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2015届北京市高三数学第一学期期末考试文科解答题分类汇编及详解2015.2


第一部分
东城区 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? 称轴之间的距离为

三角函数与解三角形
? ) ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 2 ,其图象相邻两条对 6

? . 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式及最小正周期; (Ⅱ)设 ? ? (0, ) ,且 f ( ) ? 1 ,求 ? 的值.

? 2

?

2

解: (Ⅰ)因为函数 f ( x ) 的最大值为 2 ,所以 A ? 2 . 由图象相邻两条对称轴之间的距离为 所以 ? =2 .

? ,得最小正周期 T ? ? . 2

=2sin(2 x ? ) . 故函数的解析式为 f ( x)

=2sin(? ? ) (Ⅱ) f ( ) ,由 f ( ) ? 1 得 sin(? ? ) ? 2

?

2 ? ? ? ? 因为 0 ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ? . 2 6 6 3 ? ? ? 所以 ? ? ? ,故 ? = . ???????????13 分 6 6 3 π 4

? 6

?

? 6

????????????6 分

? 6

1 . 2

西城区 15. (本小题满分 13 分)
2 已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin ( x ? ) ,x∈R .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

π π , ] 上是否为增函数?并说明理由. 6 6 π (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ( x ? ) 4 π ?????? 3 分 ? cos 2( x ? ) 4
(Ⅱ)判断函数 f ( x ) 在区间 [ ?

? sin 2 x ,
2π ? π. 2 π π (Ⅱ)解:结论:函数 f ( x ) 在区间 [ ? , ] 上是增函数. 6 6
所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 理由如下:

?????? 5 分 ?????? 7 分 ?????? 9 分

π π ≤ 2 x ≤ 2kπ ? , 2 2 π π 解得 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? , 4 4
由 2kπ ? 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [ kπ ? 分 当 k ? 0 时,知 f ( x) 在区间 [ ? 所以函数 f ( x ) 在区间 [ ?

π π , kπ ? ] , (k ? Z) . 4 4

?????? 12

π π , ] 上单调递增, 4 4
?????? 13 分

π π , ] 上是增函数. 6 6

海淀区(15) (本小题满分 13 分) 函数 f ( x) ? cos( πx ? ? )(0 ? ? ? (Ⅰ )写出 ? 及图中 x0 的值; (Ⅱ )求 f ( x ) 在区间 [?

π ) 的部分图象如图所示. 2
1 2 O

y

1 1 , ] 上的最大值和最小值. 2 3

x0

x

解: (Ⅰ) ? 的值是

π . 3

??????2 分 ??????5 分

4 x0 的值是 . 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: f ( x) ? cos( πx ? 因为 x ? [?

π ). 3

1 1 , ], 2 3 π π 2π 所以 ? ? πx ? ? . ??????7 分 6 3 3 π 1 所以 当 πx ? ? 0 ,即 x ? ? 时, f ( x ) 取得最大值 1 ; ??????10 分 3 3 π 2π 1 1 当 πx ? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . ??????13 分 3 3 3 2

朝阳区 16. (本小题满分 13 分) 已知平面向量 a = (sin x, cos x) ,b = (sin x, ? cos x) ,c = (? cos x, ? sin x) ,x ? R , 函数 f ( x) ? a ? (b ? c) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递减区间;

(Ⅱ)若 f ?

2 ?? ? ,求 sin ? 的值. ?? ?2? 2

(Ⅰ)因为 a = (sin x, cos x) , b = (sin x, ? cos x) , c = (? cos x, ? sin x) , 所以 (b ? c) ? ?sin x ? cos x,sin x ? cos x ? ,

f ( x) ? a ? (b ? c) = sin x(sin x ? cos x) ? cos x(sin x ? cos x) .
? 2 sin(2 x ? ) . 4 ? ? ?? ?? ?? ? x ? k? ? 则当 2k ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? 时,即 k ? ? 时, 2 4 2 8 8
2 2 则 f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? cos x = sin 2 x ? cos 2 x ?

函数 f ( x ) 为减函数, k ? Z . 所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ? k ? ?

? ?

?? ?? ? , k ? ? ? , k ? Z .……………7 分 8 8?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ?

? 2 ?? ? 2 sin(2 x ? ) ,又 f ? ? ? , 4 ?2? 2

则 2 sin(? ? ) ?

? 4

? 1 2 , sin(? ? ) ? . 4 2 2
2

因为 sin (? ? ) ? cos (? ? ) ? 1 ,所以 cos(? ? ) ? ?
2

? 4

? 4

? 4

3 . 2

π π π π ? ?? ? sin ? ? sin ?(? ? ) ? ? ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin . 4 4 4 4 4 4? ?
所以当 cos(? ? ) ?

? 4

3 1 2 3 2 6? 2 ? ? ? 时, sin ? ? ? ; 2 2 2 2 2 4

当 cos(? ? ) ? ?

? 4

3 1 2 3 2 2? 6 ? (? ) ? ? 时, sin ? ? ? . ………13 分 2 2 2 2 2 4
1 cos 2 x ? 1. 2

昌平区 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? (I) 求函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值时的 x 值.

? 2

解: (Ⅰ)因为 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2

………… 4 分 ………… 6 分 ………… 7 分

? ? sin(2 x ? ) ? 1 6 2? ? ?. 所以 T ? 2 ? ? (Ⅱ)因为 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 1 , 0 ? x ? , 6 2 ? ? ?? 所以 ? 2 x ? ? . 6 6 6 ? ? ? 所以当 2 x ? ? 即 x ? 时, 6 2 6
函数 f ( x) 的最大值是 2.

…………9 分

…………13 分

丰台区 15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) , x ? R . (Ⅰ)求 f (

? 6

? 6

? ) 的值; 12 ? 2

(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [ , ?] 上的最大值和最小值,及相应的 x 的值. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 sin x cos x ? cos( 2 x ?

?

? sin 2 x ? (cos 2 x cos

?

6

) ? cos( 2 x ?

?

? sin 2 x sin ) ? (cos 2 x cos ? sin 2 x sin ) 6 6 6 6

?

6

)

?

?

? sin 2x ? 3 cos2x
? 2 sin( 2 x ?
所以 f ( (另解) f (

?
3

).

?
12

) ? 2 sin cos

?
2

? 2.

???????7 分

?

12

) ? 2 sin ? sin

?

?
12

?
6

12

? cos( 2 ?

? sin

?

2

? cos

?
3

? ) ? cos( 2 ? ? ) 12 6 12 6

?

?

?

?

? 2.
(Ⅱ)因为

???????2 分

? x ?? , 2 4? ? 7? ? 2x ? ? 所以 . 3 3 3

?

7? ,即 x ? ? 时, ymax ? 3 ; 3 3 ? 3? 7? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, ymin ? ?2 . ???????13 分 3 2 12 7? 所以当 x ? ? 时, ymax ? 3 ;当 x ? 时, ymin ? ?2 . 12
所以 当 2 x ?

?

?

第二部分
东城区(18) (本小题共 13 分)

统计与概率

为普及宪法知识,某中学举行了首届“宪法知识大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的 成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容 量为 n )进行统计.按照 [50, 60) , [60, 70) , [70, 80) , [80, 90) , [90,100] 的分组作出频率 分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在 [50, 60) , [90,100] 的数据) . (Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x , y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取两名学生参 加“全民宪法知识大赛” ,求所抽取的两名学生中至少有一人得分在 [90,100] 内的概 率. 频率
组距 0.040 x 0.016 0.010 y O 50 60 70 80 90 100 成绩(分)

5 1 2 3 4 5 6 7 8 6 7 8 9 3 4

解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 n ?

