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集合 知识点与题型归纳


●高考明方向 1.了解集合的含义,元素与集合的属于关系; 能用列举法或描述法表示集合. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 了解全集与空集的含义. 3.理解并会求并集、交集、补集; 能用 Venn 图表达集合的关系与运算. ★备考知考情 对于本节的考查,一般以选择题或填空题形式出现,难度中低档. 命题的规律主要体现在集合与集合、元素与集合之间的关系以及集合 的交集、并集、补集的运算,同时注意以集合为工具,考查对集合语言、 集合思想的理解和运用,往往与映射、函数、方程、不等式等知识融合 在一起,体现出一种小题目综合化的特点. 在考查集合知识的同时突出考查准确使用数学语言能 力及用数形结合、分类讨论思想解决问题的能力; 以集合为载体考查对信息的收集、捕捉、加工能力.

一、知识梳理《名师一号》P1 知识点一 元素与集合 某些指定的对象集在一起就成为一个集合.其中每个对象 叫做集合中的元素. 1、集合中的元素具有三个特性确定性、互异性和无序性. 2、集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种, 分别用∈和?来表示. 3、常见数集的符号表示: 数集 表示法 自然数集 N 正整数集 N*或 N+ 描述法 整数集 Z 有理数集 Q 、 图示法 实数集 R

4、集合有三种表示方法: 列举法、

还可以用区间来表示集合. 5、集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集

知识点二

集合间的基本关系

知识点三

集合的基本运算及性质

1.集合的基本运算 集合的并集 符号 表示 图形 表示 意义 集合的交集 集合的补集 若全集为 U,则集合 A 的补集为?UA

A∪B

A∩B

{x|x∈A 或 x∈B}
注意补集的相对性

{x|x∈A 且 x∈B}

?UA={x|x∈U 且 x?A}

2.集合的运算性质 并集的性质:A∪ ? =A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A 交集的性质:A∩ ? = ? ;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B 补集的性质:A∪(?UA)=U;A∩(?UA)= ? ;?U(?UA)=A

二、例题分析: (一)元素与集合之间的关系 例 1.(1) 《名师一号》P1 对点自测 2 已知集合 A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x},则 A∩B=________.

答案: ? 注意: 《名师一号》P2 高频考点 例 1 规律方法(1) 用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义, 再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合. 《名师一号》P2 问题探究 问题 2 ? 、{ ? }与{0}有什么区别与联系? ? 是空集,不含任何元素.{ ? }不是空集,它含有一个元素 ? ; 同样,{0}也不是空集,它含有一个元素 0. 由于空集是任何集合的子集,故 ? ? {0}, ? ? { ? }; 又根据 ? 是{ ? }的一个元素,也可以得到 ? ∈{ ? }.另外,{ ? }∩{0}= ? . 例 1.(2)(补充) P ? { y ? x 2 ? 1} , Q ? { y | y ? x 2 ? 1} , E ? {x | y ? x 2 ? 1} , F ? {( x, y) | y ? x 2 ?1} , G ? { x | x ? 1} , 则 ( ) ( A) P ? F ( B ) Q ? E (C ) E ? F ( D ) Q ? G

答案:D 练习:《名师一号》P2 高频考点 变式思考 1(1) 已知集合 A={(x,y)|x,y∈R,且 x2+y2=1}, B={(x,y)|x,y∈R,且 y=x},则 A∩B 的元素个数为( A.0 B. 1 C. 2 D.3 )

答案:2 注意:集合与解析几何 集合与平面解析几何结合是高考的又一热点, 这类题型一般以集合为载体考查解析几何基本图形的性质 及相互之间的关系,解题关键是抓住表达式的几何意义.

练习 1:已知集合 M={(x,y)|y-1=k(x-1),x,y∈R}, 集合 N={(x,y)|x2+y2-2y=0,x,y∈R},那么 M∩N 中( ) A.不可能有两个元素 B.至多有一个元素 C.不可能只有一个元素 D.必含无数个元素

解析:y-1=k(x-1)表示经过定点(1,1),斜率为 k 的直线, 不包括通过(1,1)与 x 轴垂直的直线即 x=1. x2+y2-2y=0,可化为 x2+(y-1)2=1,表示圆心在(0,1), 半径等于 1 的圆,又(1,1)是圆上的点, ∴直线与圆有两个交点,故选 C. 练习 2:已知集合 A ?

B?


?? x, y ? x

?? x, y ? y ?
2

3x ? 0 ,

2

? ? y ? a? ? 1 ,

?

?

