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高三第一次高考模拟考试卷数学(理科)


上饶市 2015 届第一次高考模拟考试 数学(理科)试题卷
座位号

注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3.

回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.

第Ⅰ卷
一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的一项。
1.下列各命题 ①方程

?2 ? 3 x ? 2 ? y ? 1 ? 0 的 解 集 是 ? , ?1? ② 集 合 x ? Z x 3 ? x 用 列 举 法 表 示 为 ?3 ?,

?

?

??1, 0,1? , ③集合 M ? ? y
A= ? x | 2 ?
x

y ? x 2 ? 1 与集合 P ?

?

?? x, y ? y ? x ? 1? 表示同一集合 , ④集合
2

? ?

1? ? ,B ? ?x | log2 x ? 1? ,则 A ? B ? ? ?1, 2? .其中真命题的个数为 2?

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4
z 等于 z
D.-i

2.设 z 的共轭复数是 z ,且 z ? z =4, z ? z =8,则 A.±1
2 3. 函数 f ( x) ? 2sin (

B.±i

C.1

? x) ?1( x ? R) 是 4 A.最小正周期为 2? 的奇函数 B.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为 2? 的偶函数
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

4. “ ? ? 1 ”是数列“ an ? n 2 ? 2? n(n ? N * ) 为递增数列”的 A.充分不必要条件 C.充要条件

1 5. 函数 f ( x) ? 2|log 2 x| ? x ? 的图像为 x y y
1 1 1
x

y

y

1

1

x O O x x 1 1 1 D. C. B. A. 6. 将 1﹑2﹑3﹑4 四个数字随机填入右边 2 ? 2 的方格中﹐每个方格中恰填一数字﹐但数字可重

O

O

复使用.试问事件“ A 方格的数字大于 B 方格的数字﹑且 C 方格的数字大于 D 方格的数字”的概 率为

9 1 9 25 B. C. D. 256 16 64 64 3 2 7. 设 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) .已知五个方程的相异实根个数如下表所述﹕
A.

f ? x ? ? 20 ? 0

1 3 3

f ? x ? ?10 ? 0

1 1

f ? x ? ?10 ? 0 f ? x? ? 0
A. 0 ? ? ? 10

f ? x ? ? 20 ? 0

? 为关于 f ( x) 的极大值﹐下列选项中正确的是
B. 10 ? ? ? 20 C. ?10 ? ? ? 0 D. ?20 ? ? ? ?10 8. 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 则 b =( A.4 ) B.3 C.2 D. 1

3 cos A a ? ,且 a 2 ? c 2 ? 2b , cos C c

9. 如图,在直角梯形 ABCD 中, DA = AB = 1, BC = 2 ,点 P 在阴影区域(含边界)中运动, 则有 PA BD 的取值范围是 A. ? ? ,1?

? 1 ? ? 2 ?

B. ? ?1, ? 2

? ?

1? ?

C. - 1,1

[

]

D. - 1,0

[

]

10. 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各棱长都等于 2 , D 在 AC1 上, F 为 BB1 中点,且

FD ? AC1 ,有下述结论
(1) AC1 ? BC ; (2)

AD ? 1; DC1

(3) 面 FAC1 ? 面 ACC1 A 1; (4)三棱锥 D ? ACF 的体积为 其中正确的个数为 A.1 B.2
2

3 . 3
D.4

C.3

11. 已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,点 M (?2,2) ,过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交

于 A,B 两点,若 MA ? MB ? 0 ,则 k= 2 1 A. 2 B. C. 2 2
12. 给出下列命题:

D. 2

2 (1) 设随机变量 X ~ N 1,5 ,且 P ? X ? 0? ? P ? X ? a ? 2? ,则实数 a 的值为 4 . (2)已知事件 A、B 是相互独立事件,若 P( A) ? 0.15, P( B) ? 0.60 ,则 P( AB) ? 0.51( A 表示事

?

?

件 A 的对立事件).

(3) (3 x ?

1 x

)18 的二项展开式中,共有 4 个有理项.
32 3 .
D.(1)、(2)、(3)、(4)

(4) 由曲线 y ? 3 ? x 2 和直线 y ? 2 x 所围成的面积为 则其中真命题的序号是 A.(1)、(2) B.(1)、(3)

C.(2)、(3)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考 生都必须作答。第(22)题-第(23)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分,共20分。
13. 阅读下面的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为 .

