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正弦定理教学设计


正弦定理(1)教学设计
绵阳实验高中 一、教学内容分析: 马良驹

《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修 5)》(人教 A 版)第一章《解三 角形》 : 1 ? 1 “正弦定理和余弦定理”的第 1 课。 “解三角形”既是高中数学的基 本内容, 又有较强的应用性, 在这次课程改革中, 被保留下来, 并独立成为一章。 解三角形作为几何度量问题, 应突

出几何的作用和数量化的思想,为学生进一步 学习数学奠定基础。本课“正弦定理” ,作为单元的起始课,为后续内容作知识 与方法的准备, 是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上,通过对三角形边 角关系作量化探究,发现并掌握正弦定理(重要的解三角形工具) ,解决简单的 三角形度量问题。教学过程中,应发挥学生的主动性,通过探索发现、合情推理 与演绎证明的过程,提高学生的思辨能力。

二、学生学习情况分析:
由于本课内容和一些与测量、几何计算有关的实际问题相关,教学中若能注 意课程与生活实际的联系,注重知识的发生过程,定能激起学生的学习兴趣。当 然本课涉及代数推理,定理证明中可能涉及多方面的知识方法,综合性强,对水 平只在绵阳中等的实验高中学生学习方面有一定困难。

三、设计思想:
定理教学中有一种简陋的处理方式:简单直接的定理呈现、照本宣科的定理 证明,然后是大剂量的“复制例题”式的应用练习。本课采用实验探究、自主学 习、合作交流的研究性学习方式,重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本 应用上, 努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。 从实际问题出发, 引入数学课题, 最后把所学知识应用于实际问题。

四、教学目标:
让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求, 发现正弦定理;再由特殊到一般,从定性到定量,探究在任意三角形中,边与其 对角的关系,引导学生通过观察,猜想,比较,推导正弦定理,由此培养学生合 情推理探索数学规律的数学思考能力;培养学生联想与引申的能力,探索的精神 与创新的意识, 同时通过三角函数、向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生 初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。

五、教学重点与难点:
本节课的重点是正弦定理的探索、证明及其基本应用;难点是正弦定理应用 中 “已知两边和其中一边的对角解三角形, 判 断解的个数” ,以及逻辑思维能力的培养。
A

六、教学过程设计: (一)创设情境:

88 0

42 0

B

435m

C

问题 1、在建设涪江上某桥时,需预先测量桥长 AB,于是在江边选取一个测 量 点 C,测得 CB=435m,∠CBA= 88 0 ,∠BCA= 42 0 。由以上数据,能测算出桥长

AB 吗?这是一个什么数学问题? 引出:解三角形——已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程。 [设计意图:从实际问题出发,引入数学课题。] 师:解三角形,需要用到许多三角形的知识,你对三角形中的边角知识知多 少? 生: · · · · · · , “大角对大边,大边对大角” 师: “a>b>c ←→ A>B>C” ,这是定性地研究三角形中的边角关系,我 们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系? 引出课题: “正弦定理 [设计意图:从联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的 知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的 知识结构。]

(二)猜想、实验:
1、发散思维,提出猜想:从定量的角度考察三角形中的边角关系,猜想可 能存在哪些关系? [学情预设:此处,学生根据已有知识“a>b>c ←→ A>B>C” ,可能 出现以 下答案情形。如 a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC, a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC, 〃 〃 〃 〃 〃 〃等等。] [设计意图:培养学生的发散思维,猜想也是一种数学能力] 2、研究特例,提炼猜想:考察等边三角形、特殊直角三角形的边角关系, 提炼出 a\sinA=b\sinB=c\sinC。 3、实验验证,完善猜想:这一关系式在任一三角形中是否成立呢? 请学生以量角器、刻度尺、计算器为工具,对一般三角形的上述关系式进 行验证,教师用几何画板演示。在此基础上,师生一起得出猜想,即在任意三 角形中,有 a\sinA=b\sinB=c\sinC。 [设计意图:着重培养学生对问题的探究意识和动手实践能力]

(三)证明探究:
对此猜想,据以上直观考察,我们感情上是完全可以接受的,但数学需要 理性思维。如何通过严格的数学推理,证明正弦定理呢? 1、 特殊入手,探究证明 : 在初中, 我们已学过如何解直角三角形, 下面就首先来探讨直角三角形中, 角与边的等式关系。在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, ?C ? 900 , 根据锐角

a b c ? sin A ? sin B s iC n ? ?1 c , 的正弦函数的定义,有 c , c ,又



a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?c

a

,从而在直角三角形 ABC 中, sin A

?

