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圆锥曲线知识点总结化简版


圆锥曲线知识点总结
知识 1.圆锥曲线的两个定义: 1、已知定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A PF1 ? PF2 ? 4 B PF1 ? PF2 ? 6 C. PF1 ? PF2 ? 10 D. PF1
2

? PF2

2

? 12 (答:C)

2、方程 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) 3、已知点 Q (2 2 ,0) 及抛物线 y ?

x2 上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是_____(答:2) 4

知识 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方 程) : 4、方程 Ax ? By ? C 表示椭圆的充要条件是
2 2
2 2

(ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠B) 。

1 1 x y ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为____(答: (?3, ? ) ? (? , 2) ) 2 2 3? k 2?k 2 2 2 2 6、若 x, y ? R ,且 3 x ? 2 y ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x ? y 的最小值是___(答: 5, 2 )
5、已知方程 7、方程 Ax ? By ? C 表示双曲线的充要条件是
2 2
2 2

(ABC≠0,且 A,B 异号) 。

8、双曲线的离心率等于

x y 5 ,且与椭圆 ? ? 1 有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答: 9 4 2

x2 ; ? y2 ? 1) 4
9、设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e ?
2 2

2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10 ) ,则 C

的方程为_______(答: x ? y ? 6 ) 知识 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : 10 、 已 知 方 程

x2 y2 ? ? 1 表 示 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 , 则 m 的 取 值 范 围 是 __ ( 答 : m ?1 2 ? m

3 (??,?1) ? (1, ) ) 2
知识 4.圆锥曲线的几何性质: 11、若椭圆

25 x2 y2 10 ,则 m 的值是__(答:3 或 ) ; ? ? 1 的离心率 e ? 3 5 m 5

12、 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时, 则椭圆长轴的最小值为__ (答:

2 2)
13、双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心率等于______(答: 14、双曲线 ax ? by ? 1 的离心率为 5 ,则 a : b =
2 2

13 13 或 ) ; 2 3

(答:4 或

1 ) ; 4

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角θ 的取值范围是 a2 b2 ? ? ________(答: [ , ] ) ; 3 2
15、设双曲线 16、设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax 的焦点坐标为________(答: (0,
2

1 ; )) 16a

x2 y 2 x2 y2 ? 2 ?1 a ?b ? 0) ( 的关系: 点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆外 ? 0 ? 0 ? 1 ; (1) a 2 b2 a2 b 2 2 2 2 x0 y 0 x0 y0 (2)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? 2 ? 2 =1; (3)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆内 ? 2 ? 2 ? 1 a b a b
17、 P ( x0 , y0 ) 和椭圆 点

知识 6.直线与圆锥曲线的位置关系: 2 2 18、若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围是_______(答: (-

15 ,-1)) ; 3
19、直线 y―kx―1=0 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是_______(答:[1,5)∪(5, 5 m

+∞); ) 20、过双曲线 条(答:3) ; 21、过点 (2,4) 作直线与抛物线 y ? 8 x 只有一个公共点,这样的直线有______(答:2) ;
2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____ 1 2

22、过点(0,2)与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______(答: 9 16

? 4 4 5? ? ? ?? , ? ?) 3 ? ? 3 ? ?
23、过双曲线 x 2 ? ____条(答:3) ; 24、过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p 、 q ,
2

y2 ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB ? 4,则满足条件的直线 l 有 2



1 1 ; ? ? _______(答:1) p q
25、设双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、右支和右准线分别于 16 9 ; P, Q, R ,则 ?PFR 和 ?QFR 的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于)
8 13 ) ; 13 2 2 27、直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 交于 A 、 B 两点。①当 a 为何值时, A 、 B 分别在双曲线的
26、求椭圆 7 x 2 ? 4 y 2 ? 28 上的点到直线 3 x ? 2 y ? 16 ? 0 的最短距离(答: 两支上?②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点?(答:① ? 3, 3 ;② a ? ?1 ) ; 知识 7、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化 到相应准线的距离,即焦半径 r ? ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。 28、 已知椭圆

?

?

