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全国中学生物理竞赛模拟题(程稼夫)


竞赛模拟题 1. 如右图所示,平行四边形机械中, O1 A = O2 B =

速度 ω 转动,并通过 AB 上套筒 C 带动 CD 杆在铅垂槽内平动。如以 O1A 杆为动参照系, 在图示位置时,O1A、O2B 为铅垂,AB 为水平,C 在 AB 之中点,试分析此瞬时套筒上销 (2)C 点的相对速度的大小 Vr; 钉 C 点的运动,试求: (1)C 点的牵连速度的大小 Ve; (3)C 点的牵连加速度的大小 ae;(4) C 点的相对加速度的大小 ar; (提示:C 点绝对加 速度 aa = ae + ar + ac ) (5)C 点的科里奥利加速度的大小 ac; (提示: ac = 2ω × vr )

1 1 O1O2 = AB = l ,已知 O1A 以匀角 2 2

uu r

uu uu uu r r r

uu r

u uu r r

2. 如右图所示,水平面内光滑直角槽中有两个质量均为 m 的滑块 A 和 B,它们由长为 L 的 轻刚性杆铰链连接,初始静止, ∠OAB = α ,今在 OA 方向给滑块 A 作用一冲量 I,证 明:经过时间 t =

2π ml 后,A 和 B 回到他们的初始状态。又证明:杆中张力在整个运 I sin α

动期间保持常值,并求出它的大小。

3. 如右图所示,气枪有一气室 V 及直径 3mm 的球形钢弹 B,气室中空气的初态为 900kPa、 21 ° C ,当阀门迅速打开时,气室中的气体压力使钢弹飞离枪管,若要求钢弹离开枪管 时有 100m/s 的速度, 问最小容积 V 及枪管长度 L 应为多少?已知空气 Cv=0.716kJ/(kg.k), R
空气

=0.287kJ/(kg.k),大气压 Pb=100kPa,钢的密度 ρ = 7770kg / m 3 。设枪管内径也为

3mm,光滑不漏气,未发时,气室内经历可逆绝热膨胀。

I 考虑 I2 上的一小段 (-l/2, ,( l l/2) a ), 4. 两条互相垂直的长直导线距离为 a, 载有电流 I1、2, 如右图所示。 (1)求作用在这段导线上的净力和净力矩; (2)如果导线可绕它们的连线 a 自由转到,他们将有怎样的位形?这个位形对应于系统有最大还是最小磁能?

5. 如右图所示,一个半径为 R、长为 L 的圆柱体 ( R

l ) ,质量为 m,均匀带电,体电荷

密度为 + ρ 。 一个外力矩使圆柱体以恒角加速度 β 绕竖直轴 (Z 轴) 逆时针旋转 (俯视) ,

ur

u r
(2)求圆柱体内任 不计边界效应和电磁辐射。 (1)求圆柱体内任意点的磁感应强度 B ; 意点的电场强度 E ; (3)为保持圆柱体以恒角加速度 β 旋转,外力矩为多大?提示:无 介质的长直螺线管内是匀强磁场,磁感强度 B = ?0 nI ,其中 n 为单位长匝数。

ur

ur

6. 一实验装置如图所示, 一块平面玻璃片上放一滴油, 当油滴展开成油膜时, 在单色光 (波

& 长 λ = 6000 A )垂直入射下,从反射光中观察油膜所形成的干涉条纹(即从读数显微镜
中向下观察油膜所形成的干涉条纹) 。油的折射率 n1=1.20,玻璃的折射率 n2=1.50。

& (1) 当油膜中心最高点与玻璃片的上表面相距 h = 12000 A 时,描述所看到的条纹情况,
可看到几条明条纹?明条纹所在处油膜的厚度是多少?中心点的明暗程度如何? (2) 当油膜继续摊展时,所看到的条纹情况将如何变化?中心点的情况如何变化?

