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导数应用 全国卷 1


2015 全国卷(21)(本小题满分 12 分) 1 已知函数 f(x)= x 3 ? ax ? , g ( x) ? ? ln x 4 (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; ( Ⅱ ) 用 min

?m, n? ? ( x ? 0)

表 示

m , n

中 的 最 小 值 , 设 函 数

h( x) ? min ? f ( x), g ( x)

,讨论 h(x)零点的个数

(21)解:

( x0 , 0)则f ( x0 ) ? 0, f ( x0 ) ? 0即 1 ? 3 ? ? x0 ? ax0 ? ? 0 ? (I)设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 ? 4 ? ?3x 2 ? a ? 0 ? ? 0 ? 1 3 解得x0 , a ? ? 2 4 3 因此,当 a ? ? 时,x轴为曲线y ? f ( x)的切线 4 (II)当

x ? (1, ??)时,g( x) ? ?1nx ? 0, 从而h(x)=min ? f ( x), g( x)? ? g( x) ? 0, 故h( x)在(1, ??)无零点
5 5 当x ? 1时,若a ? ? 则f (1) ? a ? ? 0, h(1) ? min ? f (1), g (1)? ? g (1) ? 0, 故x ? 4 4 是 5 h( x)的零点;若a ? ? , 则f(1)<0,h(1)=min ? f (1), g (1)? ? f (1) ? 0, 故x ? 1不是h( x 4

的零点 当x ? (0,1)时,g( x) ? ?1nx ? 0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数

(i)若a ? -3或a ? 0,则f ?(x)=3x2 +a在(1,0)无零点,故f(x)在(0,1)单调

1 5 f (0) ? , f (1)a ? , 所以当a ? -3时,f(x)在(0,1)有一个零点;当a ? 0时f(x)在(1,0)没有零点 4 4

a a (ii)若 ? 3 ? a ? 0, 则f ( x)在(0,? )单调递减,在( ? ,1)单调递增,故在(0,1)中 3 3

a 2a a 1 当x ? ? a )? ? ? 3 时,f ( x)取得最小值,最小值为f ( ? 3 3 3 4

a 3 ①若f ( ? ) ? 0.即 ? ? a ? 0, f ( x)在(0,1)无零点; 3 4 a 3 ②若f( ? )=0,即a =- 则f ( x)在(0,1)有唯一零点 3 4 a 3 1 5 3 ③若f ( ? ) ? 0, 即 ? 3 ? a ? ? ,由于f (0) ? , f (1) ? a ? ? a ? ? 3 4 4 4 4
5 时,f ( x)在(0,1)有两个零点;当-3<a ? - 时,f ( x)在(0,1)有一个零点. 4 综上,当 3 5 3 5 a ? ? 或a<- 时,h( x)有一个零点;当a ? ? 或a ? ? 时,h( x)有两个零点 4 4 4 4 5 3 当 ? ? a ? ? 时,h( x)有三个零点. 4 4

2014 全国卷
be x ?1 21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x0 ? ae ln x ? ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处 x
x

的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .

21.(本小题满分 12 分)

21.(2013 课标全国Ⅰ,理 21)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=x +ax+b,g(x)=e (cx+ d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围. 21. 解:(1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4. x 而 f′(x)=2x+a,g′(x)=e (cx+d+c), 故 b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. 2 x (2)由(1)知,f(x)=x +4x+2,g(x)=2e (x+1). x 2 设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2ke (x+1)-x -4x-2, x x 则 F′(x)=2ke (x+2)-2x-4=2(x+2)(ke -1). 由题设可得 F(0)≥0,即 k≥1. 令 F′(x)=0 得 x1=-ln k,x2=-2. 2 ①若 1≤k<e , 则-2<x1≤0.从而当 x∈(-2, x1)时, F′(x)<0; 当 x∈(x1, +∞)时, F′(x) >0.即 F(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+∞)单调递增.故 F(x)在[-2,+∞)的最小值 为 F(x1). 而 F(x1)=2x1+2- x1 -4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. 2 2 x -2 ②若 k=e ,则 F′(x)=2e (x+2)(e -e ). 从而当 x>-2 时,F′(x)>0,即 F(x)在(-2,+∞)单调递增. 而 F(-2)=0,故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. 2 -2 -2 2 ③若 k>e ,则 F(-2)=-2ke +2=-2e (k-e )<0. 从而当 x≥-2 时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.
2

2

x

综上,k 的取值范围是[1,e ].

2

2012 全国卷(20) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 设函数 f ( x) ? ax ? cos x , x ? [0, ? ] 。 (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 f ( x) ? 1 ? sin x ,求 a 的取值范围。


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