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广州中医药大学附中2014高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测:推理与证明


广州中医药大学附中 2014 高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测:推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. a、 是两个实数, 设 b 给出的下列条件

中能推出 “a、 中至少有一个数大于 1” b 的条件是( 2 2 ①a+b>1 ②a+b=2 ③a+b>2 ④a +b >2 ⑤ab>1 A.②③ B.③⑤ C.③④ D.③ 【答案】D 2. A. P ? Q ? R C. Q ? P ? R 【答案】B 3 .下列说法中正确的是( ) A.合情推理是正确的推理 C.归纳推理是从一般到特殊的推理 【答案】D 4. 观察 x ' ? 2 x,
2

)

,则 P 、 Q 、 R 的大小顺序是( B. P ? R ? Q D. Q ? R ? P

)

B.合情推理就是归纳推理 D.类比推理是从特殊到特殊的推理
[来源:学,科,网]

? ?

?x ?' ? 4 x , ?cos x?' ? ? sin x , 则归纳推理可得: 若定义在 R 上的函数 f ? x ?
4 3

满足 A.

f ?? x ? ? f ?x ? ,记 g ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 g ?? x ? ? (
f ?x ?
B.

) D.

? f ?x ?

C.

g ?x ?

? g ?x ?

【答案】D 5.规定记号“ ? ”表示一种运算,即 a ? b ? ab ? a ? b 则 k =( A. ?2 【答案】B 6. (1)已知 p3 ? q3 ? 2 ,求证 p ? q ≤ 2 ,用反证法证明时,可假设 p ? q ≥ 2 , (2)已知 a,b ?R , a ? b ? 1 ,求证方程 x2 ? ax ? b ? 0 的两根的绝对值都小于 1.用反证法证 明时可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1,即假设 x1 A. (1) 与 (2) 的假设都错误 B. (1) 与 (2) 的假设都正确 C. (1) 的假设正确; (2) 的假设错误 D. (1) 的假设错误; (2) 的假设正确 【答案】D ) B.1 C. ?2 或 1 D.2
2

(a, b为正实数) ,若 1 ? k ? 3 ,

≥1 ,以下结论正确的是(

)

? 0, ?? ? 上的取值恒不为 0 ,且 x ? 0, y ? R 时,恒有 7.设函数 f ( x) 在其定义域
f ( x y ) ? yf ( x) .若 a ? b ? c ? 1 且 a、b、c 成等差数列,则 f (a) f (c) 与 ? f (b ) ? 的大小
2

关系为(

)

A. C.

f (a ) f (c) ? ? f (b) ?

2

B.
2

f (a ) f (c) ? ? f (b) ?

2

f (a ) f (c) ? ? f (b) ?
2

D.不确定 )

【答案】C 8.观察下列各式 7 A.01 【答案】B

? 49, 73 ? 343, 7 4 ? 2401 ,?则 7 2011 的末两位数字为(
B.43 C.07 D.49

3? 5, 8? 11 9.已知集合 A1 ? ?1?,A2 ? ?2, ,A3 ? ?4, 6? , A4 ? ?7, , A5 ? ?9? , A6 ? ?10, ? , A7 ? ?12,, ?,A8 ? ?15, ?,A9 ? ?17?, ,那么 A102 ? ( 1314 16 ?
A. ?201? 【答案】D 10.数列 ?a n ?为等差数列, ?bn ?为等比数列,且 a 3 ? b3 , a 7 ? b7 ,关于 ?a n ? 与 ?bn ? 有下 列命题:①有无数项相同但 不是所有项相同②所有项相同③只有两项相同,④有且只有 13 项相同,则上述命题中有可能成立的是( A.①②③④ 【答案】A 11.下面说法正确的有:(1)演绎推理是由一般到特殊的推理; (2)演绎推理得到的结论一定是 正确的; (3)演绎推理一般模式是“三段论”形式; (4)演绎推理的结论的正误与大前提、 小前提和推理形有关( A.1 个 【答案】C 12.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,定义:设 f″(x)是函数 y=f′(x)的 导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的“拐点” .有 同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’ ;任何一个三次函数都有对称中心;且‘拐点’ 1 3 1 2 5 1 就是对称中心. ”请你将这一发现为条件,若函数 g(x)= x - x +3x- + ,则 3 2 12 1 x- 2
3 2

)

196 B. ?195, ?

200 C. ?199, ?

203 D. ?202, ?

) C.①③④ D.①②④

B.①②③

) B.2 个 C.3 个 D.4 个

g(

1 2 3 4 2010 ) ? g( ) ? g( ) ? g( ) ??? g( ) 的值是( 2011 2011 2011 2011 2011
B.2011 C.2012 共 90 分) D.2013

)
[来源:Zxxk.Com]

A.2010 【答案】A

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.写出用三段论证明 f ( x) ? x3 ? sin x( x ? R) 为奇函数的步骤是 【答案】满足 f (? x) ? ? f ( x) 的函数是奇函数, 大前提 小前提 结论 .

f (? x) ? (? x)3 ? sin(? x) ? ? x3 ? sin x ? ?( x3 ? sin x) ? ? f ( x) ,
所以 f ( x) ? x3 ? sin x 是奇函数.

