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几大放缩方法


高等(泰勒、定积分)放缩
这种放缩其实是不难的, 题目出来出去也就这么几种, 这种放缩类型的题在高考中尤其受欢 迎,近几年也频频出现,它有着浓厚的高等数学背景,大多跟泰勒展开和定积分有关,下面 我们先简单介绍一下泰勒公式和定积分的知识。 一 在初等数学中,我们可直接认为泰勒公式是:

f ? ( x0 ) f (2) ( x0 ) f ( n ) (

x0 ) 2 f ( x) ? f ( x0 ) ? ( x ? x0 ) ? ( x ? x0 ) ? ... ? ( x ? x0 ) n 1! 2! n!
特别的,取 x0 ? 0 ,我们有

f ( x) ? f (0) ?

f ? (0) f (2) (0) 2 f ( n ) (0) n x? x ? ... ? x 1! 2! n!

下面列举常见的泰勒展开式:

x x2 xn e ? 1 ? ? ? ... ? ? o ? x n ? 1! 2! n! n ?1 3 5 ?1? x 2 n ?1 x x ? sin x ? x ? ? ? ... ? ? o ? x2n ? 3! 5! ? 2n ? 1?!
x

?1? x 2 n x2 x4 ? cos x ? 1 ? ? ? ... ? ? o ? x 2 n?1 ? 2! 4! ? 2n ?!
n

1 2 tan x ? x ? x 3 ? x 5 ? o ? x 5 ? 3 15 n n ?1 x 1 1 ln ?1 ? x ? ? x ? x 2 ? x 3 ? ... ? ? ?1? ? o ? xn ? 2 3 n
1 ? 1 ? x ? x 2 ? ... ? x n ? o ? x n ? 1? x
上述泰勒展开式是用于函数放缩的有力工具,可以将一切难看的函数(sin,cos,ln 等)转化为 一元多项式,便于导数求解。 定积分其实从几何图形上理解就是求面积,比如求函数 f ( x) ? x 的图像与 x 轴从 1 到 3 围
2

成的图形的面积(如下图)

9 8 7 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y

–1 –2 –3 –4

O

1

2

3

4

x

阴影部分的面积 S ?

? x dx ? 3 x
2 1

3

1

3 3 1

1 1 80 ? ? 33 ? ? 13 ? 。积分的运算就相当于导数的逆 3 3 3

运算, x3 求导就是x 2 , x 2的原函数就是 x3 ,所以放缩中就会利用构造图形比较面积大 小来出题,这时它的背景就是定积分,著名的 2003 年江苏高考压轴题就是典型的例子,后 面会有介绍。 二 相关不等式 相关不等式其实也就是泰勒的产物, 这里单独拎出来是有目的的, 这是因为下面所涉及的不 等式是高考中极为常见的,现在整理出来望读者熟记。 “数学分析基本不等式” : 对 ?x ? 0, 有不等式

1 3

1 3

x ? ln(1 ? x) ? x 1? x



这条不等式非常常见,一般较为基本的高考题都以它作为命题背景。 将 1 ? x整体换成t ,则有下面非常有用的不等式:

1 当t ? 1时, 1 ? ? lnt ? t ? 1 t
进一步,我们将①的右边加强,可得



?x ? 0 , ln(1 ? x) ? x
不等式③用导数证明很容易,此处不再赘述。



我们若再继续探索,又可会发现,还可以对 ①的两边加强,有

x 1? x

?

x x

? x,

2x x 2x x x2 ? ? ? ?0? ? 0 ,所以有不等式: x ? 2 1? x x ? 2 1? x ( x ? 2)( x ? 1)

?x ? 0 ,

2x x ? l n? (1 x ?) x?2 1? x



同样,不等式④用导数证也很容易,请读者自己一试。 例 1 (2012 江苏高考填空压轴)

b 已知正数a, b, c满足: 5c ? 3a ? b ? 4c ? a, c ln b ? a ? c ln c, 则 的取值范围是 _ a b 解答 由( 4 5c ? 3a) ? 5b ? 4b ? 5(4c ? a) ? ? 7 a b b a a a 再由ln ? ln ? ln ? ? ln ? 1(即lnx ? x-1) a c c c c b 故 ? [e, 7] a
点评: 熟悉背景①的同学最多只需 1 分钟就可以做完, 而采用标准答案线性规划的做法起码 得花上 3、5 分钟的时间,所以优势还是很明显的。 例 2(2012 辽宁高考 21 题) 设 f ( x) ? ln( x ? 1) ? (1) 求 a, b 的值 (2) 证明:当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ?

x ? 1 ? ax ? b ,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ?

3 x 在(0,0)处相切 2

9x x?6

解答:第一问很简单,易得 a ? 0, b ? ?1 。重点我们落在第二问,看到第二问,一个很朴素 的想法就是构造函数 g ( x) ? f ( x) ?
? 做的话会得到 g ( x) ?

