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2011年北京市丰台区高三一模数学(理)试题Word版带答案


丰台区 2011 年高三年级第二学期统一练习(一) 数 学(理科)

2011.3 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 U ? R , A ? {x x2 ? 5x ? 6 ? 0} ,那么 ? U A ? (A) {x x ? 2 或 x ? 3} (C) {x x ? 2

或 x ? 3} 2. ( x ? (B) {x 2 ? x ? 3} (D) {x 2 ? x ? 3}

2 6 ) 的展开式中常数项是 x
(B) -20 (C) 20 (D) 160

(A) -160

3.已知平面向量 a , b 的夹角为 60° , a ? ( 3,1) , | b |? 1 ,则 | a ? 2b |? (A) 2 (B) 7 (C) 2 3 (D) 2 7

4.设等差数列 ?an ? 的公差 d ≠0, a1 ? 4d .若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k ? (C) 3 (D) 1 (A) 3 或-1 (B) 3 或 1 5.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面.有下列四个命题: ① 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; ② 若 ? // ? , m ? ? ,则 m // ? ; ③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ④ 若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中正确命题的序号是 (A) ①③ (B) ①② 6.已知函数 f ( x) ? ?

(C)③④

(D) ②③

? x3 ,

x ? 0,

?ln( x ? 1), x>0.

若 f(2-x2)>f(x),则实数 x 的取值范围是 (C) (?1, 2) (D) (?2,1)

(A) (??, ?1) ? (2, ??)

(B) (??, ?2) ? (1, ??)

7.从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M ( x, y ) ,则点 M 取自阴影部分的概率为

1 (A) 2 1 (C) 4

1 (B) 3 1 (D) 6
丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 1 页 共 10 页

y C O B

y ? x2

y? x

(1,1) x

A

8. 对于定义域和值域均为[0, 1]的函数 f(x), 定义 f1 ( x) ? f ( x) ,f2 ( x) ? f ( f1 ( x)) , ?,f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ,

1 ? 2 x, 0? x? , ? ? 2 n=1, 2, 3, ?. 满足 f n ( x) ? x 的点 x∈[0, 1]称为 f 的 n 阶周期点. 设 f ( x) ? ? 则 ?2 ? 2 x, 1 ? x ? 1, ? ? 2
f 的 n 阶周期点的个数是 (A) 2n (B) 2(2n-1) (C) 2n (D) 2n2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A, 点 A 的纵坐标为

y A

4 ,则 cosα= . 5

?
O A x

10.双曲线的焦点在 x 轴上,实轴长为 4,离心率为 3,则该双曲线的标准方 程为 ,渐近线方程为 . 11.已知圆 M:x2+y2-2x-4y+1=0,则圆心 M 到直线 ? 的距离为 . 12.如图所示,过⊙O 外一点 A 作一条直线与⊙O 交于 C,D 两点,AB 切⊙O 于 B,弦 MN 过 CD 的中点 P.已知 AC=4,AB=6,则 MP·NP= . 13.对某种花卉的开放花期追踪调查,调查情况如下: 花期(天) 个数 则这种卉的平均花期为___天. 14.将全体正奇数排成一个三角形数阵: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ?? 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为 11~13 20 14~16 40 17~19 30 20~22 10

? x ? 4t ? 3, (t 为参数) ? y ? 3t ? 1,
D N

A M C B P O B



丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 2 页 共 10 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ?

x x x 3 3 sin cos ? cos 2 ,当 f ( B ) 取最大值 时,判断△ ABC 的形状. 2 2 2 2

16.(本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD//BC, ∠ADC=90° , 平面 PAD⊥底面 ABCD, Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2,BC=

1 AD=1,CD= 3 . 2
P

(Ⅰ)若点 M 是棱 PC 的中点,求证:PA // 平面 BMQ; (Ⅱ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅲ)若二面角 M-BQ-C 为 30° ,设 PM=tMC,试确定 t 的值 .

M D Q

C B

A

17.(本小题共 13 分) 某商场在店庆日进行抽奖促销活动,当日在该店消费的顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大小完全相同的 4 个小球,分别标有字“生” “意” “兴” “隆”.顾客从中任意取出 1 个球,记下上面的字后放回箱中, 再从中任取 1 个球,重复以上操作,最多取 4 次,并规定若取出“隆”字球,则停止取球.获奖规则 如 下 : 依 次 取 到 标 有 “ 生 ”“ 意 ”“ 兴 ”“ 隆 ” 字 的 球 为 一 等 奖 ; 不 分 顺 序 取 到 标 有 “生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的 4 个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的 球为三等奖. (Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率; (Ⅱ)设摸球次数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 3 页 共 10 页

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? x ? b(a ? 0) , f '( x) 为函数 f ( x) 的导函数. 3 2

(Ⅰ)设函数 f(x)的图象与 x 轴交点为 A,曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是 y ? 3x ? 3 ,求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? e? ax ? f '( x) ,求函数 g ( x) 的单调区间.

