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数学高二(上)沪教版(求数列的前n项和的方法总结)教师版


年 课

级: 高二 题

辅导科目: 数学

课时数:3

求数列的前 n 项和的方法总结
掌握几种常用的求数列的前 n 项和的方法

教学目的

教学内容

【知识梳理】
数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基

础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和 是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几 个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

【典型例题分析】
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
3、 S n ?

1 k ? n(n ? 1) ? 2 k ?1

n

4、 S n ?

?k
k ?1

n

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

5、 S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2 ?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3 ?1 1 ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2

例 1、已知 log3 x ?

解析:由 log3 x ?

由等比数列求和公式得

Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n
1 1 (1 ? n ) x (1 ? x n ) 2 2 =1- 1 = = 1 2n 1? x 1? 2

(利用常用公式)

例 2、设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1
1 1 n(n ? 1) , S n ?1 ? (n ? 1)(n ? 2) 2 2
(利用常用公式)

解析:由等差数列求和公式得 S n ? ∴ f ( n) ?

n Sn = 2 (n ? 32) S n ?1 n ? 34 n ? 64



1 n ? 34 ? 64 n



( n?

1 8 n

?

) 2 ? 50

1 50

∴ 当 变式练习:

n?

1 8 ,即 n=8 时, f (n) max ? 50 8

i ? ______________ 1、求和: i ? 2i ? 3i ??? n?
2 3 n

【答案】

i ?1 ? i n ?

?1 ? i ?

2

?

n? i n ?1 1? i

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· 中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 例 3、求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………① 解析:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x 设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ………………………. ② ①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?
n ?1

bn}的前 n 项和,其

}的通项之积

(设制错位) (错位相减)

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x



Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

变式练习 1:求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2n 1 解析:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2

2 4 6 2n ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………………………………② 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 S n ? 4 ? n ?1 ∴ 2
设 Sn ? 变式练习 2:求:Sn=1+5x+9x2+· · · · · · +(4n-3)xn-1 解析:Sn=1+5x+9x2+· · · · · · +(4n-3)xn-1 ①两边同乘以 x,得 x Sn=x+5 x2+9x3+· · · · · · +(4n-3)xn ① ②

(设制错位) (错位相减)

①-②得, (1-x)Sn=1+4(x+ x2+x3+· · · · · · + 当 x=1 时,Sn=1+5+9+· · · · · · +(4n-3)=2n2-n 当 x≠1 时,Sn= 1-x [
1

x n )-(4n-3)xn

4x(1-xn) +1-(4n-3)xn ] 1-x

已知 a ? 0, a ? 1 , 数列 ?an ? 是首项为 a, 公比也为 a 的等比数列, 令 bn ? an ? lg an (n ? N ) , 求数列 ?bn ? 变式练习 3: 的前 n 项和 S n 。 解析:? an ? an , bn ? n ? an lg a ,

? Sn ? (a ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? na n ) lg a……① aSn ? (a 2 ? 2a3 ? 3a 4 ? ? ? na n?1 ) lg a……②
①-②得: (1 ? a)S n ? (a ? a 2 ? ? ? a n ? nan?1 ) lg a ,

? Sn ?

a lg a 1 ? (1 ? n ? na)a n 2 (1 ? a)

?

?

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原数列相加, 就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . 例 4、 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2
0 1 2 n 0 1 2 n n

证明: 设 S n ? Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ………………………….. ①

把①式右边倒转过来得
n n?1 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn m n ?m 又由 Cn 可得 ? Cn 0 1 n?1 n …………..…….. ② S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

(倒序)

①+②得 ∴

0 1 n?1 n 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n

(倒序相加)

S n ? (n ? 1) ? 2 n
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

变式练习 1: 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值 解析:设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 …………. ①
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

将①式右边反序得

S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? ? ? sin 2 3? ? sin 2 2? ? sin 2 1? …………..②
又因为 sin x ? cos(90? ? x),sin 2 x ? cos2 x ? 1 ①+②得

(倒序)

(倒序相加)

2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2? ? cos2 2? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89? ? cos2 89? ) =89
∴ S=44.5 变式练习 2: 已知 lg(xy)=a,求 S,其中

