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2009年高考试题(江苏卷)Word版数学试题(含附加题)(全解析)


绝密★启用前学科网 2009 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)学科网 数学Ⅰ 数学Ⅰ试题

注 意 事 项
学科网 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 学科网 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题——第 14 题)、解答题(第 15 题——第 20 题)。本卷满分 学科网 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回。 160 学科网 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规 学科网 定位置。 学科网 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 学科网 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5 毫 学科网 米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。 学科网 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 学科网 6.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。 参考公式: 参考公式: 学科网

1 n 1 n 2 样本数据 x1 , x2 ,L , xn 的方差 s = ∑ ( xi ? x ) , 其中x = ∑ xi n i =1 n i =1 学科网
2

小题, 请把答案填写在答题卡相应的位置上 学科网 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.学科网 填空题: ......... 1.若复数 z1 = 4 + 29i, z2 = 6 + 9i, 其中 i 是虚数单位,则复数 ( z1 ? z2 )i 的实部为 [解析]考查复数的减法、乘法运算,以及实部的概念。 -20 ▲ 。

r r r r r r r r o 2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 , | a |= 2,| b|= 3,则向量 a 和向量 b 的数量积 a ? b = ▲。
[解析] 考查数量积的运算。

r r 3 a ?b = 2? 3 ? =3 2
▲ .学科网

3.函数 f ( x ) = x 3 ? 15 x 2 ? 33 x + 6 的单调减区间为 [解析] 考查利用导数判断函数的单调性。

f ′( x) = 3 x 2 ? 30 x ? 33 = 3( x ? 11)( x + 1) ,
由 ( x ? 11)( x + 1) < 0 得单调减区间为 ( ?1,11) 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 4.函数 y = A sin(ω x + ? ) ( A, ω , ? 为常数, A > 0, ω > 0 ) 在闭区间 [ ?π , 0] 上的图象如图所示,则 ω = [解析] 考查三角函数的周期知识。 ▲ .学科网

3 T =π 2

,T

2 = π 3

,所以 ω

= 3,

5.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6, 2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 [解析] 考查等可能事件的概率知识。 ▲ .学科网

从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10,它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2, 分别是:2.5 和 2.8,2.6 和 2.9,所求概率为 0.2。 6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次,投中的次数如 下表:学科网 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7
2

3号 7 6 ▲ .学科网

4号 8 7

5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s = [解析] 考查统计中的平均值与方差的运算。 甲班的方差较小,数据的平均值为 7, 故方差 s =
2

(6 ? 7) 2 + 02 + 0 2 + (8 ? 7) 2 + 02 2 = 5 5

7.右图是一个算法的流程图,最后输出的 W [解析] 考查读懂算法的流程图的能力。 22

=

▲ .学科网

8.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积比为 1: 4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为 1:2,则它们的体 积比为 ▲ . [解析] 考查类比的方法。 体积比为 1:8 9.在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y = x 3 ? 10 x + 3 上,且在第 二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 ▲ .学科网

[解析] 考查导数的几何意义和计算能力。

y′ = 3 x 2 ? 10 = 2 ? x = ±2 ,又点 P 在第二象限内,∴ x = ?2
点 P 的坐标为(-2,15) 10.已知 a = 学科网 [解析] 考查指数函数的单调性。

5 ?1 ,函数 f ( x ) = a x ,若实数 m 、n 满足 f ( m) > f ( n) ,则 m 、n 的大小关系为 2



.

a=

5 ?1 ∈ (0,1) ,函数 f ( x) = a x 在 R 上递减。由 f (m) > f (n) 得:m<n 2

11. 已 知 集 合 A = x log 2 x ≤ 2 , B = ( ?∞, a ) , 若 A ? B 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 (c, +∞ ) , 其 中 c = ▲ .学科网

{

}

[解析] 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 由 log 2

x ≤ 2 得 0 < x ≤ 4 , A = (0,4] ;由 A ? B 知 a > 4 ,所以 c = 4。

12.设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列命题:学科网 (1)若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β ; (2)若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行; (3)设 α 和 β 相交于直线 l ,若 α 内有一条直线垂直于 l ,则 α 和 β 垂直; (4)直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直。 上面命题中,真命题的序号 ... ▲ (写出所有真命题的序号).学科网

[解析] 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。 真命题的序号是(1)(2) ... 13.如图,在平面直角坐标系 xoy 中, A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的四个顶点, F 为其右 a2 b2

焦点,直线 A1 B2 与直线 B1 F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离 心率为 ▲ .学科网学科网学科网

[解析] 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的计算等。 以及直线的方程。 直线 A1 B2 的方程为:

x y + = 1; ?a b x y + =1 。 二 者 联 立 解 得 : c ?b

直 线 B1 F 的 方 程 为 :