14. 一个几何体的三视图如图所示,其中主视图、俯视图与左视图均是半径为 2 的圆,则这个几 何体的表面积是 .

15. 己 知 等 差 数 列 {an } 的 首 项 为 a1 , 公 差 为 d , 其 前 n 项 和 为 S n , 若 直 线 y ? a1 x 与 圆

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 的两个交点关于直线 x ? y ? d ? 0 对称,则 Sn ?
? ?

.

16. 已知数列 a1 , a2 , a3 ,..., a8 满足 a1 ? 2013, a8 ? 2014 ,且 an ?1 ? an ? ??1, ,1? , (其中 n=1,2,…7) ,则这样的数列 ?an ? 共有的个数为 .

1 ? 3 ?

三. 解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
n * 17. (本小题 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2an ? 3 ? 2 ? 4 n ? N .

?

?

(1)证明:数列 ?

? an ? 是等差数列; n ? ?2 ?

(2)设 bn ?

4n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an an?1

18. (本小题 12 分)近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害严重.大气污 染可引起心悸,呼吸困难等心肺疾病 .为了解某市心肺疾病是否与性别有关 ,在某医院随机的对入 院 50 人进行了问卷调查,得到了如右列联表: 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到患心肺疾 5 男 病的人的概率为 0.6 10 女 (1) 请 将上 面列联 表补 充完 整 ; 并 判断 是否 有 50 合计 99%的把握认为患心肺疾病与性别有关? (2)已知在患心肺疾病的 10 位女性中,有 3 位又患胃病;现从患心肺疾病的 10 位女性中选出 3 名进 行其他方面的排查,计选出患胃病的女性人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.
P( K 2 ? k )

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

附表:

k

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

其中 n ? a ? b ? c ? d 19. (本小题 12 分)如图,五面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 为矩形, AB ? 6 , AD ? 4 .
顶部线段 EF // 平面 ABCD ,棱 EA ? ED ? FB ? FC ? 6 2 ,

EF ? 2 ,二面角 F ? BC ? A 的余弦值为

17 , 17

(1)在线段 BC 上是否存在一点 N ,使 BC ? 平面 EFN ; (2)求平面 EFB 和平面 CFB 所成锐二面角的余弦值. 20. (本小题12分)设椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,其长轴长 a 2 b2

是短轴长的 2 倍,过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 2 3 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)设过右焦点 F2 且与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 E 于 P, Q 两点,在线段 OF2 ( O 为坐标原 点)上是否存在点 M ( m ,0) ,使得以 MP, MQ 为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 21. (本小题 12 分)设函数 f ( x) ? x ? ax ? ln( ax ? )(a ? R ) .
2

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 处取极值,求函数 f ( x) 的单调区间; 2 (2)若对任意的 a ? (1, 2) ,当 x0 ? [1, 2] 时,都有 f ( x0 ) ? m(1 ? a2 ) ,求实数 m 的取值范围. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答。若多做,则按所做的第一题计分。 22. (本小题满分 10 分)在直角坐标系 xoy 中,l 是过定点 P(4,2)且倾斜角为 ? 的直线;在极坐 标系(以坐标原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线 C 的极坐标 方程为 ? ? 4cos ? . (1)写出直线 l 的参数方程,并将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若曲线 C 与直线 l 相交于不同两点 M、N,求 PM ? PN 的取值范围. 23. (本小题满分 10 分)已知关于 x 的不等式 2x ? a ? x ? 3 ? 2x ? 4 的解集为 A. (1)若 a=1,求 A;(2)若 A=R,求 a 的取值范围.

