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3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(共51张PPT)


第 五 节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

知识要求
考试 说明 内容 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 了解 理解 掌握 (A) (B) (C) √ √

13年(5考):新课标全国卷ⅡT6 广东T16 江西T3 四川T14 上海T9 三年 12年(4考):重庆T5 江西

T4 江苏T11 考题 广东T16 11年(3考):福建T21 江苏T7 广东T16

1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角

考情 播报

公式进行化简、求值是高考考查的热点 2.常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结 合命题

3.题型以选择题、填空题为主,属中低档题

【知识梳理】 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cosα cosβ +sinα sinβ (1)C(α -β ):cos(α -β )=______________________. cosα cosβ -sinα sinβ (2)C(α +β ):cos(α +β )=______________________. sinα cosβ +cosα sinβ (3)S(α +β ):sin(α +β )=______________________.

sinα cosβ -cosα sinβ (4)S(α -β ):sin(α -β )=______________________.
tan ? ? tan ? (5)T(α +β ):tan(α +β )=_____________( 1 ? tan ?tan ? α ,β ,α +β ≠ ? +kπ , 2

k∈Z).

tan ? ? tan ? ? (6)T(α -β ):tan(α -β )= 1 __________( ? tan ?tan ? α ,β ,α -β ≠ + 2

kπ ,k∈Z).

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
2sinα cosα (1)S2α :sin2α =____________. cos2α -sin2α 2cos2α -1 1-2sin2α (2)C2α :cos2α =_____________=_________=_________.
2tan ? (3)T2α :tan 2α = _________( 1 ? tan 2 ? α ≠± ? +kπ ,k∈Z). 4

【考点自测】

1.(思考)给出下列命题:
①两角和与差的正弦、余弦公式中的角α ,β 是任意的;

②存在实数α ,β ,使等式sin(α +β )=sin α +sin β 成立;
③在锐角△ABC中,sin Asin B和cos Acos B大小不确定; ④公式tan(α +β )=
tan ? ? tan ? 可以变形为tan α +tan β 1 ? tan ?tan ?

=tan(α +β )(1-tan α tan β ),且对任意角α ,β 都成立; ⑤存在实数α ,使tan 2α =2tan α . 其中正确的是( A.①③④ ) C.②③④ D.②③⑤

B.①②⑤

【解析】选B.①正确.对于任意的实数α,β ,两角和与差的正

弦、余弦公式都成立.
②正确.如取β=0,因为sin 0=0, 所以sin(α+0)=sin α=sin α+sin 0. ③错误.因为 <A+B<π, 所以cos(A+B)<0,即cos Acos B-sin Asin B<0. 所以sin Asin B>cos Acos B. ④错误.变形可以,但不是对任意角α,β都成 立.α,β,α+β≠kπ+ ? ,k∈Z.
2 ? 2

⑤正确.当α=kπ(k∈Z)时,tan 2α=2tan α.

2.计算sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的结果等于(
A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 3

)

【解析】选B.原式=sin 68°cos 23°-cos 68°sin 23° =sin(68°-23°)=sin 45°=
2 . 2

3.(2014?张家界模拟)已知锐角α 满足cos 2α =cos( ? -α ),
4

则sin 2α 等于(
A. 1 2 B. ? 1 2

)
C. 2 2 D. ?
4

【解析】选A.由cos 2α=cos( ? -α),

2 2

得(cos α-sin α)(cos α+sin α)= 2 (cos α+sin α),
2

由α为锐角知cos α+sin α≠0. 所以cos α-sin α= 2 ,平方得1-sin 2α= 1 . 所以sin 2α= 1 .
2

2

2

4.(2014?武汉模拟)计算:sin 47? ? sin 17?cos 30? =_____.
cos 17? 【解析】原式= sin(17? ? 30?) ? sin 17?cos 30? cos 17?

sin 17?cos 30? ? cos 17?sin 30? ? sin 17?cos 30? cos 17? cos 17?sin 30? ? cos 17? 1 ? sin 30? ? . 2 ?

答案:

1 2

tan 7.5? =______. 2 1 ? tan 7.5? 【解析】 tan 7.5? ? 1 ? 2tan7.5? ? 1 tan 15? 1 ? tan 2 7.5? 2 1 ? tan 2 7.5? 2 = 1 tan(45? ? 30?) ? 1 ? tan 45? ? tan 30? 2 2 1 ? tan 45?tan 30?

5.计算:

3 3 ? 2? 3. = 1? 2 2 3 1? 3 答案:2 ? 3 2 1?

6.已知tan(α +β )=3,tan(α -β )=5,则tan 2α =_____.
【解析】因为2α=(α+β)+(α-β),

所以tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]
=
1 ? tan ? ? ? ? ? tan(? ? ?)
1? 3? 5 ?14 7

tan ? ? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ?

