。
2 2

15、已知点 M(3,1) ,直线 l :ax-y+4=0 及圆 C:x2+y2-2x-4y+1=0. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,求 a 的值.

16

§8.5 简单的线性规划问题 一、考纲要求: 1.了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划的概念 2.掌握二元一次不等式(组)表示的区域。 3.掌握线性规划问题的图解法,并会解决简单的线性规划应用问题。 二、基础知识再现 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)判断不等式 Ax+By+C>0 所表示的平面区域,可在直线 Ax+By+C=0 的某一侧的半 平面内选取一个特殊点,如选原点或坐标轴上的点来验证 Ax+By+C 的正负.当 C≠0 时, 常选用______________. (2)画不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域时,其边界直线应为虚线;画不等式 Ax+By +C≥0 表示的平面区域时,边界直线应为实线.画二元一次不等式表示的平面区域,常用的 方法是:直线定“界”、原点定“域”. 2.线性规划的有关概念 (1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组. (2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式. (3)线性规划问题:求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题. (4)可行解:满足________________的解(x,y). (5)可行域:所有________组成的集合. (6)最优解:使______________取得最大值或最小值的可行解. 3.利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)作出目标函数的等值线. (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数等值线,从而确定__________. 三、基础达标测试: 1. 在平面直角坐标系中, 若点(-2, t)在直线 x-2y+4=0 的上方, 则 t 的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-1,+∞) D.(0,1) 2.如图所示,在直角坐标平面内,不等式 x-2<0 表示的区域是( )
y y y y

o

2 A

x

o

2

x

o

2 C

x

o

2 D

x

B

3. 不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是(

)

4.原点 O 和点 P(1,1)在直线 x+y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围是( A.a<0 或 a>2 B.a=0 或 a=2 C.0<a<2 D.0≤a≤2



17

?x≥0, 5.设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥0, ?2x-y-2≤0,
B.2 C.4 D.6 ? 2 x ? y ? 4, ? 6.设 x,y 满足 ? x ? y ? 1, ,则 z=x+y( ) ? x ? 2 y ? 2, ? A.0

则 z=3x-2y 的最大值为(

)

A.有最小值 2,最大值 3 B. 有最小值 2,无最大值 C.有最大值 3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值 7.点 P(1, m) 在直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 所表示的区域内,则 m 的取值范围是___________
?x ? y ? 2 ? 0 ? 8.在直角坐标平面内,不等式组 ? x ? 0 所表示的平面区域的面积是 ?y ? 0 ?
?x ? y ? 5 ? 0 ? 9.画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域. ?x ? 3 ?

10.

?x+y≥2, 已知实数 x,y 满足?x-y≤2, ?0≤y≤3,

求 z=2x-y 的最大值

四、名师指导: ? 1.一元二次不等式表示的区域是直线的一侧,法向量 n =(A,B)方向的一侧 A x+By+C ? >0,法向量 n =(A,B)相反方向的一侧 A x+By+C<0; 2、不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集。在求一元二次不等 式表示的区域时,还可以用试点法.在直线的某一侧任取一点,若其坐标满足这个不等 式,则该点所在的这一侧区域是所求的区域,否则直线的另一侧就是所求的区域. 3.在直线 l :Ax+By+C=0 外任意取两点 P(x1,y1)、Q(x2,y2),若 P、Q 在直线 l 的同一 侧,则 Ax1+By1+C 与 Ax2+By2+C 同号;若 P、Q 在直线 l 异侧,则 Ax1+By1+C 与 Ax2+ By2+C 异号,这个规律可概括为“同侧同号,异侧异号”. 4. 线性规划解决实际问题的步骤:①分析并将已知数据列出表格;②确定线性约束条件; ③确定线性目标函数;④画出可行域;⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解;⑥实际 问题需要整数解时,应适当调整,以确定最优解. 五、特别提醒: 不等式 Ax+By+C≤0包含直线 Ax+By+C=0,即有等号时画实线,无等号时画虚线。 应用线性规划解决实际问题时,注意未知量的取值范围。 六、典型例题: 题型一、理解线性约束条件、目标函数的定义 例 1 某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按 120 个
18

工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共 360 台,且冰箱至少生产 60 台。已知生产这些家电产 品每台所需工时和每台产值如下表: 家 电 名 空调器 称 1 工时 2 4 产值 彩电
1 3 3

冰箱
1 4 2

设每周生产空调器 x 台,彩电 y 台. ①试写出 x,y 满足的线性约束条件. ②写出产值 z 关于 x,y 的线性目标函数. 【思路点拨】线性约束条件就是在实际问题中,满足实际问题的条件构成一不等式组,注意 未知量的取值范围,本题中的变量 x,y 都是正整数;目标函数是关于变量 x,y 的一次解析式。

【变式训练】某工厂用两种不同的原材料均可生产同一产品,若采用甲种原料,每吨成 本 1000 元,运费 500 元;若采用乙种原料,每吨成本 1500 元,运费 400 元;已知每日预算 原材料总成本不超过 6000 元,运费不超过 2000 元.设采用甲种原料 x 吨,乙种原料 y 吨,则 满足生产的约束条件是( ) ?1000x ? 1500y ? 6000 ?1000x ? 1500y ? 6000 ?500x ? 400y ? 2000 ?500x ? 400y ? 2000 ? ? A. ? B. ? ?x ? 0 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0 ?y ? 0 ?1000x ? 1500y ? 6000 ?1000x ? 1500y ? 6000 ?500x ? 400y ? 2000 ?500x ? 400y ? 2000 ? ? C. ? D. ? ?x ? 0 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0 ?y ? 0 题型二、二元一次不等式(组)表示的区域 例 2 在直角坐标平面上画出下列不等式表示的平面区域: (1)x-y-1>0; (2)2x-3y-6≤0. ? ?x-y+5≥0 (3)?x+y≥0 表示的平面区域 ? ?x≤3 【思路点拨】(1)用试点法.在直线的某一侧任取一点,若其坐标满足这个不等式,则该 点所在的这一侧区域是所求的区域,否则直线的另一侧就是所求的区域. (2)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个
19

不等式所表示的平面区域的公共部分.

