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2013年4月杭州市重点高中2013高考命题比赛参赛试题高中数学2


试卷设计说明
本试卷设计是在通过对《2013 年考试说明》与前三年高考试卷的学习与研究前提下,精心编撰形成。 总体题目可分为二类:原创题、改编题。整个试卷的结构与高考试卷结构一致,从题型,分数的分布与内 容的选择力求与高考保持一致。对知识点力求全面但不追求全面,做到突出主干知识,强化基础知识,着 力于能力考查,对相关知识联系设问。从了解、理解、掌握三个层次要求学生。对能力考查做到多层次、 多方位,选题以能力立意,侧重对知识的理解与应用,考查他们知识的迁移及学生思维的广度与深度。检 验学生对知识理解上更高层次的数学思想方法的掌握程度,其中对函数与方程、数形结合、分类讨论、等 价转化及整体思想都有一定的涉及。同时也注重学生的通性通法的掌握,但不追求解题的技巧。 其中原创题有 15 道,改编题有 7 道。

2013 年高考模拟数学(文科)试题
注意:本卷共 22 题,满分 l50 分,考试时间 l20 分钟。 参考公式: 球的表面积公式: S ? 4? R ,其中 R 表示球的半径;[来源:学。科。网]
2

4 ? R 3 ,其中 R 表示球的半径; 3 棱柱体积公式: V ? Sh ,其中 S 为棱柱底面面积, h 为棱柱的高; 1 棱锥体积公式: V ? Sh ,其中 S 为棱柱底面面积, h 为棱柱的高; 3 1 棱台的体积公式:V ? h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) ,其中 S1 、 S 2 分别表示棱台的上、下底面积, h 为棱台的高 3
球的体积公式: V ? 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一.选择题:本大题共 l0 小题,每小题 5 分,共 50 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 (原创)1.已知集合 A ? x x ? x ? 0, x ? R ,则满足 A ? B ? ?0,?1,1?的集合 B 的个数是
2

?

?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 8

(原创)2.复数

3 ? 4i 对应的点落在 2 ? 3i
(B)第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

(原创)3. a ? ?2 是直线 l1 : ax ? 2 y ? 0 与直线 l 2 : 2 x ? ay ? 3 ? 0 平行的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(原创)4.已知 x 是三角形的最小内角,则 sin x ? cos x 的取值范围是 A. 0, 2

?

?

B. ? 2 , 2

?

?

C. ?1,

? ? ?

3 ? 1? ? 2 ?

D. 1, 2

?

?

(原创)5.已知直线 l 、 m 与平面 ? 、 ? , l ? ? , m ? ? ,则下列命题中正确的是 A.若 l // m ,则必有 ? // ? C.若 l ? ? ,则必有 ? ? ? B.若 l ? m ,则必有 ? ? ? D.若 ? ? ? ,则必有 m ? ? 开始 (改编)6.如果执行下面的程序框图,那么输出的 S ? A. 2450 B. 2500 C. 2550 D. 2652 k= 1

S ?0
k ≤ 50?



? 是
S ? S ? 2k

输出 S 结束

k ? k ?1

(原创)7.已知数列 ?an ? 为等差数列, a1 ? 1, 公差 d ? 0 , a1 、 a2 、 a5 成等比,则 a2013 的值为 A. 4023 B. 4025 C. 4027 D. 4029

(改编)8.若 a ? 0, b ? 0 ,且点 ( a, b) 在过点 (1,?1) , (2,?3) 的直线上,则 s ? 2 ab ? (4a2 ? b2 ) 的最 大值是 A. 2 ? 1 B.

1? 2 2

C. 2 ? 1

D.

2 ?1 2

x2 y 2 (改编)9.已知椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , A 、 B 分别是椭圆长轴的两个端点, M , N 是椭 a b
圆上关于 x 轴对称的两点,直线 AM, BN 的斜率分别为 k1 , k 2 ,若 k1 ? k 2 ? 心率为 A.

1 ,则椭圆的离 4

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

2 3

(原创)10.设函数

f ( x) ? ( x 2 ? 10x ? c1 )(x 2 ? 10x ? c2 )(x 2 ? 10x ? c3 )(x 2 ? 10x ? c4 ) (x 2 ? 10 x ? c5 ) ,
设集合 M ? {x | f ( x) ? 0} ? {x1 , x2 ,?, x9 } ? N * ,设 c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? c5 ,则 c1 ? c5 ? A. 20 B. 18 C. 16 D. 14

第 II 卷(非选择题,共 l00 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 (原创)11.某学校高中三个年级的学生人数分别为:高一 950 人,髙二 1000 人,高三 1050 人.现要 调查该校学生的视力状况,考虑采用分层抽样的方法,抽取容量为 60 的样本,则应从高三 年级中抽取的人数为 ;

(原创)12. 从 1, 2,3, 4,5 中随机取出三个不同的数,则其和为奇数的概率为



(改编)13.某几何体的三视图及尺寸如图示,则该几何体的
2 2

表面积为



2 主视图

侧视图

俯视图

?y ? x ? (原创)14.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 x ? 2 y 的取值范围是 ? y ? ?1 ?