S ? lg xn ? lg( xn?1 y) ? lg( xn?2 y 2 ) ???? ? lg y n
解析: 将和式 S 中各项反序排列,得

S ? lg yn ? lg( xn?1 y) ? lg( xn?2 y 2 ) ????? lg xn
将此和式与原和式两边对应相加,得 2S= lg( xy) n + lg( xy) n + ··· + lg( xy) n (n+1)项 =n(n+1)lg(xy)
1

∵ lg(xy)=a

∴ S= 2 n(n+1)a

变式练习 3:设数列 ?an ? 是公差为 d ,且首项为 a0 ? d 的等差数列, 求和: S n?1 ? a0 Cn ? a1Cn ? ? ? an Cn
0 1 0 1 n

解析:因为 S n?1 ? a0 Cn ? a1Cn ? ? ? an Cn ,
n n n?1 0 0 1 n , S n?1 ? an Cn ? an?1Cn ? ? ? a0Cn ? a n Cn ? an?1Cn ? ? ? a0Cn

0 1 n ?2Sn?1 ? (a0 ? an )C n ?(a1 ? an?1 )Cn ? ?? (an ? a0 )Cn 0 1 n ? (a0 ? an )(Cn ? Cn ? ?? Cn ) ? (a0 ? an )2n

?Sn?1 ? (a0 ? an ) ? 2n?1 ? [d ? (n ?1)d ] ? 2n?1 ? (n ? 2)d ? 2n?1
点评:此类问题还可变换为探索题形:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? (n ? 1)2 n ? 1,是否存在等差数列 ?bn ? 使
1 得 an ? b1Cn ? b2Cn2 ? ? ? bnCnn 对一切自然数 n 都成立。

四、分组法求和 有一类数列, 既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、等比或常见的数列, 然后分别求和,再将其合并即可. 例 5、求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解析:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a
将其每一项拆开再重新组合得

S n ? (1 ?

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a
n 2

(分组) (分组求和)

n 1 1 3 2 变式练习 1:求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和.(备注: S n ? ? k ? n(n ? 1)(2n ? 1) , S n ? ? k ? [ n(n ? 1)] ) 6 2 k ?1 k ?1

解析:设 ak ? k (k ? 1)(2k ? 1) ? 2k 3 ? 3k 2 ? k ∴

S n ? ? k (k ? 1)(2k ? 1) = ? (2k 3 ? 3k 2 ? k )
k ?1 k ?1

n

n

将其每一项拆开再重新组合得 Sn= 2

?
k ?1

n

k 3 ? 3? k 2 ? ? k
k ?1 k ?1

n

n

(分组)
2 2

= 2(1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? 3(1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n)
3 3 3 2

n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) ? ? = 2 2 2

(分组求和)



n(n ? 1) 2 (n ? 2) 2
1 2 1 4 1 8 1 ), ??? 的前 n 项和。 2n

变式练习 2:求数列 1 , 2 ,3 , ???, ( n ? 解析:

1 1 1 1 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ????? (n ? n ) 2 4 8 2 1 1 1 1 ? (1 ? 2 ? 3 ????? n) ? ( ? 2 ? 3 ????? n ) 2 2 2 2 1 1 ? n(n ? 1) ? 1 ? n 2 2

变式练习 3: Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1) 解法:按 n 为奇偶数进行分组,连续两项为一组。 当 n 为奇数时: Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-2n+1) =2×

n ?1 +(-2n+1) 2

=-n 当 n 为偶数时: Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+3)+(2n+1)] =2× =n ∴Sn=

n 2
-n (n 为奇数) n (n 为偶数)

变式练习 4:求数列 1,3+

1 1 1 ,32+ 2 ,……,3n+ n 的各项的和。 3 3 3 1 1 1 3n ?1 ? 1 1 ? 3? n 1 n+1 -n ? 2 +……+ n )= ? = (3 -3 )。 3 3 2 3 2 2

解析:其和为(1+3+……+3n)+(

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合, 使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项公式分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(6) a n ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 1? 2 , 1 2? 3 1 n ? n ?1 1 1? 2 ? 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

例 6、

求数列

解析:设 a n ?

? n ?1 ? n 1 n ? n ?1

(裂项)

则 Sn ?

? ??? ?

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1 例 7、 在数列{an}中, an ? ∵ an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

解析:

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2 2 1 1 ∴ bn ? ? 8( ? ) n n ?1 n n ?1 ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 1 8n ) = = 8(1 ? n ?1 n ?1

(裂项)

∴ 数列{bn}的前 n 项和

(裂项求和)

例 8、

求证:

1 1 1 cos1? ? ? ? ? ? ? ? cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1?
1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
?