8 2 ? 50 , y ? ? 0.004 , 0.016 ?10 50 ?10

x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030 .????????????5 分

(Ⅱ)由题意可知,分数在 [80, 90) 内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1 ,a2 , a 3 ,a4 , a 5 , 分数在 [90,100] 内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1 , b2 . ??????7 分

抽取的两名学生的所有情况有 21 种,分别为: ( a1 ,a2 ) , ( a1 ,a 3 ) , ( a1 ,a4 ) , ( a1 ,a 5 ) ,

( a1 ,b1 ) , ( a1 ,b2 ) , ( a2 ,a 3 ) , ( a2 ,a4 ) , ( a2 ,a 5 ) , ( a2 ,b1 ) , ( a2 ,b2 ) , ( a 3 ,a4 ) , ( a 3 ,a 5 ) , ( a 3 ,b1 ) , ( a 3 ,b2 ) , ( a4 ,a 5 ) , ( a4 ,b1 ) , ( a4 ,b2 ) , ( a 5 , b1 ) , ( a 5 , b2 ) , ( b1 , b2 ). ???????10 分

其中两名同学的分数都不在 [90,100] 内的情况有 10 种,分别为: ( a1 ,a2 ) , ( a1 , , ( a1 ,a4 ) , ( a1 , a 5 ) , ( a2 , a 3 ) , ( a2 ,a4 ) , ( a2 , a 5 ) , ( a 3 ,a4 ) , ( a3 , a3 ) , ( a4 , a 5 ). a5 ) 所 以 抽 取 的 两 名 学 生 中 至 少 有 一 人 得 分 在 [90,100] 内 的 概 率

10 11 P ?1 ? ? .??????13 分 21 21
西城区 18. (本小题满分 13 分) 最近,张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案,且一年后 投资盈亏的情况如下: (1) 投资股市: 投资结果 概 (2) 购买基金: 投资结果 概 (Ⅰ)当 p = 率 获利 不赔不赚 亏损 率 获利 不赔不赚 亏损

1 2

1 8

3 8

p

1 3

q

1 时,求 q 的值; 2

(Ⅱ)已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小,求 p 的取值范围;

(Ⅲ)已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资,假设三种投资结
果出现的可能性相同,求一年后他们两人中至少有一人获利的概率.

(Ⅰ )解:因为“购买基金”后,投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三 种 且三种投资结果相互独立,
1 所以 p + + q =1. 3

?????? 2 分

又因为 p =

1 , 2
?????? 3 分

所以 q = 1 . 6

(Ⅱ)解:由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小, 得 q< 因为
3 , 8
1 p + + q =1, 3

?????? 4 分

所以 q =

2 3 7 . - p < ,解得 p > 3 8 24

?????? 7 分

又因为 p + 所以 p≤ 所以

1 + q = 1 , q≥0 , 3

2 . 3
?????? 8 分

7 2 < p≤ . 24 3

(Ⅲ)解:记事件 A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利” , ???? 9 分 用 a , b , c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损” ,用 x ,

y , z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损” ,
则一年后张师傅和李师傅购买基金,所有可能的投资结果有 3 ? 3 ? 9 种, 它们是:

( a, x ) , (a, y) , (a, z ) , (b, x) , (b, y ) , (b, z ) , (c, x) , (c, y ) , (c, z ) , ???10 分
所以事件 A 的结果有 5 种,它们是: ( a, x ) , (a, y) , ( a, z ) , (b, x) , (c, x) .?? 11 分 因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率 P( A) ?

5 . ????13 分 9

海淀区(16) (本小题满分 13 分) 某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》 ,共有 50 名同学选修,其中男同学 30 名,女同学 20 名. 为了对这门课程的教学效果进行评估,学校按性别采用分层抽样的方 法抽取 5 人进行考核. (Ⅰ)求抽取的 5 人中男、女同学的人数; (Ⅱ)考核前,评估小组打算从选出的 5 人中随机选出 2 名同学进行访谈,求选出的两名同 学中恰有一名女同学的概率; (Ⅲ)考核分答辩和笔试两项. 5 位同学的笔试成绩分别为 115,122,105, 111,109;结 合答辩情况,他们的考核成绩分别为 125,132,115, 121,119.这 5 位同学笔试成绩与考
2 2 2 2 核成绩的方差分别记为 s1 , s2 ,试比较 s1 与 s2 的大小. (只需写出结论)

解:(Ⅰ)抽取的 5 人中男同学的人数为

5 5 ? 30 ? 3 ,女同学的人数为 ? 20 ? 2 . 50 50
?????4 分

(Ⅱ)记 3 名男同学为 A1 , A2 , A3 ,2 名女同学为 B1 , B2 . 从 5 人中随机选出 2 名同学,所有 可能的结果有 A 1A 2, A 1A 3, A 1B 1, A 1B2 , A 2A 3, A 2B 1 , A2 B2 , A 3B 1, A 3 B2 , B 1B2 ,共 10 个. ????6 分 用 C 表示: “选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件,则 C 中的结果有 6 个,它们是:

A1B1, A1B2 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 .
所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率 P(C ) ?
2 2 (Ⅲ) s1 . ? s2

?????8 分

6 3 ? . 10 5

?????10 分 ??????13 分

朝阳区 15. (本小题满分 13 分) 某幼儿园有教师 30 人,对他们进行年龄状况和受教育程度的调查,其结果如下: 本科 35 岁以下 35 ~ 50 岁 (含 35 岁 和 50 岁) 50 岁以上 5 17 研究生 2 3 合计 7 20

2

1

3

(Ⅰ)从该幼儿园教师中随机抽取一人,求具有研究生学历的概率; (Ⅱ)从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人,求有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生的概率. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设: “从该幼儿园教师中随机抽取一人,具有研究生学历”为事件 A , 由题可知幼儿园总共有教师 30 人,其中“具有研究生学历”的共 6 人. 则 P ( A) =

6 1 = . 30 5 1 . ………4 分 5

答:从该幼儿园教师中随机抽取一人,具有研究生学历的概率为

(Ⅱ)设幼儿园中 35 岁以下具有研究生学历的教师为 A1 , A2 ,35~50 岁(含 35 岁和 50 岁 具有研究生学历的教师为 B1 , B2 , B3 , 50 岁以上具有研究生学历的教师为 C , 幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人,所有可能结果有 15 个,它们是: ( A1 , A2 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , B3 ) , ( A1 , C ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , B3 ) , ( A2 , C ) , ( B1 , B2 ) , ( B1 , B3 ) , ( B1 , C ) , ( B2 , B3 ) ,

( B2 , C ) , ( B3 , C ) , 记 “从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人, 有 35 岁以下的研究生或 50 岁以 上的研究生”为事件 D ,则 D 中的结果共有 12 个,它们是: ( A1 , A2 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , , ( A1 , B3 ) , ( A1 , C ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , B3 ) , ( A2 , C ) , ( B1 , B2 )

C) , ( B2 , C ) , ( B3 , C ) ,故所求概率为 P ( D) =

12 4 = . 15 5
………………13 分

答: 从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人, 有 35 岁以下的研究生或 50 岁以 上的研究生的概率为

4 . 5

昌平区 16.(本小题满分 13 分) 有 20 名学生参加某次考试,成绩(单位:分)的 频率分布直方图如图所示: (I)求频率分布直方图中 m 的值; (Ⅱ) 分别求出成绩落在 [70,80),[80,90),[90,100] 中 的学生人数; (III)从成绩在 [80,100] 的学生中任选 2 人,求所 选学生的成绩都落在 [80,90) 中的概率.
O 50 60 70 80 90 100
成绩(分)
频率 组距

6m 5m 4m 3m 2m

解: (I)由题意 10 ? (2m ? 3m ? 4m ? 5m ? 6m) ? 1 , m ? 0.005 . ………3 分 (II)成绩落在 [70,80) 中的学生人数为 20 ? 10 ? 0.03 ? 6 , 成绩落在 [80,90) 中的学生人数 20 ? 10 ? 0.02 ? 4 成绩落在 [90,100] 中的学生人数 20 ? 10 ? 0.01 ? 2 . ……………6 分

(III)设落在 [80,90) 中的学生为 a1 , a2 , a3 , a4 ,落在 [90,100] 中的学生为 b1 , b2 , 则 ?1 ? {a1a2 , a1a3 , a1a4 , a1b1 , a1b2 , a2a3 , a2a4 , a2b1 , a2b2 , a3a4 , a3b1 , a3b2 , a4b1 , a4b2 , b1b2 } , 基 本事件个数为 n ? 15 , 设 A=“此 2 人的成绩都在 [80,90) ”,则事件 A 包含的基本事件数 m ? 6 , 所以事件 A 发生概率 P ( A) ?