14. 已知 a ? b ? c ? 0 , 2a ? 且
2

1 1 ? ? 4ac ? 4c 2 ? 4 , 则 a ? b ? c ? ab a(a ? b)



【答案】 2

2

15.观察下列等式:

13 ? 23 ? (1 ? 2)2 ,13 ? 23 ? 33 ? (1 ? 2 ? 3)2 ,13 ? 23 ? 33 ? 43 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4)2 , ?,根据以上规
律, 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 ? 73 ? 83 ? ____________。 (结果用具体数 字作答) 【答案】1296 16.计算 Cn
1 2 3 + ? 2Cn ? 3Cn+?? +n nC+n ,可以采用以下方法:构造恒等式 ?? ? n + ? +

0 1 2 n Cn ? Cn x ? Cn x2 ? ? ? Cn x n ? (1 ? x)n ,两边对? + + x求导,得
1 2 3 n Cn ? 2Cn x ? 3Cn x2 ? ? ? nCn xn ?1 ? n(1 ? x)n ?1+,在上式中令 x ? 1 ,得
1 2 3 n Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n ? 2n ?1 .

+

+

+

类比上述计算方法,计算 Cn 【答案】 n(n ? 1)2
n?2

1

2 3 n ? 22 Cn ? 32 Cn ? ? ? n2Cn ?



三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知抛物线 C1 : y 2 ? 2 px 的准线方程为 x ? ?

1 ,C1 与直线 l1 : y ? x 在第一象相交于点 P ,过 1 4

P1 作 C1 的切线 m1 ,过 P1 作 m1 的垂线 g1 交 x 轴正半轴于点 A1 ,过 A1 作 l1 的平行线 l2 交抛物
线于第一象限内的点 P2 ,过 P2 作 C1 的切线 m2 ,过 P2 作 m2 的垂线 g 2 ,交 x 轴正半轴于点

A2 ,?,依此类推,在 x 轴上形成一点列 A1,A2,A3,?An ? n ? N ? ? ,设 An 的坐标为 ? an , 0 ?
(1)求抛物线的方程;
2

(2)试探求 an ?1 关于 an 的递推关系;

? ? (3)证明: an ? n ? 1 ? n ? N ? ? 4

【答案】 (Ⅰ)由题意知

2p 1 1 ?? ? p? ?4 4 2

? y 2 ? x 为所 求抛物线的方程

(Ⅱ)由题意知直线 ln ?1 : y ? x ? an 与抛物线? y ? x 联立得
2

[来源:Z&xx&k.Com]

y 2 ? y ? an ? 0

? y ? 0?
? 1 ? 1 ? 4an 1 ? 1 ? 4an ? Pn?1 ? an ? , ? 2 2 ?
1? 1? 4 a an ? 2

?y ?

1 ? 1 ? 4an 2

? ? ? ?
? 1 4 an ? 1 ? 1
[来源:学。科。网]

?切线 mn ?1 的斜率为 kmn?1 ? y ' ?直线 gn?1 的斜率为 k gn?1 ? ?
?直线 gn?1 的方程为 y ?

=

1 4 an ? 2 4 an ? 1 ? 2

?
2

4 an ? 1 ? 1

?
? 1 ? 4an ? 1 ? 4an ? 1 ? 1 ? x ? an ? ? ? ? 2 ? ?

1 ? 4an ? 1

??

?

?

令 y ? 0 ,? an ?1 ?

1 ? 4an ? 1 4an ? 1 1 ? an ? ? an ? ?1 2 2 2 4an ? 1 2
4an 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知? an ?1 ? an ?

?1
1? ? ? an ? an ? 1 ? ? an ? ? 2? ?
2

? an ? 1 ?

1 1 1 ? an ?1 ? ? 2 ? ... ? a1 ? ? n 2 2 2 1 3 易知 P ?1,1? ,直线 m1 的斜率为 k m ? ; 直线 g1 : y ? 1 ? ?2 ? x ? 1? ,令 y ? 0 ? a1 ? 1 1 2 2 n n?2 n ?1 an ?1 ? a1 ? ? ? an ? 2 2 2 ? an?1 ? an ?

? n ? 1 ? ? n ? 1? ? an ? ? ? ? 4 ? 2 ?
2

2

?n ? N ?
*

18.证明: 6 ? 【答案】要证 只需证 即证 即证 即证 因为 所以 原命题成立

7 ?2 2? 5 6? 7 ?2 2? 5

?

6? 7

? ? ?2
2

2? 5

?

2

13 ? 2 42 ? 13 ? 4 10 42 ? 2 10 42 ? 40 42 ? 40 显然成立
?

19.已知 x, y ? R ,且 x ? y ? 2 ,求证:

1? x 1? y 与 中至少有一个 小于 2. y x

?y 1? x 1? y 【答案】假设 与 都大于或等于 2,即? , 1+y y x ≥2
1+x ≥2

?x

? x, y ? R ? ,故可化 为?1+y≥2x ,
?