= 3?5 ? 8 ? ? 4.
4 答案: ? 7

考点1

三角函数公式的逆用与变形应用
3 ? tan 15? =____. 1 ? 3tan 15?

【典例1】(1)(2014?威海模拟)计算:

(2)计算:tan 20°+tan 40°+ 3 tan 20°tan 40°=_____. (3) 2 ? 2cos 8 ? 2 1 ? sin 8 的化简结果是_______.

【解题视点】(1)观察式子的特点,利用特殊角的三角函数值,
逆用和差角的正切公式求解. (2)所求式子中有两个正切的和与积,故可逆用和角的正切公 式求解. (3)逆用二倍角公式将根号内配方化简 .

【规范解答】(1) 3 ? tan 15? ? tan 60? ? tan 15?
1 ? 3tan 15?

1 ? tan 60?tan 15?

=tan 45°=1. 答案:1

(2)因为tan 60°=tan(20°+40°)

= tan 20? ? tan 40? ,
1 ? tan 20?tan 40?

所以tan 20°+tan 40°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)
? 3 ? 3tan 20??tan 40?,

所以原式= 答案:
3

3 ? 3tan 20?tan 40? ? 3tan 20?tan 40? ? 3.

(3)原式= 4cos 2 4 ? 2 (sin 4 ? cos 4) 2

=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|,
因为 5 ? ? 4 ? 3 ?,
4 2

所以cos 4<0,且sin 4<cos 4,
所以原式=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4. 答案:-2sin 4

【易错警示】注意角的范围 本例第(3)题容易忽略讨论cos 4的符号及sin 4与cos 4的大小

而直接求解导致错误,在涉及开方时,一定要讨论被开方数的
符号.

【规律方法】三种常见公式变形 (1)正切和差角公式变形:tan x〒tan y=tan(x〒y)?(1 ? tan x?tan y).
1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ,sin 2 ? ? . 2 2 ? ? ? (3)升幂变形: 1 ? sin ? ? (sin ? cos ) 2 ,1 ? cos ? ? 2cos 2 , 2 2 2 ? 1 ? cos ? ? 2sin 2 . 2

(2)倍角公式变形:降幂公式 cos 2 ? ?

特殊角的三角函数的逆用
3 当式子中出现 1 , 1 , , 3 这些特殊角的三角函数值时,往 2 2

往就是“由值变角”的一种提示.可以根据问题的需要,将常

用三角函数式表示出来,构成适合公式的形式,从而达到化简
的目的.

? ? ? ? =______. 【变式训练】化简: 8sin cos cos cos 48 48 【解析】8sin ? cos ? cos ? cos ? 48 48 24 12 ? ? ? ? 4sin cos cos 24 24 12 ? ? ? 2sin cos 12 12 ? 1 ? sin ? . 6 2 答案:1 2 24 12

【加固训练】 1.化简 A.-cos 1
2 ? cos 2 ? sin 21 的结果是(

) D.- 3 cos 1

B.cos 1

C. 3 cos 1

【解析】选C.原式= 3 ? 3sin 21 ? 3cos21 ? 3cos 1.

cos 15? ? sin 15? =_____. 2.(2014?西宁模拟)计算: cos 15? ? sin 15? 【解析】 cos 15? ? sin 15? ? 1 ? tan 15? cos 15? ? sin 15? 1 ? tan 15? =tan(45°-15°)=tan 30°= 3 . 3 答案: 3 3

考点2

给角求值

【典例2】(1)(2013?重庆高考)计算:4cos 50°-tan 40°

=(
A. 2

)
B. 2? 3 2 C. 3 D.2 2 ? 1
2sin 20? tan 5? ? tan 5?)

(2)(2014?三明模拟)计算:1 ? cos 20? ? sin 10?( 1
=_______.

【解题视点】(1)先切化弦,然后通分化简求解即可.
(2)综合运用二倍角公式,两角和与差的正余弦公式求解.

【规范解答】(1)选C. 4cos 50°-tan 40°=4cos 50°? 4cos 50?cos 40? ? sin 40? 4sin 40?cos 40? ? sin 40? ? cos 40? cos 40?

sin 40? cos 40?

2sin 80? ? sin 40? 2 cos10? ? sin(10? ? 30?) ? cos 40? cos 40? 3 1 3 3 2cos 10? ? sin 10? ? cos 10? cos 10? ? sin 10? 2 2 2 ? ?2 cos 40? cos 40? 3 1 3( cos 10? ? sin 10?) 3cos 40? 2 2 ? ? ? 3. cos 40? cos 40? ?

