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江苏省溧水高级中学2016届高三数学第三次模拟考试试题


江苏省溧水高级中学 2015~2016 学年第二学期高三三模模考 数学试卷(2016 年 4 月)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡相应的位置 上) 1、已知集合 A ? 1 , 2 , B ? 0 , 1 ,则集合 A ? B 的所有子集的个数为 2、已知 a , b 为实数,设复数 z ? a ? bi 满足

/>
?

?

?

?



个。

i ? 2 ? i ( i 是虚数单位) , z


则a ?b= ▲ . 3、运行下面的一个流程图,则输出的 S 值是

4、从长度分别为 2,3,4,5 的四条线段中任意取出三条, 则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ▲
2

5、已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1, 则 a1 = ▲ .
D1 C1 B1

6、如图,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 , O 为底面 正方形 ABCD 的中心,则三棱锥 B1 ? BCO 的体积为 ▲

A1

x2 y2 ? 1 的焦距为 2 6 ,则实数 t ? 7、已知椭圆 2 ? 5t t
8、已知 ? , ? ? (0,

D


A

C O

?
2

B

) ,若 cos( ? ? ? ) ?

5 4 , sin(? ? ? ) ? ? ,则 cos 2? ? 13 5



9 、已知函数 f ( x) ? x ln x ,若直线 l 过点 (0,?1) 并且与曲线 y ? f ( x) 相切,则直线 l 被圆

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为

▲ ,

C 交于点 M , N , 10、 设椭圆 C 的两个焦点为 F 过点 F 若M F 2 ?FF 1 、F2 , 1 的直线与椭圆 1 2 C 的离心率为 且 MF 1 ? 2, NF 1 ? 1 ,则椭圆


BM ? 3MC ,DN ? 2 NC , 11、 平行四边形 ABCD 中 AB ? 6 , AD ? 4 , 若点 M , N 满足:
则 AM ? NM ?

??? ?

????

???? ?

???? ?

????

????

???? ? ???? ?



4 ? ?2 x ? ? m( x ? 0) 12、已知函数 f ( x) ? ? ,若方程 f ( x) ? ?2 x 有且只有一个实数根,则实 x ?2 x ? m( x ? 0) ?
数 m 的取值范围为 ▲

-1-

13、 已知函数 f ( x) ? mx ? 2, g ( x) ? x2 ? 2x ? m , 若存在整数 a , b , 使得 a ? f ( x) ? g ( x) ? b 的解集恰好是 ? a, b? ,则 a ? b 的值为 ▲ ▲

14、若 x , y 为实数,且 x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 7 ,则 x 2 ? y 2 的最小值为

二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15、(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,m ? (b,2a ? c), n ? (cosB, cosC) ,且 m // n 。 (1)求角 B 的大小;(2)设函数 f ( x) ? cos( ?x ? 小正周期为 ? ,求函数 f ( x) 在区间 [0,

?
2

B ) ? sin ?x(? ? 0) ,且函数 f ( x) 的最 2

] 上的值域。

16、(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形, AB ? BP, M , N 分别为 AC, PD 的 中点。 (1)求证: MN // 平面 ABP ; (2)求证:平面 ABP ? 平面 APC 的充要条件是 BP ? PC 。

-2-

17、(本小题满分 14 分) 某服装企业从事 M 国某品牌服装的加工业务,按照国际惯例以美元结算。依据以往的加工生 产数据统计分析,若加工订单的金额为 x 万美元,可获得的加工费的近似值为

1 ln(2 x ? 1) 万 2

美元。受美联储货币政策的影响,美元持续贬值。由于从生产订单签约到成品交付要经历一 段 时间,收益将因美元贬值而损失 mx 美元(其中 m 是该时段的美元贬值指数,且 0<m<1),
1 从而实际所得的加工费为 f ( x) ? ln(2 x ? 1) ? mx 万美元. 2

(1)若某时段的美元贬值指数 m ?

