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成都七中高2016届高一(下)入学考试数学试题


成都七中高 2016 届高一(下)入学考试数学试题 考试时间:120 分钟;试卷满分:150 分
一.选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 1. cos 210? 等于( ) B. ?

A.

1 2

1 2

C. ?

3 2

D.

r />
3 2


2.已知全集 I ? {1,2,3,4,5} ,集合 A ? {1,2,3,4}, B ? {4,5} ,则 A ? (C I B ) ? ( A. {4,5} 3. 函数 y ? B. {1,2,3,4} C. {1,2,3} ) B. ? x | x ? 1? D. ? x | 0 ? x ? 1? ) D. {5}

x( x ? 1) ? x 的定义域为(

A. ? x | x ? 0? C. ? x | x ? 1? ? ?0?

4.已知角 ? 的终边过点 P (?3, ?4) ,则 tan ? 等于( A. ?3 B. ?4 C.

3 4

D. )

4 3

5. 三个数 a ? 0.312 , b ? log 2 0.31 , c ? 2 0.31 之间的大小关系为( A.a<c<b B.b<a<c C.a<b<c ) 6. 已知函数 f ? x ? ? x x ? 2 x ,则下列结论正确的是( A. f ? x ? 是偶函数,单调递增区间是 ? 0, ?? ? B. f ? x ? 是偶函数,单调递减区间是 ? ??,1? C. f ? x ? 是奇函数,单调递增区间是 ? ??, 0 ? D. f ? x ? 是奇函数,单调递减区间是 ? ?1,1?

D.b<c<a

7. 已 知 函 数 y ? log a ? x ? 3? ? 1(a ? 0且a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 也 在 函 数

f ( x) ? 3x ? b 的图象上,则 f ? log 9 4 ? ? (
A.

) D.

8 9

B.

7 9

C.

5 9

2 9

8. 将函数 y ? 2sin( x ?

?
3

)( x ? R) 的图像向左平移 m(m ? 0) 个单位后所得的图像关于 y
) C.

轴对称,则 m 的最小值是( A

?
12

B.

? 6

? 3

D.

5? 6

?1, x ? 0 ? 9.定义符号函数 sgn( x) ? ?0.x ? 0 , ??1, x ? 0 ?
1 1 sgn( ? x) ? 1 sgn( x ? ) ? 1 2 2 设 f ( x) ? ? f1 ( x) ? ? f 2 ( x), x ? [0.1] , 2 2 1 若 f1 ( x) ? x ? . f 2 ( x) ? 2(1 ? x), 则 f ( x) 的最大值为( ) 2 1 1 A.1 B.3 C. ? D. 2 2
10. x 为 实 数 , [ x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 若 函 数 {x} ? x ? [ x], 则 方 程

1 ? 2014 x ? {x} 的实数解的个数是( ) 2013
A.0 B.1 C.2 二.填空题: (每小题 5 分,共 25 分) D.4

11. 设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm 2 ,则扇形的圆心角的弧度数是





12. 已知 tan ? ? 2 ,则

sin(

? ?
2 2

? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ? ) ? sin(? ? ? )

?



.

sin(
13. 函数 f ( x) =

2x ? 1 ▲ . , x ? ?? ?,1? 的值域为 x?2 a 14. 已 知 函 数 f ? x ? ? x ? , 当 x ? N ? 时 , f ? x ? ? f ? 2 ? , 则 a 的 取 值 范 围为 ___▲ x
_________. 15. 若函数 f ? x ? 满足:在定义域 D 内存在实数 x0 ,使得 f ? x0 ? 1? ? f ? x0 ? ? f ?1? 成立, 则称函数 f ? x ? 为“1 的饱和函数” 。给出下列四个函数:① f ? x ? ?