解析:设 S ?



sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? cos n? cos(n ? 1)?
1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
?

(裂项)

∴S ?

(裂项求和)



1 {(tan 1? ? tan 0 ? ) ? (tan 2 ? ? tan 1? ) ? (tan 3? ? tan 2 ? ) ? [tan 89 ? ? tan 88 ? ]} sin 1? 1 1 cos1? ? ? ? (tan 89 ? tan 0 ) ? cot 1 = = sin 1? sin 1? sin 2 1?



∴ 原等式成立 变式练习 1:求数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ( n ? 2)

解析:∵

1 1 1 1 = ( ? ) n ( n ? 2) 2 n n ? 2

Sn=

1? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 2 4 n n?2 ? ?

1 1 1 1 (1 ? ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 ? = ? 4 2n ? 2 2n ? 4
= 变式练习 2: 已知数列{an}:a n ?
? k 8 ( ? an 是指对 an 求和, 从 n=1 到 n=k) , 求? (n ? 1)(an ? an?1 ) 的值。 (n ? 1)(n ? 3) n ?1 n ?1

解:∵ (n ? 1)(a n ? a n ?1 ) ? 8(n ? 1)[

1 1 ? ] (找通项及特征) (n ? 1)(n ? 3) (n ? 2)(n ? 4)
(设制分组)

= 8 ?[

1 1 ? ] (n ? 2)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4)

=4?(
?

1 1 1 1 ? ) ? 8( ? ) n?2 n?4 n?3 n?4
? ? 1 1 1 1 ? ) ? 8? ( ? ) n?2 n?4 n?4 n ?1 n ? 3

(裂项) (分组、裂项求和)



? (n ? 1)(an ? an?1 ) ? 4? (
n ?1 n ?1

=4?( ? ) ? 8? = 六、合并法求和

1 3

1 4

1 4

13 3

针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一 起先求和,然后再求 Sn. 例 9、求 cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°的值. 解析:设 Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179° ∵ cosn ? ? cos( 180 ? n )
? ? ?

(找特殊性质项)

∴Sn= (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+· · · +(cos89°+ cos91°)+ cos90° (合并求和) = 0 例 10、 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2010. 解:设 S2010= a1 ? a2 ? a3 ???? ? a2010 由 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an 可得

a4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2, a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2,
……

a6k ?1 ? 1, a6k ?2 ? 3, a6k ?3 ? 2, a6k ?4 ? ?1, a6k ?5 ? ?3, a6k ?6 ? ?2
∵ a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0 ∴ S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002

(找特殊性质项) (合并求和)

= (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?a6 ) ? (a7 ? a8 ? ? ? ?a12 ) ? ? ? ? ? (a6k ?1 ? a6k ?2 ? ? ? ? ? a6k ?6 )

? ??? ?(a1993 ? a1994 ? ??? ? a1998 ) ? (a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002 ? a2003 ? a2004 ) ?(a2005 ? a2006 ? a2007 ? a2008 ? a2009 ? a2010 ) ? 0
变式练习:在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值. 解析:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq 和对数的运算性质 loga M ? loga N ? loga M ? N 得

(找特殊性质项)

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )
= (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 ) = log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10

(合并求和)

七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征, 然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法.

例 11、求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

解:由于 111 ?? ?1 ? ?? ?
k个1

1 1 ? 999 ?? ?? ? 9 ? (10k ? 1) ? ? ? 9 9 k个1
n个1

(找通项及特征)

∴ 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 ? ?

1 1 1 1 1 2 3 n = (10 ? 1) ? (10 ? 1) ? (10 ? 1) ? ? ? ? ? (10 ? 1) 9 9 9 9


(分组求和)

1 1 1 (10 ? 102 ? 103 ? ? ? ? ? 10n ) ? (1 ? 1? ?1 ?? ??? ? 1) ? ? ? 9 9 ?? n个1
1 10(10n ? 1) n ? ? 9 10 ? 1 9
1 (10 n ?1 ? 10 ? 9n) 81





例 12、 已知数列{an}: a n ?