7. 一 ? 介子原子,包含一带 Ze 正电荷的核和一绕核运动的负 ? 介子( ? ? ) ? ? 带有-e , 电荷,质量是电子质量的 207 倍,按玻尔理论,试计算当 Z=1 时,该原子: (1)第一玻 尔轨道半径; (2)基态的能量; (3)赖曼系第一条普线的波长,与氢原子的赖曼系第一 条谱线比较,哪一条谱线波长长?

竞赛模拟题答案 1.(1)C 的牵连速度 ve = (2)C 的相对速度 vr =

2ωl 2ωl 2ω 2l 2ω 2l

(3)C 的牵连加速度大小 ae = (4)C 的相对加速度大小 ar = (5)C 的科氏加速度大小

aC = 2 2ω 2l

2. 令 r = rA ? rB , r = rer ,利用 A、B 的动力学方程

r

ur ur

r

ur

uu r ur uu uu r r ma A = ?(T er .ex )ex ;

uu r ur uu uu r r maB = ?(T er .ey )ey

联立写得 A 相对 B 的矢量动力学方程:

r ur r uu uu r r ma = ?T er (*)其中 a = a A ? aB ,T 为杆中张力,由于(i)杆上不变,所以 A 相对 B 作

圆运动。 (ii)方程(*)是:A 相对 B 的运动是在有心力作用下的运动,因此质量为 m 的滑 块 A 在相对 B 的运动中角动量守恒。A 绕 B 的角速度也不变,其值用初始角速度写出:

ω0 =

I sin α 2π 2π ml ,运动周期 T = ,这就是题中要证明的 t 的表达式。 = ml ω I sin α
2

A 绕 B 作匀速圆周运动,向心力就是杆中张力,它是以个常力,为 T = mω0 l =

I 2 sin 2 α ml

3. 最小容积 V = 0.523 × 10 m 枪管长度 L = 0.28m

?6

3

4. (1)作用在这段导线上的净力=0,净力矩= ?

r ?0 I1I 2l 3 uu ey 2 24π a

(2)如果流有电流 I2 的导线 l2 可绕 a 转动,则最终 l2 将与 l1 平行,且 l2、l1 的流向一致。 显然这个位置应是对应于磁能有最小值的位置。

5. (1) 把加速转动的均匀带电圆柱体, 看成无限多个同轴的螺线管, 当观察柱体内 r → r + ?r 的薄层,r 处的磁感应强度,可以把 r → R 的许许多多薄层螺线管产生的磁感应强度之和算

u r ur R ur R ur R ur R B(r ) = ez ∑ ?0 nI = ez ∑ ?0i = ez ∑ ?0 ( gdr ) = ez ∑ ?0 ( ρ v)dr
r r r r

得,即

ur ur 1 = ez ∑ ?0 ρ (ω0 + β t )r.dr = ?0 ρ (ω0 + β t )( R 2 ? r 2 )ez 2 r
R

(2)本题系统在柱体内的电场有两部分: (i)柱体所带的体电荷产生的电场。尽管柱体在转动,电荷在运动,但是电荷在空间的分 布不随时间变化, 所以产生的是静电场, 柱体内随 r 的分布的静电场电场强度为 Ee =

uu r

r ρ r uu er 2ε 0

u r
(ii)由于磁场随时间变化,所以存在涡旋电场,但由于 B ( r ) 与时间 t 的变化是线性的,所 以涡旋电场不随时间变化,求涡旋电场 Ec

2π rEc = ?∑
0

r

r ?B 1 1 1 2π rdr = ?∑ [ ?0 ρβ ( R 2 ? r 2 )].2π rdr = ?π? 0 ρβ ( R 2 r 2 ? r 4 ) 2 2 4 ?t 0

uu r uu r 1 Ec = ? ? 0 ρβ (2 R 2 r ? r 3 )eθ 8
总的电场与时间无关,是一个静的电场,这就确定,它不再产生磁场,所以(1)中所求的 磁感应强度是对的,总电场为(柱内) E = Ee + Ec =