m 6 2 ? ? . n 15 5

……………13 分

丰台区 16.(本小题共 13 分) 某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平, 在全市范围内随机抽取了近千名学生参加 汉字听写考试, 将所得数据进行分组, 分组区间为: [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], 并绘制出频率分布直方图,如图所示. (Ⅰ)求频率分布直方图中的 a 值;从该市随机选取一名学生,试估计这名学生参加考 试的成绩低于 90 分的概率; (Ⅱ)设 A,B,C 三名学生的考试成绩在区间[80,90)内,M,N 两名学生的考试成绩 在区间[60,70)内,现从这 5 名学生中任选两人参加座谈会,求学生 M,N 至少有一人被选中 的概率; (Ⅲ)试估计样本的中位数落在哪个分组区间内 (只需写出结论) . (注:将频率视为相应的概率)
频率 组距

0.03 0.025 0.02

a
0.01

O

50

60

70 80

90 100 考试成绩(分)

解: (Ⅰ) a ? 0.1 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.02 ? 0.01 ? 0.015 估 计 这 名 学 生 参 加 考 试 的 成 绩 低 于 90 分 的 概 率 为 1-0.15=0.85 ???????3 分 (Ⅱ)从这 5 位学生代表中任选两人的所有选法共 10 种,分别为:AB,AC ,AM, AN,BC,BM,BN,CM,CN,MN.代表 M,N 至少有一人被选中的选法共 7 种,分别为: AM,AN,BM,BN,CM,CN,MN. 设“学生代表 M,N 至少有一人被选中”为事件 D,

P ( D )=

7 . 10 7 . 10

???????11 分

答:学生代表 M,N 至少有一人被选中的概率为 (Ⅲ)样本的中位数落在分组区间[70,80)内.

??????13 分

第三部分
东城区(17) (本小题共 14 分)

立体几何

在三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC , ?BCA ? 90 , E 为 PC 的中点, M 为

AB 的中点,点 F 在 PA 上,且 AF ? 2 FP .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求证: CM 平面 BEF ; (Ⅲ)若 PB ? BC ? CA ? 2 ,求三棱锥 E ? ABC 的体积.

证明: (Ⅰ)因为 PB ? 底面 ABC ,且 AC ? 底面 ABC , 所以 AC ? PB . 由 ?BCA ? 90 ,可得 AC ? CB .

CB ? B , 所以 AC ? 平面 PBC .
又 PB (Ⅱ)取 AF 的中点 G ,连结 CG , GM .

?????????5 分

因为 AF ? 2 FP , G 为 AF 中点,所以 F 为 PG 中点. 在△ PCG 中, E , F 分别为 PC , PG 中点, 所以 EF 所以 CG

CG .又 CG ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF ,
平面 BEF . 平面 BEF .

同理可证 GM 又 CG

GM ? G ,
平面 BEF .

所以平面 CMG

又 CM ? 平面 CMG , 所以 CM 平面 BEF . ?????11 分

(Ⅲ)取 BC 中点 D ,连结 ED . 在△ PBC 中, E , D 分别为中点,所以 ED

PB .

因为 PB ? 底面 ABC ,所以 ED ? 底面 ABC . 由 PB ? BC ? CA ? 2 ,可得 V ?

1 1 1 2 S ?ABC ? ED ? ? ? 2 ? 2 ?1 ? .??14 分 3 3 2 3

西城区 17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, A1 A ? 底面 ABCD , ?BAD ? 90 , AD // BC , 且 A1 A ? AD ? 2BC ? 2 , AB ? 1 . 点 E 在棱 AB 上,平面 A 与棱 C1D1 相交于点 F. 1EC (Ⅰ)求证: A1F ∥平面 B1CE ; A1 (Ⅱ)求证: AC ? 平面 CDD1C1 ; (Ⅲ)写出三棱锥 B1 ? A1EF 体积的取值范围 . (结论不 要求证明) (Ⅰ)证明:因为 ABCD ? A1B1C1D1 是棱柱, 所以平面 ABCD∥ 平面 A1B1C1D1 . 又因为平面 ABCD 平面 A 1B 1C1D 1 所以 A1F ∥ CE . 又 A1F ? 平面 B1CE , CE ? 平面 B1CE , 所以 A1F ∥平面 B1CE . (Ⅱ)证明:在四边形 ABCD 中, 因为 ?BAD ? 90 , AD // BC ,且 AD ? 2 BC , AD ? 2 , AB ? 1 , 所以 AC 2 ? 12 ? 12 ? 2 , CD2 ? 12 ? 12 ? 2 . 所以 AC 2 ? CD2 ? AD2 , 所以 ?ACD ? 90 ,即 AC ? CD . 因为 A1 A ? 平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD , 所以 A1 A ? AC . 因为在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, A1 A//C1C , 所以 C1C ? AC . ???????9 分 ???????7 分 ???????6 分 平面 A1ECF ? EC , B A E C D B1 C1 F D1

平面 A1ECF ? A1F , ???????3 分

又因为 CD, C1C ? 平面 CDD1C1 , CD 所以 AC ? 平面 CDD1C1 .

C1C ? C ,
???????11 分 ???????14 分

1 2 (Ⅲ)解:三棱锥 B1 ? A1EF 的体积的取值范围是 [ , ] . 3 3
海淀区(17) (本小题满分 14 分)

如图所示,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1C1C 是菱形,平面 1B 1B 为正方形, BB

AA1B1B ? 平面 BB1C1C .
(Ⅰ)求证: BC // 平面 AB1C1 ; (Ⅱ)求证: B1C ? AC1 ; (Ⅲ)设点 E , F , H , G 分别是 B1C, AA 1, A 1B 1, B 1C1 的中点,试判断 E , F , H , G 四点是否共 面,并说明理由. 证明: (Ⅰ)在菱形 BB1C1C 中, BC ∥ B1C1 . 因为 BC ? 平面 AB1C1 , B1C1 ? 平面 AB1C1 , 所以 BC // 平面 AB1C1 . (Ⅱ)连接 BC1 . 在正方形 ABB1 A 1. 1 中, AB ^ BB 因为 平面 AA 1C1C ,平面 AA 1B 1 B ? 平面 BB 1B 1B
A B A1 B1

C

C1

??????3 分

平面

BB1 C1 C ? BB 1, AB ? 平面 ABB 1A 1,
所以 AB ^ 平面 BB1C1C . 因为 B1C ? 平面 BB1C1C , 所以 AB ^ B1C . ??????6 分 ??????5 分

在菱形 BB1C1C 中, BC1 ^ B1C . 因为 BC1 ? 平面 ABC1 , AB ? 平面 ABC1 , BC1

AB = B ,

所以 B1C ^ 平面 ABC1 . 因为 AC1 ? 平面 ABC1 , 所以 B1C ? AC1 . (Ⅲ) E , F , H , G 四点不共面. 理由如下: 因为 E , G 分别是 B1C, B1C1 的中点, 所以 GE ∥ CC1 . 同理可证: GH ∥ C1 A1 . 因为 GE ? 平面 EHG , GH ? 平面 EHG , GE

?????8 分

??????10 分 ????11 分
C C1 E

G

B H

B1 A1

GH = G ,

A

F

CC1 ? 平面 AAC 1 1C , A 1C1 ? 平面 AAC 1 1C ,
所以 平面 EHG ∥平面 AAC 1 1C . 因为 F ? 平面 AAC 1 1C , 所以 F ? 平面 EHG ,即 E , F , H , G 四点不共面. ??????14 分

朝阳区 17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PD ? 平面 ABCD .点 E 是线段 BD 的中点,点 F 是线段 PD 上的动点. (Ⅰ)若 F 是 PD 的中点,求证: EF //平面 PBC ; (Ⅱ)求证: CE ? BF ; (Ⅲ)若 AB ? 2 , PD ? 3 ,当三棱锥 P ? BCF 的体积 等于 P

