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2.4.1抛物线及其标准方程2


2.4.1 抛物线及其标准方程(2)

l N 1.抛物线的定义 MF ? d

d

· F ·
M

定点F为焦点,定直线l 为准线

2.抛物线的标准方程
图 形

﹒ ﹒﹒ ﹒
y y y

o

x

o

x

o

x

o

y

x

焦点位置 标准方程
焦点坐标

x轴的 正半轴 y2=2px

x轴的 负半轴 y2=-2px

y轴的 正半轴 x2=2py

y轴的 负半轴 x2=-2py

p F ( ,0 ) 2

准线方程

x

=-

p 2

p F ( ? ,0 ) 2

p x= 2

p F ( 0, ) 2

y

=-

p 2

p F (0, - ) 2 p y= 2

例1:点M与点F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程。

y

H

G

M

o

o

F (4,0)

x

x=-5 x=-4

变式:1. 动圆M过点A(0,2)且与直线y=-2

相切,求动点M轨迹.

x2=8y
2.求到点A(2,0)的距离比到直线x=-1
的距离大1的动点轨迹.

y2=8x

例2:已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物 线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的 最小值,并求出取最小值时P点的坐标

分析:解题的关键是利用抛物线的定 义得到|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|,由图 可知当A、P、Q三点共线时取最小 值.



如图,作 PQ⊥l 于 Q,由定义知,抛物线上点 P 到焦点 F 的距

离等于点 P 到准线 l 的距离 d,由图可知,求|PA|+|PF|的最小值的 问题可转化为求|PA|+d 的最小值的问题. 将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x,得 y=± 6. ∵ 6>2,∴A 在抛物线内部. 1 设抛物线上点 P 到准线 l:x=-2的距离为 d,由定义知|PA|+|PF| 7 =|PA|+d.由图可知,当 PA⊥l 时,|PA|+d 最小,最小值为2.即|PA| 7 +|PF|的最小值为2,此时 P 点纵坐标为 2,代入 y2=2x,得 x=2. ∴点 P 坐标为(2,2).

变式 3.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P

到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的 最小值为( ). 9 A. 17 B.2 C. 5 D. 2
2
解析 由抛物线定义知 |PA| + |PQ| = |PA| + |PF| ,则所求

距离之和的最小值转化为求 |PA|+|PF|的最小值,则当A、 P、F三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值.
1 又 A(0,2),F(2,0), ∴ (|P A| + |PF|)min = |AF| =

1 17 (0-2)2+(2-0)2= 2 . 答案 A

例3:一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面 为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的 4倍,若拱口宽为a m,求使卡车通过的a的最 小整数值.

[规范解答] 以隧道顶点为原点,拱高所在直线为 y 轴建立直线 a a 坐标系,则点 B 的坐标为(2,-4), 如图所示. (3 分)

设隧道所在抛物线方程为 x2=my, a2 a 则(2) =m· (-4), ∴m=-a. 即抛物线方程为 x2=-ay. 将(0.8,y)代入抛物线方程,得 0.82=-ay, (6 分)

0.82 即 y=- . a a a 0.82 欲使卡车通过隧道,应有 y-(-4)>3,即4- a >3. ∵a>0,∴a>12.21. ∴a 应取 13.

(8 分) (10 分)

(12 分)

变式 4. 某河上有一座抛物线形的拱桥, 当水面距拱顶 5 米时,
水面宽 8 米,一木船宽 4 米,高 2 米,载货的木船露在水面上 的部分为 0.75 米,当水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始 不能通航? 解 以桥的拱顶为坐标原点,拱高所在的直线为 y 轴建立直角

坐标系.(如图) 设抛物线的方程是 x2=-2py(p>0) 由题意知,A(4,-5)在抛物线上,

8 故:16=-2p×(-5)?p=5, 16 则抛物线的方程是 x =- 5 y(-4≤x≤4),
2

设水面上涨,木船面两侧与抛物线形拱桥接触于 B、B′时,木 船开始不能通航. 16 5 5 设 B(2,y′),∴2 =- 5 y′?y′=-4,∴4+0.75=2.
2

故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距 2 米时,木船开始不能 通航.

练习
1.动点P到点A(0,2)的距离比到直线l:y=-4的距离小
2=8y X 2,则动点P的轨迹方程为________

2.已知抛物线方程为标准方程,焦点在y轴上抛物线 上一点M(a,-4)到焦点F的距离是5,则抛物线方程为
X =- 4y ,a的值等于____ ±4 _______
2 2 ( x ? 2 ) ? y ? 1外切, 3.已知动圆P与定圆A

2

y
P

与定直线l: x ? 1相切,
求动圆圆心P的轨迹方程.
A
x ?1 x ? 2

x

4.已知M为抛物线

y 2 ? 4x

上一动点,F为抛物线的焦

点,定点P(3,1),求 MP ? MF 的最小值及此时点M的坐标.

思考:点M在何处时,MF最小.
变形: 若点P为(2,0),求MP的最小值

引申:设定点P(a,0),求MP的最小值.
当a<2时,原点与点P最近 当a>2时,点(a-2,0)与点P最近



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