19.(本小题共 14 分) 已知点 A(?1, 0) , B(1, 0) ,动点 P 满足 | PA | ? | PB |? 2 3 ,记动点 P 的轨迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)直线 y ? kx ? 1 与曲线 W 交于不同的两点 C,D,若存在点 M (m, 0) ,使得 CM ? DM 成立, 求实数 m 的取值范围.

20.(本小题共 13 分) 已知 Sn ? {A A ? (a1, a2 , a3 ,?, an ) , ai ? 0 或 1, i ? 1, 2,?, n} (n ? 2) ,对于 U ,V ? Sn , d (U ,V ) 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数. (Ⅰ)令 U ? (0, 0, 0, 0, 0) ,存在 m 个 V ? S5 ,使得 d (U ,V ) ? 2 ,写出 m 的值; (Ⅱ)令 W ? (0, 0, 0,? , 0) ,若 U ,V ? Sn ,求证: d (U ,W ) ? d (V ,W ) ? d (U ,V ) ;

?? ?? ?
n个 0

(Ⅲ)令 U ? (a1, a2 , a3 , ?, an ) ,若 V ? Sn ,求所有 d (U ,V ) 之和.

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 4 页 共 10 页

丰台区 2011 年高三年级第二学期数学统一练习(一) 数
题号 答案 1 B 2 A 3 C

学(理科)参考答案
4 C 5 D 6 D 7 B 8 C

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?

3 5

10.

x2 y 2 ? ? 1 , y ? ?2 2x 4 32

11.2 14.n2-n+5

12.

25 4

13.16 天(15.9 天给满分)

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ?

x x x 3 3 sin cos ? cos 2 ,当 f ( B ) 取最大值 时,判断△ ABC 的形状. 2 2 2 2 1 . 2
????????5 分

解: (Ⅰ)在△ ABC 中,因为 b2+c2-a2=bc, 由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得 cosA= ∵ 0<A<π , (Ⅱ) f ( x) ? ∵A? ∴A?

? . 3

x x x ? 1 3 1 1 3 sin cos ? cos 2 ? sin x ? cos x ? ? sin( x ? ) ? , 2 2 2 6 2 2 2 2
∴ B ? (0,

2? ? ? 5? ) ∴ ? B? ? 3 6 6 6 ? ? ? 3 ∴当 B ? ? ,即 B ? 时, f ( B ) 有最大值是 . 6 2 2 3 ? ? 又∵ A ? , ∴C ? 3 3
∴△ ABC 为等边三角形. ????????13 分

? 3

16.(本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD//BC, ∠ADC=90° , 平面 PAD⊥底面 ABCD, Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2,BC=

1 AD=1,CD= 3 . 2

(Ⅰ)若点 M 是棱 PC 的中点,求证:PA // 平面 BMQ; (Ⅱ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅲ)若二面角 M-BQ-C 为 30° ,设 PM=tMC,试确定 t 的值 .
丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 5 页 共 10 页

证明: (Ⅰ)连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN. ∵BC∥AD 且 BC=

1 AD, 2

P

∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点, 又∵点 M 在是棱 PC 的中点,∴ MN // PA ∵ MN ? 平面 MQB,PA ? 平面 MQB, ∴ PA // 平面 MBQ. (Ⅱ)∵AD // BC,BC=

M D Q

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

C B

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. A 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. 另证:AD // BC,BC=

????????9 分

1 AD,Q 为 AD 的中点, ∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . 2

∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° . ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩BQ=Q, ∴AD⊥平面 PBQ. ∵ AD ? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD.??9 分 (Ⅲ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. z ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, P ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. ? M 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ; Q(0,0,0) , P(0,0, 3) , D

B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .

Q

C N B y

???? ? 设 M ( x, y, z ) , 则P M ? xyz (, ,
???? ? ???? ? ∵ PM ? tMC ,

? 3 )

???? ? , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ?z) ,A
x

? x ? t (?1 ? x) ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ? ? z ? 3 ? t (? z)

t ? x ? ? ? 1? t ? 3t ? ∴ ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? ? 1? t
???? ? t 3t 3 , , ), 1? t 1? t 1? t

????????12 分

在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? (? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) . ∵二面角 M-BQ-C 为 30° , ∴ t ? 3.