【变式训练】 (1). 画出下列不等式表示的区域: 2x-y-4≥0; x+y+1<0; (2) .如图中,阴影部分的区域表示的不等式是( A.3x+y≥0 B. 3x+y≤0 C.3x+y<0 D.3x+y>0 (3).画出下列不等式组所表示的平面区域:
?x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 0 ? ? ?y ? 3 ? ?x ? 5



题型三、简单线性规划问题 例3

?x-y+2≥0, 设变量 x,y 满足约束条件?x-5y+10≤0, ?x+y-8≤0,

则目标函数 z=3x-4y 的最大值和

最小值分别为( ) A.3,-11 B.-3,-11 C.11,-3 D.11,3 【思路点拨】 (1)根据线性约束条件画出可行域(即不等式组所表示的公共区域);(2) 画出直线 l 0 ;(3)观察、分析,平移直线 l 0 ,从而找到最优解 A( x0 , y0 ), B( x1 , y1 ) ;(4)最后 求得目标函数的最大值及最小值
新疆

王新敞
学案

【变式训练】 为( ) A.12

?x+y≤3, 设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ?y≥1,
B.10 C.8 D.2

则目标函数 z=4x+2y 的最大值

题型四、线性规划问题的实际应用 例 4 某公司计划 2010 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总
20

费用不超过 9 万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分和 200 元/分.假定甲、乙 两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问: 该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少 万元? 【思路点拨】应用线性规划解决实际问题的步骤:1、设出未知量,2、写出约束条件,3、写 出目标函数,4、作出可行域,5、求出最值,6、写出结论。注意未知量的取值范围。

【变式训练】 某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品,甲车间 加工一箱原料需耗费工时 10 小时,可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元,乙车 间加工一箱原料需耗费工时 6 小时,可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、 乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 七、知能训练 ?x+y-1<0, 1.下面给出的四个点中,位于? 表示的平面区域内的点是( ?x-y+1>0 A.(0,2) B.(-2,0) C.(0,-2) D.(2,0) 2.二元一次不等式 x+y-2≥0 表示的区域是 )

y

3.如图所示,若图中阴影部分所表示的区域是 线性目标函数 z ? x ? 3 y 的可行域, 则 z 的最小值是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 15 4.如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是( )

5

1 0 1 3 x

?y≥-2 A.?3x-2y+6>0 ?x<0

?y≥-2 B.?3x-2y+6≥0 ?x≤0
21

?y>-2 C.?3x-2y+6>0 ?x≤0

?y>-2 D.?3x-2y+6<0 ?x<0

y 2 1 2 O 1 x

?x ? y ? 2 ? 0 ? 5.满足线性约束条件 ? x ? 0 的可行域如图所示, ?y ? 0 ?

则线性目标函数 z ? 2 x ? 2 y 取得最大值时的最优解是( A. (0, 0) B. (1,1) C. (2, 0) D. (0,2)



?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 6. 设 x, y 满足的约束条件是 ? x ? 2 y ? 6 ? 0 ,则目标函数 z ? ? x ? y 的最小值是( ) ?y ? 0 ? A ?3 B D ?4 C ?6 ?8 ?x ? 2 ? 0 ? 7.已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上,若 z ? x ? y ,则 z 的取值范 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

围是( ) A [?2, ?1]

B

[?1, 2]

[?2,1] C D [1, 2] 8.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量 为 6 吨的乙型卡车.某天需送往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次, 派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大 利润 z 等于( ) A.4 650 元 B.4 700 元 C.4 900 元 D.5 000 元 9、如图所示,若图中阴影部分表示的区域是线性目标函数 z ? x ? 3 y 的可行域,则 z 的最小值
是 y 5

1 O 1 3 x

?2 x ? y ? 4 ? 0 10 若非负实数 x,y 满足约束条件 ? ,则 x ? 3 y 的最大值是______________ ?x ? y ? 3 ? 0 11.已知点 (3, ?3) 和 (?1,5) 在直线 x ? y ? m ? 0 的两侧,求 m 的取值范围

22

?2x+y-6≤0, 12.设不等式组?x+y-3≥0, ?y≤2 ?x-y+2≥0, 13.已知?x+y-4≥0, ?2x-y-5≤0,
求: z=x+2y-4 的最大值;

表示的平面区域为 M,若函数 y=k(x+1)+1 的图象经过

区域 M,则实数 k 的取值范围是____________.

?0 ? x ? 1 ? 14. 设 z ? 2 y ? 2 x ? 4 ,式中变量 x, y 满足条件 ?0 ? y ? 2 ,求 z 的最小值和最大值. ?2 y ? x ? 1 ?

15.某工厂用两种不同原料均可生产同一产,若采用甲种原料,每吨成本 1000 元,运费 500 元,可得产品 90 千克;若采用乙种原料,每吨成本为 1500 元,运费 400 元,可得产品 100 千克,如果每月原料的总成本不超过 6000 元,运费不超过 2000 元,那么此工厂每月最多可 生产多少千克产品?
新疆

王新敞
学案

23

§8.6 椭圆 一、考纲要求: 1.掌握椭圆的概念、标准方程和性质,能灵活运用它们解决有关问题。 2.了解待定系数法的概念,会用待定系数法解决有关问题。 二、基础知识再现 1.椭圆的概念 在平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________. 这 两定点叫做椭圆的________,两焦点间的距离叫________. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若________,则集合 P 为椭圆; (2)若________,则集合 P 为线段; (3)若________,则集合 P 为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 x2 y2 y2 x2 a2+b2=1 a2+b2=1 标准方程 (a>b>0) (a>b>0)

图形

范围 对称性 顶点 性 质 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关系 三、基础达标测试: 1 . 若 椭圆 的两 焦点 为(- 2 , 0 ) 和( 2 , 0 ) ,且 椭圆 过点 ( ,? ) , 则椭圆 方程是 ( A. )
y2 x2 ? ?1 8 4

对称轴:坐标轴

对称中心:原点

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b

5 2

3 2

B. y ? x ? 1
10 6

2

2

C. y ? x ? 1
4 8

2

2

D. x

2

10

?

y2 ?1 6

1 2.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为 ,则椭圆方程 3 为( ) 2 x y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 144 128 36 20 32 36 36 32

24

x2 y2 3.已知椭圆 + =1,长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 等于( ) 10-m m-2 A.4 B.5 C.7 D.8 2 2 x y 4.椭圆12+ 3 =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那 么|PF1|是|PF2|的( ) A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍 2 2 5.椭圆 5x +ky =5 的一个焦点是(0,2),那么 k 等于( ) A.-1 B.1 C. 5 D.- 5 6.离心率 e ? ,一个焦点是 F ?0,?3? 的椭圆标准方程为
1 2

___________

.