2cos 210? cos 5? sin 5? ? sin 10?( ? ) (2)原式= 2 ? 2sin 10?cos 10? sin 5? cos 5?
cos 10? cos 2 5? ? sin 2 5? cos 10? cos 10? ? ? sin 10?? ? ? sin 10?? 1 2sin 10? sin 5?cos 5? 2sin 10? sin 10? 2 cos 10? cos 10? ? 2sin 20? ? ? 2cos 10? ? 2sin 10? 2sin 10? cos 10? ? 2sin(30? ? 10?) ? 2sin 10? 1 3 cos 10? ? 2( cos 10? ? sin 10?) 2 2 ? 2sin 10? ? 3sin 10? 3 ? . 2sin 10? 2 答案: 3 2

【规律方法】给角求值问题的三个变换技巧 (1)变角:分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分 . (2)变名:尽可能使得函数统一名称. (3)变式:观察结构,利用公式,整体化简 . 提醒:“变式”时常用的方法有“常值代换”“逆用变用公 式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.

【变式训练】(2014?长沙模拟)计算: =( A.4 ) B.2 C.-2 D.-4

3 1 ? cos 10? sin 170?

【解析】选D.

3 1 3 1 ? ? ? cos 10? sin 170? cos 10? sin 10?

3sin 10? ? cos 10? 2sin ?10? ? 30? ? ? ? sin 10?cos 10? sin 10?cos10? 2sin ? ?20? ? ?2sin 20? ? ? ? ?4. sin 10?cos 10? 1 sin 20? 2

【加固训练】
3 ? sin 70? =_____. 2 2 ? cos 10? 【解析】 3 ? sin 270? ? 3 ? cos 220? 2 ? cos 10? 2 ? cos 10? 3 ? (2cos 210? ? 1) ? ? 2. 2 2 ? cos 10?

1.(2014?伊宁模拟)计算:

答案:2

2.(2014?宜昌模拟)计算: sin 50?(1 ? 3tan 10?) ? cos 20?
cos 80? 1 ? cos 20?

=________. 【解析】因为sin 50°(1+ 3 tan 10°) = sin 50??cos 10? ? 3sin 10?
cos 10? = sin 50??2sin 40? ? 1, cos 10?

cos 80? 1 ? cos 20? ? sin 10? 2sin 2 10? ? 2sin 210?.

所以 sin 50?(1 ? 3tan 10?) ? cos 20? ? 1 ? cos 20? ? 2. 2
cos 80? 1 ? cos 20? 2sin 10?

答案: 2

考点3

有限制条件的求值、证明问题

高频考点 通 关

【考情】有限制条件的求值问题是高考的热点.在高考中以选
择题、填空题或解答题的形式出现,考查诱导公式,两角和与 差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式的灵活应用等问题.

【典例3】(1)(2014?南京模拟)已知sin(
? ,则 cos 2x ? 4 cos( ? x) 4

? -x)= 5 ,0<x< 4 13

=_______.

(2)(2013?广东高考)已知函数 f ? x ? ? 2cos(x ? ? ), x ? R. ①求 f ( ? ) 的值. ②若 cos ? ? 3 , ? ? ( 3? , 2?), 求 f (? ? ? ).
5 2 6 3 12

【解题视点】(1)先求出 ? -x的范围,再求出cos( ? -x)的值,

最后根据2x, +x与已知角

? 4

4

? -x的联系求解. 4

4

(2)根据两角和与差的余弦公式展开,转化为特殊角和已知角

求解.

【规范解答】(1)因为x∈(0, ),所以 又因为 sin( ? ? x) ? 5 , 所以 cos( ? ? x) ? 12 .
4 13 4 13

? 4

? ? -x∈(0, ). 4 4

? ? ? 2 4 4 = 2sin( ? ? x)cos( ? ? x) ? 2 ? 5 ? 12 ? 120 . 4 4 13 13 169 ? ? ? ? 5 cos( ? x) ? cos[ ? ( ? x)] ? sin( ? x) ? . 4 2 4 4 13 120 所以原式= 169 ? 24 . 5 13 13 24 答案: 13

又 cos 2x ? cos[ ? 2( ? x)] ? sin 2( ? x)

(2)① f ( ? ) ? 2cos( ? ? ? ) ? 2cos ? ? 1.
3 ,θ∈( 3? ,2π), 5 2 所以 sin ? ? ? 1 ? cos 2? ? ? 4 ,f (? ? ? ) 5 6 3 3 12 4

②因为cos θ=

? ? ? 1 ? 2cos(? ? ) ? 2(cos ?cos ? sin ?sin ) ? cos ? ? sin ? ? ? . 4 4 4 5

【通关锦囊】 高考指数 重点题型 破解策略 先化简需求值的式子,再观察已知条件 ◆◆◆

给值求值
问题

与所求值的式子之间的联系(从三角函
数名及角入手),最后将已知条件代入 所求式子,化简求值 先求出角的某一个三角函数值,再确定 角的范围,最后根据角的范围确定所求

◆◆◆

给值求角 问题

的角

【关注题型】 向量的坐标运算会与三角函数有关 ◆◇◇ 与向量有关 的求值问题 联,这类问题需要先用向量公式进行 运算后,再用三角公式进行化简和求 值 ◆◇◇ 条件等式的 把所给条件化简后代入所要求证的 式子,或通过把所给条件化简变形得 出所要证明的式子

证明

【特别提醒】解答有限制条件的求值问题时,要善于发现所求 的三角函数的角与已知条件角的联系,一般方法是拼角与拆角.