1 x ;② f ? x ? ? 2 ; ③ x

f ? x ? ? lg ? x 2 ? 2 ? ;④ f ? x ? ? cos ? x 。其中是“1 的饱和函数”的所有函数的序号是 ▲

三.解答题: (共 75 分) 16.(12 分) 已知 f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) sin( ?? ? cos(?? ? ? ) cos(?? ? 3? ) 2

3? ) 2
3? 1 ) ? ,求 f (? ) 的值. 2 5

(1)化简 f (? ) ;

(2)若 ? 是第三象限角,且 cos(? ?
2

17.(12 分)函数 f ( x) ? x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a . (1)若 f ( x) 是偶函数,求实数 a 的值; (2)当 a ? 1 时,求 y ? f (2 ) 在区间 [?1,1] 上的值域.
x

18.(12 分)函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, | ? |?

? ?

??

? 在它的某一个周期内的单调减 2?

区间是 ?

? 5? 11? ? . , ? 12 12 ? ?

(1)求 f ? x ? 的解析式; (2)将 y ? f ? x ? 的图象先向右平移 的

?
6

个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来

1 ? ? 3? ? 倍 (纵坐标不变) , 所得到的图象对应的函数记为 g ? x ? , 求函数 g ? x ? 在 ? , 2 ?8 8 ? ?

上的最大值和最小值.

19. (12 分)某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商场一种品牌服装销售情况的 调查发现:该服装在过去的一个月内(以 30 天计)每件的销售价格 P ( x) (百元)与时间 x (天) 的函数关系近似满足 P ( x) ? 1 ? 的部分数据如下表所示:

k 日销售量 Q ( x)(件) 与时间 x(天) (k 为正常数 ) , x

x (天)

10

20

25

30

Q( x) (件) 110 120 125 120
已知第 10 天的日销售收入为 121(百元) . (1)求 k 的值;

(2)给出以下四种函数模型:① Q ( x) ? ax ? b ,② Q ( x) ? a x ? 25 ? b , ③ Q ( x) ? a ? b x ,④ Q ( x) ? a ? log b x .请你根据上表中的数据,从中选择你认为 最合适的一种函数来描述日销售量 Q ( x) (件)与时间 x (天)的变化关系,并 求出该函数的解析式; (3)求该服装的日销售收入 f ( x)(1 ? x ? 30, x ? N ) 的最小值.

20. (13 分)已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 4 ? ? f ? x ? ,当 x ? ? 0, 4? 时,

f ? x? ? 2

x?m

? n ,且 f ? 2 ? ? 6 。

(1)求 m, n 的值; (2)当 x ? ? 0, 4? 时,关于 x 的方程 f ? x ? ? a ? 2 ? 0 有解,求 a 的取值范围。
x

21.(14 分)已知函数 f ? x ? 的图象在 ? a, b ? 上连续不断,定义:

f1 ? x ? ? min ? f ? t ? a ? t ? x? ? x ? ? a, b ?? , f 2 ? x ? ? max ? f ? t ? a ? t ? x? ? x ? ? a, b ?? 。
其中, min f ? x ? x ? D 表示函数 f ? x ? 在 D 上的最小值, max f ? x ? x ? D 表示函数

?

?

?

?

f ? x ? 在 D 上的最大值。若存在最小正整数 k ,使得 f 2 ? x ? ? f1 ? x ? ? k ( x ? a ) 对任意的 x ? ? a, b ? 成立,则称函数 f ? x ? 为 ? a, b ? 上的“ k 阶收缩函数” 。
(1)若 f ? x ? ? cos x, x ? ? 0, ? ? ,试写出 f1 ? x ? , f 2 ? x ? 的表达式; (2)已知函数 f ? x ? ? x , x ? ? ?1, 4? ,试判断 f ? x ? 是否为 ? ?1, 4? 上的“ k 阶收缩函数” ,
2

如果是,求出对应的 k ;如果不是,请说明理由; (3)已知函数 f ? x ? ? ? x ? 3 x 在 ? 0, 2? 上单调递增,在 ? 2, ?? ? 上单调递减,若
3 2

f ? x ? ? ? x 3 ? 3x 2 是 ? 0, b ? (b ? 0) 上的“ 2 阶收缩函数” ,求 b 的取值范围。

成都七中高 2016 届高一(下)入学考试数学试题答案
一.选择题 CCCDB DABAC 二.填空题: 11. 2 12.

