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圆锥曲线中的最值和范围问题


圆锥曲线中的最值和范围问题(一)
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 F,F b 1、(2008 福建文、理)双曲线 a 的两个焦点为 1 2 ,若 P 为其上的
一点,且

| PF1 |? 2 | PF2 |

,则双曲线离心率的取值范围为( B ) C. (3, ??) D. [3, ??

)

A. (1,3)

B. (1,3]

2、(2008 海南、宁夏理)已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离 与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( A )

1 A. ( 4 ,-1)

1 B ( 4 ,1)
x2 ?

C. (1,2)

D. (1,-2)

3、(2008 湖南文) 双曲线 a

2

y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) b2 的右支上存在一点,它到右焦点及左准
C. (1, 2 ? 1] D. [ 2 ? 1, ??)

线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( C ) A. (1, 2] B. [ 2, ??)

x2 y2 3a ? 2 ?1 2 b 4、(2008 湖南理)若双曲线 a (a>0,b>0)上横坐标为 2 的点到右焦点的距离大
于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B. ) A.(1,2) B.(2,+ ? ) C.(1,5) D. (5,+ ? ) 5、(2008 江西文、理) 已知

F1、F2

是椭圆的两个焦点.满足 MF1 · MF2 =0 的点 M 总在

椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(C )

A.(0,1)

1 B.(0, 2 ]

2 C.(0, 2 )
2

2 D.[ 2 ,1)

6、(2008 辽宁理) 已知点 P 是抛物线 y ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A )

17 A. 2

B. 3

C. 5

9 D. 2

x2 y2 ? ?1 a 2 (a ? 1) 2 a ? 1, 7、 (2008 全国Ⅱ卷理)设 则双曲线 的离心率 e 的取值范围是 ( B )
2) A. ( 2,
B. ( 2,5)

5) C. (2,

D. (2,5)

C:
8、 (2008 安徽文)设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 其相应于焦点 F (2,0) 的准线方程为

1

x ? 4.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知过点

F1 (?2, 0)

倾斜角为 ? 的直线交椭圆 C 于 A, B 两点,求证:

AB ?

4 2 2 ? COS 2? ;
作两条互相垂直的直线分别交椭圆 C 于 A, B 和 D, E ,求

(Ⅲ)过点

F1 (?2, 0)

AB ? DE

的最小值 解 : (1)由题意得:

?c ? 2 ? 2 ? 2 ?a ?a ? 8 ∴? 2 ? ?4 ?b ? 4 ? ?c 2 2 2 ?a ? b ? c ?
x2 y2 ? ?1 4 ∴椭圆 C 的方程为 8
(2)方法一:

由(1)知

F1 (?2, 0)

是椭圆 C 的左焦点,离心率

e?

2 2

设 l 为椭圆的左准线。则 l : x ? ?4 作

AA1 ? l于A1 , BB1 ? l 于B1

, l 与 x 轴交于点 H(如图)

∵点 A 在椭圆上
∴ AF1 ? 2 AA1 2
2 ( FH1 ? AF1 cos ? ) 2 2 AF1 cos ? 2

?

? 2?

∴ AF1 ?

2 2 ? cos ?

2

BF1 ?
同理

2 2 ? cos ?
2 2 4 2 ? ? 2 2 ? cos ? 2 ? cos ? 2 ? cos ? 。

∴ AB ? AF1 ? BF1 ?
方法二:

??


?

2 时,记 k ? tan ? ,则 AB : y ? k ( x ? 2)
x 2 ? 2 y 2 ? 8 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8(k 2 ? 1) ? 0
,则

将其代入方程 设

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

x1 , x2

是此二次方程的两个根.

∴ x1 ? x2 ? ?

8k 2 8(k 2 ? 1) , x1 x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

2 A B ? ( 1 ? 2 )2 ? ( 1 ? y2 ? ( 1 ? 2k ) ( x ? 2x ) ? x x y 2) 1

( 1 2 k )1[x( ? 2 2x ?

) ?

1

x2 x 4

]

?8k 2 2 32(k 2 ? 1) 4 2(1 ? k 2 ) ? (1 ? k 2 )[( ) ? ]? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

................(1)

∵ k ? tan ? , 代入(1)式得
2 2

AB ?

4 2 2 ? cos 2 ?

........................(2)

??


?

2 时, AB ? 2 2
4 2 2 ? cos 2 ?

仍满足(2)式。

∴ AB ?

(3)设直线 AB 的倾斜角为 ? ,由于 DE ? AB, 由(2)可得

AB ?

4 2 2 ? cos 2 ?

DE ?


4 2 2 ? sin 2 ?

A B ? D E?

4 2 4 2 12 2 12 2 ? ? ? 2 2 2 2 2 ? c o s? ? s i? 2 n ? 2 s i n ? o2s? 1 s i 2 ?2 ? c n 4

??


