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第三章+直线与方程+过关测试卷


第三章过关测试卷 (100 分,45 分钟) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一个是符合题目要求的) 1. 两条直线 mx+y-n=0 和 x+my+1=0 互相平行的条件是( ) A.m=1 B.m=± 1

?m ? 1, C. ? ?n ? ?1

?m ? 1, ?m ?

?1, D. ? 或? ?n ? ?1 ?n ? 1

2. 已知直线 l1 的方程是 y=ax+b,l2 的方程是 y=bx-a(ab≠0,a≠b),则图 1 中 正确的是( )

A

B

C

D

图1 3. 已知直线 mx+4y-2=0 与 2x-5y+n=0 互相垂直,交点为(1,p),则 m-n +p 的值是( ) A.24 B.20 C.0 D.-4 4. 若动点 A(x1, y1), B(x2, y2)分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动, 则 AB 的中点到原点的距离的最小值为 ( ) A.3 2 B.2 3 C.3 3 D.4 2

5. 已知直线 l1:y=2x+3,直线 l2 与 l1 关于直线 y=x 对称,直线 l3⊥ l2,则 l3 的 斜率为( ) A.

1 2

B.-

1 2

C.-2

D.2

6.〈湖北重点中学联考〉已知点 A(-3,-4),B(6,3)到直线 l:ax+y+1=0 的 距离相等,则实数 a 的值为( ) A.

7 9

B.-

1 3

C.-

7 1 或- 9 3

D.

7 1 或 9 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 7.〈海淀期末〉在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点.定义 P(x1,y1)、Q(x2, y2)两点之间的“直角距离”为 d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.若点 A(-1,3),则 d(A, O)=______; 已知点 B(1, 0), 点 M 是直线 kx-y+k+3=0(k>0)上的动点, d(B, M)的最小值为______. 8. 若实数 x,y 满足 x+2y-3=0,则 x2+y2 的最小值是______. 9.〈石家庄质检〉若函数 y=ax+8 与 y=-

1 x+b 的图象关于直线 y=x 对称, 2

则 a+b=______. 10. 直线 (2 ? +1)x+( ? -1)y+1=0( ? ∈ R)恒过定点______. 11. 若点(4,a)到直线 4x-3y=1 的距离不大于 3,则 a 的取值范围是_______. 三、解答题(本大题共 3 小题,12 题 14 分,13、14 题每题 15 分,共 44 分.解 答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 12. △ ABC 的两条高所在直线的方程分别为 2x-3y+1=0 和 x+y=0,且 A(1, 2)是其一个顶点.求 BC 边所在直线的方程.

13. 如图 2 所示,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0) 作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y= 上时,求直线 AB 的方程.

1 x 2

图2

14. 已知正方形的中心为直线 2x-y+2=0 与 x+y+1=0 的交点, 正方形一边所 在的直线方程为 x+3y-5=0,求正方形的其他三边所在的直线方程.

参考答案及点拨 一、1. D 点拨:由 m -1=0 得 m=± 1.当 m=1 时,由-n≠1 知,n≠-1;当 m =-1 时,n≠1,故选 D. 2. A 点拨:直线 l1 的斜率为 a,在 y 轴上的截距为 b;直线 l2 的斜率为 b,在 y
2

?a<0, ?? a>0, ?a<0, 轴上的截距为-a.选项 A 中, 由直线 l1 知 ? 由 l2 知 ? 即? 没有矛 ?b>0, ?b>0, ?b>0,
盾.其他选项都有矛盾.

? m? 2 3. B 点拨:由直线 mx+4y-2=0 与 2x-5y+n=0 互相垂直,知 ? ? ? ? =- ? 4? 5

?10 ? 4 p ? 2 ? 0, ? p ? ?2, ?? 1 ? m=10,∵ 交点为(1,p),∴? ∴ m-n+p=20. ?2 ? 5 p ? n ? 0, ?n ? ?12,
4. A 点拨:AB 的中点在与 l1,l2 平行且到 l1,l2 距离相等的直线上,易知所求 最小值为原点到 l1,l2 距离的平均数. 5. C 点拨: ∵ 直线 l1 与 l2 关于 y=x 对称, ∴ 直线 l2 的方程为 x=2y+3, 即 y=

1 x 2

3 1 1 - ,∴k l2 ? .又 l3⊥ l2,∴k l3 ? ? -2. 2 2 k l2
6. C 点拨:由题意及点到直线的距离公式得

? 3a ? 4 ? 1 a2 ?1

?