(原创)15.已知 a, b 均为单位向量,且它们的夹角为 60° ,当 | a ? ?b | (? ? R) 取最小值时,

? ?

?

?

? ? ___________;

(改编)16.设 a ? lg e, b ? (lg e)2 , c ? lg e, 则 a 、 b 、 c 的大小关系是



2 (原创)17.已知实数 p 、 q 、 r 满足 r ? p ? q , r (r ? 1) ? p ? q 且 0 ? p ? 1 ? q ? 2 ,则实数 r 的取

值范围是



三.解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (原创)18. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 a ? 1, cos B ? cosC ?

3 sin 2 A ? sin C cos B ? sin B cos C , 2

2 3 ,求边 c 的值. 3

(原创)19. (本小题满分 14 分) 已知等比数列 ?an ? 的公比为 q ( q ? 1 )的等比数列,且 a2011 , a2013 , a2012 成等差数列, (Ⅰ)求公比 q 的值; (Ⅱ)设 ?bn ? 是以 2 为首项, q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 S n ,当 n ? 2 时,比较 S n 与 bn 的大 小,并说明理由。

(改编)20. (本题满分 14 分) 如图所示,已知圆 O 的直径 AB 长度为 4,点 D 为线段 AB 上一点,且 AD ?

1 DB ,点 C 为圆 O 上 3

一点,且 BC ? 3 AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , PD ? BD . (Ⅰ)求证: CD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求 PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值。 P

A

D C

O

B

(改编)21. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x (a ? R) , 2

(Ⅰ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,若 g (x) 在 [1, e] 上不单调且仅在 x ? e 处取得最大值,求 a 的取值 范围。

(原创)22. (本小题满分 15 分) 已知抛物线 C : y ? ax2 (a ? 0) 上的点 P(b,1) 到焦点的距离为 (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)如图,已知动线段 AB ( B 在 A 右边)在直线 l : y ? x ? 2 上,且 | AB |?

5 , 4

2 ,现过 A

作 C 的切线,取左边的切点 M ,过 B 作 C 的切线,取右边的切点为 N ,当 MN // AB , 求 A 点的横坐标 t 的值。

y

M

N x B A

2013 年高考模拟数学(文科)答卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 题目 选项 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11、

12 、

13、

14、

15、

16、

17、 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18、 (本题 14 分)

19、 (本题 14 分)

20、 (本题 14 分)

P

A

D C

O

B

21、 (本题 15 分)

22、 (本题 15 分)

y

M

N x B A

2013 年高考模拟数学(文科)参考答案 1.解答: A ? ?? 1,0?,故 1 ? B ,集合 B 的个数即 ?? 1,0? 的子集个数,共 4 个,答案为 C
2.解答: z ?

(3 ? 4i)(2 ? 3i) ? 6 ? 17i ,对应点在第二象限,答案为 B ? (2 ? 3i)(2 ? 3i) 13

3.解答:直线 l1 与 l 2 平行 ? a ? ?2 ,故答案为 A 4.解答: 0 ? x ?

?
3

, sin x ? cos x ?

2 sin( x ?

?
4

) ,由

?
4

?x?

7? 2 ? 得 ? sin(x ? ) ? 1 ,答案为 12 2 4

D
5.解答:由面面垂直的判定定理可得答案为 C 6.解答: S ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 100 ?

50(2 ? 100 ) ? 2550 ,答案为 C 2

2 7.解答: a2 ? a1 ? a5 ? (1 ? d ) 2 ? 1? (1 ? 4d ) ,得 d ? 2 ,?a2013 ? 1 ? 2012? 2 ? 4025,

答案为 B

8 . 解 答 : 直 线 为 2 x ? y ? 1 , ? 2a ? b ? 1 , 由

1 (2a) 2 ? b 2 2a ? b ? ? 2a ? b 得 2ab ? , 2 2 2

4a 2 ? b 2 ?

1 2 1 2 2 2 2 ,? s ? 2 ab ? (4a ? b ) ? 2 ? 2a ? b ? (2a) ? b ? ? 2 2 2
1 时取到等号,答案为 D 2

?

?

当且仅当 2a ? b ?

9.解答:设 M ( x0 , y0 ) ,则 N ( x0 ,? y0 ) ,
2 x0 ) 2 y0 y0 y a2 ? b ? 1 k1 ? k 2 ? ? ? 2 ? 2 2 x0 ? a a ? x0 a ? x0 a 2 ? x0 a2 4 2 0

b 2 (1 ?