35 x2 y2 则点 P 到右准线的距离为____ (答: ) ; ? ? 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3, 3 25 16
2

29、已知抛物线方程为 y ? 8 x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛物线的焦点的距离等 于____; 30、若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为_____(答: 7, (2, ?4) ) ; 31、点 P 在椭圆 _______(答:

x2 y2 ? ? 1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐标为 25 9

25 ) ; 12 2 32、 抛物线 y ? 2 x 上的两点 A、 到焦点的距离和是 5, B 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为______ (答:
x2 y2 ? ? 1 内有一点 P (1,?1) ,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使 MP ? 2 MF 之值最 4 3

2) 33、椭圆

小,则点 M 的坐标为_______(答: (

2 6 ; ,?1) ) 3 知识 8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正 弦、余弦定理求解。 2 34、 短轴长为 5 , 离心率 e ? 的椭圆的两焦点为 F1 、 2 , F1 作直线交椭圆于 A、 两点, ?ABF2 B 则 F 过 3 的周长为________(答:6) ;
35、 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 右支上一点, 1、 2 是左右焦点, PF2 ? F1 F2 ? 0 , 1|=6, 设 F F 若 |PF 则该双曲线的方程为 (答: x 2 ? y 2 ? 4 ) ;

x2 y 2 → → 36、椭圆 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF2 ·PF1 <0 时,点 P 的横坐标的取 9 4 3 5 3 5 值范围是 (答: (? , )) 5 5 6 37、双曲线的虚轴长为 4,离心率 e= ,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线与双曲线的左支交 2 于 A、B 两点,且 AB 是 AF2 与 BF2 等差中项,则 AB =__________(答: 8 2 ) ;
38、 已知双曲线的离心率为 2,F1 、F2 是左右焦点,P 为双曲线上一点,且 ?F1 PF2 ? 60 ,
?

S ?PF1F2 ? 12 3 .求该双曲线的标准方程

(答:

x2 y 2 ; ? ? 1) 4 12

知识 9、弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、B 的横坐标, 则 AB = 1 ? k
2

x1 ? x2 ,若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB = 1 ?

1 y1 ? y 2 ,特别地,焦点 k2

弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和 后,利用第二定义求解。 39、过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等 于_______(答:8) ; 40、过抛物线 y ? 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原点,则Δ ABC 重 心的横坐标为_______(答:3) ; 知识 10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆
2

b 2 x0 x2 y2 x2 y 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 ;在双曲线 2 ? 2 ? 1 中,以 a b a y0 a2 b b 2 x0 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 2 ;在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦 a y0 p 所在直线的斜率 k= 。 y0
41、如果椭圆 ; x ? 2y ?8 ? 0)

x2 y 2 ? ? 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9

(答:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在直线 L: a 2 b2 2 x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为_______(答: ) ; 2
42、已知直线 y=-x+1 与椭圆

43、试确定 m 的取值范围为_______,使得椭圆 (答: ? ?

x2 y2 ? ? 1 上有不同的两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称 4 3

? 2 13 2 13 ? ) ; ? 13 , 13 ? ? ? ? 特别提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时, 务必别忘了检验 ? ? 0 !
知识 11.你了解下列结论吗? 2 2 2 2 (1)双曲线 x ? y ? 1 的渐近线方程为 x ? y ? 0 ; a2 b2 a2 b2 2 2 2 2 b (2) y ? ? x 为渐近线 以 (即与双曲线 x ? y ? 1 共渐近线) 的双曲线方程为 x ? y ? ? (? 为参数, a a2 b2 a2 b2

? ≠0)。如与双曲线
4x2 y 2 ? ? 1) 9 4

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3 ) 的双曲线方程为_______(答: 9 16

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx ? ny ? 1 ;
2 2

2b 2 (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 ,焦准距(焦点到相应准线的距离) a


b2 ,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; c
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则① | AB |? x1 ? x2 ? p ;
2

② x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 4
2

(7) OA、 是过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦, 若 OB 则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0)