1 ,为了确保企业实际所得加工费随 x 的增加而增加, 200 1 已知该企 x 万美元。 20

该企业加工产品订单的金额 x 应该控制在什么范围内? (2) 若该企业加工产品订单的金额为 x 万美元时共需要的生产成本为

业的生产能力为 x ? [10,20] ,试问美元贬值指数 m 在何范围内时,该企业加工生产不会出现 亏损? ( 提示:已知 (ln(2 x ? 1))? ?

1 2 , ln( x ? 1) ? ) x ?1 2x ?1

18、(本小题满分 16 分) 已知圆 O : x ? y ? r (r ? 0) ,点 P 为圆 O 上任意一点(不在坐标轴上),过点 P 作倾斜
2 2 2

角互补的两条直线分别交圆 O 于另一点 A, B 。 (1)当直线 PA 的斜率为 2 时,

1 7 5 5 ②若点 P 的横坐标为 2 ,且 PA ? 2 PB ,求 r 的值.
①若点 A 的坐标为 (? ,? ) ,求点 P 的坐 标;
-3-

(2)当点 P 在圆 O 上移动时,求证:直线 OP 与 AB 的斜率之积为定值.

19、(本小题满分 16 分) 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 为函数 f ( x) ? loga x ? b 在点 (1, f (1)) 处的一条切线。 (1)求 a,b 的值; ( 2 )若函数 y ? f ( x) 的图象 C1 与函数 g ( x) ? mx ?

n ( n > 0 )的图象 C2 交于 P( x1 , y1 ) , x

线 分 别 交 C1 , C2 于点 M、N,设 C1 在点 Q( x2 , y2 ) 两点,其中 x1 < x 2 ,过 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂

M 处的切线的斜率为 k1 ,C2 在点 N 处的切线的斜率为 k 2 ,求证: k1 < k 2 .

20、(本小题满分 16 分) 已知数列 ?xn ? 和 ? yn ? 的通项公式分别为 xn ? a n 和 yn ? ? a ? 1? n ? b, n ? N ? (1)当 a ? 3, b ? 5 时, ①试问: x2 , x4 分别是数列 ? yn ? 中的第几项? ②记 cn ? xn 2 ,若 c k 是 ? yn ? 中的第 m 项 (k , m ? N ? ) ,试问: ck ?1 是数列 ? yn ? 中的第几项?请 说明理由; (2) 对给定自然数 a ? 2 , 试问是否存在 b ? ?1,2? , 使得数列 ?xn ? 和 ? yn ? 有公共项?若存在, 求出 b 的值及相应的公共项组成的数列 ?zn ? ,若不存在,请说明理由.

-4-

附加题

1、已知矩阵

的一个特征值为

,其对应的一个特征向量为

,已



,求

.

2、在直角坐标系 xoy 中,直线 的参数方程为

(t 为参数)。在极坐标系(与

直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的 方程为 。 ,

(Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设圆 C 与直线 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 求|PA|+|PB|。

3、某射击小组有甲、 乙两名射手, 甲的命中率为

, 乙的命中率为

, 在射击比武活

动中每人射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不少于一 发, 则称该射击小组为“先进和谐组”.

(1)若

, 求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率;

(2)计划在 2013 年每月进行 1 次检测, 设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数 为 , 如果 , 求 的取值范围.

-5-

4、如图,已知三棱柱 ⊥AC,M 是 满足 (Ⅰ)当 . 取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角 最大? , 试确定点 P 的位置.

的侧棱与底面垂直, 上,且

的中点,N 是 BC 的中点,点 P 在直线

(Ⅱ)若平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为

2016 届高三三模模考数学参考答案及评分标准 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上) 1. 8; 2. ?

3 3 2 ; 3. 35; 4. ; 5. ; 5 4 2

6.