可得 3a ? 4c ,从而 e ?
2 2

c 3 ,答案为 C ? a 2

10.解答:由韦达定理可得 c1 ? 5 ? 5 ? 25, c2 ? 4 ? 6 ? 24, c3 ? 3 ? 7, c4 ? 2 ? 8 ? 16, c5 ? 1? 9 ? 9 ,

? c1 ? c5 ? 16,故选 C

11.解答:总共 3000 人中抽取容量为 60 的样本,故抽样比例为 50 : 1 ,从高三年级中抽取的人

数为 21

12.解答:基本事件总数为 10 ,符合要求的事件数为 4 ,故所求概率为

4 2 ? 10 5

13.解答: 几何体为圆锥, S表 ? S 侧 ? S底 ? ? ? 1? 3 ? ? ? 12 ? 4?

14.解答: ?? 3, ? 2

? ?

3? ?

分析:可行域为三角形区域,数形结合可得答案

15.解答:利用几何意义可得 ? ? ?

1 , (或利用函数方法解决) 2 1 1 lg e ? a ,又 b ? c ? lg e(lg e ? ) ? 0 ,? b ? c 2 2

16.解答: a ? lg e ? (0,1) , c ? lg e ?

?b ? c ? a
17.解答:1 ? r ?

17 ? 1 2

分析:由题意得 p 、 q 是方程 x 2 ? r 2 x ? r (r ? 1) ? 0 的两相异实根,令

? f ( 0) ? 0 17 ? 1 ? f ( x) ? x 2 ? r 2 x ? r (r ? 1) ,则 ? f (1) ? 0 ,得 1 ? r ? 2 ? f ( 2) ? 0 ?
18.解答: (Ⅰ)由

3 sin 2 A ? sin C cos B ? sin B cos C 得 3 sin A cos A ? sin(B ? C ) ? sin A ,----2 分, 2 1 由于 ?ABC 中 sin A ? 0 ,? 3 cos A ? 1, cos A ? ,-----------------------------------------4 分 3

? s i nA ? 1 ? c o 2 A ? s

2 2 ,----------------------------------------------------------------------6 分 3

(Ⅱ)由 cos B ? cosC ?

2 3 2 3 得 ? cos(A ? C ) ? cosC ? ,-----------------------------------7 分 3 3 2 3 2 2 2 2 3 sin C ? cosC ? ,? ------------------9 分 3 3 3 3 6 ,---------------------12 分 3

即 sin A sin C ? cos A cosC ? cosC ?

得 2 sin C ? cosC ? 3 , cosC ? 3 ? 2 sin C ,平方得 sin C ?

由正弦定理得 c ?

a sin C 3 -----------------------------------------------------------------------------14 分 ? sin A 2

19.解答: (Ⅰ)由题设 2a2013 ? a2011 ? a2012 ,即2a2011 q 2 ? a2011 ? a2011 q, ----------------------2 分

? a1 ? 0,? 2q 2 ? q ? 1 ? 0. ------------------------------------------------------------------------------------4 分
1 ? q ? 1 或 q ? ? ,---------------------------------------------------------------------------------6 分 2 1 又 q ? 1 ,? q ? ? .----------------------------------------------------------------------------------7 分 2
(Ⅱ) q ? ?

1 n(n ? 1) 1 ? n 2 ? 9n , 则S n ? 2n ? (? ) ? . -------------------------------------------9 分 2 2 2 4
(n ? 1)( n ? 10) , ---------------------------------------------------11 分 4

当 n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? ? 故对于 n ? N ?

1 ○当 2 ? n ? 9 时, Sn ? bn ;---------------------------------------------------------------------------12 分 2 ○当 n ? 10 时, Sn ? bn ;-------------------------------------------------------------------------------13 分 3 ○当 n ? 11 时, Sn ? bn 。--------------------------------------------------------------------------------14 分 P 20.解答: )连接 CO ,由 3AD ? DB 知,点 D 为 AO 的中点, (Ⅰ 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , 由 3AC ? BC 知, ?CAB ? 60 ,
?

∴?ACO 为等边三角形,从而 CD ? AO .-----------------3 分 ∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分

D F A O E C B

(注:证明 CD ? 平面 PAB 时,也可以由平面 PAB ? 平面 ACB 得到,酌情给分. ) (Ⅱ )法 1: 过 D 作 DH ? 平面 PBC 交平面于点 H ,连接 PH ,则 ?DPH 即为所求的线面角。-----8 分 由(Ⅰ )可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 , ∴VP ? BDC ? 又 PB ?