9x ,证明 g ( x) 在区间(0,2)中恒小于 0,但是这样 x?6

2( x ? 6) 2 ? x ? 1( x ? 6) 2 ? 128( x ? 1) ,接下来又要对分子换元再 2( x ? 1)( x ? 6) 2

求导, 甚是麻烦, 也不一定能做下去, 而当年提供的两种标准答案都涉及均值不等式的构造, 甚是巧妙, 但在紧张的考场上未必能想到。 这时我们若熟悉不等式①, 则就可以把 ln 去掉, 尝试放缩建立新的加强的不等式,如下:

9x ?0 x?6 9x ? 2 ln 1 ? x ? 1 ? x ? 1 ? ?0 x?6 ln(1 ? x) ? 1 ? x ? 1 ?
下一步尝试把根号拿去, 2( 1 ? x ? 1) ? 1 ? x ? 1 ?

9x ? 0 (利用不等式①) x?6

? 1? x ?1 ?

3x x?6

令 t ? 1 ? x ,则 t ? (1, 3) ,最后就交给二次函数了,事实上也证明结果是对的,读者可

自行验证。 例 3. 求证: 1 ?

1 1 1 ? ??? ?2 2 3 n

?

n ? 1 ?1

? ? n ? 1, n ? N ? .

解析: 考虑函数 f ? x ? ? 如图,显然

1 在区间 ?i, i ? 1? ? i ? 1, 2,3,? , n ? 上的定积分. x

i ?1 1 1 1 ? ?1 ? ? dx -(矩形面积大于曲线所围面积) i i i x
n n n ?1 1 i ?1 1 1 dx ? ?? dx ? ? 1 x i i ?1 i x

对 i 求和,

?
i ?1

? ?2 ?? ? 2 x ?1

n ?1

?

n ?1 ?1 .

?

例 4 (2003 江苏高考压轴题) 设a ? 0, 如图, 已知直线 l : y ? ax 及曲线 C :y ? x , ( 0 ? a1 C 上的点 Q1 的横坐标为 a1
2

? a) .

从 C 上的点 Qn ? n ? 1? 作直线平行于 x 轴, 交直线 l 于点 Pn ?1 , 再从点 Pn ?1 作直线平行于 y 轴, 交曲线 C 于点 Qn ?1 . Qn ? n ? 1, 2,? , n ? 的横坐标构成数列 ?an ? . (Ⅰ)试求 an ?1 与 an 的关系,并求 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)当 a ? 1, a1 ? (Ⅲ)当 a
n 1 1 时,证明 ? (a k ? a k ?1 )a k ? 2 ? ; 2 32 k ?1

? 1 时,证明 ? (ak ? ak ?1 )ak ?2 ? 1 .
n k ?1

3

解析:(l) an ? a( 证明(II) :由 a

a1 2 n?1 ) (取对数递推型数列,过程略). a
2
2

? 1 知 an?1 ? an2 ,∵ a1 ? 1 ,∴ a

1 1 ? , a3 ? . 4 16

所以这个数列是一个递减数列,结论中又有 (ak ? ak ?1 ) ,显然提示我们累加。 ∵当 k
n

? 1 时, ak ? 2 ? a3 ?

1 , 16

∴ ? (ak ? ak ?1 )ak ? 2 ?
k ?1

1 n 1 1 . ? (ak ? ak ?1 ) ? (a1 ? an?1 ) ? 16 k ?1 16 32
2

证明(Ⅲ) :由 a ? 1 知 ak ?1 ? ak

∴ ? (ak ? ak ?1 )ak ? 2 ?
k ?1

n

n 1 1 2 ? ? (ak ? ak ?1 )ak ?1 ? 3 3 k ?1

2 下面我们先证明一个引理: (ak ? ak ?1 )ak ?1 ?

引理的证明:由 ak ?1

1 3 3 (ak ? ak ?1 ) 3 1 3 1 6 2 5 6 ? ak ,上式可转化为 ak ? ak ? ak ? ak 3 3



由于 0 ? a1 ? 1 ,所以数列 ?an ? 是单调递减数列,切对于任意正整数 n,都有 0 ? an ? 1 所以令 ak = x ? (0,1) ,构造函数

f ( x) ?

1 3 1 6 1 2 x ? x ? x5 ? x6 ,即f ( x) ? x3 ? x5 + x 6 3 3 3 3 1 变形得f ( x) ? (1 ? x)( x3 ? x 4 ? 2 x5 ) 3

显然 f ( x) ? 0 ,所以①式成立,即引理得证!