4 时,试判断点 F 在边 PD 上的位置,并说明理由. 3

F

D E A B

C

(Ⅰ)证明: 在 ?PDB 中,因为点 E 是 BD 中点,点 F 是 PD 中点, 所以 EF // PB . 又因为 EF ? 平面 PBC , PB ? 平面 PBC , 所以 EF //平面 PBC .…………4 分 (Ⅱ)证明: 因为 PD ? 平面 ABCD , 且 CE ? 平面 ABCD , 所以 PD ? CE . 又因为底面 ABCD 是正方形,且点 E 是 BD 的中点, 所以 CE ? BD . 因为 BD A

P

F

D E B

C

PD ? D ,所以 CE ? 平面 PBD ,

而 BF ? 平面 PBD ,所以 CE ? BF . ????9 分 (Ⅲ)点 F 为边 PD 上靠近 D 点的三等分点. 说明如下: 由(Ⅱ)可知, CE ? 平面 PBF . 又因为 PD ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BD . 设 PF ? x . 由 AB ? 2 得 BD ? 2 2 , CE ? 2 , 所以 VP ? BCF ? VC ? BPF ? 由已知

1 1 1 2 ? ? PF ? BD ? CE ? ? 2 2 ? 2 x ? x . 3 2 6 3

2 4 x ? , 所以 x ? 2 . 3 3

因为 PD ? 3 ,所以点 F 为边 PD 上靠近 D 点的三等分点.????14 分

昌平区 18. (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形,
P

?DAC =90 , O 为 AC 的中点, PO ? 底面 ABCD .
(I)求证: AD ? 平面 PAC ; ( II )在线段 PB 上是否存在一点 M ,使得 OM // 平面
D A O C B

PAD ?若存在,写出证明过程;若不存在,请说明理由.

证明: (I)在 ?ADC 中,

因为 ?DAC =90 ,所以 AD ? AC.
又因为 PO ? 面ABCD , AD ? 平面ABCD 所以 PO ? AD . 又因为 PO 所以 AD ? 平面PAC . (II)存在.当 M 为 PB 中点时, OM//平面PAD .

AC =O,PC、AC ? 平面PAC ,
……………6 分 ……………7 分
P

证明: 设 PA、AD 的中点分别为 E、 F , 连结 OF、ME、EF ,

在?ACD中,O为AC 的中点,

1 所以 OF //CD,OF = CD . 2
在?PAB中,M 、E为PB、PA 的中点,
所以 ME //AB, ME =
ME //OF,ME =OF ,
E D F A O M C B

1 2

AB ,

所以 四边形 OMEF 是平行四边形, 所以 OM / / EF . 因为 OM ? 平面PAD , EF ? 平面PAD , 所以 OM / / 平面PAD . ……………14 分

丰台区 17.(本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60° ,平面 SAD⊥平面 ABCD, SA=SD,E,P,Q 分别是棱 AD,SC,AB 的中点. S (Ⅰ)求证:PQ∥平面 SAD; (Ⅱ)求证:AC⊥平面 SEQ; P (Ⅲ)如果 SA=AB=2,求三棱锥 S-ABC 的体积.
D C

(Ⅰ)证明:取 SD 中点 F,连结 AF,PF. 因为 P,F 分别是棱 SC,SD 的中点,

E A Q B

1 所以 FP∥CD,且 FP= CD. 2
又因为菱形 ABCD 中, Q 是 AB 的中点, 所以 AQ∥CD, 且 AQ = 所以 FP//AQ 且 FP=AQ. 所以 AQPF 为平行四边形. 所以 PQ//AF. 又因为 PQ ? 平面 SAD , AF ? 平面 SAD , 所以 PQ//平面 SAD . ???????5 分

1 CD. 2

S

F

P

D E A Q B

C

(Ⅱ)证明:连结 BD, 因为 △SAD 中 SA=SD,点 E 棱 AD 的中点, 所以 SE⊥AD. 又 平面 SAD⊥平面 ABCD, 平面 SAD 平面 ABCD=AD, SE ? 平面 SAD , 所以 SE⊥平面 ABCD, 所以 SE⊥AC. 因为 底面 ABCD 为菱形, E,Q 分别是棱 AD,AB 的中点, 所以 BD⊥AC,EQ∥BD. 所以 EQ⊥AC, 因为 SE EQ=E,

S

F

P

D E A Q B

C

所以 AC⊥平面 SEQ. (Ⅲ)解:因为菱形 ABCD 中,∠BAD=60° ,AB=2, 所以 S?ABC =

???????11 分

1 AB ? BC ? sin ?ABC = 3 . 2

因为 SA=AD=SD=2,E 是 AD 的中点,所以 SE= 3 . 由(Ⅱ)可知 SE⊥平面 ABC, 所以三棱锥 S-ABC 的体积 V = S ?ABC ? SE ? 1 .

1 3

???????14 分

第四部分
东城区(16) (本小题共 13 分)

数列

已知数列 ?an ? 是等差数列,数列 ?bn ? 是公比大于零的等比数列,且 a1 ? b1 ? 2 ,

a3 =b3 ? 8 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)记 cn ? abn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . 解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,且 q ? 0 . 由 a1 ? 2 , a3 ? 8 得 8=2+2d ,解得 d ? 3 . 所以 an ? 2 ? (n ?1) ? 3 ? 3n ? 1 , n ? N . 由 b1 ? 2 , b3 ? 8 得 8=2q ,又 q ? 0 ,解得 q ? 2 .
2
?

所以 bn ? 2 ? 2n?1 ? 2n , n ? N . (Ⅱ)因为 cn ? abn ? 3? 2 ?1 ,
n

?

????????????7 分 ????????????9 分

所以 Sn ? 3 ?

2(1 ? 2n ) ? n =3 ? 2n?1 ? n ? 6 .????????????13 分 1? 2

西城区 16. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足 a2 ? 5 ,且其前 n 项和 Sn ? pn2 ? n . (Ⅰ)求 p 的值和数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 为等比数列,公比为 p ,且其前 n 项和 Tn 满足 T5 ? S5 ,求 b1 的取值范围.

(Ⅰ)解:由题意,得 S1 ? p ? 1 , S2 ? 4 p ? 2 , 因为 a2 ? 5 , S2 ? a1 ? a2 , 所以 S2 ? 4 p ? 2 ? p ? 1 ? 5 , 解得 p ? 2 .
2 所以 Sn ? 2n ? n .当 n≥2 时,由 an ? Sn ? Sn ?1 ,

?????? 3 分 ?????? 5 分 ?????? 7 分

得 an ? (2n2 ? n) ? [2(n ? 1)2 ? (n ? 1)] ? 4n ? 3 . 验证知 n ? 1 时, a1 符合上式, 所以 an ? 4n ? 3 , n ? N* . (Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,得 Tn ? 因为 T5 ? S5 ,
5 2 所以 b1 (2 ? 1) ? 2 ? 5 ? 5 ,

?????? 8 分

b1 (1 ? 2n ) ? b1 (2n ? 1) . 1? 2

?????? 10 分

解得 b1 ?

45 . 31

?????? 12 分

又因为 b1 ? 0 , 所以 b1 的取值范围是 (??,0)

(0,

45 ). 31

?????? 13 分

海淀区(20) (本小题满分 14 分) 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足 a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ? p ( p 为 常 数 ,

n ? 1, 2,3,

).

(Ⅰ)若 S3 ? 12 ,求 Sn ; (Ⅱ)若数列 {an } 是等比数列,求实数 p 的值. (Ⅲ)是否存在实数 p ,使得数列 {

1 } 满足:可以从中取出无限多项并按原来的先后次序 an

排成一个等差数列?若存在,求出所有满足条件的 p 的值;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)因为 a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ? p , 所以 2a2 ? 2a1 ? p ? 2 ? p , 2a3 ? 2a2 ? p ? 2 ? 2 p . 因为 S3 ? 12 , 所以 2 ? 2 ? p ? 2 ? 2 p ? 6 ? 3 p ? 24 ,即 p ? 6 . 所以 an?1 ? an ? 3(n ? 1, 2,3, ?????? 2 分

).

所以 数列 {an } 是以 1 为首项,3 为公差的等差数列.

n(n ? 1) 3n 2 ? n ?3 ? 所以 Sn ? 1? n ? . 2 2
2 (Ⅱ)若数列 {an } 是等比数列,则 a2 ? a1a3 .