?
4

或? ?

16 2 3? AB ? DE 4 时, 取得最小值 3

3

★★★高考要考什么 【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决: (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系; (2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合 的不等式(组) ,通过解不等式组得出参数的变化范围; (3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示 这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 (4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构 思; (5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共 同特点是均含有三角式。因此,它们的应用价值在于: ① 通过参数 θ 简明地表示曲线上点的坐标; ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题; (6)构造一个二次方程,利用判别式??0。 【例 1】已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 .记动点 P 的轨迹 为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值. 解: (Ⅰ)依题意,点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支,

??? ??? ? ?

x 2 y2 - =1 2 所求方程为: 2 (x?0)
(Ⅱ)当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 的方程为 x=x0, 此时 A(x0,
2 x 0-2

) ,B(x0,-

2 x 0-2

? ) O B , AO

?? ??

=2

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b,

x 2 y2 - =1 2 代入双曲线方程 2 中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0
依题意可知方程 1?有两个不相等的正数根,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

? ?? ? 4k 2b 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? (?b 2 ? 2) ? 0 ? 2kb ? ?0 ? x1 ? x2 ? 1? k 2 ? ? b2 ? 2 ?0 ? x1 x2 ? 2 k ?1 ? 解得|k|?1,
又 OA ? OB =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b) (kx2+b)

??? ??? ? ?

2k 2+2 4 =2+ 2 2 1 k -1 ?2 =(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2= k -

4

综上可知 OA ? OB 的最小值为 2

??? ??? ? ?

x2 y 2 5 ? ?1 AB ? BF 3 【例 2】 给定点 A(-2,2), 已知 B 是椭圆 25 16 上的动点, 是右焦点, F 当
取得最小值时,试求 B 点的坐标。

e?
解:因为椭圆的

5 1 1 3 AB ? BF ? AB ? BF BF 3 e 5 ,所以 ,而 e 为动点 B 到左准线的

距离。故本题可化为,在椭圆上求一点 B,使得它到 A 点和左准线的距离之和最小,过点 B 作 l 的垂线,垂点为 N,过 A 作此准线的垂线,垂点为 M,由椭圆定义 | BF | | BF | 5 ? e ?| BN |? ? | BF | | BN | e 3

AB ?
于是

5 BF ?| AB | ? | BN |?| AN |? AM 3 为定值
(? 5 3 , 2) 2

其中,当且仅当 B 点 AM 与椭圆的定点时等点成立,此时 B 为

AB ?
所以,当

5 3 5 (? , 2) BF 2 3 取得最小值时,B 点坐标为

x2 ? y2 ? 1 【例 3】已知 P 点在圆 x2+(y-2)2=1 上移动,Q 点在椭圆 9 上移动,试求|PQ|的最大
值。 解:故先让 Q 点在椭圆上固定,显然当 PQ 通过圆心 O1 时|PQ|最大,因此要求|PQ|的最大 值,只要求|O1Q|的最大值.设 Q(x,y),则|O1Q|2= x2+(y-4)2 ① 因 Q 在椭圆上,则 x2=9(1-y2) ②

1? ? ? ?8 ? y ? ? ? 27 2? ? 将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2

2

y?
因为 Q 在椭圆上移动,所以-1?y?1,故当 此时

1 2 时, O1Q max ? 3 3

PQ max ? 3 3 ? 1

【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关; 2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函 数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。

【例 4】已知椭圆的一个焦点为 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为

y??

9 2 4 ,且离心率 e

5

2 4 , e, 3 成等差数列。 满足: 3
(1)求椭圆方程;

x??
(2)是否存在直线 l,使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被直线 分,若存在,求出 l 的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由。

1 2平

?
(1)解:依题意 e

2 2 a2 9 2 2 ? ?c ? ?2 2 ? 3 , c 4 4

∴a=3,c=2 2 ,b=1,

又 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为

y??

9 2 4

x2 ?
∴椭圆中心在原点,所求方程为

1 2 y ?1 9 x?? 1 2 平分

(2)假设存在直线 l,依题意 l 交椭圆所得弦 MN 被 ∴直线 l 的斜率存在。 设直线 l:y=kx+m

? y ? kx ? m ? ? 2 y2 ?1 ?x ? 9 由? 消去 y,整理得 (k2+9)x2+2kmx+m2-9=0
∵l 与椭圆交于不同的两点 M、N, ∴Δ=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0 即 m2-k2-9<0 ①

?
设 M(x1,y1),N(x2,y2)

x1 ? x2 ?km 1 ? 2 ?? 2 k ?9 2

?m ?

k2 ? 9 2k



(k 2 ? 9)2 ? (k 2 ? 9) ? 0 4k 2 把②代入①式中得 ,
∴k> 3 或 k<- 3

? ? ? 2? ? ?( , ) ?( , )
∴直线 l 倾斜角

3 2

2

3

【例 5】长度为 a ( a ? 0 )的线段 AB 的两个端点 A 、 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,点 P 在

??? ? ??? ? 线段 AB 上,且 AP ? ? PB ( ? 为常数且 ? ? 0 ) .