2 ; 7. 2,3,6 ; 3

-6-

63 1 ;9. 14 ; 10. ; 11. 9 ; 12. {?8} ? [?1,??) 2 65 7 2 13. ? 2 ; 14. 2
8. 二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 14 分) 解:( 1)由 m // n ,得: b cosC ? (2a ? c) cos B ?????2 分 由正弦定理得: sin B cosC ? (2 sin A ? sin C ) cos B ?

sin B cosC ? cos B sin C ? sin(B ? C ) ? sin A ? 2 sin A cos B(sin A ? 0) ????4 分
? cos B ? 1 ? 且 B ? (0, ? ) ,故 B ? 2 3
?????6 分

(2)由(1)知 : f ( x) ? cos( ?x ?

?

6

) ? sin ?x ? cos ?x cos

?
6

? sin ?x sin

?
6

? sin ?x

?

3 3 3 1 ? sin ?x ? cos?x ? 3 ( sin ?x ? cos?x) ? 3 sin(?x ? ) ?????8 分 2 2 2 2 6
3 sin( 2 x ?

由函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ,得 ? ? 2 ,即 f ( x) ? 又因为 x ? [0,

?
6

) ?????10 分
?????12 分

?
2

] ,所以 2 x ?

?

? 5 ? 1 ? [ , ? ] ,故 sin( 2 x ? ) ? [ ,1] 6 6 6 6 2
3 , 3]。 2

从而函数 f ( x) 在区间 [0,

?
2

] 上的值 域为 [?

?????14 分

注意:第(1)问中不交代角 B 的范围,直接写角的大小扣一分;第 (2)问中不交代角 2 x ?

? 的范围,直接写三角函数的大小扣一分。 6

16.(本小题满分 14 分) 证明:(1)连接 BD,由已知,M 为 AC 和 BD 的中点, 又因为 N 为 PD 的 中点? MN / / BP ?2 分

? MN ? 平面ABP,BP ? 平面ABP
? MN ∥平面 ABP
?????6 分

注意:条件“ MN ? 平面ABP,BP ? 平面ABP”少写一个扣除 2 分,两个都不写本小步 4 分扣完! (2)? AB ? BP ,AB ? BC ,BP、BC 在平面 BPC 内交于 B

-7-

? AB ? 平面BPC
? AB ? PC
充分性: ?????8 分

? BP ? PC,? PC ? 面ABP
平面 ABP ? 平面 APC 必要性:过点 B 作 BE ? AP 于 E ?????11 分

? 平面 ABP ? 平面 APC
? PC ? 面ABP

? BE ? 面APC

? BE ? PC

? PC ? AB
?????14 分

? BP ? PC

注意:不说明充分性、必要性的扣 1 分,充分性、必要性写反了的扣 2 分! 17.解:(1)由已知 m ?

x 1 ,则 f ( x) ? ln(2 x ? 1) ? ( x ? 0) 200 200
?????2 分

所以 f ( x) ?
/

1 1 199 ? 2 x ? ? 2 x ? 1 200 200(2 x ? 1)

由 f ?( x) ? 0 ? 199 ? 2 x ? 0 ,解得 0<x<99.5 即加工产品订单金额 x ? (0,99.5) (单位:万美元),该企业的加工费随 x 的增加而增加。 ????5 分 (2)依题意设,企业加工生产不出现亏损,则当 x ? [10,20] 时, 都有

1 1 ln(2 x ? 1) ? mx ? x。 2 20

????6 分

法一:即 10 ln(2 x ? 1) ? (20m ? 1) x ? 0 在 x∈[10,20]时恒成立.?????7 分

所以,g(x)min=g(20)=10ln41-20(20m+1)≥0,∴m≤ 所以,m∈(0,

ln 41 ? 2 ]时,该企业加工生产不会亏损 . 40

ln 41 ? 2 ,又 m>0, 40
??????14 分

-8-

ln(2 x ? 1) 1 ln(t ? 1) 1 ,令 2 x ? t ? m ? ? ? .????7 分 2x 20 t 20 ln 41 ? 2 求出函数的最小值: ???12 分 40 ln 41 ? 2 正确写出答案: m∈(0, ]时,该企业加工生产不会亏损 ???14 分 40
法二:变量分离 m ? 18.(本小题满分 16 分) 解析:(1)①因为点 A (? ,? ) 在圆 O 上,所以 r ?
2

1 5

7 5

1 49 ? ? 2 ,即圆 O : x2 ? y 2 ? 2 . 25 25

当直线 PA 的斜率为 2 时,直线 PA 的方程为: y ? 2 x ? 1 .联立直线与圆方程 ?
2 代 入 消 去 y 得 : 5x ? 4 x ? 1 ? 0 , 解 得 : x ? ?