?????? 4 分

由(Ⅰ)可得: (1 ? 解得: p ? 0 .

p 2 ) ? 1? (1 ? p) . 2

?????? 6 分

当 p ? 0 时,由 2an?1 ? 2an ? p 得: an?1 ? an ?

? 1.

显然,数列 {an } 是以 1 为首项,1 为公比的等比数列. 所以 p ? 0 . ?????? 7 分

(Ⅲ)当 p ? 0 时,由(Ⅱ)知: an ? 1(n ? 1, 2,3, 所以

).

1 1 ? 1(n ? 1, 2,3, ) ,即数列 { } 就是一个无穷等差数列. an an

所以 当 p ? 0 时,可以得到满足题意的等差数列. 当 p ? 0 时,因为 a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ? p ,即 an ?1 ? an ?

p , 2

所以 数列 {an } 是以 1 为首项,

p 为公差的等差数列. 2

所以 an ?

p p n ?1? . 2 2
1 } 中不能取出无限多项并按原来次序排列而成 an

下面用反证法证明:当 p ? 0 时,数列 { 等差数列. 假设存在 p0 ? 0 ,从数列 { 数列 {bn } 的公差为 d . ①当 p0 ? 0 时, an ? 0(n ? 1, 2,3,

1 } 中可以取得满足题意的无穷等差数列,不妨记为 {bn } . 设 an

).

所以 数列 {bn } 是各项均为正数的递减数列. 所以 d ? 0 . 因为 bn ? b1 ? (n ?1)d (n ? 1, 2,3, 所以 当 n ? 1 ?

),

b1 b 时, bn ? b1 ? (n ? 1)d ? b1 ? (1 ? 1 ? 1)d ? 0 ,这与 bn ? 0 矛盾. d d p0 p 2 n ? 1 ? 0 ? 0 ,解得: n ? 1 ? . 2 2 p0

②当 p0 ? 0 时,令

所以 当 n ? 1 ?

2 时, an ? 0 恒成立. p0

所以 数列 {bn } 必然是各项均为负数的递增数列.

所以 d ? 0 . 因为 bn ? b1 ? (n ?1)d (n ? 1, 2,3, 所以 当 n ? 1 ?

),

b1 b 时, bn ? b1 ? (n ? 1)d ? b1 ? (1 ? 1 ? 1)d ? 0 ,这与 bn ? 0 矛盾. d d
?????? 14 分

综上所述, p ? 0 是唯一满足条件的 p 的值.

朝阳区 18.(本小题满分 13 分) 已知公比为 q 的等比数列 ?an ? (n ? N? ) 中, a2 ? 2 ,前三项的和为 7 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 0 ? q ? 1 ,设数列 {bn } 满足 bn ? a1 ? a2 ? ... ? a n , n ? N ,求使 0 ? bn ? 1 的 n 的 最小值.
?

(Ⅰ)由已知得, ?

?a2 ? 2 1 ,解得 q ? 2 , a1 ? 1 或 q ? , a1 ? 4 . 2 ?a1 ? a2 ? a3 ? 7
1 2
n ?3

则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n?1 或 an ? ( ) (Ⅱ)因为 0 ? q ? 1 ,所以 an ? ( )

, n ? N ……………5 分

?

1 2

n ?3

,n?N .

?

1 ? bn ? a1 ? a2 ? ... ? a n ? ( ) ?2? 1 2

? 0 ?. . n? . (

1 n( n? 5 ) ?3 ( ) ) 2 , n ? N? . 2

n( n ? 5) 1 n ( n2?5) ? 0 ,即 ? 1 ,即 由 0 ? bn ? 1 ,即 0 ? ( ) 2 2
即 n ? 5 .则使 0 ? bn ? 1 的最小的 n 的值为 6 . …………………13 分

昌平区 17.(本小题满分 13 分) 在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2, a5 ? 16 . (I)求等比数列 ?an ? 的通项公式; (II)若等差数列 ?bn ? 中, b1 ? a5 , b8 ? a2 ,求等差数列 ?bn ? 的前 n 项的和 Sn ,并求 Sn 的最大值.

解: (I)在等比数列 ?an ? 中,设公比为 q , 因为 a2 ? 2, a5 ? 16 , 所以 ?

? a1q ? 2

?a1 ? 1 , 得 ? 4 ?q ? 2 ? a1q ? 16
……………5 分

所以 数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 2n?1 . (II)在等差数列 ?bn ? 中,设公差为 d . 因为 b1 ? a5 , b8 ? a2 ,

?b1 =a5 ? 16 ?b1 ? 16 ?b =16 , ? , ?1 , ? 所以 ?b8 ? a2 =2 ?b1 +7d =2 ? d = ? 2
方法一

……………9 分

S n ? b1n ?

n( n ? 1 ) d ? ? n 2 ? 17n , 2
……………13 分

当 n ? 8 或 9 时, Sn 最大值为 72. 方法二

由 bn ? 18 ? 2n ,当 bn ? 18 ? 2n ? 0 ,解得 n ? 9 ,即 a9 ? 0, a8 ? 2. 所以当 n ? 8 或 9 时, Sn 最大值为 72. ……………13 分

丰台区 20.(本小题共 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 S n ? ? an ?

n * , (? ? ?1 , n ? N ) . ? ?1

(Ⅰ)如果 ? ? 0 ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)如果 ? ? 2 ,求证:数列 {an ? } 为等比数列,并求 Sn ; (Ⅲ)如果数列 {an } 为递增数列,求 ? 的取值范围.

1 3

解: (Ⅰ) ? ? 0 时, Sn ? ?n , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?1 ,

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ?1 , 所以 an ? ?1 . (Ⅱ)证明:当 ? ? 2 时, S n ? 2 an ? ???????3 分

n , 3 n ?1 Sn ?1 ? 2an ?1 ? , 3 1 相减得 an ?1 ? 2an ? . 3 1 1 所以 an ?1 ? ? 2( an ? ) , 3 3 1 1 2 又因为 a1 ? , a1 ? ? ? 0 , 3 3 3 1 所以数列 {an ? } 为等比数列, 3
所 以

1 2n an ? ? 3 3
???????8 分



n 2n ?1 n ? 2 Sn ? 2an ? ? ? . 3 3 3
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知,显然 ? ? 0 当 n ? 1 时,则 S1 ? ? a1 ?

1 1 ,得 a1 ? 2 . ? ?1 ? ?1 n 当 n ? 2 时, S n ? ? an ? , ? ?1 n ?1 S n ?1 ? ? an ?1 ? , ? ?1 ? 1 an ?1 ? 2 相减得 an ? , ? ?1 ? ?1 1 ? 1 ? (an ?1 ? ). 即 an ? ? ?1 ? ?1 ? ?1 1 ? ? 2 ?0. 因为 ? ? ?1 ,所以 a1 ? ? ?1 ? ?1 1 } 为等比数列. 所以 {an ? ? ?1 ? ? n ?1 1 1 ? n 1 ( ) ? ? ( ) ? 所以 an ? 2 . ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1
因为数列 ?an ?为递增数列,

? 1 ?0 ? ?? ?1 所以 ? 或 ? ? ?1 ? ? ?1 ?

? 1 ?0 ? ? ? ?1 , ? ?0 ? ? ? 1 ? ? ?1 ?
????????13 分

所以 ? 的取值范围是 ? ? 1 或 ? ? ?1 .

第五部分
东城区(20) (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 , a , b ? R .

导数

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ?

1 相切,求 a , b 的值; 2 1 e

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求 f ( x ) 在 [ , e] 上的最大值;

(Ⅲ)若不等式 f ( x) ? x 对所有的 b ? (?? , 0] , x ? (e,e2 ] 都成立,求 a 的取值范围.

解: (Ⅰ) f ?( x ) ?

a ? 2bx . x

? f ?(1) ? 0, ?a ? 2b ? 0, 1 ? ? 由函数 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切,得 ? 1 即? 1 2 f (1) ? ? . ??b ? ? . ? ? 2 ? 2 ?a ? 1, ? 解得 ? 1 b? . ? ? 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? ln x ?