A B ? B ,则实数 a 的取值范围是(

A. C.

?2, ???

B. D.

??2, 2?

? ??, ?2? ?2, ???

? ??, ?2?



答案:B 例 2.(1) 《名师一号》P1 对点自测 3 已知集合 M={1,m+2,m2+4},且 5∈M,则 m 的值为________.

解析:因为 5∈{1,m+2,m2+4},所以 m+2=5 或 m2+4=5, 即 m = 3 或 m= ± 1. 当 m=3 时,M={1,5,13}; 当 m=1 时,M={1,3,5}; 当 m=-1 时,M={1,1,5}不满足互异性. 所以 m 的值为 3 或 1. 注意: 《名师一号》P2 问题探究 问题 1 如何正确认识集合的三大特性? 集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到. 解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.

例 2.(2) 《名师一号》P2 高频考点 例 1 已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A}, 则 B 中所含元素的个数为( A.3 B. 6 ) C.8 D.10

解析:由 x-y∈A,及 A={1,2,3,4,5}得 x>y, 当 y=1 时,x 可取 2,3,4,5,有 4 个; 当 y=2 时,x 可取 3,4,5,有 3 个; 当 y=3 时,x 可取 4,5,有 2 个; 当 y=4 时,x 可取 5,有 1 个. 故共有 1+2+3+4=10(个),选 D. 注意: 《名师一号》P2 高频考点 例 1 规律方法(2) 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意. 分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. 例 2.(3) 《名师一号》P2 例 1(2) b (07 全国Ⅰ)设 a, b ? R ,集合 {1, a ? b, a} ? {0, , b} a ) B. ? 1 C.2 D. ? 2 A.1 高频考点

则b ?a ?(

? ? b 解析:因为{1,a+b,a}=?0,a,b?,a≠0, ? ?

b 所以 a+b=0,得a=-1, 所以 a=-1,b=1.所以 b-a=2. 注意:利用互异性解题 练习:(补充) 设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P*Q={x|x=a· b,“· ”为通常的乘法运算,a∈P,b∈Q}, 若 P={0,2,4},Q={1,2,6},则 P*Q 中元素的个数是( A.9 B. 8 C.7 D.6 )

解析:由题意可知 P*Q={0,2,4,8,12,24}.故选 D. 本题易形成错解:从 P 中选取元素 a 有 3 种选法, 对于它的每一种选法,在 Q 中选取 b 有 3 种选法, ∴共有 3×3=9 种,∴选 A. 例 3.(补充) 1 在集合 M={0, ,1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合, 2 1 该集合恰满足条件“对?x∈A,有x∈A”的概率是________.

解析:集合 M 的非空子集有 25-1=31 个,而满足条件 1 1 “对?x∈A,则x∈A”的集合 A 中的元素为 1、 或 2, 2 1 且 ,2 要同时出现,故这样的集合有 3 个: 2 1 1 3 {1},{ ,2},{1, ,2}.因此,所求的概率为 . 2 2 31

注意: 1、一般地,若 a ? A ,则元素 a 一定满足集合 A 中元素的共同特征 2、 《名师一号》P2 对点自测 4(2) 含有 n 个元素的集合的子集个数是 2n, 真子集个数是 2n-1,非空真子集的个数是 2n-2. 练习 1: 《名师一号》P2 高频考点 例 1 变式思考 1(2) 若集合 A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数 a=________.

∵集合 A 的子集只有两个,∴A 中只有一个元素. 2 当 a=0 时,x= 符合要求. 3 9 当 a≠0 时,Δ=(-3)2-4a× 2=0,∴a= . 8 9 故 a=0 或 . 8

练习 2:(补充) 设集合 U ?

?? x, y ? x ? R, y ? R? , A ? ?? x, y ? 2 x ? y ? m ? 0? B ? ?? x, y ? x ? y ? n ? 0? ,则点 P(2,3) ? A ?C B ? 的
U

充要条件是

答案: m ? ?1且 n ? 5 (二)集合与集合之间的关系 例 1. (1) 《名师一号》P2 高频考点 例 2(1) 已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}, 若 B ? A,求实数 m 的取值范围.

解析:当 B= ? 时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2. 当 B≠ ? 时,若 B ? A,如图.

?m+1≥-2, 则?2m-1≤7, ?m+1<2m-1,

解得 2<m≤4.

综上,m 的取值范围是(-∞,4].

例 1. (2) 《名师一号》P2 高频考点 例 2(2) 设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0}, B={x|x2+(m+1)x+m=0}. 若(?UA)∩B= ? ,求 m 的值.

