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小学数学教学中渗透特殊化与一般化思想的实践和探索


小学数学教学中渗透特殊化与一般化思想的实践和探索

[摘要]: “人人学有价值的数学”是《数学课程标准》提出的基本理
念之一。在课程改革实施过程中, “有价值”的数学应该是对学生有吸 引力,能使他们产生兴趣的内容; “有价值”的数学应包括在数学学习 中形成和发展起来的数学观念、数学思想、方法。在小学数学教学中 渗透特殊化与一般化思想方法对学生进一步学习数学和解决生活问题 具有重要意义。它是数学思维的核心,也是解决数学问题的关键。同 时特殊化与一般化教学方式是把数学知识转化为方法的有效策略。有 利于培养儿童的创新精神。

[关键词]:有价值 特殊化 一般化 一、问题的提出 《数学课程标准》指出: “人人学有价值的数学”“有价值” 。 的数学应该是对学生有吸引力,能使他们产生兴趣的内容; “有价 值”的数学应包括在数学学习中形成和发展起来的数学观念、数 学思想、方法。 我们在数学教学中经常会遇到这样的问题:学生对一些概念、 性质或定律识记地非常熟练,但在解题中不知道怎么用,或对改 变了条件之后的题目就束手无策。如简算 18 (13 )时,

往往会出错,不能变通;和例题同类型的题目会解答,但不能举 一反三,甚至在出错时给自己找个理由: “我们老师没讲过。 ”针 对这一类问题,有“经验”的老师在练习、复习时,各种类型面 面俱到、题海战,反复训练,学生承受重大的作业负担,久而久 之,学生学习数学的兴趣将受到严重影响,厌学的情绪也由此产 生。所以,我们要探讨的是如何让学生自己理解,分析问题,学

会数学思考,学会用数学的方法去解决问题,去创造性地解决问 题。 英国开放大学数学教学中心的主任梅森在他所著的《数学的 思维》 《学数学,搞数学》中,集中研究了数学中的特殊化和一般 化方法及在解题中的作用。按照梅森的观点,特殊化与一般化正 是数学思维的核心,同时也是怎样解题的关键所在。 小学数学教学中渗透特殊化与一般化方法对学生进一步学习 数学和解决数学和现实问题将有积极意义。

二、概念的界定 1、 什么是特殊化方法? 特殊化通常是指一般性命题的特殊例子,或如波利亚所说: “是从考虑一组给定的对象集合过度到考虑该集合的一个较小的 子集,或仅仅一个对象。 ”在数学中,特殊化可以指用具体的数字 去进行代入,也可以指就“极端”的情况进行考虑,还包括作出 具体图形等。 例如,商不变性质: “在除法里被除数和除数同时乘以或者同 时除以同一个数(0 除外)商不变。 ”我们可以令一个除法式子为 4÷2=2 则有(4÷1)÷(2÷1)=2, (4×1)÷(2×1)=2,也可 以是 100÷10=10 则有(100÷10)÷(10÷10)=10。 2、什么是一般化方法? 一般化是指由一些特例抽象出共同的特性,对此波利亚则给 出了如下的解释: “一般化就是从考虑一个对象过度到考虑包含该 对象的一个集合,或者从考虑一个较小的集合过度到考虑一个包 括该较小集合的更大集合。 ”在数学中我们经常通过改变条件、用

变量(字母)去替代常量等来获得更为一般的结论。 例如,由 等一些具体的例子,我们可以得

到分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数(0 除外)分数的 大小不变。由乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c 去推出更为一般 的结论: (1)(a+b+??m)×c=a×c+b×c=??+m×c(2)(a+b) ÷c=a÷c+b÷c 等等。 梅森指出,相对于特殊化而言,一般化是困难的。然而,一 般化又是数学创造的基本形式,因为,数学认知的根本目的就是 要揭示更为普遍、更为深刻的事实或规律。 3、 “特殊化与一般化构成了整个解题过程的基础。 ” 尽管特殊化与一般化是在两个方向上进行的,但是,这两者 在实际的数学研究中又是密切相关、相互依赖的。特殊化只有上 升到一般的高度,我们才能更为深刻的认识和理解各个特殊的例 子。才能更好的解决问题。

三、实施策略 对于小学数学教学而言,我认为渗透特殊化与一般化方法应 采取以下策略: 1、鼓励由特殊化供给的素材得出一般化的结论 小学数学中的很多结论,如概念、等量关系、运算定律以及 性质等形成过程实际上是由特殊的例子抽象出本质的共同特性的 过程。这是由小学生学习数学概念的基本方式决定的。所以在教 学中要让学生主动参与一般化结论得出的过程,并引导用语言、 符号概括、归纳。让学生清楚为什么要得到这些一般化结论。 例如,在教学分数的基本性质时,除了出现用折纸之后得到



,之外,可以再让学生自己举一些这样的例子,通过

小组讨论、分析,最后得出结论,取名为“分数的基本性质” 。这 时设问:为什么称基本性质?经过一番自由发言后学生渐渐领悟 了。我就向学生讲述,在数学上数学家经常把具有共同特性的例 子进行分析,并得出结论,为的是利用结论去解决新的问题,或 去创造新的东西。这样的过程使学生潜移默化受到了数学思维方 法的熏陶。 2、用随意的特殊化方法去猜测、检验概念、定义的真实性, 进一步理解性质、定律等,达到灵活运用的目的。 数学知识从特殊到一般的形成过程是复杂的概括、抽象的过 程,学生真正理解掌握知识是学生用自己的思考例证知识的过程。 例如,学习了减法性质“从一个数里连续减去两个数,可以从 这个数里减去这两个数的和。 ”可以引导学生用自己想的数(即特 例)去理解它。如 10-3-2 与 10-(3+2)是否相等,真正解除学生 对性质的疑问。 再如,学习了乘法分配律“ (a+b)×c=a×c+b×c”举一个特 例,当 b=1 时,就得到这样的结论:(a+1)×c=a×c+c.即 a× c+c=(a+1)×c. 培养学生这样一种自觉的思考数学问题的过程, 学生在解题的 过程中就能做到举一反三,就能用特殊的例子检验自己在解决问 题中思考的疑惑不定的性质、法则。 3、用特殊化方法去解决问题。 由于小学数学的很多命题中存在的极限、函数等数学思想是 无法用语言表述的,学生哪怕解决问题了,也无法得到理解,在 这样的情况下,通过特殊法解决一些数学问题是非常有必要的,