1

1 2

1 2

上饶市 2015 届第一次高考模拟考试 数学(理科)参考答案
一、选择题:1-5:ABBAD 6-10:CBACC 11-12:DD 2 3 二、填空题:13: 14: 17? 15: 2n ? n 16:252 2 三、解答题:
17.解: (1)证明:

S n ? 2an ? 3 ? 2n ? 4




当 n ? 2 时, S n ?1 ? 2an ?1 ? 3 ? 2n ?1 ? 4

①-②得: an ? 2an ? 2an ?1 ? 3 ? 2n ?1 即 an ? 2an ?1 ? 3 ? 2n ?1 ,等式两边同除 2 得:

n

an an ?1 3 a ? n ?1 ? ,? 数列 { n } 是等差数列. ?????????(6 分) n 2 2 2 2n
S1 ? 2a 1 ?3 ? 21 ? 4 ,? a1 ? 2 ,由(1)

(2)

an a1 3 3n ? 1 3n ? 1 n ? 1 ? (n ? 1) = ?2 ? an ? n 2 2 2 2 2 .

4n 2 2? 1 1 ? ? bn ? ? ? ? ? 3n ? 1 n 3n ? 2 n ?1 (3n ? 1) ? (3n ? 2) 3 ? 3n ? 1 3n ? 2 ? ? ?2 ? ?2 2 2

2?1 1 1 1 ? Tn ? ? ? ? ? ? 3? 2 5 5 8
18. 解:(1) 列联表补充如下 患心肺疾病 男 女 合计 因为 K ?
2

?

1 1 ? 2?1 1 ? 1 2 .?(12 分) ? ?? ? ? ?? ? 3n ? 1 3n ? 2 ? 3 ? 2 3n ? 2 ? 3 9n ? 6
不患心肺疾病 5 15 20 合计 25 25 50

20 10 30

n(ad ? bc)2 =8.333>6.635 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

那么,我们有 99%的把握认为患心肺疾病与性别有关. ?????????(6 分) (2)因为§的可能取值为:0,1,2,3,其分布列如下 § P 0 1 2 3

7 24

21 40

7 40

1 120

9 .?????????(12 分) 10 19. 解: (1)存在,点 N 为线段 BC 的中点. E? ?
证明:? EF // 平面 ABCD ,且 EF ? 平面 EFAB ,

又? 平面 ABCD ? 平面 EFAB ? AB ,

? EF // AB (线面平行的性质定理).
又 M , N 是平行四形 ABCD 两边 AD, BC 的中点,? MN // AB ,? EF // MN ,

? E, F , M , N 四点共面.

? FN ? 平面EFNM ? ? FB ? FC ,? BC ? FN ,又? BC ? MN ,且 ? MN ? 平面EFNM , ? FN MN ? N ?

? BC ? 平面 EFNM . ?????(6 分) (2)在平面 EFNM 内 F 做 MN 的垂线,垂足为 H ,则由第(1)问 可知:? BC ? 平面 EFNM , 则平面 ABCD ? 平面 EFNM ,所以 FH ? 平面 ABCD ,
又因为 FN ? BC, HN ? BC ,则二面角 F ? BC ? A 的的平面角 为 ?FNH 在 Rt ?FNB 和 Rt ?FNH 中, FN ?

FB2 ? BN 2 ? 68 ,

HN ? FN cos ?FNH ? 68 ?

17 ? 2 . FH ? 8 17

过 H 做边 AB, CD 的垂线,垂足为 S , Q ,连接, FN , FS, FQ , 以 H 为坐标原点,以 HS, HN, HF 方向为 x, y , z 轴正方向建立空间直角坐标系,则由解法一知:

F (0,0,8) , S (2,0,0) , N (0,2,0) , B(2,2,0) ,则 SF ? (?2,0,8) , SB ? (0,2,0) ,
设平面 ABEF 的一个法向量为 n1 ? ( x, y,1) ,
?

?

?

?? ? ? ?? 2 x ? 8 ? 0 ?SF? n1 ? 0 则由 ? ? ? ?? ? n1 ? (4,0,1) , ? 2y ? 0 ? ? SB? n1 ? 0
同 理 可 求 得 设 平 面 BCF 的 一 个 法 向 量 为 : n2 ? (0, 4,1) , 于 是 有 :
? ?

?

cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 | ?| n2 |
? ?

?

?

?

1 16 ? 1 ? 16 ? 1

?

1 ,?? n1 , n2 ? 为锐角, 17
? ?

设二面角 B ? EF ? C 的平面角为 ? ,则 cos ? ? cos ? n1 , n2 ??