??? ?

??

? ?? n?m t 3 cos 30 ? ? ?? ? ? , 2 2 n m 3? 0?t
?

????????14 分
丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 6 页 共 10 页

17.(本小题共 13 分) 某商场在店庆日进行抽奖促销活动,当日在该店消费的顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大小完全相同的 4 个小球,分别标有字“生” “意” “兴” “隆”.顾客从中任意取出 1 个球,记下上面的字后放回箱中, 再从中任取 1 个球,重复以上操作,最多取 4 次,并规定若取出“隆”字球,则停止取球.获奖规则 如 下 : 依 次 取 到 标 有 “ 生 ”“ 意 ”“ 兴 ”“ 隆 ” 字 的 球 为 一 等 奖 ; 不 分 顺 序 取 到 标 有 “生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的 4 个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的 球为三等奖. (Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率; (Ⅱ)设摸球次数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 解: (Ⅰ)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件 A,B,C. 则 P(A)=

1 1 1 1 1 ? ? ? ? , 4 4 4 4 256 1 1 1 1 5 3 P(B) ? ? ? ? ? ( A3 ? 1) ? , 4 4 4 4 256
三等奖的情况有:“生,生,意,兴”;“生,意,意,兴”;“生,意,兴,兴”三种情况. P(C) ? ( ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 2 2 2 ? ? ? A4 ) ? ( ? ? ? ? A4 ) ? ( ? ? ? ? A4 )? . ????7 分 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 64

(Ⅱ)设摸球的次数为 ? ,则 ? ? 1, 2,3 .

3 1 3 1 P(? ? 2) ? ? ? , P(? ? 1) ? , 4 4 16 4 3 3 1 9 27 , P(? ? 4) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? . P(? ? 3) ? ? ? ? 4 4 4 64 64
故取球次数 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

4

1 4

3 16

9 64

27 64
????????13 分

1 3 9 27 E? ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 2.75 . (约为 2.7) 4 16 64 64
18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? x ? b(a ? 0) , f '( x) 为函数 f ( x) 的导函数. 3 2

(Ⅰ)设函数 f(x)的图象与 x 轴交点为 A,曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是 y ? 3x ? 3 ,求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? e 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ?
? ax

? f '( x) ,求函数 g ( x) 的单调区间.

1 3 1 2 x ? ax ? x ? b(a ? 0) ,∴ f '( x) ? x2 ? ax ? 1 . 3 2
∴?

∵ f ( x ) 在 (1, 0) 处切线方程为 y ? 3x ? 3 ,

? f '(1) ? 3 , f (1) ? 0 ?

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 7 页 共 10 页

∴ a ? 1,b ? ? (Ⅱ) g ( x) ?

11 . 6

????????5 分

f '( x) x 2 ? ax ? 1 ? ( x ? R) . e ax e ax

g '( x) ?

(2 x ? a)eax ? a( x 2 ? ax ? 1)eax ? ? x[ax ? (a2 ? 2)]e?ax . (eax )2

????????7 分

①当 a ? 0 时, g '( x) ? 2 x ,

x
g '( x ) g ( x)

(??, 0)
-

0 0 极小值

(0, ??)
+

?

?

g ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) .
②当 a ? 0 时,令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? (ⅰ)当

2 ?a a

2 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 2 时, a

x
g '( x ) g ( x)

(??, 0)
-

0

(0,

2 ? a2 ) a
+

2 ? a2 a
0 极大值

(

2 ? a2 , ??) a
-

0 极小值

?

?

?

g ( x) 的单调递增区间为 (0,
(ⅱ)当

2 ? a2 2 ? a2 ) ,单调递减区间为 (??, 0) , ( , ??) ; a a

2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, g '( x) ? ? ?2 x 2e?2 x ? 0 , a

故 g ( x) 在 (??, ??) 单调递减; (ⅲ)当

x
g '( x )

2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, a 2 2 (??, ? a) ?a a a
0 极小值

2 ( ? a, 0) a
+

0 0 极大值

(0, ??)
-

g ( x)

?

?

?

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 8 页 共 10 页

2 ? a2 2 ? a2 ) 上单调递 g ( x) 在 ( , 0) 上单调递增,在 (0, ??) , (??, a a

????????13 分

综上所述,当 a ? 0 时, g ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) ; 当 0 ? a ? 2 时, g ( x) 的单调递增区间为 (0, 当a ?