???????????4 分

1 2 x ,定义域为 (0, ??) . 2

此时 f ?( x) ?

1 1 ? x2 ?x = .令 f ?( x) ? 0 , 解得 0 ? x ? 1 , 令 f ?( x) ? 0 , 得 x ?1. x x

所以 f ( x ) 在(

1 , 1 )上单调递增,在( 1 , e )上单调递减, e
1 . 2

所以 f ( x ) 在 [ , e] 上的最大值为 f (1) ? ?

1 e

???????????8 分

(Ⅲ)若不等式 f ( x) ? x 对所有的 b ? (?? , 0] , x ? (e,e2 ] 都成立, 即 a ln x ? bx 2 ? x 对所有的 b ? (?? , 0] , x ? (e,e2 ] 都成立, 即 a ln x ? x ? bx 2 对所有的 b ? (?? , 0] , x ? (e,e2 ] 都成立, 即 a ln x ? x ? 0 对 x ? (e,e2 ] 恒成立. ???????11 分

即a ?

x 对 x ? (e,e2 ] 恒成立, ln x

即 a 大于或等于

x 在区间 (e,e2 ] 上的最大值. ln x

令 h( x ) ?

ln x ? 1 x = ,则 h?( x) ,当 x ? (e,e2 ] 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增, (ln x) 2 ln x
x e2 e2 2 2 , x ? (e,e ] 的最大值为 h(e ) ? .即 a ? . ln x 2 2

所以 h( x) ?

所以 a 的取值范围是 [

e2 , ? ?) . 2

????????????14 分

西城区 20. (本小题满分 13 分) 对于函数 f ( x), g ( x) ,如果它们的图象有公共点 P,且在点 P 处的切线相同,则称函数

f ( x) 和 g ( x) 在点 P 处相切,称点 P 为这两个函数的切点.
设函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) , g ( x) ? ln x .
2

(Ⅰ)当 a ? ?1 , b ? 0 时, 判断函数 f ( x) 和 g ( x) 是否相切?并说明理由; (Ⅱ)已知 a ? b , a ? 0 ,且函数 f ( x) 和 g ( x) 相切,求切点 P 的坐标;

(Ⅲ)设 a ? 0 ,点 P 的坐标为 ( , ?1) ,问是否存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ,使 得它们在点 P 处相切?若点 P 的坐标为 (e2 , 2) 呢?(结论不要求证明) (Ⅰ)解:结论:当 a ? ?1 , b ? 0 时,函数 f ( x) 和 g ( x) 不相切. 理由如下: 由条件知 f ( x) ? ? x2 , 由 g ( x) ? ln x ,得 x ? 0 , 又因为 f ?( x) ? ?2 x , g ?( x) ? 1 , x 所以当 x ? 0 时, f ?( x) ? ?2 x ? 0 , g ?( x) ? 1 ? 0 , x 所以对于任意的 x ? 0 , f ?( x) ? g ?( x) . 当 a ? ?1 , b ? 0 时,函数 f ( x) 和 g ( x) 不相切. (Ⅱ)解:若 a ? b ,则 f ?( x) ? 2ax ? a , g ?( x) ? 设切点坐标为 ( s, t ) ,其中 s ? 0 , 由题意,得 as 2 ? as ? ln s , ① ② ???????4 分 ???????3 分 ???????2 分 ???????1 分

1 e

1 , x

2as ? a ?
由②,得 a ?

1 , s

1 , s (2 s ? 1) s ?1 代入①,得 ? ln s . 2s ? 1 1 ? 0 ,且 s ? 0 , 因为 a ? s(2s ? 1)
所以 s ?

(*)

???????5 分

1 . 2

x ?1 1 ? ln x , x ? ( , ??) , 2x ?1 2 ?(4 x ? 1)( x ? 1) 则 F ?( x) ? . x(2 x ? 1) 2 1 令 F ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? (舍). 4
设函数 F ( x ) ? 当 x 变化时, F ?( x) 与 F ( x) 的变化情况如下表所示,

???????6 分 ???????7 分

x
F ?( x)

1 ( ,1) 2

1 0

(1, ??)

?

?

F ( x)



↘ ???????8 分

1 所以当 x ? 1 时, F ( x) 取到最大值 F (1) ? 0 ,且当 x ? ( ,1) (1, ??) 时 F ( x) ? 0 . 2
因此,当且仅当 x ? 1 时 F ( x) ? 0 . 所以方程(*)有且仅有一解 s ? 1 . 于是 t ? ln s ? 0 , 因此切点 P 的坐标为 (1, 0) . ???????9 分

(Ⅲ) 解: 当点 P 的坐标为 ( , ?1) 时, 存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) , 使得它们在点 P 处相切; ???????11 分

1 e

当点 P 的坐标为 (e2 , 2) 时,不存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ,使得它们在点 P 处 相 切. ???????13 分

海淀区(19) (本小题满分 13 分)

ex 已知函数 f ( x) ? . x
(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 ax ? y ? 0 ,求 x0 的值; (Ⅱ)当 x ? 0 时,求证: f ( x) ? x ; (Ⅲ) 问集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}( b ? R 且为常数) 的元素有多少个? (只需写出结论)

ex x ? ex (Ⅰ)解: f '( x) ? . x2
因为 切线 ax ? y ? 0 过原点 (0, 0) ,

??????1 分

e x0 e x0 x0 ? e x0 x 所以 ? 0 . 2 x0 x0
解得: x0 ? 2 .

??????3 分

??????4 分

f ( x) e x e x ( x 2 ? 2 x) ? 2 ( x ? 0) ,则 g '( x) ? (Ⅱ)证明:设 g ( x) ? . x x x4

令 g '( x) ?

e x ( x 2 ? 2 x) ? 0 ,解得 x ? 2 . x4

??????6 分

x 在 (0, ??) 上变化时, g '( x), g ( x) 的变化情况如下表
x
g '( x )

(0, 2)


2

(2, +
+ ↗

)

0

g ( x)

e2 4 e2 . 4

所以 当 x ? 2 时, g ( x) 取得最小值

??????8 分

所以 当 x ? 0 时, g ( x) ?

e2 4

1 ,即 f ( x) ? x .

??????9 分

(Ⅲ)解:当 b ? 0 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 0; 当0 ? b ?

e2 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 1; 4

e2 当b ? 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 2; 4
当b ?

e2 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 3. 4

??????13 分

朝阳区 19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? a ln x , a ? R . (I)若 x ? 1 是 f ( x ) 的极值点,求 a 的值: (Ⅱ)当 a ? e 时,求证: f ( x) ? e .

(I)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . 因为 f ?( x ) ? e ?
x

a , x

又 x ? 1 是 f ( x ) 的极值点,所以 f ?(1) ? e ? a ? 0 ,解得 a ? e . 经检验, x ? 1 是 f ( x ) 的极值点,

所以 a 的值为 e . (Ⅱ)证明: 方法 1: 当 a ? e 时, f ( x) ? ex ? eln x . 所以 f ?( x) ? e x ?

