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数学研究性学习报告(二次函数)


班级:高二(6)班 课题组长:余杭银 课题成员:王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、 徐李忺、朱佳威、顾棋锋 指导老师:王少波

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研究性学习课题开题报告
201 4 年 5 月 30 日 班 级 高二(6)班 数学 二次函数图象特点的应用 王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、徐李忺、朱佳威、顾棋锋 余杭银 指导教师 王少波 研究课

程 课题名称 小组成员 组 长

选择本课题 的主要原因

随着新课程标准如火如荼的实施,其核心理念“为了我们每一个学生 的发展”越来越受到人们的关注与重视。 课程改革已成为转变学习方式的 一场革命,学习已成为人的主体性、能动性、独立性、创造性不断生成、 张扬、发展和提升的过程。在这一背景下,我们成立了“二次函数图像的 特点和应用”的课题研究小组。

开展本课题研 究的目的与意 义

(1)顺应当前教育发展的需要。在如今交流工具网络化和全球经济一体 化的推动下,知识更新的速度越来越快,教育面临着前所未有的挑战。按 照素质教育要求,教师的职责不仅仅是传道授业解惑了,单单让我们学生 从书本上获取知识是很难面向未来的。人要在一生中不断学习,才能适应 社会的快速发展,所以学校教育不但要教给我们学生各方面的知识,更重 要的是,激发我们学生自主探究的积极性,培养我们学习的能力,为今后 持续不断的发展打下坚定的基础。我们学生一旦学会了学习的方法与能 力,知识的获取将是无限的。 (2)促进我们学生发展的需要。教育的核心应着眼于我们学生的全面 发展,应立足于我们学生本位教育。教学改革的真实意义:“即是使每个 人发展自己的才能和创造潜力。 ”因此, 坚持以我们学生为本的改革方向, 坚持教育培养的应该是有主体性的人,只有这样的人才能主动、积极地参 与社会活动,并为社会进步作出贡献。教育过程中通过启发、引导受教育 者内存的教育需求,创设和谐、宽松、民主的教育环境,有目的、有计划 地组织、规范各种教育活动,从而把我们培养成为自主地、能动地、创造 性地进行认识和实践活动的社会主体。 这就必须让我们从小在“探究”的 教育活动中锻炼自己, 养成良好的学习品质, 获得终身发展的知识和能力。 (3)具体到专题上,二次函数在数学上占有重要地位,在初中和高中 都有涉及到,且初中还作为重点学习,而且在生活二次函数应用广泛,如 杂技表演,在物理上也相当重要,如速度等,组织我们学生个人研究,小 组讨论,探讨,进而形成结论有利于我们学生形成正确的知识体系,体会 研究的快乐,激发我们学生的的兴趣。

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1)任务分工: 任 开题报告的提出 资料的查阅 资料的整理 活 动 计 划 结题报告 报告整理 2)研究方法: 查阅文献、上网搜索、访问调查等 3)活动步骤: ①选题;②写开题报告;③调查&收集资料;④写结题报告;⑤整理报告 4)活动所需条件: 图书资料:数学课本、文献资料等 实验室(设备) :计算机等 其他:计算机上网、调查 5)计划访问专家: 校内 1 位:王少波 校外 0 位 务 负 余杭银、徐李忺 王钰莹、叶尧栋 王金玉、朱佳威 王钰桦、顾棋锋 余杭银 责 人

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1.二次函数的基本定义
一般地,把形如 y=ax^2+bx+c(其中 a,b,c 是常数,a≠0,bc 可以为 0)的函数叫 做二次函数(quadratic function ) ,其中 a 称为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项。 x 为自变量,y 为因变量。等号右边自变量的最高次数是 2。二次函数图像是轴对称图形。 对称轴为直线 x=-b/2a。 顶点坐标[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]交点式为 y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与 x 轴有交点 A(x1,0)和 B( x2,0)的抛物线] 注意: “变量”不同于“自变量” ,不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多 项式函数” 。 “未知数”只是一个数(具体值未知,但是只取一个值) , “变量”可在实数范围 内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数,但不论 是未知数还是未知函数,一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况) ,但是函数中的 字母表示的是变量,意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别. 如同函数不等 于函数的关系。

