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北京市朝阳区2014一模文数试卷及参考答案


北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学试卷(文史类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

2014.3

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 .在每小题给出的

四个选项中,选 出符合题目要求的一项 . ( 1)已知集合 A ? x ? N 0 ? x ? 3 , B ? {x 2 ( A) ? 答案与解析:选 C 由题意可知 A ? {1,2} , B ? {x x ? 1} ,所以 A ? B = ?2? ( 2)已知 i 为虚数单位,复数 ( A) ? 1 ? i 答案与解析:选 C ( B) 1 ? i ( B) ? 1?

?

?

x ?1

? 1} ,则 A ? B =
( D) ? 1,2?

( C ) ?2?

2i 的值是 1? i
( C) ? 1 ? i ( D) 1 ? i

2i 2i (1 ? i ) 2i ? 2i 2 2i ? 2 ? ? ? ? ?1 ? i 2 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 1? i 1 ? (?1) ? x ? y ? 3, ? ( 3)若实数 x , y 满足约束条件 ? y ? x ? 1, 则函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? x ? 3 y ? 3, ?
( A) ? 1 答案与解析:选 D 如图,阴影部分为约束条件的区域,由题意 知 y ? 2 x ? z ,使 z 最大的直线为虚线所示,易 知此时 z ? 6 . (B) 0 (C) 3 ( D) 6

注释:两两联立直线方程得到三个交点,然后 验证三个交点最大者并验证不等式可以简便计 算出结果。

高三数学试卷(文史类)

第 1 页 共 10 页

( 4)在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛前训练中,甲、乙两位队员各 跳一次 .设命题 p 是“甲落地站稳” , q 是“乙落地站稳” ,则命题“至少 有一位队员落地没有站稳”可表示为 ( A) p ? q ( B)( C) ??p ? ? ??q ? 答案与解析:选 D “至少有一位队员落地没有站稳”意思是“甲没有站稳或者乙 没有站稳”也就是 ??p ? ? ??q ? . ( 5)执行如右图所示的程序框图,则输出的 S 的值是 ( A) 10 ( B) 17 ( C) 26 ( D) 28 答案与解析:选 B ① S ? 1, i ? 1 ; ② S ? S ? i ? 2 , i ? i ? 2 ? 3; ③ S ? S ?i ? 5,i ? i?2 ? 5; ④ S ? S ? i ? 10 , i ? i ? 2 ? 7 ; ⑤ S ? S ? i ? 17 , i ? i ? 2 ? 9 ? 7 ; 输出 S ? 17 ( 6)函数 f ( x) ? 开始 ( B ) p ? ( ?q ) ( D) ??p ? ? ??q ?

S ? 1, i ? 1
S ? S ?i i ?i?2 i ? 7?

输出S
结束 (第 5 题图)

sin x 的图像大致为 x2 ?1

??
( A)

?

??
( B)

?

?

?
2

?
2

?

?
2

?
2

(C) 答案与解析:选 A

( D)

根据 f (? ) ? 0 可排除 C,D 选项,根据 f ( ) ? 0 可排除 B 选项 .

?

2

高三数学试卷(文史类)