………5 分

e xe x ? e . ? x x

若 0 ? x ? 1 ,则 1<e x ? e ,所以 xe x ? e ,所以 xe x ? e<0 . 所以函数 f ( x ) 在 (0,1) 单调递减. 若 x ? 1 ,则 e x >e ,所以 xe x >e ,所以 xe x ? e>0 . 所以函数 f ( x ) 在 (1, ??) 单调递增. 所以当 x ? 1 时, f ( x)min ? f (1) ? e . ( x ? 0 时, e x ? e ln x ??? ; x ??? 时, e x ? e ln x ??? .) 所以 f ( x) ? e . 方法 2: 当 a ? e 时, f ( x) ? ex ? eln x , 所以 f ?( x) ? e x ? ………13 分

e xe x ? e . ? x x

设 g ( x) ? xe x ? e ,则 g ?( x) ? e x ( x ? 1) ,所以 g ( x) 在 (0, ??) 单调递增. 又 g (1) ? 0 ,所以当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0,1) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (1, ??) 单调递增. (接下来表述同解法 1 相应内容) 所以 f ( x) ? e . ………13 分

昌平区 19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? xe ?1.
x x

(I)求函数 f ( x ) 的最大值;

(Ⅱ)设 g ( x) ?

f ( x) , 其中 x ? ?1, 且x ? 0 ,证明: g ( x) <1. x
…………………2 分 …………………4 分 …………………6 分

解: (Ⅰ ) f ' ( x) ? ? xe x , 当 x ? (??,0) 时,f ?(x)>0,f (x)单调递增; 当 x ? (0, ??) 时,f ?(x)<0,f (x)单调递减.

x
f ' ( x) f ( x)

(?? , 0)
+ ↗

0 0
极大值

(0 , ? ?)
- ↘ …………………7 分 …………………9 分

所以 f (x)的最大值为 f (0)=0. (Ⅱ )由(Ⅰ )知,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 ? 1. 当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 1 等价于 f ( x) ? x. 设 h( x) ? f ( x) ? x ,则 h' ( x) ? ? xe x ? 1 . 当 x ? (?1, 0) 时, 0 ? ? x ? 1,0 ? ex ? 1, 则 0 ? ? xe x ? 1,

从而当 x ? (?1, 0) 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 在 (?1, 0) 单调递减.…………………12 分 当 x ? (?1, 0) 时, h( x) ? h(0) ? 0, 即 f ( x) ? x ? h(0) ? 0, 所以 f ( x) ? x , 故 g (x)<1. 综上,总有 g (x)<1. 丰台区 18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? …………………14 分

1 ?1 . ex

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极小值; (Ⅱ)过点 B(0, t ) 能否存在曲线 y ? f ( x) 的切线,请说明理由. 解: (Ⅰ)函数的定义域为 R. 因为 f ( x) ? x ? 1 ? 所以 f ?( x) ?

1 , ex

ex ?1 . ex

令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? 0 .

x
f ?( x )
f ( x)


(??, 0)


0 0 极小值

(0, ??)
+ ↗ 以

f(

极小值

?

1 e0



x6 )分 ???????

?

(Ⅱ)假设存在切线,设切点坐标为 ( x0 , y0 ) , 则切线方程为 y ? y0 ? f '( x0 )( x ? x0 )

1 ) ? (1 ? e? x0 )( x ? x0 ) x0 e x ?1 将 B(0, t ) 代入得 t ? 0 x ? 1 . e0 x ?1 方程 t ? 0 x ? 1 有解,等价于过点 B(0, t ) 作曲线 f ( x ) 的切线存在. e0 x ?1 ?x 令 M ( x ) ? x ? 1 , 所以 M ?( x ) ? x . e e ?x 当 M ?( x ) ? x ? 0 时, x0 ? 0 . e
即 y ? ( x0 ? 1 ? 所以 当 x ? (??,0) 时, M ?( x) ? 0 ,函数 M ( x) 在 x ? (??,0) 上单调递增; 当 x ? (0, ??) 时, M ?( x) ? 0 , M ( x) 在 x ? (0, ??) 上单调递减. 所以 当 x0 ? 0 时, M ( x)max ? M (0) ? 0 ,无最小值.

x0 ? 1 ? 1 有解; e x0 x ?1 当 t ? 0 时,方程 t ? 0 x ? 1 无解. e0 综 上 所 述 , 当 t?0 时 存 在 切 线 ; 当 t?0 时 不 存 在 切
当 t ? 0 时,方程 t ? 线. ??????13 分

第六部分
东城区(19) (本小题共 13 分) 已知椭圆 C1 :

圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1,椭圆 C2 的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上,与 C1 有相 4

同的离心率,且过椭圆 C1 的长轴端点. (Ⅰ)求椭圆 C2 的标准方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,点 A , B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,若 OB ? 2OA ,求直线 AB 的 方程. 解: (Ⅰ)由 C1 方程可得 e=

3 . 2

??????3 分

依题意可设椭圆 C2 的方程为

y 2 x2 3 ? ? 1(a ? 2) ,由已知 C1 的离心率为 , 2 a 4 2

则有

a2 ? 4 3 ? ,解得 a2 ? 16 . 2 a 4 y 2 x2 ? ? 1. 16 4
???????????6 分

故椭圆 C2 的方程为

(Ⅱ)设 A , B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,由 OB ? 2OA 及(Ⅰ)知,

O ,A , B 三点共线且点 A , B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y ? kx .
将 y ? kx 代入

x2 2 4 +y ? 1 中,解得 x12 ? ; 1 ? 4k 2 4

将 y ? kx 代入

y 2 x2 16 ? ? 1 中,解得 x2 2 ? . 4 ? k2 16 4
16 16 ? ,解得 k ? ?1 . 2 1+4k 4 ? k2
方 程 为

又由 OB ? 2OA ,得 x22 ? 4x12 ,即 故 直 线

AB



y?x



y ? ?x .

????????????13 分

西城区 19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F,右顶点为 A,离心率为 e,点 P(m,0)( m 4) ? 16 12



足条件

| FA | ?e. | AP |

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,记 ?PMF 和 ?PNF 的面积分别 为 S1 , S2 ,若 S1 ? 2S2 ,求直线 l 的方程. (Ⅰ)解:因为椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1, 16 12
??????2 分 ??????3 分

所以 a ? 4 , b ? 2 3 , c ? a2 ? b2 ? 2 ,

c 1 ? , | FA |? 2 , | AP |? m ? 4 . a 2 | FA | 2 1 因为 ? ? , | AP | m ? 4 2
则 e? 所以 m ? 8 . (Ⅱ)解:若直线 l 的斜率不存在,则有 S1 ? S 2 ,不合题意.

??????5 分 ??????6 分

若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

? x2 y2 ? ? 1, 由 ? ? 16 12 ? ? y ? k ( x ? 2),
得 (4k 2 ? 3) x2 ?16k 2 x ? 16k 2 ? 48 ? 0 , 可知 ? ? 0 恒成立,且 x1 ? x2 ? ?????? 7 分

16k 2 ? 48 16k 2 , . ?????? 8 分 x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 1 1 因为 ?PMF 和 ?PNF 的面积分别为 S1 ? | PF | ? | y1 | , S 2 ? | PF | ? | y2 | , 2 2
所以

S1 | y1 | y ? ? ? 1 ? 2. S 2 | y2 | y2

?????? 9 分

即 y1 ? ?2 y2 .
2 所以 y1 ? y2 ? ? y2 , y1 y2 ? ?2 y2 ? ?2( y1 ? y2 )2 ,

?????? 11 分

则 k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? ?2[k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2)]2 ,

即 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? ?2( x1 ? x2 ? 4) 2 ,

16k 2 ? 48 16k 2 16k 2 ? 2 ? ? 4 ? ? 2 ( ? 4) 2 , 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 5 解得 k ? ? . 2 5 5 所以直线 l 的方程为 y ? ( x ? 2) 或 y ? ? ( x ? 2) . 2 2


?????? 13 分 ?????? 14 分

海淀区(18) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 M : x2 ? 2 y 2 ? 2 . (Ⅰ)求 M 的离心率及长轴长; (Ⅱ)设过椭圆 M 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 M 的另一个交点为 B ,线段 AB 的垂直平分 线交椭圆 M 于 C , D 两点. 问:是否存在直线 l 使得 C, O, D 三点共线( O 为坐标原点)? 若存在,求出所有满足条件的直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

x2 解: (Ⅰ)由题意可知椭圆 M 的标准方程为: ? y 2 ? 1,则 a ? 2, b ? 1. 2
所以 椭圆 M 的长轴长为 2 2 . 因为 c ? a2 ? b2 ? 1, 所以 e ? ??????2 分

c 2 2 ? ,即 M 的离心率为 . a 2 2

??????4 分

(Ⅱ)若 C, O, D 三点共线,由 CD 是线段 AB 的垂直平分线可得:

OA ? OB .
由(Ⅰ)可得 A(0,1) ,设 B( x0 , y0 ) .
2 2 所以 x0 ? y0 ? 1.

??????6 分 ??????7 分

① ② ??????10 分

又因为 x0 ? 2 y0 ? 2 ,
2 2

由①②可得: ?