?1+x≥2y

两式相加,得 x+y≤2, 与已知 x ? y ? 2 矛盾.所以假设不成立,即原命题成立. 20.观察等式 sin 15? ? sin 75? ? sin 45? ?
2 2 2

3 3 2 2 2 , sin 10? ? sin 70? ? sin 50? ? ,请 2 2
2

写出与以上等式规律相同的一个一般化的正确等式,并给予 证明. 【答案】一般化的正确等式为 sin x? ? sin (60? ? x?) ? sin (60? ? x?) ?
2 2

3 . 2

证明: sin x? ? sin (60? ? x?) ? sin (60? ? x?)
2 2 2

1 ? cos(2 x)? 1 ? cos(120? ? (2 x)?) 1 ? cos(120? ? (2 x)?) ? ? 2 2 2 1 ? cos(2 x)? 1 ? cos120? cos(2 x)? ? sin120? sin(2 x)? ? ? 2 2 1 ? cos120? cos(2 x)? ? sin120? sin(2 x)? 分 ? 2 1 1 1 ? cos 2 x? ? 1 ? cos 2 x? ? 1 ? cos 2 x? 2 2 ? 2 3 ? . 2 ?
21. 汉诺塔问题是根据一个传说形成的一个问题: 有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等 的穿孔圆盘,按下列规则,把圆盘从一根杆子上全部移到另一根杆子上. ①每次只能移动 1 个碟片;②大盘不能叠在小盘上面. 如图所示,将 A 杆上所有碟片移到 C 杆上,B 杆可以作为过渡杆使用,称将碟片从一个杆子移动 到另一个标子为移动一次,记将 A 杆子上的 n 个碟片移动到 C 杆上最少需要移动 an 次. (Ⅰ)写出 a1,a2,a3,a4 的值; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; n (Ⅲ)设 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an ? 1

【答案】 (Ⅰ) a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 7, a4 ? 15 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)推测数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1. 下面用数学归纳法证明如下: ①当 n=1 时,从 A 杆移到 C 杆上只有一种方法,即 a1=1,这时 an ? 1 ? 21 ? 1 成立; ②假设当 n ? k (k ? 1) 时, ak ? 2k ? 1 成立. 则当 n=k+1 时,将 A 杆上的 k+1 个碟片看做由 k 个碟片和最底层 1 张碟片组成的,由假设可知,将 A 杆上 的 k 个碟片移到 B 杆上有 ak ? 2k ? 1 种方法,再将最底层1 张碟片移到 C 杆上有 1 种移法,最后将 B 杆上 的 k 个碟片移到 C 杆上(此时底层有一张最大的碟片)又有 ak ? 2k ? 1 种移动方法,故从 A 杆上的 k+1 个 碟片移到 C 杆上共有 ak ?1 ? ak ? 1 ? ak ? 2ak ? 1 ? 2(2k ? 1) ? 1 ? 2k ?1 ? 1 种移动方法. 所以当 n=k+1 时, an ? 2n ? 1 成立. 由①②可知数列{an}的通项公式是 an ? 2n ? 1 . (也可由递推式 a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? N*, N ? 1), 构造等比数列 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) 求解) (Ⅲ)由(Ⅱ)可知, an ? 2n ? 1 ,所以 bn ?

n 1 ? n ? ( )n 2n 2

1 1 1 Sn ? 1 ? ? 2 ? ( ) 2 ? ? ? n ? ( ) n 2 2 2

1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? ( )2 ? 2 ? ( )3 ? ? ? (n ? 1) ? ( )n ? n ? ( )n?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 (1 ? )Sn ? ? ( )2 ? ( )3 ? ? ? ( )n ? n ? ( )n ?1 2 2 2 2 2 2

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 2 ? n ? ( 1 ) n ?1 Sn ? 2 1 2 2 1? 2
1 ? Sn ? 2 ? (n ? 2) ? ( )n 2
22.由下列不等式: 1 ?

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 ,1 ? ? ? 1,1? ? ?? ? ? ,1? ? ?? ? ? 2 ,? , 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15

你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明. 【答案】根据给出的几个不等式可以猜想第 n 个不等式,即一般不等式为:
[来源:Zxxk.Com]

1?

1 1 1 n ? ??? n ? (n ? N? ) . 2 3 2 ?1 2 1 ,猜想成立; 2

用数学归纳法证明如下: (1)当 n ? 1 时, 1 ?

(2)假设当 n ? k 时,猜想成立,即 1 ? 则当 n ? k ? 1 时,

1 1 1 k ? ??? k ? , 2 3 2 ?1 2

1?

1 1 1 1 1 1 k 1 1 1 k 2k k ?1 ? ??? k ? k ? k ? ? ? k ?1 ? ? k ? k ? ? ? k ?1 ? ? k ?1 ? 2 3 2 ?1 2 2 ?1 2 ?1 2 2 2 ?1 2 ?1 2 2 2

,即当 n ? k ? 1 时,猜想也正确,所以对任意的 n ? N? ,不等式成立.


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