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( 7)已知 AB 和 AC 是平面内两个单位向量,它们的夹角为 60°,则 2 AB ? AC 与 CA 的夹角是 ( A) 30° ( B) 60° ( C) 90° ( D) 120° 答案与解析:选 C 方法 1: ( 2 AB ? AC ) ? CA = ? 2 AB ? AC ? AC ? AC = ? 2 AB AC cos 60? ? AC = ? 2 ? 1? 1? 因此 2 AB ? AC 与 CA 垂直,夹角为 90° . 方法 2:如右图,由题意可知△ ABC 是等边三角形,延长 AB 至 点 D,使得 BD=AB ,那么可知 AD ? 2 AB . 显然 2 AB ? AC = AD ? AC ? CD 与 CA 垂直 . ( 8)如图,梯形 ABCD 中, AD // BC , AD ? AB ? 1 , AD ? AB , ?BCD =45 °, 将△ ABD 沿对角线 BD 折起 . 设折起后点 A 的位置为 A' ,并且平面 A' BD ? 平面 BCD . 给出下面四个命题: ① A' D ? BC ; ②三棱锥 A'? BCD 的体积为 ③ CD ? 平面 A' BD ; ④平面 A' BC ? 平面 A' DC . 其中正确命题的序号是 ( A)①② ( B)③④ ( C)①③ ( D)②④ 答案与解析:选 B. 如图,作 A' H ? BD 于点 H .可知 A' H ? 平面 BCD . 若①成立,根据 A' H ? BC ,可知 BC ? 平面 A' BD ,则 (第 8 题图)
2

1 2 ?1 ? 0 2

2 ; 2

BC ? BD ,矛盾,因此①错误;
根据 A' H ?

2 ,S 2

BCD

1 ? ? 2 ? 2 ? 1 ,可得 2

2 ,因此②错误; 6 因为 A' H ? CD , BD ? CD ,所以 CD ? 平面 A' BD ,③成立;
三棱锥 A'? BCD 的体积为 又因为 CD ? A' B , A' B ? A' D ,所以 A' B ? 平面 A' DC ,因为平面 A' BC 经过直线

A' B ,所以平面 A' BC ? 平面 A' DC ,④成立 .

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第二部分(非选择题
( 9)抛物线 y ? 8 x 的准线方程式 ____.
2

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 .把答案填在答题卡上 . 答案与解析: x ? ?2 由题意: 2 p ? 8 ,所以 p ? 4 ,准线方程 x ? ?

p ? ?2 . 2

( 10)在一次选秀比赛中,五位评委为一位表演者打分,若去掉一个最低分后平均分为 90 分,去掉一个最高分后平均分为 86 分,那么最高分比最低分高 ____ 分 . 答案与解析: 16 设最低分是 x ,最高分是 y ,由题意可知

x ? 4 ? 90 ? y ? 4 ? 86
可得 y ? x ? 16 . ( 11)在 △ ABC 中 , a, b, c 分 别 是 角 A, B, C 的 对 边 . 已 知 b ? 4, c ? 2, ?A ? 60? , 则

a =____ ; ?C =___.
答案与解析: 2 3 , 30° . 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A = 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? cos 60? =12 ,所以 a ? 2 3 ;
2 2 2 2 2

由正弦定理

c a 1 可得 sin C ? ,因为 c ? a , ?C ? ?A ,故 ?C ? 30? . ? sin C sin A 2

( 12)一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 _____;表面积为 ____. 答案与解析:

1 ,3? 2 . 2

该几何体的空间直观图如右图所示: 可知体积为

1 1 ? 1? 1? 1 = 2 2 1 1 ? ? 2 ?1 ? 3 ? 2 2 2
正视方向

表面积为 1 ? 1 ?

( 13)已知直线 y ? x ? m 与曲线 x ? y ? 4 交于不同 的两点 A, B , ....
2 2

若 AB ? 2 3 ,则实数 m 的取值范围是 ____. 答案与解析: ? 2 ? m ?

2

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如右图曲线 x ? y ? 4 以原点 O (0,0) 为圆心,半径为 2.
2 2

设圆心 O 到直线的距离为 d ,由垂径定理中运用勾股定理可得

d 2 ? r2 ? (

AB 2

)2

由 AB ? 2 3 , r ? 2 可得 d ? 1 .由点到直线距离公式可知

d?
所以得到 ? 2 ? m ?

m 2

?1

2.