6

(1)求点 P 的轨迹方程 C ,并说明轨迹类型;

a
(2)当 ? =2 时,已知直线 l1 与原点 O 的距离为 2 ,且直线 l1 与轨迹 C 有公共点,求直线 l1 的斜率 k 的取值范围. 答案:(1)设 P( x , y ) 、 A( x0 , 0) 、 B(0 , y0 ) ,则

? x0 ? (1 ? ? ) x ??? ? ??? ? ? x ? x0 ? ?? x ? AP ? ? PB ? ? ?? 1? ? y 2 2 2 ? y ? ? ( y0 ? y ) ? y0 ? ? ? ,由此及 | AB |? a ? x0 ? y0 ? a ,得
2 ? 1? ? ? ? y2 ? a ? 2 ?(1 ? ? )x ? ? ?? x2 ? 2 ? ? ? ? y? ? a ? ? 1 ? ? ? (*) ?? ? ? ? ? ,即

2

2

①当 0 ? ? ? 1 时,方程(*)的轨迹是焦点为

(?

1? ? 2 a,0) a 1? ? ,长轴长为 1 ? ? 的椭圆. ?1? ? 2? a) a 1? ? ,长轴长为 1 ? ? 的椭圆.

②当 ? ? 1 时,方程(*)的轨迹是焦点为

(0,?

a ③当 ? ? 1 时,方程(*)的轨迹是焦点为以 O 点为圆心, 2 为半径的圆.
h
(2)设直线 l1 的方程: y ? kx ? h ,据题意有 1 ? k
2

?

a 2

h ?
,即

a 1? k 2 2 .

?y ? kx? h ? ? 2 9 2 k2 2 9 9 9x ? y ? a 2 9(1 ? ) x ? khx ? h 2 ? a 2 ? 0 ? 4 4 2 4 由? 得 .

因为直线 l1 与椭圆

9x 2 ?

9 2 y ? a2 2 2 2 4 有公共点,所以 ? ? 9(4 ? k )a ? 81h ? 0,

h?
又把

7 35 35 a k 2 ? ,? ? ?k? 1? k 2 5 5 5 . 2 代入上式得 :
e? 2 3 , 过点 C(-1,0)的

【例 6】椭圆 E 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,其离心率

直线 l 与椭圆 E 相交于 A、B 两点,且满足点 C 分向量 AB 的比为 2. (1)用直线 l 的斜率 k ( k≠0 ) 表示△OAB 的面积; (2)当△OAB 的面积最大时,求椭圆

7

E 的方程。

c x2 y2 ? ? 2 ?1 2 b 解: (1)设椭圆 E 的方程为 a ( a>b>0 ),由 e = a
∴a2=3b2 故椭圆方程 x2 + 3y2 = 3b2

2 3

设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点 C(-1,0)分向量 AB 的比为 2,

? x1 ? 2 x 2 ? ?1 ? ? 3 ? ? y1 ? 2 y 2 ? 0 ? 3 ∴?

① ②

? x1 ? 1 ? ?2( x 2 ? 1) ? y ? ?2 y 2 即? 1

? x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 ? y ? k ( x ? 1) 由? 消去 y 整理并化简得

(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2=0

由直线 l 与椭圆 E 相交于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点得:

? ?? ? 0恒成立(点C是 AB的内分点) ? 6k 2 ? ③ x1 ? x 2 ? ? 2 ? 3k ? 1 ? ? 3k 2 ? 3b 2 x1 x 2 ? ? ④ 3k 2 ? 1 ?
1 1 3 3 3 | y1 ? y2 |? | ?2 y2 ? y2 |? | y2 |? | k ( x2 ? 1) |? | k || x2 ? 1 | 2 2 2 2 而 S△OAB 2 ⑤ ? 3| k | (k ? 0) 2 由①③得:x2+1=- 3k ? 1 ,代入⑤得:S△OAB = 3k ? 1
2



2

3| k | ? 3k 2 ? 1
(2)因 S△OAB=

3 3| k | ? 1 |k|

?

3 2 3

?

3 2
,

k ??
当且仅当

3 , 3 S△OAB 取得最大值

x1 ? 2 x2 3 此时 x1 + x2 =-1, 又∵ =-1

∴x1=1,x2 =-2

1 将 x1,x2 及 k2 = 3 代入④得 3b2 = 5 ∴椭圆方程 x2 + 3y2 = 5

8

【例 7】设直线 l 过点 P(0, ,和椭圆 3) 试求?的取值范围.