T(

2ac b(a + c) , ), a?c a?c ac b(a + c) x2 y2 , ) 在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 上, a ? c 2(a ? c) a b

则M(

c2 (a + c)2 + = 1, c 2 + 10ac ? 3a 2 = 0, e2 + 10e ? 3 = 0 , 2 2 (a ? c) 4(a ? c)
解得: e = 2 7 ? 5 14.设 {an } 是公比为 q 的等比数列, | q |> 1 ,令 bn = an + 1( n = 1, 2, L) ,若数列 {bn } 有连续四项在集合

{?53, ?23,19,37,82} 中,则 6q =



.学科网

[解析] 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 四项 公比为 q = ? {an } 有连续四项在集合 {?54, ?24,18,36,81} , ?24, 36, ?54,81 成等比数列,

3 ,6q = -9 2

小题, 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 解答题:

或演算步骤.学科网 或演算步骤 学科网 15.(本小题满分 14 分)学科网 设向量 a = (4 cos α ,sin α ), b = (sin β , 4 cos β ), c = (cos β , ?4 sin β )

r

r

r

学科网

r r r (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(α + β ) 的值;学科网 r r (2)求 | b + c | 的最大值;学科网 r r (3)若 tan α tan β = 16 ,求证: a ∥ b ..网
[解析] 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的 正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

16.(本小题满分 14 分)学科网 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E 、 F 分别是 A1 B 、 A1C 的 中点,点 D 在 B1C1 上, A1 D ⊥ B1C 求证:(1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1 FD ⊥ 平面 BB1C1C . [解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系,考查 空间想象能力、推理论证能力。满分 14 分。 。学科网

17.(本小题满分 14 分)学科网 设 {an } 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和,满足 a2 + a3 = a4 + a5 , S 7 = 7 。
2 2 2 2



(1)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和 Sn ;学科网 (2)试求所有的正整数 m ,使得

am am +1 为数列 {an } 中的项。 am + 2

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满分 14 分。

(1)设公差为 d ,则 a2

2

2 2 2 ? a5 = a4 ? a3 ,由性质得 ?3d (a4 + a3 ) = d (a4 + a3 ) ,因为 d ≠ 0 ,所



a4 + a3 = 0

,即

2a1 + 5d = 0

,又由

S7 = 7



7 a1 +

7×6 d =7 2

,解得

a1 = ?5



d = 2,
(2) (方法一) 则

am am +1 (2m ? 7)(2m ? 5) = ,设 2m ? 3 = t , am + 2 2m ? 3
am am +1 (t ? 4)(t ? 2) 8 = = t + ?6, am + 2 t t
所以 t 为 8 的约数

(方法二)因为

am am +1 (am + 2 ? 4)(am + 2 ? 2) 8 = = am + 2 ? 6 + 为数列 {an } 中的项, am + 2 am + 2 am + 2



8 为整数,又由(1)知: am + 2 为奇数,所以 am + 2 = 2m ? 3 = ±1, 即m = 1, 2 a m+2

经检验,符合题意的正整数只有 m = 2 。 18.(本小题满分 16 分)学科网 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x + 3)2 + ( y ?1)2 = 4 和圆 C2 :(x ? 4)2 + ( y ? 5)2 = 4 . (1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分别与圆 C1 和圆 C 2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C 2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。 [解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,考查数学运算求解能力、综合分析问题的 能力。满分 16 分。 (1)设直线 l 的方程为: y = k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k = 0 由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d = 42 ? (

2 3 2 ) = 1, 2

| ?3k ? 1 ? 4k |
结合点到直线距离公式,得:

k 2 +1 7 24

= 1,

化简得: 24k + 7 k = 0, k = 0, or , k = ?
2

求直线 l 的方程为: y

= 0或 y = ?

7 ( x ? 4) ,即 y = 0 或 7 x + 24 y ? 28 = 0 24

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为:

1 1 1 y ? n = k ( x ? m), y ? n = ? ( x ? m) ,即: kx ? y + n ? km = 0, ? x ? y + n + m = 0 k k k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C 2 截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定理,得::圆 心 C1 到直线 l1 与 C 2 直线 l2 的距离相等。 故有: | ?3k ? 1 + n ? km |

k 2 +1

4 1 | ? ?5+ n+ m | k , = k 1 +1 k2

化简得: (2 ? m ? n)k = m ? n ? 3, 或( m ? n + 8) k = m + n ? 5 关于 k 的方程有无穷多解,有: ?