也是儿童理解数学的一种特定方式。 例如,教学平行四边形的面积时,讨论平行四边形的面积与 什么有关:学生 A,与平行四边形的邻边有关。学生 B,与平行四 边形的底和高有关。在争论的过程中,有学生就提出问题:平行 四边形有不稳定性,如果我们把它压扁一些,压得越扁面积就会 越小, “甚至可以说是没有” ,怎么与邻边有关呢?正是这“甚至 可以是没有”的特殊化考虑使任何学生对解决这一问题时的思维 变地更清晰。 再如,解答(如图所示) “长方形面积为 32 平方厘米,左边直 角三角形的面积为 6.4 平方厘米,右 上角直角三角形面积为 6.8 平方厘米, 那么中间三角形(阴影部分)面积是 多少平方厘米?”通过特殊化与一般 化的渗透,学生就设长为 8 厘米,则 宽为 4 厘米,最后得出的阴影部分的面积是 13、28 平方厘米。同 时我就问学生是否正确?部分学生就再用特殊化的例子来检验自 己的结论(如设长为 16 厘米宽为 2 厘米,长为 32 厘米宽为 1 厘 米,长为 10 厘米宽为 3、2 厘米等等) 。学生虽然不能用比例关系 的理论来解释,但确实能用特殊化方式法解决这样的特殊问题。 这样的一种解题过程不仅使学生掌握了学习的方法、培养思 维能力,更是为学生今后解释这样的过程创造了积极的素材。 4、运用一般化方法推出更一般化的结论 我们通常在得到数学的一些性质后通过拓展获得新的知识, 在这一过程中一般化的方法起到积极的作用。 例如,当学生得到减法性质:a-b-c=a-(b+c) ,可以提问,

通过这一性质还可以得到什么结论?通过大胆猜测以及特殊的检 验后可以得到以下结论:(1)、a-b-c??-m=a-(b+c+??+m) , (2)a-b-b- ? ? -b=0 ( 既 连 续 减 去 多 少 个 b 等 于 0 ) 结 论 是 a=b+b+??+b,即(a÷b)个 b 相加。(3)a-(b-c)=a-b+c,正 是由学生自己得到的一般性结论,所以他们会理解更透彻。 5、发展学生用猜测、形象的特殊化和迷糊的一般化进行创造 地解题 根据心理学的原理,小学生的抽象思维比较弱,所以通过特 例,自己所得到的是模糊的一般化结论。我在教学中就鼓励学生 不断地运用猜想,运用自己的结论去解决新的问题。学生在面临 问题的时候就不再是恐惧、束手无策。 例如,在一次数学活动课的教学中,出现了这样一道计算题: “1234567892-123456788×123456790= ” ,当学生观察题目后,

就有学生动笔了。情况是这样的,部分学生用一些特殊的例子找 规律:如 32-2×4,62-5×7 等等,最后得到答案是 1。这样的数学 问题在一些复杂的分数大小比较以及竞赛的计算题中尤为突出。 再如, “长方形的周长一定,长的边越长,面积就( ) (选

择大或小) ”当问题摆出后,学生就出现这么几种情况“(1)猜测; (2)确定一个特殊的例子,如设周长为 14,则有 1×7=7,2×5=10, 3×4=12,等情况;(3)“极端”的思考方法,若长很长,宽几乎 接近与 0,那么面积也几乎是 0。显然,这里就体现了学生能创造 性地解决问题,并通过这样的结论去解决“自然数列中每组两个 数(首尾)的和相等(如,1、2、3、4、5、6,1+6=2+5=3+4)积 的最大与最小问题。

四、实践评价 用特殊化供给的素材得出一般化的结论;用随意的特殊化方 法去猜测、检验概念、定义的真实性,进一步理解性质、定律; 用特殊化方法去解决问题;运用一般化方法推出更一般化的结论; 发展学生用猜测、形象的特殊化和迷糊的一般化进行创造地解题, 都将贯穿与整个小学数学的教学之中,长期的渗透特殊化与一般 化方法是对学生自觉学习和数学式思考问题习惯的培养。英国教 育家洛克认为: “事实上, 一切教育都归结为养成儿童的良好习惯, 往往自己的幸福归于自己的习惯。 ”

五、实践启示 融数学思想方法于教学实践之中,这已经不再是一种创新, 但这样的实践能够培养学生的创新意识。在小学数学教学中渗透 特殊化与一般化方法是我在教学中的一点尝试,其中还有一些富 有价值的问题等待进一步的实践和探索。

<主要参考文献>: 《数学课程标准解读》 《数学方法论》 《数学教育哲学》 《小学数学教育学》 《心理学》 郑毓信 郑毓信 梁镜清 叶奕乾 北师大出版社 广西教育出版社 广西教育出版社 浙江教育出版社 华东师范大学出版社


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