?2

13. [?3, 2)

14. [2,6]

15.②④

三.解答题: (共 75 分)

3? ? ) sin ? cos ? sin(? ? ) 2 ? 2 16.解(1) f (? ) ? 3? ? cos(?? ? ? ) cos(?? ? ) cos ? cos(? ? ) 2 2 ? cos ? ? sin ? ? ? cos ? ; sin ? 3? ? 1 1 (2)? cos(? ? ) ? cos(? ? ) ? ? sin ? ? ,? sin ? ? ? 2 2 5 5 sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) sin( ?? ?
又 ? 是第三象限角,则 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 17.解: (1) a ? 4 ;

2 6 2 6 ,? f (? ) ? 5 5
(4 分)

1 (2)当 a ? 1 时,令 2 x ? t , t ? [ , 2] , 2
则 y ? f (2 ) ? f (t ) ? t ? 3t ? 2
x 2

值域为 [?

1 3 , ] . 4 4
∴? ? 2

(12 分)

18. 解: (1)由条件, 又 sin(2 ?

2? ) , 再将图象上所 有点的 6 3 1 2? 横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)得 g ( x) ? sin(4 x ? ) 2 3 ? 3? ? 2? 5? 而 x ?[ , ], ?? ? 4 x ? ? 8 8 6 3 6 ? 3? 1 ∴函数 g ( x) 在 [ , ] 上的最大值为 1,最小值为 ? 8 8 2 19. 解: (1)依题意有: f (10) ? P (10) ? Q (10) , k 即 (1 ? ) ? 110 ? 121 ,所以 k ? 1 . ???2 分 10
(2)将 y ? f ( x) 的图象先向右平移

5? ? ? ? ) ? 1, ∴ ? ? ? 12 3

T 11? 5? ? 2? ? ? ? , ∴ ??, 2 12 12 2 ?

∴ f ( x) 的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? 个单位,得 sin(2 x ?

?
3

)

?

(2)由表中的数据知,当时间变化时,日销售量有增有减并不单调, 故只能选② Q ( x) ? a x ? 25 ? b . 从表中任意取两组值代入可求得: ???4 分

Q( x) ? ? x ? 25 ? 125 ? 125 ? x ? 25 .
(3)? Q ( x) ? 125 ? x ? 25 ? ?

???6 分

?100 ? x, (1 ? x ? 25) , ?150 ? x.(25 ? x ? 30)

? 100 x? ? 101, (1 ? x ? 25) ? ? x . ? f ( x) ? ? ?150 ? x ? 149.(25 ? x ? 30) ? ? x
①当 1 ? x ? 25 时, x ?

???8 分

100 在 [1,10] 上是减函数,在 [10, 25) 上是增函数, x
???10 分

所以,当 x ? 10 时, f ( x) min ? 121 (百元) . ②当 25 ? x ? 30 时,

150 ? x 为减函数, x
???11 分 ???12 分

所以,当 x ? 30 时, f ( x) min ? 124 (百元) . 综上所述:当 x ? 10 时, f ( x) min ? 121 (百元) . 20. 解: (1)由已知 f ? 0 ? ? f ? 4 ? ,可得 2 又由 f ? 2 ? ? 6 可知 2 (2)方程即为 2
x?2
2? 2

m

?n?2

4?m

? n ? m ? 4 ? m ,? m ? 2
???5 分

? n ? 6,? n ? 5

? 5 ? m ? 2 x 在 ? 0, 4? 有解。
2? x

当 x ? ? 0, 2? 时, 2

? 5 ? m? 2 ? m ?
x

?2 ?
? ?

4

x 2

5 ?1? ?1 ? ? x ,令 ? ? ? t ? ? ,1? 2 ?2? ?4 ?

x

则 m ? 4t 2 ? 5t 在 ? ,1? 单增,? m ? ? ,9 ? 4 2 当 x ? ? 2, 4? 时, 2 x ? 2 ? 5 ? m ? 2 x ? m ?