?x2 ? y2 ? 2 , ? y ? 2x ? 1

1 或 x ?1 , 所 以 点 P 的 坐 标 为 5

(1,1) . ?????4 分
②因为直线 PA 与直线 PB 的倾斜角互补且直线 PA 的斜率为 2 ,所以直线 PA 的斜率为 ? 2 。 设点 P 的坐标为 (2, t ) ,则直线 PA 的方程为: 2 x ? y ? 4 ? t ? 0 ,直线 PB 的方程为:

2 x ? y ? t ? 4 ? 0 。圆心 (0,0) 到直线 PA, PB 的距离分别为 d1 ?
径定理得:

|t ?4| |t ? 4| , d2 ? 。由垂 5 5

PA ? 2 r 2 ?

(t ? 4)2 (t ? 4)2 。因为 PA ? 2 PB ,故 , PB ? 2 r 2 ? 5 5

r2 ?

(t ? 4)2 (t ? 4) 2 3t 2 ? 40t ? 48 ? 4[r 2 ? ] ? 3r 2 ? ? 15r 2 ? 3t 2 ? 40t ? 48?(1) , 又因 5 5 5

? 1 t? ? ? 3 2 2 为 点 P (2, t ) 在 圆 O 上 , 所 以 4 ? t ? r ?(2) , 联 立 (1)(2) 解 得 ? 或 ?r ? 37 ? 3 ?
?t ? 3 。???10 分 ? ?r ? 13
(2)由题 意知:直线 PA, PB 的斜率均存在。 ①设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 )(x0 ? 0, y0 ? 0) ,直线 PA 的斜率为 k (k ? ?1) ,则直线 PA 的方程 为: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,直线 OP 的斜率为

y0 。 x0
-9-

联立直线 PA 与圆 O 方程 ?

?x2 ? y 2 ? r 2 ? y ? kx ? kx0 ? y0

,消去 y 得:
2 2

(1 ? k 2 ) x2 ? 2k ( y0 ? kx0 ) x ? ( y0 ? kx0 )2 ? r 2 ? 0 ,因为点 P 在圆 O 上,即 x0 ? y0 ? r 2 ,
所以 ( y0 ? kx0 )2 ? r 2 ? (k 2 ? 1) x0 ? 2kx0 y0 ,代入得:
2

(1 ? k 2 ) x2 ? 2k ( y0 ? kx0 ) x ? (k 2 ? 1) x0 ? 2kx0 y0 ? 0 。
(k 2 ? 1) x0 ? 2kx0 y0 (k 2 ? 1) x0 ? 2ky0 由韦达定理得: x0 xA ? ,代入直线 PA 的方 ? xA ? 1? k2 1? k2
程得: y A ?
2

2

? 2kx0 ? k 2 y0 ? y0 (k 2 ? 1) x0 ? 2ky0 ? 2kx0 ? k 2 y0 ? y0 A ( , ), ,故点 坐标为 1? k2 1? k2 1? k2 (k 2 ? 1) x0 ? 2ky0 2kx0 ? k 2 y0 ? y0 , ), 1? k2 1? k2

用 "? k " 代替 " k " 得:点 B 的坐 标为 (

2(k 2 ? 1) x0 2 y0 ? 2k 2 y0 , y A ? yB ? 所以 x A ? xB ? 。 k2 ?1 k2 ?1
2 2 2 ? ? xA ? y A ? r 因为点 A, B 都在圆 x ? y ? r 上,所以 ? ,两式相减得: 2 2 2 ? x ? y ? r B ? B