? x0 ? 0, ? x0 ? 0, (舍) ,或 ? ? y0 ? 1 ? y0 ? ?1.

??????11 分

当?

? x0 ? 0, 时,直线 l 的方程为 x ? 0 ,显然满足题意. ? y0 ? ?1

所以 存在直线 l 使得 C, O, D 三点共线,直线 l 的方程为 x ? 0 .

??????13 分

朝阳区 20. (本小题满分 14 分) 已知离心率为

x2 y 2 3 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? 2 相交于 P, Q 两点(点 a b 2

P 在 x 轴上方) , 且 PQ ? 2 . 点 A, B 是 椭 圆 上 位 于 直 线 PQ 两 侧 的 两 个 动 点 , 且

?APQ ? ?BPQ .
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求四边形 APBQ 面积的取值范围.

解: (Ⅰ)由已知得 e ?

b 1 x2 y2 3 ,则 ? ,设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(b ? 0) a 2 4b b 2

由题意可知点 P(2,1) 在椭圆上, 所以

4 1 ? 2 ? 1 .解得 b2 ? 2 . 2 4b b

故椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 2

………4 分

(Ⅱ)由题意可知,直线 PA ,直线 PB 的斜率都存在且不等于 0. 因为 ?APQ ? ?BPQ ,所以 kPA ? ?kPB . 设直线 PA 的斜率为 k ,则直线 PA : y ? 1 ? k ( x ? 2) ( k ? 0 ) .

由?

? x2 ? 4 y 2 ? 8 ? y ? kx ? (1 ? 2k ),

得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8k (1 ? 2k ) x ? 16k 2 ?16k ? 4 ? 0 ……(1).

依题意,方程(1)有两个不相等的实数根,即根的判别式 ? ? 0 成立.
2 2 2 2 即 ? ? 64k (1 ? 2k ) ? 4(1 ? 4k ) 16k ? 16k ? 4 ? 0 ,

?

?

2 化简得 16(2k ? 1) ? 0 ,解得 k ? ?

1 . 2

16k 2 ? 16k ? 4 因为 2 是方程(1)的一个解,所以 2 ? xA ? . 1 ? 4k 2
所以 xA ?

8k 2 ? 8k ? 2 . 1 ? 4k 2

当方程(1)根的判别式 ? ? 0 时, k ? ?

1 ,此时直线 PA 与椭圆相切. 2

由题意,可知直线 PB 的方程为 y ? 1 ? ?k ( x ? 2) . 同理,易得 xB ?

8(?k )2 ? 8(?k ) ? 2 8k 2 ? 8k ? 2 . ? 1 ? 4(?k )2 1 ? 4k 2

由于点 A, B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的两个动点, ?APQ ? ?BPQ , 且能存在四边形 APBQ ,则直线 PA 的斜率 k 需满足 k ? 设四边形 APBQ 面积为 S ,则

1 . 2

S ? S?APQ ? S ?BPQ ?

1 1 PQ ? 2 ? x A ? PQ ? xB ? 2 2 2

1 8k 2 ? 8k ? 2 8k 2 ? 8k ? 2 ? PQ ? xB ? xA ? ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
?
由于 k ?

16k 1 ? 4k 2

1 ,故 2
2

S?

16 k 1 ? 4k

?

16 1 ?4 k k

.

当k ?

1 1 1 1 ? ,即 0 ? S ? 4 . 时, ? 4 k ? 4 ,即 0 ? 1 2 k ?4 k 4 k

(此处另解:设 t ? k ,讨论函数 f (t ) ? ? 4t 在 t ? ?

1 t

?1 ? , ?? ? 时的取值范围. ?2 ?

f ?(t ) ? 4 ?
则当 t ?

1 1 4t 2 ? 1 ? 2 ,则当 t ? 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递增. 2 2 t t

1 时, f (t ) ? (4, ??) ,即 S ? ? 0, 4 ? .) 2
………14 分

所以四边形 APBQ 面积 S 的取值范围是 ? 0, 4 ? .

昌平区 20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:

y 2 x2 2 , 其四个顶点组成的菱形的面积 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

是 4 2 ,O 为坐标原点,若点 A 在直线 x ? 2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB . (I) 求椭圆 C 的方程; (II)求线段 AB 长度的最小值; (III)试判断直线 AB 与圆 x
2

? y 2 ? 2 的位置关系,并证明你的结论.

? c 2 ?e ? ? 2 2 解: (I)由题意 ? a 2 ,解得 a ? 4, b ? 2 . ? 2ab ? 4 2 ?
故椭圆 C 的标准方程为

y 2 x2 ? ? 1. 4 2

……………3 分

(II)设点 A,B 的坐标分别为 (2, t ),( x0 , y0 ) ,其中 y0 ? 0 , 因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 2 x0 ? ty0 ? 0 , 解得 t ? ?

uur uu u r

……………4 分

2 x0 ,又 2x02 ? y02 ? 4 , y0

所以 | AB |2 ? ( x0 ? 2)2 ? ( y0 ? t )2 = ( x0 ? 2) ? ( y0 ?
2

2 x0 2 ) y0

= x0 ? y0 ?
2 2

4 x0 2 ?4 y0 2

4 ? y0 2 2(4 ? y0 2 ) y02 8 = y0 ? ? ? 4= ? 2 ? 4(0 ? y02 ? 4) ,……………5 分 2 2 y0 2 y0
2

因为

y02 8 ? 2 ? 4(0 ? y02 ? 4) ,当且仅当 y0 2 ? 4 时等号成立,所以 | AB |2 ? 8 , 2 y0
……………7 分

故线段 AB 长度的最小值为 2 2 .

(III)直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切. 证明如下:

……………8 分

设点 A,B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) , (2, t ) ,其中 y0 ? 0 . 因 为

O A ?

O,B 所 以 OA ? OB ? 0 , 即 2 x0 ? ty0 ? 0 , 解 得

t??

2 x0 . y0

……………9 分

直线 AB 的方程为 y ? t ? 即

y0 ? t ( x ? 2) , x0 ? 2

( y0 ? t ) x ? ( x0 ? 2) y ? 2 y0 ? tx0 ? 0 ,
圆 心 O , 到 直 线 AB

……………10 分 的 距 离

d?

tx0 ? 2 y0 ( y0 ? t ) 2 ? ( x0 ? 2) 2

……………11 分

由 y02 ? 2 x02 ? 4 , t ? ?

2 x0 , y0
4 ? y0 2 y0 y0 4 ? 8 y0 2 ? 16 2 y0 2

2 y0 ?
故 d?

2 x0 2 y0

4x 2 x0 2 ? y0 2 ? 02 ? 4 y0

?

? 2 ,

所以 直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切.

……………13 分

丰台区 19.(本小题共 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点为 A(?2, 0) , a 2 b2

离心率为

6 . 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 l 过点 A ,过 O 作 l 的平行线交椭圆 C 于 P,Q 两点,如果以 PQ 为直径的 圆与直线 l 相切,求 l 的方程. 解: (Ⅰ)依题意,椭圆的焦点在 x 轴上,

因为 a ? 2 , 所以 c ?

c 6 , ? a 3

4 2 6 2 2 2 ,b ? a ? c ? . 3 3
??????4 分

x2 3 y 2 ? ? 1. 所以 椭圆的方程为 4 4
则可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 则原点 O 到直线 l 的距离为 d ?

(Ⅱ)依题意,直线 l 的斜率显然存在且不为 0,设 l 的斜率为 k ,

| 2k | k 2 ?1



设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 则 ?

? y ? kx ?x ? 3y ? 4
2 2

消 y 得 (3k ? 1) x ? 4 .
2 2

可得 P(

2 3k ? 1
2

,

2k 3k ? 1
2

) , Q( ?

2 3k ? 1
2

,?

2k 3k 2 ? 1

).

因为 以 PQ 为直径的圆与直线 l 相切,

所以

1 | PQ |? d ,即 | OP |? d . 2
2 3k ? 1
2

所以 (

)2 ? (

2k 3k ? 1
2

)2 ? (

| 2k | k ?1
2

)2 ,

解得 k ? ?1 . 所以直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 . ?????14 分


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