??? ? ??? ? AP ? ? PB 顺次交于 A、 两点, B 若

解:当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得

???

1 5;

当 l 与 x 轴不垂直时,设 A?x1 , y1 ?, B( x2,y 2 ) ,直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭圆方 程,消去 y 得

?9k

2

? 4 x 2 ? 54 kx ? 45 ? 0

?

解之得

x1, 2 ?

? 27 k ? 6 9k 2 ? 5 . 9k 2 ? 4

因为椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑 k ? 0 的情形.

当 k ? 0 时,

x1 ?

? 27 k ? 6 9k 2 ? 5 ? 27 k ? 6 9k 2 ? 5 x2 ? 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4 , ,

18 2 1? 18k x1 ? 9k ? 2 9k ? 5 1? ??? 5 x2 = 9k ? 2 9k 2 ? 5 = 9k ? 2 9k 2 ? 5 = 9 ? 2 9 ? k 2 . 所以
? ? (?54 k ) ? 180 9k ? 4 ? 0 , 解得
2 2



?

?

k2 ?

5 9,

?1 ? 1?
所以

18 9?2 9? 5 k2

??

1 5


综上

1 ?1 ?? ? ? 5.
2 2

y

x y ? 2 ?1 2 ( x≥ 0) 与半椭圆 b 【例 8】我们把由半椭圆 a y2 x2 ? ?1 ( x ≤ 0) 合 成 的 曲 线 称 作 “ 果 圆 ” 其 中 b2 c2 ,

B2
.

F.2 A1
O. M

.

F0

A2

x

F1 B1
9

a2 ? b2 ? c2 , a ? 0 , b ? c ? 0 .
如图,设点

F0

, F1 , F2 是相应椭圆的焦点, A1 , A2 和 B1 , B 2 是“果圆” 与 x , y 轴的

交点, M 是线段 A1 A2 的中点. 若 △F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形,求该“果圆”的方程;

y2 x2 ? 2 ?1 2 ( x ≤ 0) 上任意一点.求证:当 PM 取得最小 c (2)设 P 是“果圆”的半椭圆 b
值时, P 在点 B1,B2 或 A1 处; (3)若 P 是“果圆”上任意一点,求 解: (1)?
? F0 F2 ?

PM

取得最小值时点 P 的横坐标.

F0 ( c, , F1 0, b2 ? c2 , F2 0, b2 ? c2 0) ?

?

?

?

?,

?b

2

? c 2 ? ? c 2 ? b ? 1, F1 F2 ? 2 b 2 ? c 2 ? 1

3 7 c 2 ? , a 2 ? b2 ? c 2 ? 4 4, ,于是

4 2 4 x ? y 2 ? 1 ( x ≥ 0) y 2 ? x 2 ? 1 ( x ≤ 0) 3 所求“果圆”方程为 7 , .
y (2)设 P( x, ) ,则

a?c? ? ? b2 ? ( a ? c )2 2 | PM | ? ? x ? ? b 2, ? c ≤ x ≤ 0 ? ? y ? ? 1 ? 2 ? x2 ? ( a ? c ) x ? c ? 4 2 ? ? ? ,
2

2

b2 ? 1? 2 ? 0 2 c ,? | PM | 的最小值只能在 x ? 0 或 x ? ?c 处取到.
即当

PM

取得最小值时, P 在点 B1,B2 或 A1 处.

x2 y 2 ? 2 ? 1 ( x ≥ 0) 2 b (3)? | A1 M |?| MA2 | ,且 B1 和 B2 同时位于“果圆”的半椭圆 a y 2 x2 ? 2 ? 1 ( x ≤ 0) 2 c 和半椭圆 b 上,所以,由(2)知,只需研究 P 位于“果圆”的半椭圆 x2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 0) a 2 b2 上的情形即可.
2 c2 ? a 2 (a ? c) ? (a ? c) 2 a 2 (a ? c) 2 a?c? ? ? b2 ? ? | PM | ? ? x ? ? y2 ? 2 ? x ? ? ? 4 a ? 2c 2 ? 4c 2 2 ? ? . 2
2

10



x?

a (a ? c) a 2 (a ? c) x? ≤a 2 2 2c 2c 2 ,即 a ≤ 2c 时, | PM | 的最小值在 时取到,
2

a 2 (a ? c) 2 此时 P 的横坐标是 2c .
a 2 (a ? c) x? ?a 2 2 2c 2 当 ,即 a ? 2c 时,由于 | PM | 在 x ? a 时是递减的,| PM | 的最小
值在 x ? a 时取到,此时 P 的横坐标是 a .

a 2 (a ? c) 2 综上所述,若 a ≤ 2c ,当 | PM | 取得最小值时,点 P 的横坐标是 2c ;
若 a ? 2c ,当 | PM | 取得最小值时,点 P 的横坐标是 a 或 ? c .

11


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