2

2

2

( xA ? xB )(xA ? xB ) ? ( yA ? yB )( yA ? yB ) ? 0 ,所以 k AB ?

y A ? yB x ? xB ?? A ? x A ? xB y A ? yB

2(k 2 ? 1) x0 y x 2(k 2 ? 1) x0 x0 k2 ?1 ? ? ? ? ,故 kOP ? k AB ? 0 ? 0 ? 1 。 2 2 2 y0 ? 2k y0 x0 y0 2(1 ? k ) y0 y0 2 k ?1
②当 k ? 1 时,点 A 的坐标为 (? x0 ,? y0 ) (此时点 A 与点 P 关于坐标原点对称,故 kOP ? 1 ), 点 B 的坐标为 ( y0 , x0 ) ,故 k AB ? 足 kOP ? k AB ? 1 。 综上,当点 P 在圆 O 上移动时,直线 OP 与 AB 的斜率之积为定值 1 。?????16 分 19.解:(1)直线 x ? y ? 1 ? 0 的斜率为 1,且过 (1, 0) 点,

x0 ? y0 ? 1 ,满足 kOP ? k AB ? 1 。同理,当 k ? ?1 时,也满 x0 ? y0

? 1 ? 1, 1 ? 又 f ?( x) ? ,∴ ? ln a x ln a ? ?log a 1 ? b ? 0

???????3 分

- 10 -

∴, a ? e , b ? 0 ;

???????5 分

? x ? x2 y1 ? y2 , (2) PQ 的中点为 ? 1 2 ? 2
∴ k1 ? (ln x)? x ? x1 ? x2 ?
2

? ? , f ( x) ? ln x , ?

???????6 分

2 , x1 ? x2

???????????7 分

n ?? ? k2 ? ? mx ? ? x? ?

x?

x1 ? x2 2

n? n ? , ?????8 分 ? ?m ? 2 ? ?m? 2 x ? x ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 2 ? ? ? 2 ?
2

n ? x ? x2 ? 由 x2 ? x1 ? 0 ,∴ ? 1 ? ? x1 x2 ,则 k2 ? m ? x x , ? 2 ? 1 2
则 ( x2 ? x1 )k2 ? m( x2 ? x1 ) ?

n( x2 ? x1 ) x n n ? mx2 ? ? (mx1 ? ) ? y2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1 ? ln 2 , x1 x2 x2 x1 x1

?x ? 2 ? 2 ? 1? x 2( x2 ? x1 ) ?, ? ? 1 又 ( x2 ? x1 )k1 ? x x1 ? x2 1? 2 x1
法一:令 r (t ) ? ln t ?

???????????11 分

x 1 4 (t ? 1)2 2(t ? 1) ? , t ? 2 >1,则 r ?(t ) ? ? ,因为 t >1 时, r ?(t ) x1 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2 1? t
??

>0, 所以 r (t ) 在 [1, ? ?) 上单调递增, 故 r (t ) > r (1) ? 0 , 则 k 2 > k1 . 16 分 法二:令 r (t ) ? (t ? 1)ln t ? 2(t ? 1) , t ?

x2 1 >1, 则r ?(t ) ? ln t ? ? 1 , x1 t

1 ?? 1 1 t ? 1 1 ?? 1 ? ? 因为 ? ln t ? ? ? ? 2 ? 2 ,所以 t >1 时, ? ln t ? ? >0,故 ln t ? 在 [1, ? ?) 上单调递 t? t t t t? t ? ?
增,从而 ln t ? ? 1>0,即 r ?(t ) ? 0 ,于是 r (t ) 在 [1, ? ?) 上单调递增,故 r (t ) > r (1) ? 0 即

1 t

(t ? 1) ln t > 2(t ? 1) , ln t >

2(t ? 1) ,则 k 2 > k1 .??16 分 t ?1

20.(ⅰ)令 x2 ? 9 ? ym ? 4m ? 5 ,得 m ? 1 ,故 x2 是数列 { yn } 中的第 1 项. 令 x4 ? 81 ? yk ? 4k ? 5 ,得 k ? 19 ,故 x4 是数列 { yn } 中的第 19 项. ?????2 分 (ⅱ)由题意知, cn ? 3 , 由 ck 为数列 { yn } 中的第 m 项,则有 3
2n
2k

? 4m ? 5 ,
- 11 -

那么 ck ?1 ? 32( k ?1) ? 9 ? 32k ? 9 ? (4m ? 5) ? 36m ? 45 ? 4(9m ?10) ? 5 , 因 9m ? 10 ? N ,所以 ck ?1 是数列 { yn } 中的第 9m ? 10 项.
?