? 8 , 求? (n ? 1)(an ? an?1 ) 的值. (n ? 1)(n ? 3) n ?1

解:∵ (n ? 1)(a n ? a n ?1 ) ? 8(n ? 1)[

1 1 ? ] (n ? 1)(n ? 3) (n ? 2)(n ? 4)

(找通项及特征)

= 8 ?[

1 1 ? ] (n ? 2)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4)

(设制分组)

=4?(

1 1 1 1 ? ) ? 8( ? ) n?2 n?4 n?3 n?4

(裂项)



? (n ? 1)(an ? an?1 ) ? 4? (
n ?1 n ?1

?

?

? 1 1 1 1 ? ) ? 8? ( ? ) n?2 n?4 n?4 n ?1 n ? 3

(分组、裂项求和)

=4?( ? ) ? 8? =

1 3

1 4

1 4

13 3

变式练习:求 5,55,555,…,的前 n 项和。 解:∵an=
5 n (10 -1) 9 5 5 5 5

∴Sn = 9 (10-1)+ 9 (102-1) + 9 (103-1) + … + 9 (10n-1) =
5 2 3 n 9 [(10+10 +10 +……+10 )-n]

=

5 81

(10

n+1

-9n-10)

【课堂小练】 1、 {an } 是等差数列, a2 ? ?1, a8 ? 5 ,则数列 {an } 的前 9 项和 S9 ? ____________;
2、在等差数列 { a n } 中, a5 ? 3, a6 ? ?2 ,则 a3 ? a 4 ? ? ? a8 ? __________; 3、等差数列 {an } 中,公差 d ? 1 , a3 ? a4 ? 1 ,则 a2 ? a4 ? ? ? a20 = A.64 B.100 C.110 D.120 ) ;

4、数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ? A.1 B.

1 ,则 S5 等于( n(n ? 1)
1 6
D.

1 30 1 5、在等比数列 {an } ( n ? N * )中,若 a1 ? 1 , a4 ? ,则该数列的前 10 项和为( 8 1 1 1 1 A. 2 ? 4 B. 2 ? 2 C. 2 ? 10 D. 2 ? 11 2 2 2 2
C. 1、18 2、3 3、-10 4、B 5、B

5 6



1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,…。 a a a 1 1 1 解析:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a
6、求数列的前 n 项和: 1 ? 1, 将其每一项拆开再重新组合得

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a n 7、设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n ?1 an ? , a ? N* . 3 S n ? (1 ?
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ?

(分组) (分组求和)

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an
2 n ?1

解析:(I) a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ...3

an ?

n , 3

a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ? 2 an ?1 ? 3n ?1 an ? n n ?1 1 ? ? (n ? 2). 3 3 3

n ?1 (n ? 2), 3

an ?

1 (n ? 2). 3n 1 (n ? N * ). 3n

验证 n ? 1 时也满足上式, an ? (II) bn ? n ? 3n ,

Sn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ...n ? 3n
3Sn ?? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ...n ? 3n?1

?2Sn ? 3 ? 32 ? 33 ? 3n ? n ? 3n?1
?2Sn ?
Sn ?

3 ? 3n ?1 ? n ? 3n ?1 , 1? 3

n n ?1 1 n ?1 3 ?3 ? ?3 ? ? 2 4 4

【课堂总结】
本节课所讲的以 7 种方法虽然各有其特点, 但总的原则是要善于改变原数列的形式结构, 使其能进行消项处理或能使 用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决, 只要很好地把握这一规律, 就能使数列求和 化难为易,迎刃而解。

【课后练习】
1、已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 n ? 3( n ? N * ) ,设 Sn 为 {an } 的前 n 项和,则 S30 ? ______; 2

2、已知无穷等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 1 ? an ,则该数列所有项的和为_________; 3、数列{an}}中,a1=-60, an+1=an+3, 则这个数列前 30 项绝对值的和是 ( A、495 B、765 C、3105 D、196 ) )

4、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S x 若 a2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=( A.12 B.10 C.8 D.6

5、已知 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于( 1、285 2、1 3、B 4、B 5、B



6 、 已 知 数 列 ?an ? 中 的 相 邻 两 项 a2k ?1,a2k 是 关 于 x 的 方 程 x2 ? (3k ? 2k ) x ? 3k ? 2k ? 0 的 两 个 根 , 且

a2k ?1 ≤ a2k (k ? 1 , 2, 3, ?) .
(I)求 a1 , a2 , a5 , a7 ;