7. 与椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(-3, 2)的椭圆方程为_______________. 8.已知椭圆的短轴长为 6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆的离心率等 于__________________. 2 9.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e ? ,短轴长为 8 5 ,求椭圆的方程. 3

x2 y2 10.直线 y=- 3x 与椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)交于 A,B 两点,以线段 AB 为直径的圆恰 好经过椭圆的右焦点,求椭圆 C 的离心率。

四、名师指导: 1. 求椭圆的标准方程, 除了直接根据定义外, 常用待定系数法(先定性, 后定型, 再定参). 当 x2 y2 椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,可设方程为 m + n =1 (m>0,n>0 且 m≠n),可以避免讨论和繁杂的计算,也可以设为 Ax2+By2=1 (A>0,B>0 且 A≠B),这 种形式在解题中更简便. 2.椭圆的几何性质分为两类:一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质,如:长轴长、 短轴长、 焦距、 离心率等; 另一类是与坐标系有关的性质, 如: 顶点坐标, 焦点坐标等. 第 一类性质是常数,不因坐标系的变化而变化,第二类性质是随坐标系变化而相应改变. 3.直线与椭圆的位置关系问题.它是高考的热点,通常涉及椭圆的性质、最值的求法和 直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等,分析此类问题时,要充分利用数形 结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决. 五、特别提醒: 求椭圆的标准方程,要注意焦点在哪个坐标轴上;在椭圆中,只要在椭圆上的点 M 与两 个焦点链接构成三角形,就要想到椭圆的定义: | MF1 | ? | MF2 |? 2a
25

直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题.反映在代数 上,就是直线与椭圆方程联立的方程组解的问题。当直线与椭圆相交时,要注意判别式大于 零,它可以用来检验所求参数的值是否有意义。与向量相结合的题目,大都与共线、垂直等 有关,若能转化为向量的坐标运算往往更容易解题。 六、典型例题: 题型一、求椭圆的标准方程 例 1 求满足下列各条件的椭圆的标准方程: (1)长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0); ?1 ? (2)经过两点 A(0,2)和 B?2, 3?. ? ? 【思路点拨】 确定一个椭圆的标准方程,必须要有一个定位条件 (即确定焦点的位置) x2 y2 和两个定形条件(即确定 a, b 的大小). 当焦点的位置不确定时, 应设椭圆的标准方程为a2 +b2 2 2 y x =1 (a>b>0)或 a2+b2=1 (a>b>0),或者不必考虑焦点位置,直接设椭圆的方程为 mx2+ny2=1 (m>0,n>0,且 m≠n).

【变式训练】

6 (1)已知椭圆过(3,0),离心率 e= 3 ,求椭圆的标准方程;
3 3 ) 且与椭圆 9x2 ? 4 y 2 ? 36 有相同的焦点的椭圆的方程. 2

(2) 求经过点 (1, ?

题型二、椭圆的几何性质及应用
例2 x2 y2 2? 已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上任一点,且?F1PF2= ,求?F1PF2 的面积. 9 7 3 y P F2 o F1 x

【思路点拨】 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角 形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a,得到 a、c 的关系.
26

?定义式的平方 (2)对△F1PF2 的处理方法?余弦定理 ?面积公式
?|PF1|+|PF2|? =?2a? , ? ?4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ, ?? 1 ? ?S =2|PF1||PF2|sin θ.


2

2

x2 y 2 ? ? 1 的焦点 为 F1 , F2 ,点 P 在 椭圆上 ,若 | PF1 |? 4 , 则 【 变 式 训练 】 椭圆 9 2 ; ?F1PF2 的大小为 . | PF2 |?

题型三、椭圆的概念、标准方程和性质的能灵活运用 ? 例 3 与向量 v ? (1, ?1) 垂直的直线 l 交椭圆 4 x2 ? y 2 ? 2 于 A 、B 两点,若 OA ? OB ,求直线 l 的 方程. 【思路点拨】 :由直线的法向量可知直线的斜率,直线方程可设为斜截式,再利用两向量垂直 其向量内积等于 0,及直线与椭圆联立的方程组得到的 x1x2 和 y1y2 可求出待定系数.

x 2 y2 ? 1 ,过点 P(0, 2) 的直线 l 交椭圆于 M 、N 两点,且以 MN 为 【变式训练】 已知椭圆 ? 4 3 直径的圆经过原点,求:直线 l 的方程.

27

七、知能训练 1.若△ABC 的两个顶点坐标分别为 A(-4,0)、B(4,0),△ABC 的周长为 18,则顶点 C 的 轨迹方程为( ) 2 2 x y y2 x2 A. + =1 (y≠0) B. + =1 (y≠0) 25 9 25 9 x2 y2 y2 x2 C.16+ 9 =1 (y≠0) D.16+ 9 =1 (y≠0) 2.已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线交于 A,B 两点,且|AB|=3,则 C 的方程为( ) x2 2 x2 y2 A. 2 +y =1 B. 3 + 2 =1 x2 y2 x2 y2 C. 4 + 3 =1 D. 5 + 4 =1 3. “m>n>0”是方程“mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点, 若△ABF2 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( ) 3 2 A. 2 B. 2 C. 2-1 D. 2 x2 y2 5.椭圆25+ 9 =1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,则|ON|等于( ) 3 A.2 B.4 C.8 D.2 x2 y2 6.已知 F1、F2 是椭圆16+ 9 =1 的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆交于 M、N 两点,则△ MNF2 的周长为( ) A.8 B.16 C.25 D.32 2 2 x y 7.椭圆25+ 9 =1 的左焦点为 F1, 点 P 在椭圆上, 若线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上, 则|PF1| =( ) 41 9 A. 5 B.5 C.6 D.7 1 8.已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ,且它的长轴长等于圆 C:x2+y2-2x-15=0 的 2 半径,则椭圆的标准方程是( ) 2 2 2 2 x y x y x2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 C. +y2=1 D. + =1 4 3 16 12 4 16 4
28

9.椭圆两焦点分别为 F1(-1,0) ,F2(1,0)点 P 在椭圆上,且 PF 1 F2 、 PF 1 、 F 2 成等差数 列,则此椭圆方程为( ) 2 2 x y x2 y2 ? ? 1. ? ?1 A. B. 16 9 16 12 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 C. D. 4 3 3 4 x2 2 →· → 10.已知椭圆 4 +y =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 M 在该椭圆上,且MF 1 MF2=0, 则点 M 到 y 轴的距离为( ) 2 3 2 6 3 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 3 11.已知椭圆的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 2 ,且椭圆上一点到两个焦 点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为______________. x2 y2 1 12.若椭圆 2 + m=1 的离心率为2,则实数 m 等于 . 13 .如果方程 x2 + ky2 = 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 ____________. x2 y2 2? 14.已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上任一点,且?F1PF2= ,则?F1PF2 9 7 3 的面积为 . x2 y2 15.已知方向向量为 v=(1, 3)的直线 l 过点(0,-2 3)和椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的 6 右焦点,且椭圆的离心率为 3 . 求椭圆 C 的方程;

16.已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程. (2) 直线 l 平行于 OA 的直线,且直线 OA 与 l 的距离等于 2,求出直线 l 的方程.

17.椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A,B 两点,C 是 AB 的中点,若|AB|=
29

2 2 2,OC 的斜率为 2 ,求椭圆的方程.