1 1 1 1 1 3 3 S?BDC ? PD ? ? DB ? DC ? PD ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? .--------10 分 3 3 2 3 2 2

PD2 ? DB2 ? 3 2 , PC ? PD2 ? DC 2 ? 2 3 , BC ? DB2 ? DC 2 ? 2 3 ,
1 9 3 15 . ? 3 2 ? 12 ? ? 2 2 2

∴?PBC 为等腰三角形,则 S?PBC ?

由 VP? BDC ? VD?PBC 得, DH ?

3 5 5

--------12 分

∴sin ?DPH ?

DH 5 ? PD 5

--------14 分

法 2:由(Ⅰ )可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 , 过点 D 作 DE ? CB ,垂足为 E ,连接 PE ,再过点 D 作 DF ? PE ,垂足为 F .-----------------8 分 ∵PD ? 平面 ABC ,又 CB ? 平面 ABC , ∴PD ? CB ,又 PD ? DE ? D , ∴CB ? 平面 PDE ,又 DF ? 平面 PDE , ∴CB ? DF ,又 CB ? PE ? E , ∴DF ? 平面 PBC ,故 ? DPF 为所求的线面角--------10 分 在 Rt?DEB 中, DE ? DB ? sin 30 ?
?

3 3 5 2 2 , PE ? PD ? DE ? , 2 2
------------------------------------------------------14 分

sin ?DPF ? sin ?DPE ?

DE 5 ? PE 5

a x2 ? a ( x ? 0) ---------2 分 21.解答: (Ⅰ) f ( x) ? x ? ? x x
'

若 a ? 0 ,则 f ' ( x) ? 0 ,所以此时只有递增区间( 0,??) -----------------------------4 分 若 a ? 0 ,当 f ' ( x) ? 0时,得x ? a

当f ' ( x) ? 0时,得0 ? x ? a
所以此时递增区间为: a ,??) ,递减区间为: ( (0, a ) ---------------------6 分 (Ⅱ) g ( x) ? x ?
'

a x2 ? 2x ? a ?2? ( x ? 0) ,设 h( x) ? x2 ? 2x ? a ( x ? 0) x x

若 g (x) 在 [1, e] 上不单调,则 h(1)h(e) ? 0 ,? (3 ? a)(e2 ? 2e ? a) ? 0

? 3 ? a ? e2 ? 2e
同时 g (x) 仅在 x ? e 处取得最大值,?只要g (e) ? g (1) 即可

e2 5 ? 2e ? 得出: a ? 2 2

-------------------------------------------------------------------13 分

? a 的范围: (3,

e2 5 ? 2e ? ) --------------------------------------------------------------------15 分 2 2

22.解答: (Ⅰ)抛物线 C : y ? ax2 即 x ?
2

1 y ,准线方程为: a

y

1 ,-----------2 分 4a 5 1 5 ? ,? a ? 1 ? 点 P(b,1) 到焦点的距离为 ,?1 ? 4 4a 4 y??

M

? 抛物线 C 的方程为 y ? x 2 ---------------------5 分
2 2 ( Ⅱ ) 设 M ( x1 , x1 ), N ( x2 , x2 ) , ? y ? x 2 , ? y ? ? 2 x ,

N x B A

? k AM ? 2 x1 ,

? 切线 AM 的方程为: y ? x12 ? 2x1 ( x ? x1 ) ,即 y ? 2x1 x ? x12 , ----------6 分
2 同理可得切线 BN 的方程为: y ? 2 x2 x ? x2 ---------------------------------------7 分

由于动线段 AB ( B 在 A 右边)在直线 l : y ? x ? 2 上,且 | AB |? 故可设 A(t , t ? 2) , B(t ? 1, t ? 1)

2,

2 2 将 A(t , t ? 2) 代 入 切 线 AM 的 方 程 得 t ? 2 ? 2 x1t ? x1 , 即 x1 ? 2tx1 ? t ? 2 ? 0 ,

2t ? 4t 2 ? 4(t ? 2) ? x1 ? ? t ? t 2 ? t ? 2 ,---------------------------------------------------------9 分 2
2 2 同理可得 x 2 ? t ? 1 ? (t ? 1) ? (t ? 1) ? 2 ? t ? 1 ? t ? t ? 2 ,--------------------------------10 分

? k MN

2 x2 ? x12 ? ? x1 ? x2 ,当 MN // AB 时, k MN ? 1 ,得 x1 ? x2 ? 1 x2 ? x1

?t ? t 2 ? t ? 2 ? t ? 1 ? t 2 ? t ? 2 ? 1,------------------------------------------------------------------12 分 ? 2t ? t 2 ? t ? 2 ? t 2 ? t ? 2 ,? 2t ?
? 2t t ?t ? 2 ? t2 ? t ? 2
2

得 t ? 0 或? t 2 ? t ? 2 ? t 2 ? t ? 2 ? ?1 (舍去)? t ? 0 ---------- ---------15 分



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