( 14)将 1,2,3, ? ,9 这 9 个正整数分别写在三张卡片上 , 要求每一张卡片上的任意两数之 差都不在这张卡片上 .现在第一张卡片上已写有 1 和 5,第二张卡片上写有 2, 第三张卡片上 写有 3,则 6 应写在第 ____ 张卡片上;第三张卡片上的所有数组成的集合是 ________. 答案与解析:二, ?3,4,9? 因为 6 ? 5 ? 1,6 ? 3 ? 3 ,根据题意可知 6 只能在第二张卡片。 因为 5 ? 4 ? 1,4 ? 2 ? 2 ,可知 4 只能在第三张卡片; 因为 8 ? 2 ? 6,8 ? 4 ? 4 ,可知 8 只能在第一张卡片; 因为 8 ? 1 ? 7,7 ? 4 ? 3 ,可知 7 只能在第二张卡片; 因为 9 ? 8 ? 1,9 ? 7 ? 2 ,可知 9 只能在第三张卡片。 综上所述,第三张卡片上的所有数的集合是 ?3,4,9? .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分 .解答应写出文字说明,验算步骤或证明过程 . ( 15)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 3 cos 2 x . (Ⅰ)求 f (0) 的值及函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ?0,

? ?? 上的最大值和最小值 . ? 2? ?

解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x = 2(sin 2 x cos 所以 f (0) ? 2 sin( ?

?

? cos 2 x sin ) = 2 sin( 2 x ? ) . 3 3 3

?

?

?
3

)?? 3.

高三数学试卷(文史类)

第 5 页 共 10 页

2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ? 5? 12

?
2

k? ?
所以 f ( x) 的单调递增区间为 ?k? ? (Ⅱ)当 x ? ?0,

?
12

? x ? k? ?

? ?

?
12

, k? ?

5? ? , k ?Z . 12 ? ?

? ? ? 2? ? ? ?? 时, t ? 2 x ? ? ? , ? ,根据如下图像 3 ? ? 2? ? ? 3 3 ?

可知最小值 ymin ? 2 ? sin( ?

?
3

) = ? 3 ,最大值 ymax ? 2 ? sin

?
2

? 2.

( 16)(本小题满分 13 分) 某单位从一所学校招收某类特殊人才 . 对 20 位已经选拔入围的学生进行运动协调 能力和逻辑思维能力的测试,其测试结果如下表: 逻辑思维 运动 协调能力 一般 良好 优秀 2 4 1 2 1 1 能力 一般 良好 优秀

b
3

a

例如,表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是 4 人 . 由于部分数据丢 失, 只知道这 20 位参加测试的学生中随机抽取一位, 抽到逻辑思维能力优秀的学生的概 率为

1 . 5
(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 2 位,求其中至少有一位逻辑思维

能力优秀的学生的概率 .

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解: (Ⅰ)根据题意可知

1?1? a 1 ? ,所以 a ? 2 ;根据总人数为 20 人, 20 5
2 ? 2 ? 1 ? 4 ? b ? 1 ? 1 ? 3 ? a ? 20

可得到 b ? 4 . (Ⅱ)运动协调能力优秀的学生共有 1 ? 3 ? a ? 6 名,其中逻辑思维能力优秀的学 生有 2 名,记这两名学生为 A, B ,其他四名学生分别是 C , D, E , F ,可列树形图:

A

B

C

D

E

F

√√√√√ √√√√√

BC D E F

AC D E F

√√

AB D E F ABC E F
√√

√√

ABC D F

√√

ABC D E

因此符合条件的情况共有 18 种,一共有 30 种情况, P ? ( 17)(本小题满分 14 分)