解析:A={-2,-1},由(?UA)∩B= ? ,得 B ? A.

∵方程 x2+(m+1)x+m=0 的判别式 Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0, ∴ B≠ ? . ∴B={-1}或 B={-2}或 B={-1,-2}. ①若 B={-1},则 m=1; ②若 B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4, 且 m=(-2)· (-2)=4,这两式不能同时成立, ∴B≠{-2}; ③若 B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3, 且 m=(-1)· (-2)=2,由这两式得 m=2. 经检验知 m=1 和 m=2 符合条件.∴m=1 或 2. 注意: 《名师一号》P2 高频考点 例 2 规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素, 对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解. 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 如 A ? B 时,A 有两种情况: A ? ? 与 A ? ? (2)在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段是 合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时, 要对参数进行讨论. 解含参数的问题,要有讨论的意识,分类讨论时要注意空集 (3)区分“包含于” 、 “包含” 、 “真包含” 、 “不包含” 关注区间端点值是否取到—具体检验! (4)方程与不等式的解集

练习 1: 《名师一号》P3

高频考点

例3

变式思考 3(1)

? ? ? ??1? ? 已知全集为 R,集合 A=?x??2?x≤1 ?, ? ?? ? ? ? ? 2 B={x|x -6x+8≤0},则 A∩?RB=( ) A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2,或 x>4} D.{x|0<x≤2,或 x≥4}

? ? ? ??1? ? 解析:A=?x??2?x≤1 ?={x|x≥0},B={x|2≤x≤4}, ? ?? ? ? ? ? 所以?RB={x|x<2,或 x>4},此时 A∩?RB={x|0≤x<2,或 x>4}.

练习 2:(补充)设集合 M ? { x | x ? 则 (
( A) M ? N

k 1 k 1 ? , k ? Z}, N ? {x | x ? ? , k ? Z} , 2 4 4 2


(B) M ? ?N (C ) M ? N ( D) M
N ??

答案:B (三)集合的运算 例 1. 《名师一号》P2 高频考点 例 3(2) 已知 R 是实数集,集合 P={x|y=ln(x2+2 014x-2 015)}, Q={y|y= -x2+2x+3},则(?RP)∪Q=( ) A.(0,1] B.[0,1] C.(-2 015,1] D.[-2 015,2]

解析:集合 P 表示函数 y=ln(x2+2 014x-2 015)的定义域, 由 x2+2 014x-2 015>0,即(x-1)(x+2 015)>0, 解得 x<-2 015 或 x>1. 故 P=(-∞,-2 015)∪(1,+∞), ?RP=[-2 015,1]. 集合 Q 表示函数 y= -x2+2x+3的值域, 设 t=-x2+2x+3,则 y= t. 因为 t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4, 所以 y= t∈[0,2],即 Q=[0,2]. 所以(?RP)∪Q=[-2 015,2],故选 D.

注意: 1、正确解读集合语言 集合的运算问题要依据交、并、补运算的定义求解 同时关注区间端点值是否取到 2、 《名师一号》P2 问题探究 问题 4 数轴和 Venn 图是进行交、并、补集运算的有力工具, 数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要先把集合中 各种形式的元素化简,使之明确化,尽可能地借助数轴、 直角坐标系或 Venn 图等工具,将抽象的代数问题具体化、 形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解题.

例 2. (1) 《名师一号》P2 对点自测 6 设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6}, 则右图中的阴影部分表示的集合为( ) A.{2} B.{4,6} C.{1,3,5} D.{4,6,7,8}

解析 由图知即求(?UA)∩B,而?UA={4,6,7,8}, B={2,4,6},所以(?UA)∩B={4,6}.故选 B.

例 2. (2)(补充) 已知集合 U ? {1, 2,3, 4,5} ,若 A

B ? ?2? ,

?CU A?
则A?

B ? ?4? , ?CU A? ,B ?

?CU B? ? ?1,5? ,

答案: A ? ?2,3? , B ? ?2, 4? 温故知新 P1 第8题

(四)综合运用 《名师一号》P3 特色专题 1.以集合为载体的创新型问题 以集合为载体的创新型问题,是高考命题创新型试题的一个热点, 常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等,此类 问题中集合只是基本的依托,考查的是考生创造性解决问题的能力. 例 1. 在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”, 记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2 014∈[4];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a,b 属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

【规范解答】 因为 2 014=402× 5+4, 又因为[4]={5n+4|n∈Z}, 所以 2 014∈[4],故①正确; 因为-3=5× (-1)+2,所以-3∈[2],故②不正确; 因为所有的整数 Z 除以 5 可得的余数为 0,1,2,3,4,所以③正确; 若 a,b 属于同一“类”,则有 a=5n1+k,b=5n2+k, 所以 a-b=5(n1-n2)∈[0], 反过来,如果 a-b∈[0], 也可得到 a,b 属于同一‘类’”,故④正确. 故有 3 个结论正确. 【名师点评】 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: (1)紧扣新定义---言听计从! . 首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的 本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型 集合问题难点的关键所在. (2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的 一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.