所以

? (ak ? ak ?1 )ak2?1 ?
k ?1

n

1 n 3 1 3 1 3 (ak ? ak a1 ? ? ?1 ) ? 3 k ?1 3 3

点评:很多同学都感到那个引理巧妙无比,都会纳闷这个引理是怎么得出来的,题目中又没 给什么信息。其实原理就是我讲过的定积分,题目不是给了一张图吗?!这就是最有利的条 件,再想想定积分是什么,不就是图形面积吗, (ak 表示阴影部分面积,而阴影面积是小于
2 (ak ? ak ?1 )ak ?1 ? ? ak

2 ? ak ?1 )ak ? 2 ? (ak ? ak ?1 )ak ?1 恰

y ? x2 与

x 轴围成的面积的,所以显然有

ak ?1

x 2 dx , 进 一 步 即 得

? (a
k ?1

n

k

2 ? ak ?1 )ak ? 2 ? ? (ak ? ak ? )ak 1? k ?1

n

1

? ??
k ?1

n

ak

ak ?1

x 2 d ?x? x2 d ?x1 a13 ? 1 ,所以引理跟定积分如出一辙,只是换了一种初等的表 0
3 3

a1

述方法罢了。 例 5 设数列 {an }的前n项和为Sn ,且方程 x 2 ? an x ? an ? 0 有一根为 Sn ? 1 ,试求解如下 问题: (1) an 的通项公式 (2)证明: (1 ?

1 1 1 1 )(1 ? )(1 ? )......(1 ? ) ? e2 n ?3 a1 a2 a3 an

解答: (1)首先把首项求出来,易知 a1 ?

1 2

? an ? Sn ? Sn ?1 ,再把 Sn ? 1 代入方程 x 2 ? an x ? an ? 0 中,易得

Sn?1 Sn ? 2Sn ? 1 ? 0
? ( Sn?1 ? 1) Sn ? ( Sn ? 1) ? 0 ? Sn ? 1 ? ( Sn ? 1)( Sn?1 ? 1) ? Sn?1 ? 1
? 1 S n ?1 ? 1 ? 1 ?1 Sn ? 1

? Sn ?

1 n ,进一步得 an ? n(n ? 1) n ?1
1 1 1 1 )(1 ? )(1 ? )......(1 ? ) ? e2 n ?3 a1 a2 a3 an

(2)先进行化简工作, (1 ?

? (1 ? 1 ? 2)(1 ? 2 ? 3)......[1 ? n(n ? 1)] ? e2 n?3
下面是套路,取个对数 ln ,得

? ln[1 ? k (k ? 1)] ? 2 n ? 3
k ?1

n

此时我们想到上面介绍的不等式 ?x ? 0,

2x x ,所以有如下: ? ln(1 ? x) ? x?2 1? x

ln[1 ? k (k ? 1)] ?
n

2k (k ? 1) k (k ? 1) ? 2
n 2k (k ? 1) 4 ? ? (2 ? ) k (k ? 1) ? 2 k ?1 k ( k ? 1) ? 2 k ?1 n

所以顺势想下去得到

? ln[1 ? k (k ? 1)] ? ?
k ?1

? ? (2 ?
k ?1

n

4 ) k (k ? 1)

n 1 1 ? 2 n ? 4? ( ? ) ? 2n ? 4 k ?1 k ?1 k

这时我们发现放缩得有一咪咪过头, 那么再想想前面讲的保留开头几项再放缩, 立马我们改 正为如下:

? ln[1 ? k (k ? 1)] ? ?
k ?1

n

n 2k (k ? 1) 4 ? ? ( 2? ) k (k ? 1 ) ? 2 k ?1 k ( k ? 1) ? 2 k ?1 n n 4 4 ?? 1 ? (1 ? 1) ? 2 k ? 2 k (k ? 1) ? 2

? 2 n?

n 1 1 ? 2 n ? 1 ? 4? ( ? ) ? 2n ? 3 k ?1 k ?2 k

综上,原题圆满解决!

断开分组放缩
有些数列不等式切入口很小,一不小心就放缩得过大,而且很难对整串数列统一放缩,这时 我们就要将数列分成若干段, 对每段用不同的方法进行放缩逼近, 最后再结合起来进行证明, 这种方法技巧性非常强, 需要根据每段的具体情况选取最适合它的放缩幅度最小的手段来放 缩,下面就看几个例子。

{m}表示m的小数部分 , 例 1 设m为实数,[m]表示不大于m的最大整数, 则由定义知
[m] ? {m} ? m ,现证明如下:

? (?1) { i } ? 3
i i ?1
n

n

n

n

分析 思路都是由浅入深的,看到题目第一个闪过的朴素的想法就是平凡估计每一项,这样 一来

? (?1) { i } ? ? (?1) { i } ? ?{ i } ? n ,显然放得过大,因为我们把每一项小数部
i
i

n

n

n

n

n

i ?1

i ?1

i ?1

分都放大到 1 了,所以累计 n 项之后误差就大很多,那么我们能否建立 { } 和 ? ? 之间的 i i 联系呢?

n

?n? ? ?

n (?1)i { } = ? i i ?1

n

? (?1)i
i ?1

n

n n ? ? (?1)i i i ?1

?n? ? ? ?i? ?