18 3 ? . 30 5

在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 为菱形, O 为

A1C1 与 B1 D1 交点,已知 AA1 ? AB ? 1 , ?BAD =60 ° .
(Ⅰ)求证: A1C1 ? 平面 B1 BDD1 ; (Ⅱ)求证: AO // 平面 BC1 D ; (Ⅲ)设点 M 在△ BC1 D 内(含边界) ,且 OM ? B1 D1 ,说 明满足条件的点 M 的轨迹,并求 OM 的最小值 . 解: (Ⅰ)根据棱柱的性质,可知上底面 A1 B1C1 D1 是菱形, 所以 A1C1 ? B1 D1 (菱形对角线互相垂直) 。 因为 AA1 ? 底面 ABCD ,所以 AA1 ? 底面 A1 B1C1 D1 , (棱柱上下底面平行) ,故 AA1 ? A1C1 .由于棱柱的侧棱互相平行,所以 BB1 ? A1C1 . 因为 B1 D1 , BB1 是平面 B1 BDD1 上的相交线,故 A1C1 ? 平面 B1 BDD1 ; (Ⅱ)如图,设 AC , BD 交于点 P ,连结 PC1 . 由棱柱性质知 AA1 与 CC1 平行且相等,因此四边形 ACC1 A1 是平行四边形。 因为 OC1 ?

1 1 A1C1 , AP ? AC ,可知 OC1 与 AP 平行且相等,那么四边形 OC1 PA 是平 2 2

行四边形,所以 AO // PC1 ,由 PC1 ? 平面 BC1 D ,得到 AO // 平面 BC1 D ; (Ⅲ)因为 AA1 ? 底面 A1 B1C1 D1 ,所以 AA1 ? A1C1 ,又因为 B1 D1 ? A1C1 , 所以 A1C1 ? 平面 ACC1 A1 , 那么直线 OM 在平面 ACC1 A1 上, 故点 M 的估计是线段 C1 P . 当 OM ? PC1 时, OM 取最小值 .此时 OP ? AA1 ? 1 , OC1 ? AP ?

3 . 2

因为 OP ? OC1 ,由勾股定理 PC1 ?

7 OC1 ? OP 21 , OK ? . ? 2 PC1 7

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( 18)(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ax ? 1 , a ? R ,记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在 x ? e 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 F ( x) 的单调区间; (Ⅲ)当 a ? 0 时,若函数 F ( x) 没有零点,求 a 的取值范围 . 解: (Ⅰ)切点纵坐标为 f (e) ? ln e ? 1 . f ' ( x) ? 由点斜式得直线方程为 y ?

1 1 ,所以切线斜率为 f ' (e) ? . x e

1 x ( x ? e) ? 1 ,即 y ? . e e 1 ?a. x 1 a

(Ⅱ) F ( x) ? ln x ? ax ? 1 , F ' ( x) ?

( 1)当 a ? 0 时, F ' ( x) ? 0 在定义域上恒成立,故此时 F ( x) 在 (0,??) 上单调递增; ( 2)当 a ? 0 时, x ? (0, ) , F ' ( x) ? 0 , x ? ( ,??) , F ' ( x) ? 0 . 因此 F ( x) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ ,??) 上单调递减 . (Ⅲ)当 a ? 0 时,由单调区间可知 F ( x) 在 x ?

1 a

1 a

1 a

1 处取得最大值,由题意知 a

1 F( ) ? 0 a
即 ln

1 1 1 ? a ? ? 1 ? 0 ,解得 a ? 2 . a a e

( 19)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 y ? k ( x ? 1) ( k ≠ 0)与 x 轴交于点 P ,与椭圆 C 交于 A , B 两点,线段

x2 y2 3 (a ?b?0) 经过点 (1, 且一个焦点为 ( 3 ,0) . ? 2 ?1 ), 2 a b 2

AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 Q ,求

AB PQ

的取值范围 .

解: (Ⅰ)根据题意可知 c ?