2. 二次函数图象的特点及应用
二次函数在数学上占有重要地位,在初中和高中都有涉及到,且初中还作为重点学习。 在生活中,二次函数应用广泛,如杂技表演,在物理上业相当重要,如加速度。此次,我们 参加二次函数的研究课题, 有利于我们对二次函数的进一步认识, 有利于我们解释生活现象, 有利于我们的自主探究能力。

二次函数图象的特点
一般地,自变量 X 和因变量 Y 之间存在如下关系: y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数。且 a≠0) 则称 Y 为 X 的二次函数。 ①二次函数的三中表达形式: (1)一般式: y=ax2+bx+c ( 其中 a,b,c 为常数,且 a≠0) ; (2) 顶点式[抛物线的顶点 P(h,k) ]: y=a(x-h)2+k(其中 a,h.k 为常数,且 a≠0) ; (3)交点式: y=a(x-x1)(x-x2)(其中 a≠0 且 A( x1,0)和 B(x2,0) 为二次函数图像与 x 轴的交点坐标。 ) ②三中表达形式的关系 以上 3 种形式可进行如下进行转化: (1)一般式和顶点式的关系 对 于 二 次 函 数 y=ax^2+bx+c , 其 顶 点 坐 标 为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a) , 即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a (2)一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式) ] 抛物线的性质 1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的 顶点 P。 特别地,当 b=0 时,抛物线的对称轴是 y 轴(即直线 x=0) 2. 抛物线有一个顶点 P,坐标为 P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a ) 当-b/2a=0 时,P 在 y 轴上;当Δ = b^2-4ac=0 时,P 在 x 轴上。 3. 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。 当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口。 |a|越大,则抛物线的开口越 小。 4. 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。 当 a 与 b 同号时(即 ab>0) ,对
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称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab<0) ,对称轴在 y 轴右。 5. 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。 抛物线与 y 轴交于(0,c ) 6. 抛物线与 x 轴交点个数 Δ = b^2-4ac >0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点。 Δ = b^2-4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交 点。 Δ = b^2-4ac <0 时,抛物线与 x 轴没有交点。X 的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的 值的相反数,乘上虚数 i,整个式子除以 2a) 当 a>0 时,函数在 x= -b/2a 处取得最小值 f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在 {x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变 当 b=0 时,抛物线的对称轴是 y 轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为 y=ax^2+c(a≠0) 7. 定义域:R 值域: (对应解析式,且只讨论 a 大于 0 的情况,a 小于 0 的情况请读者自行 推断)①[(4ac-b^2)/4a,正无穷) ;②[t,正无穷) 8. 奇偶性:偶函数 9. 周期性:无 二次函数图像的应用 二次函数可谓应用广泛。在具有代表性的信息时代技术领域,计算机鼠标的每一举动,都 会变为一系列的二次函数命令,于是荧幕上的箭头,才得摆动。信息的传递,传递和存储也 少不了二次函数。在日常生活中。许多常见事物中都有二次函数的身影。如桥梁建设,篮球 出手时的抛物线等。 典型题目如: (一) 、图像与性质问题:已知函数 f(x)=x2-6x+8 并且函数的最小值是 f(a) ,则实数 a 的取值范围是?解得 a 的取值范围是(1,3]. 利用图象可以直观的解决和图象有关的问题。 (二) 、最值问题:已知函数分 f(x)=x2+3x-5,x∈[t,t+1],若 f(x)的最小值为 h(t) , 写出 h(t)的表达式。 解的函数的表达式为 h(t)=t2+5t-1?? 运用函数与方程的思想方法。 (三) 、实根问题:设二次 函数 f(x)=x2+ax+a,方程 f(x)-x=0 的两根 x1 和 x2,满足 0<x1<x2<1,求 a 的取值 范围。解得 0<a<3-2√(2). 用数型结合的思想来做的。 (四) 、综合应用问题:已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和 一次函数 g(x)=-bx,其中 a,b,c 满足 a>b>c ,a+b+c=o(a,b,c ∈R 且 a≠0) ,求线 段 AB 在 x 轴上的影射 A1B1 之长的取值范围。解得 A1B1 的取值范围是(√3,2√3). 二次函数和一次函数的共同问题。 生活实际运用如: (一) 、某果园有 100 棵橙子树,每一棵平均结 600 个橙子。现在准备多种一些橙子树以提 高质量,但若多种树,那么树之间的距离和每一棵树所受的阳光就会减少。据经验分析,每 多种一棵树,平均每棵树就会少结 5 个橙子。假设果园增种 x 棵橙子树,果园橙子总产量为 y 个。 (1)请写出 y 与 x 之间的关系式; (2)增种多少棵橙子树,可使果园的橘子总产量最高?最大值为多少? 解: (1)由题意得:y=(600-5x) (100+x)=-5x2+100x+6000。 (2)由 y=-5x2+100x+6000 得 当 x=-b/2a=10 时, Ymax=(4ac-b2)/2a=60500 所以增种 10 棵橙子树时,橙子的总产量最高,为 50600 个。
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(二) 、利用二次函数解决图形面积极值的问题。 已知矩形的周长为 6,设矩形的一边长为 x,它的面积为 y,写出它们的关系式,并求 出当 x 为何值时,矩形的面积最大,并求出最大值。 解:关系式为 y=-x2+3x(0<x<3) Y=-(x-3/2)2+9/4,又因为 0<x<3 所以当 x=3/2 时,矩形的面积最大,为 9/4。 (三、拱桥问题。 有一座抛物线型拱桥,在正常水位时,水面 AB 宽为 20 米,如果水位上升 3 米时,水 面 CD 宽为 10 米, 求抛物线的的关系式;现有一辆卡车需通过,汽车以每小时 40 千米 的速度从距此桥 280 千米的地方开来,忽然接到通知,前方连降暴雨,造成水位以每小时 0.25 米的速度上涨,卡车按原来的速度行驶,是否能安全通过此桥,请说明理由;如不能, 卡车的速度应达到多少? 解:由题意可知,抛物线的关系式为 y=-(1/25)x2 ; 若要安全通过 i,速度应超过 60 千米/时。 ?? 二次函数在生活上具有非常广泛的应用,地位很高,所以我们要认真学习该部分知识。 计算可知卡车不能安全通过,

