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高考数学二轮专题复习教案(12):三角函数


第 12 讲

三角函数

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高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出。因此,在复 习过程中既要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对 称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出 三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三

角知识的应用意识.
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一、知识整合

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1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等; 熟悉三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应用这些方法进行三角 函数式的求值、化简、证明;掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的 公式解决一些实际问题.
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2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函 数的性质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点,并会用 五点画出函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象;理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这 两种变换研究函数图象的变化.
学科网 二、

高考考点分析

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2004 年各地高考中本部分所占分值在 17~22 分,主要以选择题和解答题的形式出现。 主要考察内容按综合难度分,我认为有以下几个层次: 第一层次:通过诱导公式和倍角公式的简单运用,解决有关三角函数基本性质的问题。 如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次: 三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。 如辅助角公式、 平方公式逆用、 切弦互化等。 第三层次:充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有 界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题。如分段函数值,求复合函数值域等。
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三、方法技巧

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1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos θ 2 +sin θ =tanx·cotx=tan45°等。 2 2 2 2 2 2 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项: sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;
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2

配凑角:α =(α +β )-β ,β =

???
2



???
2
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等。

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(3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。

(4) 引入辅助角。 asinθ +bcosθ = a 2 ? b 2 sin(θ + ? ), 这里辅助角 ? 所在象限由 a、 b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? =

b 确定。 a
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2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利 用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。
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四、例题分析

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例 1.已知 tan? ? 值.
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2 ,求(1)

cos ? ? sin ? 2 2 ; (2)sin ? ? sin ? . cos? ? 2 cos ? 的 cos ? ? sin ?

sin ? cos? ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; 解: (1) ? sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 cos? ? sin ? 1? cos? sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? 2 2 (2) sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 . ? cos ? 2 cos? ? ? sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ? 1?
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说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化, 就会使解题过程简化。 例 2.求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x) 的值域。
2
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解:设 t ? sin x ? cos x ?

π 2 sin( x ? ) ? [? 2, 2] ,则原函数可化为 4
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1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? ,因为 t ?[? 2,2] ,所以 2 4 1 3 当 t ? 2 时, ymax ? 3 ? 2 ,当 t ? ? 时, ymin ? , 2 4 3 3 ? 2] 。 所以,函数的值域为 y ? [ , 4
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例 3.已知函数 f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。
2

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(1)求 f ( x ) 的最小正周期、 f ( x ) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ?
2

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π 对称。 8

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解: f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin x)
2

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π ? 2sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 2 2 sin(2 x ? ) 4
(1)所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R , 所以,当 2 x ?
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π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8 π (2) 证明:欲证明函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 对称,只要证明对任意 x ? R ,有 8
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π π ? x) ? f (? ? x) 成立, 8 8 π π π π 因为 f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin( ? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π 所以 f (? ? x) ? f (? ? x) 成立,从而函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 对称。 8 8 8 1 3 2 例 4. 已知函数 y= cos x+ sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2 f (?
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(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解: (1)y=


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1 1 1 3 3 2 2 cos x+ sinx·cosx+1= (2cos x-1)+ + (2sinx·cosx)+1 2 4 4 4 2 1 5 1 ? ? 5 3 = cos2x+ sin2x+ = (cos2x·sin +sin2x·cos )+ 4 4 2 6 6 4 4 1 ? 5 = sin(2x+ )+ 2 6 4
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? ? ? 所以 y 取最大值时,只需 2x+ = +2kπ ,(k∈Z) ,即 x= +kπ ,(k∈Z) 。 6 2 6 ?
所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: (i)把函数 y=sinx 的图像向左平移
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6

+kπ ,k∈Z}

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? ? ,得到函数 y=sin(x+ )的图像; 6 6

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( ii )把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 y=sin(2x+

? )的图像; 6

1 倍(纵坐标不变) ,得到函数 2

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( iii )把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 y=

1 ? sin(2x+ )的图像; 2 6

1 倍(横坐标不变) ,得到函数 2

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(iv)把得到的图像向上平移
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5 1 ? 5 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图像。 4 2 6 4
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综上得到 y=

1 3 2 cos x+ sinxcosx+1 的图像。 2 2

说明:本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性 质。这类题一般有两种解法:一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式,降幂后最终化成 y= a 2 ? b 2 sin (ω x+ ? )+k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1) 还可以解法如下:当 cosx=0 时,y=1;当 cosx≠0 时,

1 3 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? t an x 2 2 2 2 y= +1= +1 sin 2 x ? cos2 x 1 ? t an2 x
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化简得:2(y-1)tan x- 3 tanx+2y-3=0

2

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∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得: ∴ymax=

3 7 ≤y≤ 4 4
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7 ? ,此时对应自变量 x 的值集为{x|x=kπ + ,k∈Z} 4 6 x x 2 x . 例 5.已知函数 f ( x) ? sin cos ? 3 cos 3 3 3 (Ⅰ)将 f(x)写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标;
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(Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此 时函数 f(x)的值域. 解: f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin( 2 x ? ? ) ? 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2
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2