?1 ? ? ?

?3 ?

1 1 ?1? ? 1 1? ? 5 ? x ,令 ? ? ? t ? ? , ? 4 2 ?2? ?16 4 ?

x

则m ?

1 ? 9 3? ? 5t ,? m ? ? , ? 4 ?16 2 ?

综上: m ? ?

?9 ? ,9 ?16 ? ?

???13 分

21. 解: (1)由题意得: f1 ? x ? ? cos x, x ? ? 0, ? ? , f 2 ? x ? ? 1, x ? ? 0, ? ? 分

???3

? x 2 , x ? ? ?1, 0 ? ?1, x ? ? ?1,1? ? ? (2) f1 ? x ? ? ? , , f2 ? x ? ? ? 2 0, x ? 0, 4 x , x ? 1, 4 ? ? ? ? ? ? ? ?

?1 ? x 2 , x ? ? ?1, 0 ? , ? f 2 ? x ? ? f1 ? x ? ? ?1, x ? ? 0,1? , ? 2 ? x , x ? ?1, 4? ,
当 x ? ? ?1, 0? 时, 1 ? x ? k ( x ? 1),? k ? 1 ? x, k ? 2
2

当 x ? ? 0,1? 时, 1 ? k ( x ? 1),? k ?
2

1 ,k ?1 x ?1

当 x ? ?1, 4? 时, x ? k ( x ? 1),? k ? 综上所述: k ?

x2 16 ,k ? x ?1 5
???8 分
3 2

16 ,又 k ? N ? ,则 k ? 4 5

(3)ⅰ) b ? 2 时, f ? x ? 在 ? 0, b ? 上单调递增,因此, f 2 ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? 3x ,

f1 ( x) ? f ? 0 ? ? 0 。因为 f ? x ? ? ? x 3 ? 3x 2 是 ? 0, b ? 上的“ 2 阶收缩函数” ,所以,
① f 2 ? x ? ? f1 ? x ? ? 2( x ? 0) 对 x ? ? 0, b ? 恒成立; ②存在 x ? ? 0, b ? ,使得 f 2 ? x ? ? f1 ? x ? ? ( x ? 0) 成立。 ①即: ? x 3 ? 3 x 2 ? 2 x 对 x ? ? 0, b ? 恒成立,由 ? x 3 ? 3 x 2 ? 2 x ,解得:

0 ? x ? 1或x ? 2 ,要使 ? x3 ? 3x 2 ? 2 x 对 x ? ? 0, b ? 恒成立,需且只需 0 ? b ? 1
②即:存在 x ? ? 0, b ? ,使得 x x 2 ? 3 x ? 1 ? 0 成立。由 x x 2 ? 3 x ? 1 ? 0 得:

?

?

?

?

x ? 0或

3? 5 3? 5 3? 5 ,所以,需且只需 b ? ?x? 2 2 2 3? 5 ? b ?1 2

综合①②可得:

ⅱ) 2 ? b ? 3 时, f ? x ? 在 ? 0, 2? 上单调递增,在 ? 2, b ? 上单调递减, 因此, f 2 ? x ? ? f ? 2 ? ? 4, f1 ? x ? ? f ? 0 ? ? 0, f 2 ? x ? ? f1 ? x ? ? 4, x ? 0 ? x, 显然当 x ? 0 时, f 2 ? x ? ? f1 ? x ? ? 2( x ? 0) 不成立。 ⅲ)当 b ? 3 时, f ? x ? 在 ? 0, 2? 上单调递增,在 ? 2, b ? 上单调递减

因此, f 2 ? x ? ? f ? 2 ? ? 4, f1 ? x ? ? f ? b ? ? 0, f 2 ? x ? ? f1 ? x ? ? 4 ? f ? b ? ? 4, x ? 0 ? x, 显然当 x ? 0 时, f 2 ? x ? ? f1 ? x ? ? 2( x ? 0) 不成立。

综合ⅰ)ⅱ)ⅲ)可得:

3? 5 ? b ?1 2

???14 分


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