知识 12.动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F ( x, y ) ? 0 ;如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x ? 3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程.(答: y ? ?12( x ? 4)(3 ? x ? 4) 或 y ? 4 x(0 ? x ? 3) ); ②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确 定其待定系数。如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m ? 0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,
2 2

以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答: y ? 2 x ) ; ③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;
2

如(1)由动点 P 向圆 x ? y ? 1 作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60 ,则动点 P 的轨迹方程为
2 2
0

(答: x ? y ? 4 );(2)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x ? 5 ? 0 的距离小
2 2

于 1,则点 M 的轨迹方程是_______ (答: y ? 16 x );(3) 一动圆与两圆⊙M: x ? y ? 1 和⊙N:
2

2

2

(答:双曲线的一支); x 2 ? y 2 ? 8 x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆心的轨迹为 ④代入转移法:动点 P ( x, y ) 依赖于另一动点 Q ( x0 , y0 ) 的变化而变化,并且 Q ( x0 , y0 ) 又在某已知曲 线上,则可先用 x, y 的代数式表示 x0 , y0 ,再将 x0 , y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程;如动点 P 是抛物 线 y ? 2 x 2 ? 1 上任一点,定点为 A(0,?1) ,点 M 分 PA 所成的比为 2,则 M 的轨迹方程为__________(答: 1 y ? 6 x 2 ? ); 3 ⑤参数法:当动点 P ( x, y ) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将 x, y 均 用一中间变量 (参数) 表示, 得参数方程, 再消去参数得普通方程) 如 。 (1) 是圆 O 的直径, AB 且|AB|=2a, M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N,在 OM 上取点 P ,使 | OP |?| MN | ,求点 P 的轨迹。(答:
? ??

x 2 ? y 2 ? a | y | );(2)若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动,则点 Q( x1 y1 , x1 ? y1 ) 的轨迹方程是____ 1 2 (答: y 2 ? 2 x ? 1(| x |? ) );(3)过抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 2 2 的中点 M 的轨迹方程是________(答: x ? 2 y ? 2 );
注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式 进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 2(c,0) 是 、F ,Q a2 b2 椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线
段 F2Q 上,并且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. (1)设 x 为点 P 的横坐标,证

c (2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3)试问:在点 T 的轨迹 x; a C 上, 是否存在点 M, 使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在, 求∠F1MF2 的正切值; 若不存在, 请说明理由. (答: 2 2 b b 2 2 2 ? a 时不存在;当 ? a 时存在,此时∠F1MF2=2) (1)略; (2) x ? y ? a ; (3)当 c c
明 | F1 P |? a ? ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点 对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份―― 对称性、利用到角公式)、 “方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、 “分类讨论思想”化整为零分 化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点” ,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: ? ? (1) 给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 或 u ? ?m, n ? ; (2)给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点; (3)给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; (4)给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线;

?

?

?

( 5 ) 给 出 以 下 情 形 之 一 : ① AB // AC ; ② 存 在 实 数 ? , 使AB ? ? AC ; ③ 若 存 在 实 数

?

?

? , ? , 且? ? ? ? 1, 使OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线.
OA ? ? OB ,等于已知 P 是 AB 的定比分点, ? 为定比,即 AP ? ? PB 1? ? (7) 给出 MA ? MB ? 0 ,等于已知 MA ? MB ,即 ?AMB 是直角,给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知
(6) 给出 OP ?

????

??? ?

??? ?

?AMB 是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是锐角, ? ? ? MA MB ? (8)给出 ? ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ?AMB 的平分线。 ? MA MB ? ? ?
(9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD 是菱形; (10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形; (11)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形外接圆的圆心, 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; (12) 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的重心是三角 形三条中线的交点) ; (13)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂心(三角形的 垂心是三角形三条高的交点) ;
2 2 2

??? ???? ?

??? ???? ?

??? ? ???? AB AC ? ? (14)在 ?ABC 中,给出 OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? ) (? ? R ) 等于已知 AP 通过 ?ABC 的内心; | AB | | AC |

(15)在 ?ABC 中,给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心(三角形内切圆的 圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ; (16) 在 ?ABC 中,给出 AD ?

????

? 1 ??? ???? AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线; 2

?

?


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