3 6 ,且过点(1, ? ). 3 2 求(1)椭圆的标准方程; (2)若直线 l:x-y+n=0 交椭圆于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求实数 n 的值.

18.设椭圆的中心在原点 O,焦点在 y 轴上,离心率为 e ?

x2 y2 2 19. 已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,其中左焦点 F(-2,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点 M 在圆 x2+y2=1 上,求 m 的值.

30

§8.7 双曲线 一、考纲要求: 1.掌握双曲线的概念、标准方程和性质,能灵活运用它们解决有关问题。 2.了解待定系数法的概念,会用待定系数法解决有关问题。 二、基础知识再现 1.双曲线的概念 平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2|=2c>0)的距离之差的绝对值为常数 2a(2a<2c), 则点 P 的轨迹叫________.这两个定点叫双曲线的________,两焦点间的距离叫________. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0; (1)当________时,P 点的轨迹是________; (2)当________时,P 点的轨迹是________; (3)当________时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 x2 y2 y2 x2 标准方程 2- 2=1(a>0,b>0) a b a2-b2=1(a>0,b>0)

图形

范围 对称性 性 质 顶点 渐近线 离心率 实虚轴 a、b、c 的关系 对称轴: 对称中心: 顶点坐标: c e=a,e∈(1,+∞),其中 c= 双曲线的实轴长: ;双曲线的虚轴长: ; 对称轴: 对称中心: 顶点坐标:

3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为 ________________,其渐近线方程为________,离心 率为________. 三、基础达标测试: 1.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 2 2 x y 5 2.已知双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2 ,则 C 的渐近线方程为( ) 1 1 1 A.y=± x 4x B.y=± 3x C.y=± 2x D.y=± x2 y2 3.双曲线 2 + 2 =1 的焦距是( ) m +12 m -4 A.2 2 B.4 C.8 D.与 m 有关 x2 2 4.过点(2,-2)且与双曲线 2 -y =1 有公共渐近线的双曲线方程是( ) y2 x2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 A. 2 - 4 =1 B. 4 - 2 =1 C. 4 - 2 =1 D. 2 - 4 =1
31

x2 y2 5.设 P 是双曲线a2- 9 =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1、F2 分 别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|等于( ) A.1 或 5 B.6 C.7 D.9 2 2 x y 6.双曲线 ? ? 1 的渐近线方程为______;离心率为______. 36 45 7. 已知双曲线 C : 为
x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的焦距为 4 ,且过点 (2,3) ,则它的渐近线方程 a 2 b2

. 8.双曲线 ax2 ? by 2 ? 1的离心率为 5 ,则 a : b = ; 9.已知双曲线的离心率为 2,F1、F2 是左右焦点,P 为双曲线上一点,且 ?F1 PF2 ? 60? ,

S ?PF1F2 ? 12 3 .求该双曲线的标准方程;

10.已知双曲线的方程是 16x2-9y2=144. (1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点,点 P 在双曲线上,且|PF1|· |PF2|=32,求∠F1PF2 的大小.

四、名师指导: 1.区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆中 a,b,c 的大小关系,在椭圆中 a2=b2+ c2,而在双曲线中 c2=a2+b2;双曲线的离心率大于 1,而椭圆的离心率 e∈(0,1). x2 y2 b y2 x2 2.双曲线a2-b2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程是 y=±a x,a2-b2=1 (a>0,b>0)的渐近线 a 方程是 y=± bx. 3.双曲线标准方程的求法:(1)定义法,根据题目的条件,判断是否满足双曲线的定义, 若满足,求出相应的 a、b、c,即可求得方程.(2)待定系数法,其步骤是:①定位:确定 双曲线的焦点在哪个坐标轴上;②设方程:根据焦点的位置设出相应的双曲线方程;③ 定值:根据题目条件确定相关的系数. 五、特别提醒: 根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程 (组),但要 注意焦点的位置,从而正确选取方程的形式,当焦点不能定位时,则应分两种情况讨论.利
32

x2 y2 用其渐近线的双曲线系, 同样避免了对双曲线方程类型的讨论. 在共渐近线的双曲线系a2-b2 =λ (参数 λ≠0)中,当 λ>0 时,焦点在 x 轴上;当 λ<0 时,焦点在 y 轴上. 在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式 Δ>0,而导 致错解. 六、典型例题: 题型一、求双曲线的标准方程 例 1 已知双曲线的一条渐近线方程是 x-2y=0,且过点 P(4,3),求双曲线的标准方程. 【思路点拨】 :解决本题的方法有两种:一先定位,避免了讨论;二利用其渐近线的双曲 x2 y2 线系,同样避免了对双曲线方程类型的讨论.在共渐近线的双曲线系a2-b2=λ (参数 λ≠0)中, 当 λ>0 时,焦点在 x 轴上;当 λ<0 时,焦点在 y 轴上.

x2 y 2 【变式训练】 与双曲线 ? ,求双曲线方程。 ? 1 有共同的渐近线,且过点(-3,2 3 ) 9 16

题型二、双曲线的几何性质及应用 例 2 已知双曲线的方程是 16x2-9y2=144. (1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点,点 P 在双曲线上,且|PF1|· |PF2|=32,求∠F1PF2 的大小. 【思路点拨】 : 双曲线问题与椭圆问题类似,因而研究方法也有许多相似之处,如利用“定 义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等.双曲线的 a,b,c 满足 c c2=a2+b2, e ? 。 a

x2 y2 【变式训练】双曲线a2-b2=1 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,求该双曲线的离心率.
33

题型三、双曲线概念、标准方程和性质的能灵活运用 x2 y 2 ? 1 有共同的焦点,直线 y ? 3x 为 C 的一条渐近线. 例 3 .双曲线 C 与椭圆 ? 16 4 (1)求双曲线 C 的标准方程; (2)过点 P(0,4)和右焦点的直线 l ,交双曲线于 A,B,两点,求 AB 的中点 Q 的坐标. 【思路点拨】 :求双曲线的方程,关键是求 a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、 e 及渐近线)之间的关系,并注意方程思想的应用,若已知双曲线的渐近线方程 ax±by=0, 可设双曲线方程为 a2x2-b2y2=λ (λ ≠0)

【变式训练】已知双曲线的中心在原点,一个焦点的坐标为( 7 ,0 ) ,直线 y ? x ? 1 与双曲 2 线交于 A,B 两点,且 AB 的中点横坐标为 ? ,求双曲线的标准方程. 3

七、知能训练 1.已知 M(-2,0)、N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.双曲线右边一支 D.一条射线 x2 y2 2.设点 P 在双曲线 9 -16=1 上,若 F1、F2 为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3, 则△F1PF2 的周长等于( ) A.22 B.16 C.14 D.12 2 2 x y 3.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2,一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点相 a b
34