b
sin B

?

c
sinC 。

2、推广拓展,探究证明 : 问题 2:在锐角三角形 ABC 中, 如何构造、 表示 “a 与 sin A 、 b 与 sinB” 的关系呢? 探究 1:能否构造直角三角形,将问题化归为已知问题? [学情预设:此处,学生可能出现以下答案情形。学生对直角三角形中证 明定理的方法记忆犹新,可能通过以下三种方法构造直角三角形。 生 1:如图 1,过 C 作 BC 边上的线 CD,交 BA 的延长线于 D,得到直 角三角形 DBC。 生 2: 如图 2, 过 A 作 BC 边上的高线 AD, 化归为两个直角三角形问题。 生 3:如图 3,分别过 B、C 作 AB、AC 边上的垂线,交于 D,连接 AD, 也得到两个直角三角形〃 〃 〃 〃 〃 〃] 经过师生讨论指出: 方法 2, 简单明了, 容易得到 “c 与 sin C 、 b 与 sinB” 的关系式。 [知识链接:根据化归——这一解决数学问题的重要思想方法,把锐角三角 形中正弦定理的证明归结为直角三角形问题是自然不过的。而方法 3 将把问题
a

延伸到四点共圆,深究下去,可得 sin A 思考解决]

?

b
sin B

?

c
sinC =2R,对此,可留做课后

图1 图2

D (acos ( _ a _

? -B ), asin ( ? -B ))
b _ c _

C( bcosA , bsinA ) _ a _

B ( c, 0 ) _

图3

图4

探究 2:能否引入向量,归结为向量运算? (1)图 2 中蕴涵哪些向量关系式? 学 生 探 究 , 师 生 、 生 生 之 间 交 流 讨 论 , 得
? AB ? BC ? AC, AB ? BC ? CA ? 0, AB ? CB ? CA, (这三个式子本质上是相同的),

AD ? BC ? 0 等,

(2)如何将向量关系转化为数量关系?(施以什么运算?) 生:施以数量积运算 (3)可取与哪些向量的数量积运算? [学情预设:此处,学生可能会做如下种种尝试,如两边自乘平方、两边
AC ) 同时点乘向量 AB (或 BC、 ,均无法如愿。此时引导学生两边同时点乘向量
AD ,并说出理由:数量积运算产生余弦,垂直则实现了余弦与正弦的转换。]

[知识链接:过渡教材中,证明方法所引用的单位向量 j 就是与向量 AD 共 线的单位向量。过去,学生常对此感到费解,经如此铺垫方显自然] 探究 3:能否引入向量的坐标形式,把向量关系转化为代数运算? (1)如图 4,建立直角坐标系,可得:A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA), (2)向量 BC 的坐标=? (bcosA-c,bsinA)

?

(3)哪一点的坐标与向量 BC 的坐标相同?由三角函数的定义,该点的坐 标又为多少? 根据平行四边形法则,D( a cos(1800 ? B), a sin(1800 ? B) ) ,从而建立等量 关系:bcosA-c= a cos( 1800 ? B), bsinA= a sin(1800 ? B) , 整理,得 c= bcosA+ acosB(这其实是射影定理) ,a/sinA=b/sinB,同理可得 a/sinA=c/sinC。

[知识链接:向量,融数与形于一体,是重要的数学工具,我们可以通过向 量的运算来描述和研究几何元素之间的关系(如角与距离等) ,这里学生已经学 过向量,可根据学生素质情况决定是否采用探究 2 与 3] 问题 3:钝角三角形中如何推导正弦定理?(留做课后作业)

(四)理解定理、基本应用:
1、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
a b c ? ? sin A sinB sinC