2 ? a2 ) ,单调递减区间为 (??, 0) , a

2 时, g ( x) 的单调递减区间为 (??, ??) ;

2 ? a2 2 ? a2 ). 当 a ? 2 时, g ( x) 的单调递增区间为 ( , 0) ,单调递减区间为 (0, ??) , (??, a a
19.(本小题共 14 分) 已知点 A(?1, 0) , B(1, 0) ,动点 P 满足 | PA | ? | PB |? 2 3 ,记动点 P 的轨迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)直线 y ? kx ? 1 与曲线 W 交于不同的两点 C,D,若存在点 M (m, 0) ,使得 CM ? DM 成立, 求实数 m 的取值范围. 解: (Ⅰ)由椭圆的定义可知,动点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点,长轴长为 2 3 的椭圆. ∴ c ? 1 , a ? 3 , b2 ? 2 . ∴W 的方程是

x2 y 2 ? ? 1. 3 2

????????4 分

(Ⅱ)设 C,D 两点坐标分别为 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y2 ) ,C,D 中点为 N ( x0 , y0 ) . 当 k ? 0 时,显然 m ? 0 ; 当 k ? 0 时,

? y ? kx ? 1 ? 由 ? x2 y 2 ?1 ? ? 2 ?3
所以 x1 ? x2 ? ?

得 (3k ? 2) x ? 6kx ? 3 ? 0 .
2 2

6k , 3k 2 ? 2

∴ x0 ?
2

x1 ? x2 3k ?? 2 , 2 3k ? 2

从而 y0 ? kx0 ? 1 ?

2 . 3k ? 2
2

∴ MN 斜率 kMN

2 y0 . 又∵ CM ? DM , ∴ CD ? MN , ? ? 3k ? 2 x0 ? m ? 3k ? m 3k 2 ? 2
即 m??

2 1 3k ? 2 ∴ ?? 3k k ? 2 ?m 3k ? 2
2

6 6 k 1 ? [? , 0) ? (0, ]. ?? 2 12 12 3k ? 2 3k ? k
2

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 9 页 共 10 页

故所求 m 的取范围是 [?

6 6 , ]. 12 12

????????14 分

20.(本小题共 13 分) 已知 Sn ? {A A ? (a1, a2 , a3 ,?, an ) , ai ? 0 或 1, i ? 1, 2,? n} (n ? 2) ,对于 U ,V ? Sn , d (U ,V ) 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数. (Ⅰ)令 U ? (0, 0, 0, 0, 0) ,存在 m 个 V ? S5 ,使得 d (U ,V ) ? 2 ,写出 m 的值; (Ⅱ)令 W ? (0, 0, 0,? , 0) ,若 U ,V ? Sn ,求证: d (U ,W ) ? d (V ,W ) ? d (U ,V ) ;

?? ?? ?
n个 0

(Ⅲ)令 U ? (a1, a2 , a3 , ?, an ) ,若 V ? Sn ,求所有 d (U ,V ) 之和.
2 解: (Ⅰ) C5 ? 10 ;

????????3 分

(Ⅱ)证明:记 U , V 中对应项同时为 0 的项的个数为 p ,对应项同时为 1 的项的个数为 q ,则对应 项一个为 1,一个为 0 的项的个数为 n ? p ? q ; ( p、q ? N,p ? q ? n) , d (U ,V ) 是 U , V 中 对应项一个为 1,一个为 0 的项的个数,则 d (U ,V ) ? n ? p ? q .

d (U ,W ) 即是 U 中 1 的个数,d (V ,W ) 即是 V 中 1 的个数,U ,V 中 1 一共有 2q ? (n ? p ? q)
个,即 d (U , W ) ?d (V ,W ) ? n ? p ? q . 所以有 d (U , W ) ?d (V ,W ) ?d (U ,V ) ? 2q ? 0 , 于是 d (U ,W ) ? d (V ,W ) ? d (U ,V ) .
n

????????8 分

(Ⅲ)解:易知 Sn 中共有 2 个元素,分别记为 Vk (k ? 1, 2,?, 2n ) , Vk ? (b1 , b2 , b3……bn ) . ∵ bi ? 0 的 Vk 共有 2 ∴
n ?1

个, bi ? 1 的 Vk 共有 2

n ?1

个.

? d (U ,V )
k ?1 k

2n

= (2

n?1

| a1 ? 0 | ?2n?1 | a1 ?1| ?2n?1 | a2 ? 0 | ?2n?1 | a2 ?1 |+?+2n?1|an ? 0 | +2n?1|an ?1|)
????????13 分
n ?1

2 = n?
2n

n ?1



? d (U ,V ) = n?2
k ?1 k



(若用其他方法解题,请酌情给分)
丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 10 页 共 10 页


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