同,则双 曲线的渐近线方程为
3 3 3 A. y ? ? x B. y ? ? C. y ? ? D. y ? ? 3 x x x 3 2 2 x2 y 2 ? ?1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( 4.以 ? ). 4 12 x2 y 2 x2 y 2 ?1 ?1 A. ? B. ? 16 4 4 16 x2 y 2 x2 y 2 ?1 ?1 C. ? D. ? 16 12 12 16 x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,那么 a 的取值范围是( ) 5.若方程 2 a ? 4 a ?1 A B (?2, ?1) (?1, 2) C (0,2) D (1,2) 3 6.若双曲线的焦点在 x 轴上,它的渐近线方程为 y ? ? x ,则该双曲线的离心率是( ) 4 5 5 4 7 3 7 A B C D 4 3 7 7 2 2 x y 7.过双曲线 2 ? 2 ? 1 的右焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F1 是左焦点,若 ?PFQ ? 900 ,则 1 a b 双曲线的离心率是( ). A. 2 B. 1 ? 2 C. 2 ? 2 D. 3 ? 2 2 2 8. 双曲线 x - my = 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 等于

A.

x2 y2 9.已知双曲线 2 -b2=1 (b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,其中一条渐近线方程为 y=x, →· → 等于( 点 P( 3,y )在该双曲线上,则PF PF )
0 1 2

1 4

B.

1 2

C.

D.

A.-12 B.-2 C .0 D.4 2 2 x y 10.双曲线 ? ? 1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 15,则 P 点到(-5,0)的距离是( ) 16 9 A 7 B 23 C 5 或 23 D 7 或 23 x2 y2 5 11.双曲线的离心率等于 ,且与椭圆 ? ? 1 有公共焦点,则该双曲线的方程_______ 9 4 2 12.设中心在坐标原点 O , 焦点 F1 、 离心率 e ? 2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10) , F2 在坐标轴上, 则 C 的方程为_______ 13.双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心率等于______;
6 ,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线与双曲线 2 的左支交于 A、B 两点,且 AB 是 AF2 与 BF2 等差中项,则 AB =__________;

14 双曲线的虚轴长为 4,离心率 e=

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点 F1 , F2 和 P(0,1) ,则 ?PF1F2 的面积等于_______ 16 25 16.根据下列条件,求双曲线方程:

15.已知双曲线

35

x2 y2 (1)与双曲线 9 -16=1 有共同的渐近线,且经过点(-3,2 3); x2 y2 (2)与双曲线16- 4 =1 有公共焦点,且过点(3 2,2).

x2 y2 17.过双曲线a2-b2=1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作圆 x2+y2=a2 的切线 FM(切点为 M),交 y 轴于点 P.若 M 为线段 FP 的中点,求双曲线的离心率

18.已知双曲线的中心在原点, 焦点 F1、 F2 在坐标轴上, 离心率为 2, 且过点 P(4, - 10). (1)求双曲线方程; →· → =0; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证: MF MF
1 2

(3)求△F1MF2 的面积.

x2 y 2 ? ? 1 , (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 ,F 为右焦点,A 为右 a 2 b2 2 ?1 顶点,点 B 的坐标为(0,b) ,△ABF 的面积是 2 (1)求双曲线的方程 1 (2)若直线 m 过(0,1)点且斜率为 k ? 与双曲线交于 M、N 两点, 2 求线 MN 的长

19.如图所示,已知双曲线

y B O A F x

36

§8.8 抛物线 一、考纲要求: 掌握抛物线的概念、标准方程和性质,能灵活运用它们解决有关问题。 二、基础知识再现 1.抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F?l)距离______的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做 抛物线的__________,直线 l 叫做抛物线的________. 2.抛物线的标准方程与几何性质 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 标准方程 p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离

图形

顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 三、基础达标测试:
2

O(0,0) y=0 x=0

e=1

x2 y2 1.若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 6 + 2 =1 的右焦点重合,则 p 的值为( ) A.-2 B.2 C.-4 D.4 2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是( ) 2 2 A.y =-8x B.y =8x 2 C.y =-4x D.y2=4x 3.在抛物线 y2=2px 上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则 p 的值为( ) 1 A.2 B.1 C.2 D.4 4.抛物线 y2=8x 的焦点到直线 x- 3y=0 的距离是( ) A.2 3 B.2 C. 3 D.1 5.抛物线 y=4x2 上一点到直线 l:y=4x-5 的距离最短,则该点的坐标是( ) 1 A.(2,1) B.(0,0) C.(1,2) D.(1,4) 6.直线 y=x-1 被抛物线 y2=4x 截得线段的中点坐标是________. 7.抛物线 y=2x2 的焦点坐标为 x2 16y2 8.双曲线 3 - p2 =1 的右焦点也是抛物线 y2=2px 的焦点,则 p 的值为______. 9.等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,O 为抛物线的顶点,OA⊥OB,求 △AOB 的面积.
37

10.已知斜率为 1 的直线 l 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,且与抛物线交于 A,B 两点. (1)求直线 l 的方程(用 p 表示); (2)若设 A(x1,y1),B(x2,y2),求证:|AB|=x1+x2+p; (3)若|AB|=4,求抛物线方程.

四、名师指导: 1.关于抛物线的定义 要注意点 F 不在定直线 l 上,否则轨迹不是抛物线,而是一条直线. 2.关于抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有四种不同的形式,这四种标准方程的联系与区别在于: (1)p 的几何意义:参数 p 是焦点到准线的距离,所以 p 恒为正数. (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同,一次项系数的符号决定抛物线 的开口方向. 3.关于抛物线的几何性质 抛物线的几何性质,只要与椭圆、双曲线加以对照,很容易把握,但由于抛物线的离心 率等于 1,所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质,而且应用广泛.例如: 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,设 A(x1,y1),B(x2, p2 y2),则有下列性质:|AB|=x1+x2+p.,y1y2=-p2,x1x2= 4 等. 五、特别提醒: (1)求抛物线方程时,若由已知条件可知所求曲线是抛物线,一般用待定系数法。 (2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向),又要定量(即确定参 数 p 的值).解题关键是定位,最好结合图形确定方程适合哪种形式,避免漏解; (3)解决抛物线相关问题时,要善于用定义解题,即把|PF|转化为点 P 到准线的距离,这 种“化斜为直”的转化方法非常有效,要注意领会和运用. 六、典型例题: 题型一、抛物线的概念及标准方程 例 1 已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M(m,-3)到焦点的距 离为 5,求 m 的值、抛物线方程和准线方程. 【思路点拨】待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向),又要定量
38

(即确定参数 p 的值).解题关键是定位,最好结合图形确定方程适合哪种形式;要善于用定 义解题,即把|PF|转化为点 P 到准线的距离.