???????8 分

( 2 )设在 {1, 2}上存在实数 b 使得数列 {xn } 和 { yn } 有公共项, 即存在正整数 s , t 使

as ? (a ? 1)t ? b ,∴ t ?

as ? b s , 因自然数 a ≥ 2 ,s,t 为正整数,∴ a ? b 能被 a ? 1 整除. a ?1
②当 s ? 2n (n ? N? ) 时,

a as ? b ? N? . ? ①当 s ? 1 时, t ? a ?1 a ?1
当 b ? 1 时,

a s ? b a2n ? 1 1 ? a 2n ? ?? ? ?[1 ? (?a) ? (?a)2 ? ? ? (?a)2 n?1 ] a ?1 a ?1 1 ? ( ?a)
s

? (a ?1)[1 ? a2 ? a4 ?? a2n?2 ] ? N? ,即 a ? b 能被 a ? 1 整除.
此时数列 {xn } 和 { yn } 有公共项组成的数列 {zn } ,通项公式为 zn ? 22n (n ? N ) .
?

a s ? b a 2n ? 2 a 2n ? 1 1 s ? ? ? ? N? ,即 a ? b 不能被 a ? 1 整除. 显然,当 b ? 2 时, a ?1 a ?1 a ?1 a ?1

b a(a 2 n ? ) a ?b a , ③当 s ? 2n ? 1 (n ? N? ) 时, t ? ? a ?1 a ?1
s

b a(a 2 n ? ) b 2n ? a ? N? . 若 a ? 2 ,则 a ? ? N ,又 a 与 a ? 1 互质,故此时 t ? a a ?1 b b 2n ? 2n 2n 若 a ? 2 ,要 a ? ? N ,则要 b ? 2 ,此时 a ? ? a ? 1 , a a
由②知, a
2n

b a(a 2 n ? ) a ? N? ,即 a s ? 1 能被 a ? 1 整除, 故 t ? a ?1
S

? b 能被 a ? 1 整除.

当且仅当 b ? a ? 2 时, a ? b 能被 a ? 1 整除. 此时数列 {xn } 和 { yn } 有公共项组成的数列 {zn } ,通项公式为 zn ? 2
2n?1

(n ? N? ) .

综上所述,存在 b ?{1, 2} ,使得数列 {xn } 和 { yn } 有公共项组成的数列 {zn } ,且当 b ? 1 时,数 列 zn ? a
2n

(n ? N? ) ;当 b ? a ? 2 时,数列 zn ? 22n?1 (n ? N? ) .???16 分

- 12 -

附加题答案

1、解:由题意 的特征多项式为

. .则 .



,特征方程

属于特征值

的一个特征向量为



.

.

2.(Ⅰ)由





(Ⅱ)将 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 即 由于 ,故可设

, 是上述方程的两实根 ,

所以 |PA|+|PB|= = 。

故由上式及 t 的几何意义得:

3、解: (1)可得 (2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为

, 而



, 所 以

,由

,知 分别为

,解得 轴,建立空间直角坐标系 ,

4、解:(1)以 AB,AC,





- 13 -

平面 ABC 的一个法向量为



( *)

于是问题转化为二次函数求最值,而

当 最大时,

最大,所 以当

时,

. (2)已知给出了平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 ,即可得到平面 ABC 的一个法向量



,设平面 PMN 的一个法向量为



.

由 令



,解得

. 于是由



解得

的延长线上,且

.

- 14 -


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