(II)求数列 ?an ? 的前 2 n 项和 S 2 n 。 解析: (I)解:方程 x2 ? (3k ? 2k ) x ? 3k ? 2k ? 0 的两个根为 x1 ? 3k , x2 ? 2k , 当 k ? 1 时, x1 ? 3,x2 ? 2 ,所以 a1 ? 2 ; 当 k ? 2 时, x1 ? 6 , x2 ? 4 ,所以 a3 ? 4 ; 当 k ? 3 时, x1 ? 9 , x2 ? 8 ,所以 a5 ? 8 时; 当 k ? 4 时, x1 ? 12 , x2 ? 16 ,所以 a7 ? 12 . (II)解: S2n ? a1 ? a2 ? ? ? a2n ? (3 ? 6 ? ? ? 3n) ? (2 ? 22 ? ?? 2n )

?

3n2 ? 3n n?1 ?2 ?2. 2

7、在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N* .
(Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)证明不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N 皆成立。
*

解析: (Ⅰ)证明:由题设 an?1 ? 4an ? 3n ? 1,得 an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N .
*

又 a1 ? 1 ? 1,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 an ? n ? 4n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n?1 ? n . 所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? (Ⅲ)证明:对任意的 n ? N ,
*

4n ? 1 n(n ? 1) ? . 3 2

Sn ?1 ? 4Sn ?

? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 1 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) 2 ? ? 4? ? ? ? ? 2 (3n ? n ? 4) ≤ 0 . 3 2 2 ? ? 3
*

所以不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N 皆成立.

8、若有穷数列 a1 , a2 ...an ( n 是正整数) ,满足 a1 ? an , a2 ? an?1 ....an ? a1 即 ai ? an?i ?1 ( i 是正整数,且 1 ? i ? n ) , 就称该数列为“对称数列”。

(1)已知数列 ?bn ? 是项数为 7 的对称数列,且 b1 , b2 , b3 , b4 成等差数列, b1 ? 2, b4 ? 11,试写出 ?bn ? 的每一项; (2) 已知 ?cn ? 是项数为 2k ? 1? k ? 1? 的对称数列, 且 ck , ck ?1 ...c2 k ?1 构成首项为 50, 公差为 ?4 的等差数列, 数列 ?cn ? 的前 2k ? 1 项和为 S2 k ?1 ,则当 k 为何值时, S2 k ?1 取到最大值?最大值为多少? (3)对于给定的正整数 m ? 1 ,试写出所有项数不超过 2 m 的对称数列,使得 1, 2, 22...2m?1 成为数列中的连续项;当

m ? 1500 时,试求其中一个数列的前 2008 项和 S2008 。
解: (1)设 ?bn ?的公差为 d ,则 b4 ? b1 ? 3d ? 2 ? 3d ? 11,解得 d ? 3 ,

?

5 8 11,,, 8 5 2. 数列 ?bn ?为 2,,,

(2) S 2k ?1 ? c1 ? c2 ? ? ? ck ?1 ? ck ? ck ?1 ? ? ? c2k ?1

? 2( ck ? ck ?1 ? ? ? c2k ?1 ) ? ck ,

S 2k ?1 ? ?4( k ? 13) 2 ? 4 ?132 ? 50,
?
当 k ? 13 时, S 2 k ?1 取得最大值.

S 2 k ?1 的最大值为 626.
(3)所有可能的“对称数列”是: ① 1,, 2 22, ?, 2m?2, 2m?1, 2m?2, ?, 22,, 2 1; ② 1 ,, 2 22, ?, 2m?2, 2m?1, 2m?1, 2m?2, ?, 22,, 2 1; ③ 2m?1, 2m?2, ?, 22,, 2 1,, 2 22, ?, 2m?2, 2m?1 ; ④ 2m?1, 2m?2, ?, 22,, 2 1, 1,, 2 22, ?, 2m?2, 2m?1 . 对于①,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 2007 ? 2 2008 ? 1. 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 1 ? 2 ? ? ? 2 m?2 ? 2 m?1 ? 2 m?2 ? ? ? 2 2m?2009

? 2 m ? 1 ? 2 m?1 ? 2 2 m?2009 ? 2 m ? 2 m?1 ? 2 2 m?2009 ? 1 .
对于②,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 2
2008

?1.

m ?1

? 2 2 m?2008 ? 1 .
m?2008

对于③,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2 ? 2
m



当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 2 ? 2
m

2009 ? m

? 3.

对于④,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2 m ? 2 m?2008 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 2 ? 2
m 2008 ? m

? 2.


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