?2 ? m ? n = 0 ? m-n+8=0 ,或 ? ?m ? n ? 3 = 0 ? m+n-5=0

解之得:点 P 坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。 2 2 2 2 19.(本小题满分 16 分)学科网 按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为 a 元,如果他卖出该产品的单价为 m 元,则 他的满意度为 m

m+a

;如果他买进该产品的单价为 n 元,则他的满意度为 n .如果一个人对两种交易(卖
n+a

出或买进)的满意度分别为 h1 和 h2 ,则他对这两种交易的综合满意度为

h1h2 .学科网

现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别 为 3 元和 20 元,设产品 A、B 的单价分别为 mA 元和 mB 元,甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲 ,乙 卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙 学科.网 (1)求 h甲 和 h乙 关于 mA 、 mB 的表达式;当 m A

3 = mB 时,求证: h甲 = h乙 ;学科网 5

(2)设 m A

3 = mB ,当 mA 、 mB 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多 5

少?学科网 (3)记(2)中最大的综合满意度为 h0 , 试问能否适当选取 mA 、mB 的值, 使得 h甲 但等号不同时成立?试说明理由。学科网 [解析] 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学 阅读能力。满分 16 分。

≥ h0 和 h乙 ≥ h0 同时成立,

(1)

3 当 mA = mB 时, h甲 = 5

mB mB 2 = 3 (mB + 20)(mB + 5) , mB + 12 mB + 5 5 ?

3 mB 5

h乙 =

3 mB mB mB 2 5 ? = , 3 mB + 20 (mB + 5)(mB + 20) mB + 3 5

h甲 = h乙

(2)当 m A

3 = mB 时, 5

h甲 =

mB 2 1 1 = = , 20 5 1 2 1 (mB + 20)(mB + 5) (1 + )(1 + ) 100( ) + 25 +1 mB mB mB mB
1 1 1 ∈[ , ] , mB 20 5

由 mB ∈ [5, 20]得

故当

1 1 = 即 mB = 20, mA = 12 时, mB 20
10 。 5

甲乙两人同时取到最大的综合满意度为

(3)(方法一)由(2)知: h0 =

10 5

由 h甲 =

mA mB 10 m + 12 mB + 5 5 ? ≥ h0 = 得: A ? ≤ , mA + 12 mB + 5 5 mA mB 2



3 5 1 5 = x, = y, 则 x、y ∈ [ ,1] ,即: (1 + 4 x)(1 + y ) ≤ 。 mA mB 4 2 10 5 得: (1 + x)(1 + 4y ) ≤ 5 2 1 4
5 2

同理,由 h乙 ≥ h0 =

另一方面, x、y ∈ [ ,1] 1 + 4x、1+4y ∈[2,5], + x、1+y ∈[ ,2], 1

1 5 5 (1 + 4 x)(1 + y) ≥ ,(1 + x)(1 + 4y) ≥ , 当且仅当 x = y = ,即 mA = mB 时,取等号。 2 2 4
所以不能否适当选取 mA 、 mB 的值,使得 h甲

≥ h0 和 h乙 ≥ h0同时成立,但等号不同时成立。

20.(本小题满分 16 分)学科网 设 a 为实数,函数 (1)若 (2)求

f ( x) = 2 x 2 + ( x ? a ) | x ? a | .学科网

f (0) ≥ 1 ,求 a 的取值范围;学科网 f ( x) 的最小值;学科网 f (x), x ∈(a, +∞) ,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h( x) ≥ 1 的解集. ....

(3)设函数 h( x) =

[解析] 本小题主要考查函数的概念、 性质、 图象及解一元二次不等式等基础知识, 考查灵活运用数形结合、 分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分 (1)若

f (0) ≥ 1 ,则 ?a | a |≥ 1 ? ?
2

?a < 0

2 ?a ≥ 1

? a ≤ ?1
2 ? f (a ), a ≥ 0 ?2a , a ≥ 0 ? ? 2 =? a = ? 2a ,a < 0 ? f ( 3 ), a < 0 ? ? ? 3

(2)当 x ≥ a 时, f ( x) = 3 x ? 2ax + a , f ( x) min
2

当 x ≤ a 时, f ( x) = x 2 + 2ax ? a 2 , f ( x ) min = ?

2 ? f (? a ), a ≥ 0 ??2a , a ≥ 0 ? =? 2 ?2a , a < 0 ? f (a ), a < 0 ?

综上 f ( x) min

??2a 2 , a ≥ 0 ? = ? 2a 2 ,a < 0 ? ? 3
2 2

(3) x ∈ ( a, +∞) 时, h( x ) ≥ 1 得 3 x ? 2ax + a ? 1 ≥ 0 , ? = 4a 2 ? 12( a 2 ? 1) = 12 ? 8a 2 当a ≤ ?