3. 二次函数图象在古代建筑中的应用
赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥,是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。赵 州桥是入选世界纪录协会世界最早的敞肩石拱桥, 创造了世界之最。 河北民间将赵州桥与沧 州铁狮子、 定州开元寺塔、 正定隆兴寺菩萨像并称为“华北四宝”。 桥长50.82米, 跨径37.02 米,券高7.23米,两端宽9.6米,桥的设计完全合乎科学原理,施工技术更是巧妙绝伦。唐朝 的张嘉贞说它“制造奇特,人不知其所以为”。 根据相关数据,计算得出,赵州桥满足了 y=(-28/1369)x2+(28/37)x,这就是二次 函数图像的实际应用。

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研究性学习课题结题报告(成果报告)
课题名称 二次函数图象特点的应用

完成时间

2014 年 5 月 30 日 通过以上的研究和探讨,我们解决了有关二次函数的性 质和应用问题,我们发现二次函数的图象在解决各种问题中 具有不可替代的作用。从而学会熟练应用二次函数图象解决



小 组 自 评

问题是我们必须掌握的能力。 开展研究性学习是我们学生学习的一种重要方式,也是 教师引导我们学生拓展知识视野,加深知识理解的极好教学 方式,采取研究性学习这种有效的教学活动,能够拓展我们 的知识视野,培养我们应用数学的能力,提高我们应用数学 的意识。




教 师



评 价

记录员

余杭银、王钰莹、王金玉、王钰桦

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