1 ??????(12 分) 17 .

20. 解:( 1 )由已知 a ?

2b ,

b2 ? 3 ,解得: a ? 2 3,b ? a

6 ,故所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 12 6

?????????(4 分) ,使以 MP, MQ 为邻边的平行四边 6)

(2)假设在线段 OF2 上存在点 M ( m ,0) (0 ? m ? 形是菱形.

直线与 x 轴不垂直,? 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 6)(k ? 0) . P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,

? x2 y 2 ? ?1 ? 由 ? 12 ,可得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4 6k 2 x ? 12k 2 ? 12 ? 0 . 6 ? y ? k ( x ? 6) ?

x1 ? x2 ?

12k 2 ? 12 4 6k 2 x ? x ? , .?????????(6 分) 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? MP ? ( x1 ? m, y1 ), MQ ? ( x2 ? m, y2 ) PQ ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,其中 x2 ? x1 ? 0 ,以 MP, MQ 为邻边的平行四边形是菱形 ?

? MP ? MQ ? ? PQ ? ? MP ? MQ ? ? PQ ? 0 .
? ( x1 ? x2 ? 2m)( x2 ? x1 ) ? ( y1 ? y2 )( y2 ? y1 ) ? 0 .? x1 ? x2 ? 2m ? k ( y1 ? y2 ) ? 0 .
? ? 4 6k 2 ? 4 6k 2 6k 2 6 2 ? 2 m ? k ? 2 6 ? 0 . 化简得 ( k ? 0 ). ? m ? (0, m ? ) ? ? 2 2 2 ? ? 1 ? 2k 1 ? 2 k 2 1 ? 2 k ? ?

在 线 段 OF2 上 存 在 点 M ( m , 0 ) , 使 以 MP, MQ 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 是 菱 形 , 且

m ? (0,

6 ) .??????(12 分) 2
f ?( x) ? 2 x ? a ?
1 a ,又函数 f ( x) 在 x ? 处取极值. 2 ax ? 1

21. 解 :(1)

1 a ? f ?( ) ? 1 ? a ? ? 0 .解得 a ? ?1 或 a ? 2 .?????????(2 分) 1 2 a ?1 2 1 1 2 ① 当 a ? ?1 时 , f ( x) ? x ? x ? ln(? x ? ) , 定 义 域 为 ? x x ? 1? . 令 2 2
f ?( x) ? 2 x ? 1 ? 1 1 ? 0 .得 0 ? x ? .? f ( x) 在 ? ??, 0? x ?1 2

1 ;(0, ) 2

?1 ? ; ? ,1? ?2 ?

.

2 ②当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 x ? ln( x ? ) ,定义域为 ? x x ? ? ? .

1 2

? ?

1? 2?

令 f ?( x) ? 2 x ? 2 ?

1 x? 1 2

? 0 .得 ?

1 1 ? x ? 0或x ? . 2 2

1 ? f ( x) 在 (? ,0) 2

? 1? ; ?0, ? ? 2?

1 ;( , ??) 2

.?????????(6 分)

1 a a ? 1? 2 (2) f ( x ) 的定义域为 ? x x ? ? ? . f ?( x) ? 2 x ? a ? ? 2x ? a ? 1 1 ax ? 1 a? ? ax ? 2 2
2ax( x ? a2 ? 2 ) 2 2 2 2a .当 a ? (1, 2) 时, a ? 2 ? 1 ? (a ? 1) ? 3 ? 0 ,即 a ? 2 ? 1 . ax ? 1 2a 2a 2a

?