问题 4、定理结构上有什么特征,有哪些变形式? (1)从结构看:各边与其对角的正弦严格对应,成正比例,体现了数学 的和谐美。 (2)从方程的观点看:每个方程含有四个量,知三求一。 从而知正弦定 理的基本作用为: b sin A ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ? ; sin B ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如
sin A ? sinB

a b



2、例题分析 例 1.在 ?ABC 中,已知 A ? 32.0 , B ?81.8 , a ? 42.9 cm,解三角形。
0 0

评述:定理的直接应用,对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2.在 ?ABC 中,已知 a ? 20cm, b ? 28cm, A ? 400 ,解三角形(角度精 确到 1 ,边长精确到 1cm) 。 评述: 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时, 可能有两解的情形。 课后思考:已知三角形的两边一角,这个三角形能唯一确定吗?为什么? 3、课堂练习: (1) 、引题(问题 1) (2) 、在△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [设计意图:设计二个课堂练习,练习(1)目的是首尾呼应、学以致用; 练习(2)则是将正弦定理、简易逻辑与平面几何知识整合,及时巩固定理, 运用定理。]
0

(五)课堂小结:
问题 5:请同学们用一句话表述学习本课的收获和感受。 生 1:原来我只会解直角三角形,现在我会解一般三角形了 师:通过本课学习,你发现自己更强大了。

生 2:原来我以为正弦定理的证明,只有书上一种方法,今天我们学到了 课本以外的众多方法。 师:我们学习过两个重要数学工具,即三角函数与平面向量,正弦定理的 证明充分展示了它们的妙用。 生 3:公式很美。 师:美在哪里? 生 3:体现了公式的对称美,和谐美· · · · · · 在同学们的热烈讨论的基础上,用课件展示小结: 1、在正弦定理的发现及其证明中,蕴涵了丰富的思想方法,既有由特殊 到一般的归纳思想, 又有严格的演绎推理。 在定理证明中我们从直观几何角度、 向量运算角度探求了数学工具的多样性。 2、正弦定理反映了边与其对角正弦成正比的规律,据此,可以用角的正弦 替代对边,具有美学价值 3、利用正弦定理解决三类三角形问题: (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角。 (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角,进而求出其他的边 和角。 (3)实现边与角的正弦的互化。 [设计意图:通常,课堂小结均由老师和盘托出,学生接受现成的结论。 本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性,师生合作,让课堂小结成 为点睛之笔。]

(六)作业布置:
1、书面作业:P10 习题 1.1 1、2 2、研究类作业: 1)在钝角三角形中探求证明定理的不同方法。
a b c ? ? ?k 2)在△ABC 中, sin A sin B sin C ,研究 k 的几何意义

3)已知三角形的两边一角,这个三角形能唯一确定吗? [设计意图:对问题 3) ,根据分散难点,循序渐进原则,在例 2 中初步涉 及,在课后让学生先行思考,在“正、余弦定理”第三课时中予以下图的剖 析阐述。]
已 知 边 a,b 和 阿a
C b a A H a<CH = bsinA 无解 A 解 A H a = CH = bsinA 仅有一个解 A b a A B1 H B2 a? b 仅有一个解 C b a a A H B C b C a

A

CH = bsinA<a<b 有两个解

七、教学反思:

1、本课就新课程理念下定理教学课的课堂模式,做了一些探索。以问题解 决为中心,通过提出问题,完善问题,解决问题,拓展问题,采用实验探究、自 主学习的研究性学习方式,重点放在定理的形成与证明的探究上,努力挖掘定理 教学中蕴涵的思维价值, 培养学生的思辨能力。改变了定理教学中简陋的处理方 式(简单直接呈现、照本宣科证明,大剂量的“复制例题”式的应用练习) 。 2、 “用教材教, 而不是教教材” , 尽管教材中对本课知识方法的要求并不高, 只介绍了通过作高将一般三角形变换为直角三角形, 再将三角比变换得到等式的 化归方法,但教学不仅是忠实执行课程标准,而且是师生共同开发课程,将教材 有机裁剪,并融入个性见解的过程。如在正弦定理的证明探究中,学生完全可能 围绕“如何构造直角三角形?” ,八方联系,广泛联想,分别应用平面几何四点 共圆、向量的数量积运算、向量的坐标运算等知识方法。本课设计充分预设各种 课堂生成,尽量满足不同思维层次学生的需求。 3、突出数学的本质。正弦定理的本质是“定量地描写三角形边角之间的关 系” ,是“大角对大边,小角对小边”的定量化。但量、算、猜不能代替数学思 考与逻辑证明,而定理的证明实质是:用垂直做媒介,将一般三角形化为直角三 角形处理。 本课设计既讲类比联想, 又讲逻辑推理, 让学生知其然, 知其所以然。 4、来源于生活实际,又回到生活中,强调了数学应用意识。


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