【变式训练】根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)抛物线的焦点 F 是双曲线 16x2-9y2=144 的左顶点; (2)过点 P(2,-4).

题型二、抛物线的概念和几何性质的应用 例 2 已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2),求|PA| +|PF|的最小值,并求出取最小值时 P 点的坐标. 【思路点拨】 重视定义在解题中的应用,灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到 准线距离的等价转化,是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.

【变式训练】 已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( ) ?1 ? ?1 ? A.?4,-1? B.?4,1? ? ? ? ? C.(1,2) D.(1,-2)

题型三、抛物线的概念和几何性质的灵活运用 例 3 过抛物线 y2=2px 的焦点 F 的直线和抛物线相交于 A,B 两点,如图所示.

(1)若 A,B 的纵坐标分别为 y1,y2,求证:y1y2=-p2; (2)若直线 AO 与抛物线的准线相交于点 C,求证:BC∥x 轴. 【思路点拨】 解决焦点弦问题时,抛物线的定义有着广泛的应用,而且还应注意焦点
39

弦的几何性质.焦点弦有以下重要性质(AB 为焦点弦,以 y2=2px (p>0)为例): p2 ①y1y2=-p2,x1x2= 4 ; ②|AB|=x1+x2+p.

【变式训练】已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点坐标为 F (1,0) ,过点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两 点,直线 AO,BO 分别与直线: x ? ?2 相交于 M ,N 两点 (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)求△ABO 与△MNO 的面积之比

40

七、知能训练 1.已知抛物线的焦点在直线 x-2y-4=0 上,则此抛物线的标准方程是( ) 2 2 A.y =16x B.x =-8y 2 2 C.y =16x 或 x =-8y D. y2=16x 或 x2=8y 2.已知抛物线 y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定 3.已知点 A(-2,1),y2=-4x 的焦点是 F,P 是 y2=-4x 上的点,为使|PA|+|PF|取得最小值, 则 P 点的坐标是( ) ? 1 ? A.?-4,1? B.(-2,2 2) ? ? ? 1 ? C.?-4,-1? D.(-2,-2 2) ? ? → → 4.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 为抛物线上一点,若OA· AF=-4,则点 A 的坐标为( ) A.(2,± 2) B.(1,± 2) C.(1,2) D.(2, 2) 2 5.直线 y=x+1 截抛物线 y =2px 所得弦长为 2 6,此时抛物线方程为( ) 2 2 2 2 A.y =2x B.y =6x C.y =-2x 或 y =6x D.以上都不对 6.抛物线 y=-4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( ) 17 15 7 15 A.-16 B.-16 C.16 D.16 7.若直线 y ? kx ? 1 与抛物线 y 2 ? x 仅有一个公共点,则 k 的值为( ). 1 1 3 1 3 A. B.0 或 C.0 或 ? D. 或 ? 4 4 4 4 4 2 8.以点 (1, ?1) 为中点的抛物线 y ? 8x 的弦所在的直线方程为( ). A. x ? 4 y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. 4 x ? y ? 3 ? 0 → → 9. 若 O 为坐标原点, 抛物线 y2=2x 与过其焦点的直线交于 A、 B 两点, 则 OA ? OB 等于 ( ) 3 3 A.4 B.-4 C .3 D.-4 10. 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A (x1,y1) ,B(x2,y2)两点, 若 x1+x2,=6则 AB 的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 2 11.已知 A、B 是抛物线 x =4y 上的两点,线段 AB 的中点为 M(2,2),则|AB|=________. 12.设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为________. →| 13.已知抛物线 y2=4x 与直线 2x+y-4=0 相交于 A、B 两点,抛物线的焦点为 F,那么|FA → |=______. +|FB 14.抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点坐标是_______________ 15.已知抛物线 y 2 ? ?6x ,以此抛物线的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程是 ____________________ x2 y 2 ? 1 的中心,而焦点是双曲线的右顶点,求该抛物线标准方 16.抛物线的顶点是双曲线 ? 9 16
41

程和准线方程

17.已知抛物线的顶点在原点,焦点是椭圆 x2+5y2=5 的左焦点. (1)求抛物线的标准方程。 (2)若过点 M(-1,1)作直线交抛物线于 A、B 两点,使得点 M 是 AB 弦的中点,求直线的 方程及 AB 弦的长.

18. 给定抛物线 C: y2=4x,F 是 C 的焦点, O 是坐标原点, 过点 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点, ??? ? ??? ? l OA ? OB n 若 的法向量 =(1,1) ,求(1)直线 l 的方程;(2)求 .

19. 如 图 所 示 , 已 知 抛 物 线 的 顶 点 是 坐 标 原 点 , 对 称 轴 是 x 轴 , 它 的 准 线 l 经 过 双 曲 线 x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 F1 ,点 M (3,2 6) 是抛物线与双曲线的一个交点,求: a 2 b2 (1)该抛物线的标准方程; (2)该双曲线的顶点坐标 .

42

§8.9 直线与圆锥曲线的位置关系 一、考纲要求: 掌握直线与圆锥曲线的位置关系,会求弦长,能灵活运用圆锥曲线的概念、标准方程和性 质解决有关问题。 二、基础知识再现 1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法 (1) 直线与椭圆的位置关系的判定方法 将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程,若 Δ>0,则直 线与椭圆________;若 Δ=0,则直线与椭圆________;若 Δ<0,则直线与椭圆________. (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法 将直线方程与双曲线方程联立消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0. ①若 a≠0,当 Δ>0 时,直线与双曲线________;当 Δ=0 时,直线与双曲线________; 当 Δ<0 时,直线与双曲线________. ②若 a=0 时,直线与渐近线平行,与双曲线有________交点. (3)直线与抛物线位置关系的判定方法 将直线方程与抛物线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0. ①当 a≠0,用 Δ 判定,方法同上. ②当 a=0 时,直线与抛物线的对称轴________,只有________交点. 2.已知弦 AB 的中点,研究 AB 的斜率和方程 x2 y2 (1)AB 是椭圆a2+b2=1 (a>b>0)的一条弦,M(x0,y0)是 AB 的中点,则 kAB=________, kAB· kOM=__________.点差法求弦的斜率的步骤是: x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 ①将端点坐标代入方程:a2+b2=1,a2+b2=1. x2 x2 y2 y2 1 2 1 2 ②两等式对应相减: 2- 2+ 2- 2=0. a a b b y1-y2 b2?x1+x2? b2x0 ③分解因式整理:kAB= =- 2 =-a2y . x1-x2 a ?y1+y2? 0 2 x y2 (2)运用类比的手法可以推出:已知 AB 是双曲线a2-b2=1 的弦,中点 M(x0,y0),则 kAB =______________.已知抛物线 y2=2px (p>0)的弦 AB 的中点 M(x0, y0), 则 kAB=____________. 3.弦长公式 直线 l:y=kx+b 与圆锥曲线 C:F(x,y)=0 交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则|AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2 1 1 或|AB|= 1+k2|y1-y2|= 1+k2· ?y1+y2?2-4y1y2. 三、基础达标测试: 1.已知抛物线 y 2 ? 4x ,过其焦点且斜率为 1 的直线与抛物线交于 A,B 两点,则|AB|等于 ( ) A 6 B 8 C 10 D 12 2 2 x y 2、设椭圆 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F2 做椭圆的长轴的垂线交椭圆与点 a b P,若 ?F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( ) A
2 2