所以当 1 ? a ? 2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在[1,2]上单调递增,所以 f ( x ) 在[1,2]上的最小值为

1 1 f (1) ? 1 ? a ? ln( a ? ) . 2 2
依题意,对任意的 a ? (1, 2) ,当 x0 ? [1, 2] 时,都有 f ( x0 ) ? m(1 ? a2 ) .可转化为

1 1 2 2 2 1 1 2 设函数 g (a ) ? 1 ? a ? ln( a ? ) ? m(1 ? a )(1 ? a ? 2) ,则 2 2 1 a[2ma ? (1 ? 2m)] g ?(a) ? ?1 ? ? 2am ? , a ?1 a ?1 a ? 0 ,所以 g ?(a) ? 0 , ①当 m ? 0 时, 2ma ? (1 ? 2m) ? 0 ,且 a ?1
对任意的 a ? (1, 2) , 1 ? a ? ln( a ? ) ? m(1 ? a ) ? 0 恒成立. 所以 g (a ) 在 (1, 2) 上单调递减,且 g (1) ? 0 ,则 g (a) ? 0 与 g (a) ? 0 矛盾. ②当 m ? 0 时, g ?(a) ? 若

1 ? 2m ? 2, ) ? 0 ,g (a ) 在 (1, 2) 上单调递减, ) ? 0 与 g (a) ? 0 则 g ?(a 且 g (1) ? 0 , 则 g (a 2m

2ma 1 ? 2m (a ? ), a ?1 2m

矛盾.

1 ? 2m 1 ? 2m 1 ? 2m ? 2, ) 上单调递减, , 2) 上单调递增, 则 g (a ) 在 (1, 在( 且 g (1) ? 0 , 2m 2m 2m 1 ? 2m ) ,则 g (a) ? g (1) ? 0 , g (a) ? 0 与 g (a) ? 0 矛盾. 若 a ? (1, 2m 1 ? 2m ? 1 ,则 g (a ) 在 (1, 2) 上单调递增,且 g (1) ? 0 ,则恒有 g (a) ? g (1) ? 0 . 若 2m
若1 ?

? m?0 1 1 ? 所以 ?1 ? 2m ,解得 m ? ,所以 m 的取值范围是 [ , ??) .????????(12 分) 4 4 ?1 ? ? 2m
22.解: (Ⅰ)直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? t cos ? , (t 为参数 ) .?????????(2 分) ? y ? 2 ? t sin ?

因为 ? ? 4 cos ? ,所以 ? 2 ? 4? cos? ,所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 x .?(4 分) (Ⅱ)将 ?

? x ? 4 ? t cos ? , 代入 C : x2 ? y 2 ? 4 x 中,得 t 2 ? 4(sin ? ? cos ? )t ? 4 ? 0 ,则 ? y ? 2 ? t sin ?

?? ? 16(sin ? ? cos ? ) 2 ? 16 ? 0, ? 有 ? t1 ? t2 ? ?4(sin ? ? cos ? ), ?????????????????????(6 分) ? t t ? 4, ? 12
所以 sin ? cos ? ? 0 .又 ? ? [0, π) ,所以 ? ? ? 0,

? ?

π? ?, 2?

π? ? | PM | ? | PN |?| t1 | ? | t2 |? ?(t1 ? t2 ) ? 4(sin ? ? cos ? ) ? 4 2 sin ? ? ? ? ,???(8 分) 4? ?
由? ?

π ? π 3π ? 2 π? ? ?? , ?得 ? sin ? ? ? ? ? 1 ,所以 | PM | ? | PN |? (4, 4 2] .??(10 分) 4 ?4 4 ? 2 4? ?
1 时,原不等式化为 4 ? x ? 2 x ? 4 ,得 ?3 ? x ? 0 ; 2

23.解: (Ⅰ)当 x ? ?3 时,原不等式化为 ?3x ? 2 ? 2 x ? 4 , 得 x ? ?3 ; 当 ?3 ? x ? 当x?

1 时,原不等式化为 3x ? 2 ? 2 x ? 4 ,得 x ? 2 , 2

综上, A ? {x | x ? 0 或 x ? 2} .????????????????????????(5 分) (Ⅱ)当 2 x ? 4 ? 0, 即 x ? ?2 时, | 2 x ? a | ? | x ? 3 |? 0 ? 2 x ? 4 成立,

> 0, 即 x ? ?2 时 , | 2 x ? a | ? | x ? 3|?| 2 x ? a | ? x ? 3 ? 2 x ? 4 , 得 x ? a ? 1 或 当 2 x ? 4.
x? a ?1 , 3
所以 a ? 1 ? ?2 或 a ? 1 ?

a ?1 ,得 a ? ? 2 . 3

综上, a 的取值范围为 ? ??, ?2? .????????(10 分)


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