6a ? 3 ? 1 a2 ?1

,解得 a

1 7 =- 或- . 3 9

3 ? ?2 ? ?k ? 1? 二、7. 4; ? k ? ?2k ? 3(0<k<1)

点拨:根据题意,得 d(A,O)=|-1-0|+|3-0|=4,

令 M(x,kx+k+3),则 d(B,M)=|x-1|+|kx+k+3|,当 0<k<1 时,点 M(1, 2k+3)在直线 kx-y+k+3=0 上,易知 d(B,M)的最小值为 2k+3,当 k≥1 时, 点 M(-1-

3 3 ,0)在直线 kx-y+k+3=0 上,易知 d(B,M)的最小值为 2+ . k k

8.

9 5

点拨:可用消元法:x=3-2y 代入 x2+y2,化为(3-2y)2+y2 求最值;或用

解析法:将 x2+y2 视为直线 x+2y-3=0 上的点 P(x,y)与原点 O(0,0)间距离的

? ?3 ? ? 平方. 其最小值为原点到直线 x+2y-3=0 的距离的平方, 故(x +y )min= ? ? 5? ? ?
2 2

2

9 = . 5
9. 2 点拨:直线 y=ax+8 关于直线 y=x 对称的直线的方程为 x=ay+8,所以

直线 x=ay+8 与 y=-

?a ? ?2, 1 x+b 为同一直线,故得 ? 所以 a+b=2. 2 b ? 4 , ?
(2x + y) = 0 , 令

10.

? 1 2? ?? , ? ? 3 3?

点 拨 : 整 理 为 x - y + 1 + ?

1 ? x?? , ? x ? y ? 1 ? 0 , ? ? 3 ? 1 2? 解得? ∴ 恒过点 ? ? , ? . ? ? 3 3? ?2 x ? y ? 0, ?y ? 2, ? 3 ?
11.[0,10] 点拨:因为 d=

4 ? 4 ? 3a ? 1 4 2 ? (?3) 2

?

15 ? 3a 5

≤3,所以|3a-15|≤15,所以

-15≤3a-15≤15,所以 0≤3a≤30,所以 0≤a≤10. 三、12. 解:易知 A 不在两条高所在的直线上,不妨设 AB、AC 边上的高所在的 直线方程分别为 2x-3y+1=0 和 x+y=0, 则 AB、 AC 边所在的直线方程分别为 y-2=-

3 (x - 1) , y - 2 = x - 1 , 即 3x + 2y - 7 = 0 , y - x - 1 = 0. 由 2

?3x ? 2 y ? 7 ? 0, ? y ? x ? 1 ? 0, ? B(7,-7),由 ? ? C(-2,-1).所以 BC 边所 ? x ? y ? 0 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ? ?
在直线的方程为

y?7 x?7 ? ,即 2x+3y+7=0. ?1? 7 ? 2 ? 7

13. 解:由题意可得 kOA=tan 45° =1,kOB=tan(180° -30° )=-

3 ,所以直线 3

OA 的方程为 y=x,直线 OB 的方程为 y=-

3 x.设 A(m,m),B(- 3 n,n), 3

? m ? 3n m ? n ? 1 ? ,由点 C 在直线 y= x 上,且 A、 , 所以 AB 的中点 C 的坐标为 ? ? 2 2 2 ? ? ?

? m ? n 1 m ? 3n ? ? , ? ? 2 2 2 P、B 三点共线得 ? 解得 m= 3 ,所以 A( 3 , 3 ).又 P(1, m ? 0 n ? 0 ? ? , ? m ? 1 ? 3n ? 1 ?
0),所以 kAB=kAP=

3 3 ?1

?

3? 3 3? 3 ,所以直线 AB 的方程为 y= (x-1), 2 2

即(3+ 3 )x-2y-3- 3 =0. 14. 解:设与直线 l:x+3y-5=0 平行的边所在的直线 l1 的方程为 x+3y+c=0.

?2 x ? y ? 2 ? 0, 由? 得正方形的中心为 P(-1,0),由点 P 到两直线 l,l1 的距离相 ?x ? y ? 1 ? 0
等,得
?1? 5 12 ? 3 2 ? ?1? c 12 ? 3 2

,解得 c=-5 或 c=7(-5 不合题意,舍去),

∴ l1:x+3y+7=0.又∵ 正方形另两边所在直线与 l 垂直,∴ 设另两边所在直线的方 程分别为 3x - y + a = 0 , 3x - y + b = 0.∵正方形中心到四条边的距离相等, ∴
?3? a 3 2 ? (?1) 2 ? ?1? 5 12 ? 3 2

,解得 a=9 或 a=-3,易知正方形的其他两条边所在

的直线方程分别为 3x-y+9=0, 3x-y-3=0.∴ 正方形的其他三边所在的直线方 程分别为 3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.


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