? (?1)i
i ?1

n

n ? i

? (?1)
i ?1

n

i

?n? ,但是两 ? ?i ? ?

个绝对值符号中的一长串数列毫无规律可循, 根本求不出来, 所以尽量把一串化归到一项上 来,那么对于单调递增、正负交错的数列,我们可以采取下列处理方法: 设 a1 ? a2 ? ... ? ak ? 0, 则有 ?a1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ... ? a1 而①是不难证明的。回到原题,利用①, ①

? (?1)i
i ?1

n

n ? i

? (?1)
i ?1

n

i

?n? ? n ? ? n ? ,结果却还 ? ?i? ?

是大失所望,放得更大了,原因在于 们考虑断开分组放缩。 证明

n 的第一项 n太大了,而且放缩的项数太多,所以我 i
n

? (?1)
i?S

n

i

n n ?n? ? ? (?1)i ? ? ? i i?S ?i?
?

? (?1)
i?S

i

n ? i

? (?1)
i?S

n

i

?n? ? ?i ? ?

n ? n ? 2n + ?? S ? ?S ? S
i

故原式左边 ?

i ? S ?1

? (?1)

i

?n? ? ?? ?i ?

? (?1)
i?S

?n? ? ? ?i ?

?

?n? (?1)i ? ? + ? ?i ? i ? S ?1

? (?1)i
i?S

n

n ? i

? (?1)
i?S

n

i

?n? ? ?i? ?

2n (针对两段数列用两种不同的放缩方法) S 2n ?3 n。 接下来就是解方程的事了, ( S ? 1) ? S ? ( S ? 1) ?
事实上,我们取 S ? [

1? 3 n ? n ?1? 6 n 1? 3 n ? n ?1? 6 n , ] 即可满足。 2 2
n

例 2 设a1 , a2 ,..., an 是正数, ai ? 1, 记ki 是满足
i ?1

?

1 1 ? a j ? i ?1 的a j的个数,求证: i 2 2

?
i ?1

?

ki ? 2 ? log 2 n 2i

分析 先尽可能地挖掘题目的信息,容易知道, k1 ? k2 ? ... ? ks ? n( s为已知的常数) ,所 以不等号的左边其实也就是

?
i ?1

s

ki , 看到根号很自然想到两种基本的放缩法, 均值和柯西, 2i
2

此处我们稍加衡量决定用柯西,原因是什么呢?我们来看看:
s s ? s ki ? 1 ? k ? ? ? ? ? ? i i i ? i ?1 2 ? i ?1 i ?1 2 ? ? ? n ?1 ? n





左边 ? (注意:若用均值估计:

n。

?
i ?1

s

s ki 1 1 1 1 ? (k i ? i ) ? ? n ? ,则得到的结果更弱) ? i 2 2 2 2 2 i ?1

这是因为

ki ?

1 1 ? ki ? i ,所以柯西的放缩更接近取等条件。 i 2 2

但是还是放得有点大,这时我们回到“ ki 是满足 条件,把每个 a j ? [

1 1 ? a j ? i ?1 的a j的个数 ”这个 i 2 2

s 1 1 1 1 , 得不等式 ki ? i ? 1 。 , ] 均缩小到 ? i i ?1 i 2 2 2 2 i ?1

于是得到柯西的第二种估计方法:
s s ? s ki ? ki ? 1 ? ?s?n ? ? ? ? ? i i ? i ?1 2 ? 2 i ? 1 i ? 1 ? ? 2



也出现左边 ?

n ,问题就出现在柯西选取的元素上,就是①中的 ?
i ?1

s

s 1 和②中的 1 上, ? 2i i ?1

所以引导我们考虑断开分组放缩。 证明

?
i ?1

s

t ki ki n ki = ? +? 2i i ?1 2i i ?t 2i

其中

t t ? t ki ? ki ? 1 ? ?t, ? ? ? ? i ? i ?? i ?1 i ?1 2 ? i ?1 2 ?

2



?
i ?1

t

ki ? t; 2i
2



s s ? s ki ? 1 ? k ? ? ? ? ? ? i i i ? i ?t ?1 2 ? i ?t ?1 i ?t ?1 2 ? ? 1 ? n? t 2



i ?t ?1

?

s

ki 1 ? n? t i 2 22 t? 2 n
t 2

所以原不等式左边 ?



下面就又是解方程的事了,事实上,我们取 t ? [log 2 n] ,原不等式成立。


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