6 6 或a ≥ 时, ? ≤ 0, x ∈ ( a, +∞) ; 2 2

当?

? a ? 3 ? 2a 2 a + 3 ? 2a 2 6 6 )( x ? )≥0 <a< 时,△>0,得: ?( x ? ? 3 3 2 2 ? ?x > a

讨论得:当 a ∈ ( 当 a ∈ (?

2 6 , ) 时,解集为 (a, +∞) ; 2 2

6 2 a ? 3 ? 2a 2 a + 3 ? 2a 2 ,? ) 时,解集为 (a, ]∪[ , +∞) ; 2 2 3 3

当 a ∈ [?

2 2 a + 3 ? 2a 2 , ] 时,解集为 [ , +∞) . 2 2 3

数学Ⅱ 附加题) 数学Ⅱ(附加题) 参考公式: 1 + 2 + 3 + L + n =
2 2 2 2

n(n + 1)(2n + 1) . 6

21.[选做题 选做题]在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共计 20 分。 选做题 只能选做两题 ...... 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 答题卡指定区域 ....... A.选修 4 - 1:几何证明选讲 如图,在四边形 ABCD 中,△ABC≌△BAD. 求证:AB∥CD. [解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识,考查推理论证能力。满分 10 分。 证明:由△ABC≌△BAD 得∠ACB=∠BDA,故 A、B、C、D 四点共圆,从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB,所以 AB∥CD。

B. 选修 4 - 2:矩阵与变换 求矩阵 A = ?

?3 2? ? 的逆矩阵. ?2 1 ?

[解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法,考查运算求解能力。满分 10 分。 解:设矩阵 A 的逆矩阵为 ?

?x y ? ? 3 2 ? ? x y ? ?1 0 ? ? , 则 ? 2 1 ? ? z w? = ?0 1 ? , ? z w? ? ?? ? ? ?

即?

?3 x + 2 z 3 y + 2 w ? ? 1 0 ? ?3 x + 2 z = 1, ?3 y + 2 w = 0, ? = ? 0 1 ? , 故 ?2 x + z = 0, ?2 y + w = 1, ? 2x + z 2 y + w ? ? ? ? ?

解得: x = ?1, z = 2, y = 2, w = ?3 , 从而 A 的逆矩阵为 A
?1

? ?1 2 ? =? ?. ? 2 ?3?

C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程

1 ? ?x = t ? t ? 已知曲线 C 的参数方程为 ? , ( t 为参数, t > 0 ). 1 ? y = 3(t + ) ? t ?
求曲线 C 的普通方程。 [解析] 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识,考查转化问题的能力。满分 10 分。 解:因为 x = t + ? 2, 所以 x + 2 = t +
2 2

1 t

1 y = , t 3

故曲线 C 的普通方程为: 3 x ? y + 6 = 0 .
2

D. 选修 4 - 5:不等式选讲 设 a ≥ b >0,求证: 3a + 2b ≥ 3a b + 2ab .
3 3 2 2

[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法,考查代数式的变形能力。满分 10 分。 证明: 3a + 2b ? (3a b + 2ab ) = 3a ( a ? b) + 2b (b ? a ) = (3a ? 2b )( a ? b).
3 3 2 2 2 2 2 2

因为 a ≥ b >0,所以 a ? b ≥0, 3a ? 2b >0,从而 (3a ? 2b )( a ? b) ≥0,
2 2 2 2

即 3a + 2b ≥ 3a b + 2ab .
3 3 2 2

[必做题 必做题]第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 必做题 答题卡指定区域 ....... 明、证明过程或演算步骤。 22.(本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2),其焦 在 x 轴上。 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M ( m, 0)( m > 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点,ME=2DM,记 E 两点间的距离为 f ( m) ,求 f ( m) 关于 m 的表达式。 [解析] [必做题 必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识, 必做题 运算求解能力。满分 10 分。 考查 D 和 点 F

23. (本题满分 10 分) 对于正整数 n ≥2,用 Tn 表示关于 x 的一元二次方程 x + 2ax + b = 0 有实数根的有序数组 (a, b) 的组数,
2

其中 a, b ∈ {1, 2, L , n} ( a 和 b 可以相等);对于随机选取的 a, b ∈ {1, 2, L , n} ( a 和 b 可以相等),记 Pn 为关于 x 的一元二次方程 x + 2ax + b = 0 有实数根的概率。
2

(1)求 Tn2 和 Pn2 ; (2)求证:对任意正整数 n ≥2,有 Pn > 1 ?

1 . n

[解析] [必做题 必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理,考查探究能力。满分 10 分。 必做题



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