2.以集合为载体的交汇型问题 集合的交汇性问题多与函数、方程、几何概型、三角、解析几何 等问题相联系,突破集合交汇型问题的关键是:利用数形结合的方法, 即借助函数的图象以及解析几何中的相关图形,根据函数图象的特点 以及平面图形的直观性进行求解.

? ??y≥mx+2m, ? 例 2.已知平面区域 M={(x,y)|x +y ≤4},N=? x,y ? 2 2 ?? ? ??x +y ≤4 ? 在区域 M 上随机取一点 A,点 A 落在区域 N 内的概率为 P(N), ?1 3π+2? ?,则实数 m 的取值范围为( 若 P(N)∈? , ) 4π ? ?2 ? ? 3 A.[0,1] B.?- ,0? C.[-1,1] D.[-1,0] 3 ? ?
2 2

? ? ?, ? ?

【规范解答】

平面区域 M={(x,y)|x2+y2≤4}的面积为 4π,

? ? ??y≥mx+2m, ? ? ? ?的面积为 S, 设平面区域 N=? x,y ? 2 2 ??x +y ≤4 ? ? ? ? ? 3π+2 1 1 S 3π+2 因为 ≤P(N)≤ ,所以 ≤ ≤ ,2π≤S≤3π+2, 2 4π 2 4π 4π 直线 y=mx+2m 过定点(-2,0),斜率为 m,数形结合可知, 当 m=0 时,平面区域 N 的面积为 2π; 当 m=-1 时,平面区域 N 的面积为 3π+2. 所以实数 m 的取值范围为[-1,0].故选 D. 【名师点评】两个集合表示的都是点集,故先作出两个集合表示的平面区域, 求出平面区域 M 的面积,设平面区域 N 的面积为 S, 利用 P(N)的取值范围,可求出 S 的取值范围, 再利用数形结合,即可求出参数 m 的取值范围.

练习 1:(补充)定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B}, 设集合 A={0,1},B={2,3},则集合 A⊙B 的所有元素之 和为( A.0 ) B. 6 C.12 D.18

解析:(1)x=0 时,z=0; (2)x=1 时,由 y=2 得 z=6,由 y=3 得,z=12. ∴A⊙B={0,6,12}. 答案:D

1 3 N ? { x | n ? ? x ? n} M ? { x | m ? x ? m ? } 练习 2:(补充) , 3 4 且 M 、 N 都是集合 {x | 0 ? x ? 1} 的子集,如果把 b ? a
叫做集合

?x | a ? x ? b? 的“长度” ,那么集合 M


N的

长度的最小值是

答案:

1 12
? {1, 2,3, 4,5, 6} ,集合 A、B 都是 U 的


练习 3:(补充)设全集 U 子集,若 A

B ? ?13 , , 5? ,则称 A、B 为“理想配集”

记作(A,B) 。这样的“理想配集” (A,B)共有( A.7 个 B.8 个 C.27 个 D.28 个

答案:C

课后作业 (一)计时双基练 P207 基础 1-10 (二)计时双基练 P208 基础 11、培优 1-4 课本 P2-4 变式思考 2、3;对应训练 1、2 预习 第二节 补充:
1、(2013 广东理科 8)设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,…,n}, 令集合 S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,则下列选项正确的是( A.(y,z,w)∈S,(x,y,w) S C.(y,z,w) S,(x,y,w)∈S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w) S,(x,y,w) S ).

命题及其关系、充分条件与必要条件

答案:B 解析:由(x,y,z)∈S,不妨取 x<y<z, 要使(z,w,x)∈S,则 w<x<z 或 x<z<w. 当 w<x<z 时,w<x<y<z, 故(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S. 当 x<z<w 时,x<y<z<w,故(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S. 综上可知,(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S. 2、(2009 北京文科 14)设 A 是整数集的一个非空子集.对于 k∈A, 如果 k-1 A,且 k+1 A,那么称 k 是 A 的一个“孤立元”.给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8}, 由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有_____个.

答案:6 解析:根据题意每个元素必须有一个与其相邻的元素.


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