B

2 ?1 2

C

2 ?1

D

2? 2
43

x2 y2 3.已知曲线 a + b =1 和直线 ax+by+1=0 (a、b 为非零实数),在同一坐标系中,它们的图 形可能是( )

1? ? →· → 的值 4.过点?0,-2?的直线 l 与抛物线 y=-x2 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,则OA OB ? ? 为( ) 1 1 A.-2 B.-4 C.-4 D.无法确定 2 2 x y 5.在同一坐标系中,方程 2+ 2=1 与 bx2=-ay(a>b>0)表示的曲线大致是( ) a b

6.直线 y=x+b 与抛物线 x2=2y 交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 且 OA⊥OB, 则 b=______.

x2 y2 7.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点分别是 F1(- 3,0),F2( 3,0),过点 F2 且 a b 垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 P,Q 两点,?PF1Q=60?,则椭圆的标准方程是 ???? ???? ? ???? ???? ? x2 8. 设 F1 , F2 是双曲线 ? y 2 ? 1的两个焦点, 点 P 在双曲线上, 且 PF , 则 ? PF ? 0 | PF | ? | PF 1 2 1 2 |
4

的值等于 9. 已知椭圆与双曲线
13 x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点点 F1 , F2 ,它们的离心率之和为 5 9 27
y

(1)求椭圆的方程 (2)设 P 是椭圆与双曲线的一点公共点,且 ?F1PF2 ? 60? , 求 ?F1PF2 的面积
F1

O

F2

x

44

x2 y 2 ? ? 1 有共同的焦点,直线 y ? 3x 为 C 的一条渐近线 16 4 (1)求双曲线 C 的标准方程 (2)过点 P(0,4)和右焦点的直线交双曲线于 A、B 两点,求 AB 的中点 Q 的坐标

10.双曲线 C 与椭圆

四、名师指导: 本部分主要是给学生知识、方法、技能方面进行指导 1.直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一,也是高考的热点,这类问题 往往与函数、三角、向量等知识综合、交汇考查,而且对综合能力的考查显见其中.因 此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力. 2.从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的问题。基本思路 就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如 ax2+bx+c=0 的方程,由韦达定理得 -b c x1+x2= ,x1x2= .然后再把要研究的问题转化为用 x1+x2 和 x1x2 去表示.最后,用函数、 a a 不等式等知识加以解决.需要注意的就是要注意对隐含条件的挖掘,比如判别式 Δ ≥0, 圆锥曲线中有关量的固有范围等. 五、特别提醒: (1)解题易漏掉讨论直线 AB 的斜率不存在的情况,出现错误的原因是对直线的点斜式 方程认识不足。 (2)因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问 题时,务必别忘了检验 ? ? 0 六、典型例题: 题型一、直线与圆锥曲线的位置关系 例 1 k 为何值时,直线 y=kx+2 和曲线 2x2+3y2=6 有两个公共点?有一个公共点? 没有公共点? 【思路点拨】 :方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数,若含参数,需 按二次项系数是否为零进行分类讨论,只有二次项系数不为零时,方程才是一元二次方程, 后面才可以用判别式 Δ 的符号判断方程解的个数,从而说明直线与圆锥曲线的位置关系.

1 【变式训练】已知抛物线 C 的方程为 x2=2y,过 A(0,-1),B(t,3)两点的直线与抛物线
45

C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是( A.(-∞,-1)∪(1,+∞) ? ? 2? ? 2 B.?-∞,- ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ? C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞)

)

题型二、直线与圆锥曲线相交弦长的求法 例 2. 已知抛物线 y 2 ? ? x 与直线 y ? k ( x ? 1) 交于 A,B 两点,O 为坐标原点。 (1)求证.: OA ? OB ; (2)弦长|AB|; (3)当 ?OAB 的面积等于 10 时,求 k 的值. 【思路点拨】 :将直线方程 y ? k ( x ? 1) 代入 y 2 ? ? x ,得出 x1+x2,x1x2,从而由向量内积和 弦长公式等解题。

【变式训练】

已知斜率为 1 的直线过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F2,交椭圆于 A 与 B 两点。 3 2

求(1)弦长|AB|;(2) S?ABF1 .

题型三、中点弦问题 x2 y2 例 3 椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆 C 上,且 PF 1 ?F 1F2 ,且 a b 4 14 PF1 ? , PF2 ? 3 3
46

(1)求椭圆 C 的方程. (2)若直线 l 过圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 的圆心 M,交椭圆 C 于 A,B 两点,且 A,B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程. 【思路点拨】 :解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是“点差法”:若设直线与圆锥曲线的交 点(弦的端点)坐标为),A(x1, y1), B (x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两 式作差,得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子。

x2 1 【变式训练】已知椭圆 ? y 2 ? 1 ,过点 P ( ?1, ) 的直线 l 交椭圆于 M 、N 两点,且 P 为 MN 的中点, 2 4 求:直线 l 的方程方程.

题型四、求定值问题 x2 y2 例 4.设椭圆 E:a2+b2=1(a,b>0),过 M(2, 2),N( 6,1)两点,O 为坐标原点. (1)求椭圆 E 的方程; →· → =0,求证:直线 l (2)设点 P 坐标为(0,b),直线 l 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,且PA PB 在 y 轴上的截距为定值. 【思路点拨】 :因为 P(0,2),故直线 l 与 x 轴不垂直.可设直线 l 的方程为 y=kx+m,代入椭圆方程, 可解得 x1+x2,x1x2
→ → 由PA· PB=0,可得(x1,y1-2)· (x2,y2-2)=0,经整理可解出 m

x2 y2 【变式训练】已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点 F1(-1,0),长轴长与短轴长的比
47

是 2∶ 3. (1)求椭圆的方程; 1 1 (2)过 F1 作两直线 m,n 交椭圆于 A,B,C,D 四点,若 m⊥n,求证:|AB|+|CD|为定值.