ur

uu uu r r

uu r er ? ?0 ρβ (2 R 2 r ? r 3 )eθ 2 E0 8

ρ r ur 1

(3)一则由于上面可求出柱体内的电场和磁场,二则到现阶段对电磁场角动量还不熟悉,

所以还不能写出全空间电磁场角动量定理。 这里换一个角度考虑,系统的机械角动量(圆柱体动量)随时间的变化率等于外界所施的机

r uuu r uuu uuuu d l r r 械力矩( M 0 )和电磁力矩之和,即 M 0 + M em = dt u r ur 1 ur 其中 L = I ω ez = mR 2ω ez 代入得 2 r uuu uuuu d l 1 r r ur M 0 + M em = = mR 2 β dt 2

uuuu r r uuu r r ur r u r M em = ∑ r × d f em = ∑ r × ( ρ E + ρ v × B)dV r uu r uu 1 r ur ρ 2 r ur 1 er ? ?0 ρβ (2 R 2 r ? r 3 )eθ + ρ vθ × ?0 ρ (ω0 + β t )( R 2 ? r 2 )ez } 其中 = ∑ r × {[ 2 E0 8 2 r uu r uu r = ∑ r × ρ Ec dV = ρ0 ∑ r ρ E.dV

uuuu ur R r 1 M em = ez ∑ r ρ (?) ?0 ρβ (2 R 2 r ? r 3 ).2π rldr 8 0 ur π = ? ?0 βρ 2 R 6lez 12
uuu 1 r ur uuuu r 1 ur π M 0 = mR 2 β ? M em = ( mR 2 β + ?0 βρ 2 R 6l )ez 2 2 12 外力矩 ur π 1 = R 2 β ( m + ? 0 ρ 2 R 4 l )ez 2 6

6.(1)这里是等厚干涉,干涉条纹是一系列同心圆,又由于油的折射率介于空气和玻璃的 折射率之间,故不必考虑半波损失,从而油滴最外层应是明纹,它相当于 k=0 估计明纹条数:令 2n1h = k λ ( k = 1, 2, 3.....)

k=

2n1h

λ

=

2 ×1.2 × 12000 = 4.8 6000

k 必须为整数,所以 k 取为 4 条,加上最外圈明纹共计有 5 条明纹。中心点不是明条纹,也 不是暗条纹,而是介于明暗条纹之间,各级明纹处的油膜厚度为

k = 0, h0 = 0 k = 1, h1 = k λ 1× 6000 & = = 2500 A 2n1 2 × 1.2

& k = 2, h2 = 5000 A & k = 3, h3 = 7500 A & k = 4, h4 = 10000 A

(2)当油膜继续摊展时,h 不断减少,最外圈明纹半径不断扩大,各圈明纹间的距离也将 不断增大,看起来好像是明纹向中心移动,中心点连续发生明暗交替变化,致使明纹圈数不 断变少。 7. ( 1 ) 根 据 玻 尔 理 论 壳 可 得 ? 介 子 原 子 的 核 外

?? 介 子 绕 核 运 动 的 轨 道 半 径 为

ε 0h2m2 , n = 1, 2,3...... rm = π m? e2 Z



1 m?

当 Z=1,n=1 时,第一玻尔轨道半径为 r1 =

ε 0h2 1 = r0 2 π m? e 207

式中 r0 = 0.53 × 10 ?10 m ,为基态氢原子半径 (2)基态(m=1)的能量为 E1 = ? 当 Z=1 时,得 E1=-207E0 式中 E0 为氢原子基态能量,即 E0=13.6eV,所以 E1 = ?207 × 13.6 (3)查 h = 6.63 × 10 ?34 J .s, e = 1.6 × 10?19 C

m? e4 Z 2 8ε 0 2 h 2

∝ m?

?2.815 × 103 eV

( E1 ) ? = ?2.815 ×103 eV
( E2 ) ? = ? 2.815 × 103 eV 4

赖曼系第一条谱线波长 λ? 满足

hc

λ?

= ( E2 ? E1 ) ?

λ? =

hc hc = ( E2 ? E1 ) ? 3 [?( E ) ] 1 ? 4 4 × (6.63 × 10?34 ) × (3 × 108 ) & = = 5.89 × 10?10 A 3 × (2.85 ×103 ) × (1.60 × 10?19 )

λH = 207λ?



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