2x ? 2x ? 3k ? 1 ? ) =0 即 ? ? k? (k ? z )得x ? ? 3 3 3 3 2 3k ? 1 ?, k ? z 即对称中心的横坐标为 2
(Ⅰ)由 sin(
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k?z
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(Ⅱ)由已知 b =ac

2

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a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2 1 ? ? 2 x ? 5? ? ? cos x ? 1, 0 ? x ? , ? ? ? 2 3 3 3 3 9 ? ? 5? ? ? 2x ? 2x ? 3 ?| ? |?| ? | , ? sin ? sin( ? ) ? 1, ? 3 ? sin( ? ) ? 1 ? , 3 2 9 2 3 3 3 3 3 2 3 即 f ( x) 的值域为 ( 3 ,1 ? ]. 2 ? 3 f ( x) 值域为 ( 3 ,1 ? 综上所述, x ? (0, ] , ] . 3 2 cos x ?
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说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思 想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。
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cos C 3a ? c ? 例 6.在 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 , cos B b (1)求 sin B 的值;
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(2)若 b ? 4 2 ,且 a=c,求 ABC 的面积。 解:(1)由正弦定理及

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cos C 3a ? c cos C 3sin A ? sin C ? ? ,有 , cos B b cos B sin B

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即 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B ,所以 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B ,

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又因为 A ? B ? C ? π , sin( B ? C ) ? sin A ,所以 sin A ? 3sin A cos B ,因为 sin A ? 0 , 所以 cos B ?

1 2 2 2 ,又 0 ? B ? π ,所以 sin B ? 1 ? cos B ? 。 3 3

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2 2 (2)在 ABC 中,由余弦定理可得 a ? c ?

2 ac ? 32 ,又 a ? c , 3
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所以有

4 2 a ? 32,即a 2 ? 24 ,所以 ABC 的面积为 3 1 1 S ? ac sin B ? a 2 sin B ? 8 2 。 2 2
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例 7.已知向量 a ? (2cos α ,2 sin α),b= (? sin α, cos α),x ? a ? (t 2 ? 3)b,
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y ? ?ka ? b ,且 x ? y ? 0 ,

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(1)求函数 k ? f (t ) 的表达式;

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, 3] ,求 f (t ) 的最大值与最小值。 (2)若 t ? [?1
2

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解:(1) a ? 4 , b ? 1 , a ? b ? 0 ,又 x ? y ? 0 ,
2

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所以 x ? y ? [a ? (t 2 ? 3)b ] ? (?ka ? b ) ? ?ka 2 ? (t 2 ? 3)b 2 ? [t ? k (t 2 ? 3)]a ? b ? 0 ,

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1 3 3 1 3 t ? t ,即 k ? f (t ) ? t 3 ? t ; 4 4 4 4 3 2 3 (2)由(1)可得,令 f (t ) 导数 t ? ? 0 ,解得 t ? ?1 ,列表如下: 4 4
所以 k ?
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t

-1 0 极大值

(-1,1) - 递减

1 0 极小值

(1,3) + 递增

f (t ) 导数
f (t )
1 2

而 f (?1) ? ,f (1) ? ? ,f (3) ? , 所以 f (t ) max ? ,f (t ) min ? ? 例 8.已知向量 a ? (cos α, sin α),b = (cos β, sin β ), | a ? b |? 求 cos(α ? β ) 的值; (2)若 0 ? α ?

1 2

9 2

9 2

1 。 2

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2 5 , 5

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(1)

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(2)

π π 5 , ? ? β ? 0,且 sin β ? ? ,求 sin α 的值。 2 2 13
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解:(1)因为 a ? (cos α , sin α),b=(cos β, sin β), 所以 a ? b ? (cos α ? cos β, sin α ? sin β),
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又因为 | a ? b |?

2 5 2 5 2 2 ,所以 (cos α ? cos β ) ? (sin α ? sin β ) ? , 5 5
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cos(α ? β ) ? 即 2 ? 2 cos(α ? β ) ? ,
(2) 0 ? α ?

4 5

3 ; 5

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π π , ? ? β ? 0, 0?α? β ?π, 2 2 3 4 又因为 cos(α ? β ) ? ,所以 sin(α ? β ) ? , 5 5 5 12 sin β ? ? ,所以 cos β ? ,所以 sin α ? sin[(α ? β ) ? β ] ? 13 13
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?

例 9.平面直角坐标系有点 P(1, cos x), Q(cos x,1), x ? [?

? ?

63 65

, ] 4 4

(1) 求向量 OP 和 OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f ( x) ; (2) 求 ? 的最值. 解: (1)? OP ? OQ ?

OP ? OQ ? cos? ,

? cos x ? cos x ? (1 ? cos2 x) cos? 2 cos x ? cos? ? 1 ? cos2 x 2 cos x ? ? f ( x) ? (? ? x ? ) 即 2 1 ? cos x 4 4 1 3 2 2 (2)? cos? ? , 又 cos x ? ? [2, ], 1 cos x 2 cos x ? cos x 2 2 2 2 . ? cos? ? [ ,1] , ?? min ? 0 , ? max ? arccos 3 3
说明:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意。

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