3 ,故 b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? 3 ,将点 (1, 3 1 ? 24 ? 1 2 a a ?3

3 ) 代入椭圆方程: 2

可解得 a ? 2 ,从而 b ? 1 ,椭圆 C 的方程是

x2 ? y2 ? 1. 4
第 8 页 共 10 页

高三数学试卷(文史类)

(Ⅱ)如右图,设直线交 x 轴于点 K ,易知点 K 的 坐标为 (1,0) . 将 y ? k ( x ? 1) 代入椭圆方程并整理得:

(4k 2 ? 1) x 2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 1) ? 0 8k 2 4(k 2 ? 1) 可得: x A ? xB ? , x A xB ? . 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
根据几何性质可知:

PQ PK

? tan ?QKP ? tan ? ? k

即 PQ ? k PK ? k 1 ? k xK ? xP ? k 1 ? k 1 ? xP
2 2 2 x A ? xB k 1 ? k = k 1? k 1? = 2 4k 2 ? 1 2

AB ? 1 ? k 2 x A ? xB = 1 ? k 2 ? ( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB
= 1? k ? (
2

8k 2 2 4(k 2 ? 1) 4 1 ? k 2 ? 3k 2 ? 1 = ) ? 4 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

所以

AB PQ

?

4 3k 2 ? 1 1 ? 4 3? 2 ( k ? 0) k k AB PQ

由题意可知 k 取值范围为所有非零实数,因此

取值范围为 ( 4 3 ,??) .

注释: x A ? xB ? ( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB ? (? ) 2 ? 4 可以提高计算速度,减少失误率。
( 20)(本小题满分 13 分)

b a

c b 2 ? 4ac ? ,巧用此公式 ? ? 2 a a a

已 知 ?an ? 是 公 差 不 等 于 0 的 等 差 数 列 , ?bn ? 是 等 比 数 列 ( n ? N ) ,且
*

a1 ? b1 ? 0 . (Ⅰ)若 a3 ? b3 ,比较 a2 与 b2 的大小关系;
(Ⅱ)若 a2 ? b2 , a4 ? b4 . (ⅰ)判断 b10 是否为数列 ?an ?中的某一项,并请说明理由;

(ⅱ)若 bm 是数列 ?an ?中的某一项,写出正整数 m 的集合(不必说明理由) .
高三数学试卷(文史类) 第 9 页 共 10 页

解: (Ⅰ)设 ?an ?公差为 d ? 0 , ?bn ?公比为 q ? 0 ,所以 b3 ? b1q ? 0 .
2

a1 ? a3 b1 ? b3 ? ? b1b3 ? b2 2 2 又因为 d ? 0 , a1 ? a3 ,即 b1 ? b3 ,因此不可能取得等号, a2 ? b2 . a2 ?
(Ⅱ)记 a1 ? b1 ? a ? 0 ,那么 a2 ? a ? d , b2 ? aq , a4 ? a ? 3d , b4 ? aq ,根据题意有:
3

a ? d ? aq a ? 3d ? aq 3
将①化为 d ? aq ? a 代入②并整理得到:





aq 3 ? 3aq ? 2a ? 0 b a 2 即 a ( q ? 1) ( q ? 2) ? 0 , 因为 d ? 0 ,a1 ? a2 , 故 q ? 2 ? 2 ? 1, 所以 q ? ?2 ,d ? ?3a . b1 a1
(ⅰ) an ? a ? ( n ? 1) d ? a ? 3a ( n ? 1) ? a ( 4 ? 3n) , n ? N .
*

而 b10 ? aq ? a ( ?2) ? ?512a ,令 an ? b10 ? ?512a ,解得 n ? 172 ,故存在。
9 9

(ⅱ) bm 在数列 ?an ?中的充要条件是 bm ? an 有 n 的正整数解,即

a (?2) m ?1 ? a (4 ? 3n)
得到 n ? 因为

4 ? (?2) m ?1 . 3 4 ? (?2) m ?1 ? 1 ? (3 ? 2) m ?1 ? 0(mod 3)

4 ? (?2) m ?1 4 ? (?2) m ?1 所以 一定是整数,但是只有当 m ? 1 或 m 为偶数时, 才是正数, 3 3
因此正整数 m 的集合为 m ? N m ? 1或m是偶数 .
*

?

?

高三数学试卷(文史类)

第 10 页 共 10 页


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