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2014届高考数学一轮复习名师首选练习题:第9章 第3节《几何概型》


第九章
一、选择题

第三节 几何概型

1 1.已知三棱锥 S?ABC,在三棱锥内任取一点 P,使得 VP-ABC< VS?ABC 的概率是( 2 A. C. 7 8 1 2 3 B. 4 1 D. 4

)

2.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 AB

CD 内部随 机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于 ( A. C. 1 4 1 2 B. D. 1 3 2 3 )

3. 平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线, 把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上, 求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( A. C. )
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

a-r a
2a-r 2a D.

B.

a-r 2a

a+r 2a

4.已知 P 是△ABC 所在平面内一点, PB + PC + PA =0,现将一粒黄豆随机撒在△

??? ?
)

??? ?

??? ?

PBC 内,则黄豆落在△PBC 内的概率是(
A. C. 1 4 2 3 1 B. 3 1 D. 2

1 5.在区间(0,1)内任取两个实数,则这两个实数的和大于 的概率为( 3 A. C. 17 18 2 9 7 B. 9 D. 1 18

)

[来源:学科网 ZXXK]

6.在区间[-π ,π ]内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数 f(x)=x +2ax-b +π 有零点的概率为( )

2

2

A. C.

7 8 1 2

3 B. 4 1 D. 4

二、填空题 7.在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则|x|≤1 的概率为________. 8.在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P,则使点 P 到三 个顶点的距离至少有一个 小于 1 的概率是________.

y≤x ? ? 9.若不等式组?y≥-x ? ?2x-y-3≤0

表示的平面区域为 M,x +y ≤1 所表示的平面区域为

2

2

N,现随机向区域 M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为________.
三、解答题 10.图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图,其中四边 形 ABCD 是边长 为 1 的正方形. 若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点, 它落在长方体的平面展开图内的概 1 率是 ,求此长方体的体积. 4

11.已知函数 f(x)=-x +ax-b. (1)若 a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率; (2)若 a,b 都是从区间[0,4]任取的一个数,求 f(1)>0 成立时的概率.

2

[来源:学科网]

12.已知复数 z=x+yi(x,y∈R)在复平面上对应的点为 M. (1)设集合 P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},从集合 P 中随机取一个数作为 x,从 集合 Q 中随机取一个数作为 y,求复数 z 为纯虚数的概率; (2)设 x∈[0,3],y∈[0,4],求点 M 落在不等式组:

x+2y-3≤0, ? ? ?x≥0, ? ?y≥0

所表示的平面区域内的概率.

详解答案 一、选择题 1.解析:当 P 在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求,由几何概型知,

P=1- = .
答案:A △ABE的面积 1 2.解析:点 E 为边 CD 的中点,故所求的概率 P= = . 矩形ABCD的面积 2 答案:C 3.解析:∵硬币的半径为 r, ∴当硬币的中心到直线的距离 d>r 时,硬币与直线不相碰. 2? a-r? a-r ∴P= = . 2a a 答案:A 4.解析:由题意可知,点 P 位于 BC 边的中线的中 点处. 记黄豆落在△PBC 内为事件 D,则 P(D)=
[来源:学科网]

1 7 8 8

S△PBC 1 = . S△ABC 2

答案:D
?0<x<1 ? 5.解析:设这两个实数分别为 x,y,则? ?0<y<1 ?

1 ,满足 x+y> 的部分如图中阴影部 3

1 1 1 1 17 分所示.所以这两个实数的和大于 的概率为 1- × × = . 3 2 3 3 18

答案:A 6.解析:因为 f(x)=x +2ax-b +π 有零点,所以 Δ =4a -4(π -b )≥0,即 a +
2 2 2 2 2

b2-π ≥0, 由几何概型的概率计算公式可知所求概率为 P=
3 = . 4 答案:B 二、填空题

2π ×2π -π ×? 2π ×2π

π?

2

3π = 4π

2 2

2 7.解析:区间[-1,2]的长度为 3,满足|x|≤1 的区间长度为 2,∴|x|≤1 的概率为 . 3
源:Z#xx#k.Com]

[来

2 答案: 3 8.解析:以 A、B、C 为圆心,以 1 为半径作圆,与△ABC 交出三个扇形,当 P 落在 其 内时符合要求. 3×? ∴P= 1 π 2 × ×1 ? 2 3 3 2 ×2 4 3π . 6



答案:

3 π 6

9. 解析: 如图, △AOB 为区域 M, 扇形 COD 为区域 M 内的区域 N,

A(3,3),B(1,-1),S△AOB= × 2×3 2=3,S

1 2

扇形 COD

π = ,所以豆 4

子落在区域 N 内的概率为 P= π 答案: 12 三、解答题

S扇形COD π = . S△AOB 12

10.解:设长方体的高为 h,则图(2)中虚线围成的矩形长为 2+2h,宽为 1+2h,面积 2+4h 为(2+2h)(1+2h),展开图的面 积为 2+4h;由几何概型的概率公式知 ? 2+2h? ? 1+2h? 1 = ,得 h=3,所以长方体的体积是 V=1×3=3. 4 11.解:(1)a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数的基本事件总数为 N=5×5 =25 个. 函数有零点的条件为 Δ =a -4b≥0,即 a ≥4b. 因为事件“a ≥4b”包含(0,0),(1,0),(2 ,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4), 12 12 2 所以事件“a ≥4b”的概率为 P= ,即函数 f(x)有零点的概率为 . 25 25 (2)a,b 都是从区间[0,4]任取的一个数,
2 2 2

f(1)=-1+a-b>0,
即 a-b>1,此为几何概型. 1 ×3×3 2 9 所以事件“f(1)>0”的概率为 P= = . 4×4 32 12.解:(1)记“复数 z 为纯虚数” 为事件 A. ∵组成复数 z 的所有情况共有 12 个:-4,-4+i,-4+2i,-3,-3+i,-3+2i, -2,-2+i,- 2+2i,0,i,2i, 且每种情况出现的可能性相等, 属于古典概型, 其中事件 A 包含的基本事件共 2 个: i,2i, ∴所求事件的概率为 P(A)= 2 1 = . 12 6
? ? ? ? ? ?0≤x≤3? ? ? ?0≤y≤4? ? ?

(2)依条件可知,点 M 均匀地分布在平面区域?? x,y? |?

内,属于几何概

型,该平面区域的图形为下图中矩形 OABC 围成的区域,面积为 S=3×4=12. 而所求事件构成的平面区域为



其图形如图中的三 角形 OAD(阴影部分). 3 又直线 x+2y-3=0 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A(3,0)、D(0, ), 2 1 3 9 ∴三角形 OAD 的面积为 S1= ×3× = . 2 2 4 9 S1 4 3 ∴所求事件的概率为 P= = = . S 12 16


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