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1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球(用)


1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球

一.旋转体的概念

由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的 曲面所围成的几何体叫做旋转体,这条直线 叫做旋转体的轴。比如常见的旋转体有圆柱、 圆锥、圆台和球.

二.圆柱、圆锥、圆台及相关概念
1.圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,将矩 形旋转一周而形成的曲面所围成的几何

体叫做圆柱。 2.圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋 转轴,将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的

几何体叫做圆锥.
3.圆台:以直角梯形的一条直角边所在的直线为旋转 轴,将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何 体叫做圆台。

圆柱


侧面

母线 母线
底面

记作:圆柱OO’

圆锥

圆台

上底面 侧面

母线 母线



下底面

圆柱、圆锥、圆台
名称 圆柱 圆锥 圆台

图形

r
h l h

l

r
以矩形一边所在 直线为轴,其余 定义 各边旋转而成的 曲面所围成的几 何体。 性质 以直角三角形一直 角边所在直线为轴, 其余各边旋转而成 的曲面所围成的几 何体

R
以直角梯形垂直于 底边的腰所在直线 为轴,其余各边旋 转而成的曲面所围 成的几何体 轴截面是全等等 腰梯形

h

轴截面是全等的 矩形

轴截面是全等等腰 三角形

三.球及相关概念: 1.定义:以半圆的直径所在的直线为旋转 轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球。 另外将圆绕直径旋转180°得到的几何体也 是球。

2.球的表示方法:用表示球心的字母表 示,如球O . 3.球的截面性质: (1)球的截面是圆面,球面被经过球心 的平面截得的圆叫做球的大圆,被不经过 球心的平面截得的圆叫做球的小圆; (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面;

(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面; (3) r ? R2 ? d 2 (其中r为截面圆半径, R为球的半径,d为球心O到截面圆的距离, 即O到截面圆心O1的距离;

4.球面距离:在球面 上,两点之间的最短距 离就是经过两点的大圆 在这两点间的一段劣弧 的长度。这个弧长叫做 两点的球面距离。

四.组合体
由柱、锥、台、球等基本几何体组合而 成的几何体称为组合体。组合体可以通过 把它们分解为一些基本几何体来研究

例1 .用一个平行于圆锥底面的平面截这 个圆锥,截得圆台上下底面半径的比是 1 :4,截去的圆锥的母线长是3cm,求 圆台的母线长.

解:设圆台的母线为l,截得的圆锥底面 与原圆锥底面半径分别是r,4r,根据相 似三角形的性质得
3 r ? 3 ? l 4r

解得l=9.

所以,圆台的母线长为9cm.

练习: 1、圆柱的轴截面是正方形,它的面 积为9 ,求圆柱的高与底面的周长。 (h=3, c=2πr=3π) 2、圆锥的轴截面是正三角形,它的 面积是 3 ,求圆锥的高与母线的长。 (h= 3 ,l=2) 3、圆台的轴截面中,上、下底面边长 分别为2cm,10cm,高为3cm,求圆台母线 的长。 2 2

h

h

l

l

(l ? 3 ? (5 ? 1) ? 5)

例2. 我国首都北京靠近北纬40度。 求北纬40度纬线的长度约为多少千米 (地球半径约为6370千米)?

解:如图,设A是北纬40°圈上一点,AK 是它的半径,所以 OK⊥AK, 设c是北纬40°的纬线长, 因为∠AOK=∠OAK=40°, 所以 c=2π·AK=2π·OA· cos∠OAK =2π· cos40° OA· ≈2×3.1416×6370×0.7660 ≈3.066×104(km), 即北纬40°的纬线长约为3.066×104km.

1)填空 (1)设球的半径为R,则过球面上任意 πR2 两点的截面圆中,最大面积是 。 (2)过球的半径的中点,作一个垂直于 这条半径的截面,则这个截面圆的半径 3 是球半径的 。 R 2 (3)在半径为R的球面上有A、B两点, 半径OA、OB的夹角是60°,则A、B两 1 点的球面距离是 。 ?R
3


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