【通关题组】

1.(2013?江西高考)若 sin ? ? 3 ,则cos α =(
A. ? 2 3 B. ? 1 3 C. 1 3

2

D.

【解析】选C.cos α= 1 ? 2sin 2 ? ? 1 ? 2 ? 1 .
2 3 3

2 3

3

)

2.(2014?娄底模拟)已知tan α ,tan β 是方程 x 2 ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,若α ,β ∈( ? , ),则α +β =( A. ? C .- ? 或 2 ?
3 3 3 ? ? 2 2 B. ? 或 ? 2 ? 3 3 D. ? 2 ? 3

)

【解析】选D.由题意得tan α+tan β= ?3 3,

tan αtan β=4,
所以tan α<0,tan β<0,
? 又α,β∈ (? ? , ), 2 2 故α,β∈ (? ? , 0), 2

所以-π<α+β<0.
又tan(α+β)= tan ? ? tan ? ? ?3 3 ? 3.
1 ? tan ?tan ? 所以α+β= ? 2 ? . 3 1? 4

3.(2013?四川高考)设 sin 2? ? ?sin ?,? ? ( ? , ?) ,则tan 2α 的
2

值是______. 【解析】根据题意sin 2α=-sin α,可得2sin αcos α= -sin α,
1 2 ?2 3 所以 tan 2? ? 2tan ? ? ? 3. 2 1 ? tan ? ?2

可得cos α= ? ,tan α= ? 3,

答案: 3

【加固训练】 1.(2014?石家庄模拟)已知向量a=(4,5cos α ),b=(3,
? ? -4tan α ).若a⊥b,且α ∈(0, ),则cos(2α - )=_____. 4 2

【解析】因为a⊥b, 所以a?b=0, 即12-20cos α?tan α=0,
3 5 因为α∈(0, ? ),所以 cos ? ? 4 . 2 5

所以12-20sin α=0,即 sin ? ? .

所以sin 2α=2sin αcos α= 24 , cos 2α=1-2sin2α= 7 .
25 4 25

所以cos(2α- ? )=cos 2α?cos ? +sin 2α?sin ?
7 2 24 2 31 2 ? ? ? ? . 25 2 25 2 50 答案:31 2 50 ?
4 4

2.(2014·兰州模拟)已知sinθ 和cosθ 是关于x的方程x22xsinα +sin2β =0的两个根.

求证:2cos2α =cos2β .
【证明】因为sinθ,cosθ是方程x2-2xsinα+sin2β=0的两根,

所以sinθ+cosθ=2sinα,sinθ·cosθ=sin2β.
因为(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,

所以(2sinα)2=1+2sin2β,即4sin2α=1+2sin2β,
所以2(1-cos2α)=1+1-cos2β, 所以2cos2α=cos2β.

【易错误区10】给值求角问题的易错点 【典例】(2014?无锡模拟)已知α ,β 为三角形的两个内角, cos α = 1 ,sin(α +β )= 5 3 ,则β =_____.
7

14

【解析】

【误区警示】

【规避策略】

答案:

【类题试解】(2014?济南模拟)已知0<α < ? <β <π ,
tan ? 1 2 ? ,cos ?? ? ? ? ? . 2 2 10
2

(1)求sin α 的值. (2)求β 的值.

【解析】(1)因为 tan ? ? 1 ,所以 sin? ? sin(2?? ) ? 2sin ? cos ?
2 2 2 2 2

? ? ? 1 cos 2tan 2? 2 2 ? 2 ? 2 ? 4. ? ? ? ? 1 sin 2 ? cos 2 1 ? tan 2 1 ? ( )2 5 2 2 2 2 2sin

(2)因为0<α< ? ,sin α= 4 ,所以cos α= 3 . 又0<α< ? <β<π,所以0<β-α<π.
? 由cos(β-α)= 2 ,得0<β-α< . 2 2 5 5

所以sin(β-α)= 98 ? 7 2 ,
10 10

10

2

所以sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos α+ cos(β-α)sin α
7 2 3 2 4 25 2 2 ? ? ? ? ? . 10 5 10 5 50 2 由 ? <β<π得β= 3 π.(或求cos β= ? 2 ,得β= 3 π) 4 2 2 4 ?


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