七、知能训练 1.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos∠AFB 等于( ) 4 3 3 4 A.5 B.5 C.-5 D.-5 x2 y2 3 2.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± 3 x,若顶点到渐近线的距离 为 1,则双曲线的方程为( ) 2 2 2 2 x 3y 3x y x2 y2 x2 4y2 A. 4 - 4 =1 B. 4 - 4 =1 C. 4 - 4 =1 D. 4 - 3 =1 x2 3.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 4 +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( ) 4 5 A.2 B. 5 4 10 8 10 C. 5 D. 5 x2 y2 4.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切,且 双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. 5 - 4 =1 B. 4 - 5 =1 2 2 x y x2 y2 C. 3 - 6 =1 D. 6 - 3 =1 5. 抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方 的部分相交于点 A,AK⊥l,垂足为 K,则△AKF 的面积是( ) A.4 B.3 3 C.4 3 D.8 x2 y2 6.已知双曲线a2-b2=1 的一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合, 且该双曲线的离心率 为 5,则该双曲线的渐近线方程为( ) 1 2 A.y=± x B . y = ± 2 x C . y = ± 2 x D . y = ± 2 2x
48

7.如图所示,点 P 是等轴双曲线上出顶点以外的一点, A1、A2 是双曲线的顶点,则直线 PA1 和 PA2 的斜率之积为( ) A. 1 B. ?1 C. 2 D. ?2
y P

A2 O

A1

x

x2 y2 8、已知双曲线 + =1 的离心率是方程 6x2-13x+5=0 的一个根,则该双曲线的渐 9 k 近线方程是( ) 4 5 16 3 A.y=± x B . y = ± x C . y = ± x D . y = ± 3 3 9 4 x x2 y 2 3 9.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1、F2 , 离心率为 , 过 F2 得直线 l 交 C a b 3 于 A、B 两点,若 ?AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为( )
x2 y 2 x2 x2 y 2 x2 y 2 2 ?1 ?1 ?1 A. ? B. ? y ? 1 C. ? D. ? 3 3 2 12 8 12 4 10.抛物线 x2 ? 4 y 的准线 l 与 y 轴交于点 P,l 绕点 P 按逆时针方向旋转,则 l 恰好与抛物 线第一次相切时, l 的旋转角度是( ) 60 ? ?60? ?45? 45 ? A B C D 2 11.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45? 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线 段 AB 的长为 8,则 p ? ________________。 x2 y2 12.设 F1,F2 是双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若在 C 上存在一点 P,使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为________. 2 13.已知抛物线 C:y =2px(p>0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于点

→=M→ A,与 C 的一个交点为 B,若 AM B ,则 p=________. 2 2 2 x y y 14.设椭圆 2 + m=1 和双曲线 3 -x2=1 的公共焦点分别为 F1、F2,P 为这两条曲线的一 个交点,则 cos ∠F1PF2 的值为________. x2 y 2 15.双曲线 C : 2 - 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的离心率为 2 ,焦点到渐近线的距离为 3 ,则 C 的 a b 焦距为
x2 y2 16. .如图,双曲线 a2-b2=1(a>0,b>0),两个焦点分别是 F1,F2,离心率 e= 3, 且焦点到渐近线的距离是 2. (1) 求双曲线的标准方程; (2) 若平行于向量 → v =(1,2)的直线 l 与该双曲线相交于 A,B 两点,且 OA ? OB(O 是坐标原点).求直线 l 的方程.
49

y

F1

O

F2

x

2 17. .设直线 y ? 2 x ? k 与抛物线 y ? 4 x 相交于 A,B 两点,

(1)当 | AB |? 3 5 |时,求 k 的值; (2)设点 P 是 x 轴上一点,当 ?PAB 的面积为 9 时,求点 P 的坐标

18.已知椭圆的一个焦点为 F1 (? 3,0) ,其离心率为

3 2

(1)求该椭圆的标准方程 4 (2)圆 x 2 ? y 2 ? 的任一条切线与该椭圆均有两个交点 A,B,求证:OA⊥OB(O 为坐标 5 原点)

50

x2 y2 2 2 19. 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,且椭圆 C 过点 P(1, ). 2 2 a b (1)求椭圆 C 的方程; ? (2) 已知直线 l 与向量 n ? (1,1) 平行且与椭圆 C 交于不同的 A、B 两点,且线段 AB 的中点在圆 5 x 2 ? y 2 ? 上,求直线 l 的方程. 9
.

20.已知双曲线的中心在坐标原点 O,焦点分别是 F1 (?2,0), F2 (2,0) ,且双曲线经过点 P(2,3) (1)求双曲线的标准方程 (2)设点 A 是双曲线的右顶点,若直线 l 平行于直线 AP,且 l 与双曲线交于 M,N 两点, ???? ? ???? | AM ? AN |? 4 ,试求直线 l 的方程

51


推荐相关:

第八章解析几何

第八章解析几何_数学_高中教育_教育专区。第八章 解析几何 考点 26 直线与圆...( 1 A. 9 1 1 1 B. C. D. 25 5 3 ) x2 y2 3.已知双曲线 2-...


第八章 解析几何

第八章 解析几何_数学_高中教育_教育专区。第 1 页 共 155 页 第八章? ?...答案:x-5=0 或 3x-4y+25=0 2.过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距...


第八章 空间解析几何答案

第八章 空间解析几何答案_理学_高等教育_教育专区。第八章 空间解析几何答案第...x2 + y2 z2 (3) + = 1. 4 25 解:该曲面为旋转椭球面. (4) x 2...


8第八章 平面解析几何

8第八章 平面解析几何_数学_高中教育_教育专区。零诊,复习,全套 ...由点到直线的距离公式,得 3 解得 k= . 4 故所求直线方程为 3x-4y+25=...


2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第八章 平面解析几何8.6

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第八章 平面解析几何8.6...的实半轴 5 25-k 9 34-k , 25-k 长为 25-k,虚半轴长为 3,焦距为...


第八章平面解析几何第八章平面解析几何

第八章平面解析几何第八章平面解析几何_高三数学_...综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=...2 2 2 2 2 10 / 151 考向 3 直线方程的应用...


【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习第八章平面解析几何计时双基练49椭圆文北师大版(新)

【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习第八章平面解析几何计时双基练49椭圆文...=4∶3, 49 24 则△PF1F2 的面积为( A.30 C.24 ) B.25 D.40 x2 ...


第八章 平面解析几何

第八章 平面解析几何 本章概述: 本章概述 同学们知道,函数 y=2x+3 的图象...25 9 解:∵ a = 5, b = 3 ? c = 4 ∴△PF1F2 的周长= |PF1| ...


【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习第八章平面解析几何计时双基练51双曲线文北师大版(新)

轮总复习第八章平面解析几何计时双基练51双曲线文北...由 25+9-k= 25-k+9, 得两双曲线的焦距相等。...B.2 6 D.8 c 3 2 2 解析 设双曲线的焦距为...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com