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江苏省海州高级中学2015届高三数学(理)自编专题训练:专题四 应用题


专题四

应用题(1) 班级

编制人:谢 身 姓名

一、填空题: 1. (2015 上海静安区一模)上海出租车价格规定:起步费 14 元,可行 3 公里,3 公里后 按每公里 2.4 元计算,可再行 7 公里,超过 10 公里按每公里 3.6 元计算,假设不考虑堵车和 红绿灯等所引起的费用,也不考虑实际收取费用去掉不

足一元的零头等实际情况,即每一次 乘车的车费由行车里程唯一确定.(1)若小明乘出租车从学校到家,共 8 公里,请问他应付 出租车费 元; ( 2 )请写出车费 y (元)与行车里程 x (公里)之间的函数关系 式 . 答案:. 2. 经市场调查,某种商品在过去 50 天的销量和价格均为销售时间 t(天)的函数,且销 售量近似地满足 f(t)=-2t+200(1 ≤ t ≤ 50,t∈N) ,前 30 天价格为 g(t)=

1 t+30 2

(1 ≤ t ≤ 30,t∈N ) ,后 20 天价格为 g(t)=45(31 ≤ t ≤ 50,t∈N) . (1)写出该种 商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系式: ; ( 2 )日销售额 S 的最大值 为 .

?-t 2+40t+6000, 1 ? t ? 30,t ? N, 答案: (1)S= ? (2)6400. 31 ? t ? 50,t ? N . ?-90t+9000,
【解析】(1)根据题意得

1 ? (- 1 ? t ? 30,t ? N, ? 2t+200)( t+30), S= ? 2 ? (-2t+200), 31 ? t ? 50,t ? N, ?45

?-t 2+40t+6000, 1 ? t ? 30,t ? N, 即 S= ? 31 ? t ? 50,t ? N . ?-90t+9000,
(2)①当 1≤t≤30,t∈N 时,S=-(t-20) +6400, 当 t=20 时,S 的最大值为 6400; ②当 31≤t≤50,t∈N 时,S=-90t+9000 为减函数, 当 t=31 时,S 的最大值是 6210, ∵6210<6400,∴当 t=20 时,日销售额 S 有最大值 6400. 3.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励 销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出场单价 就降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 600 件. (1)设一次订购 x 件, 服装的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式_______________; (2)当销售商一 次订购__________件服装时,该厂获得的利润最大,其最大利润是 . 答案:(1) p= ?
2

?60,0 ? x ? 100 ?62 ? 0.02 x,100 ? x ? 600

(2) 当一次订购 550 件时,利润最大,最大

利润为 6 050 元 【解析】解:(1)当 0<x≤100 时,p=60; 当 100<x≤600 时,

-1-

p=60-(x-100)×0.02=62-0.02x. 所以 p= ?

?60,0 ? x ? 100 ?62 ? 0.02 x,100 ? x ? 600

(2)设利润为 y 元,则 当 0<x≤100 时,y=60x-40x=20x; 2 当 100<x≤600 时,y=(62-0.02x)x-40x=22x-0.02x . 所以 y= ?

?20 x,0 ? x ? 100
2 ?20 x ? 0.02 x ,100 ? x ? 600

当 0<x≤100 时,y=20x 是单调增函数,当 x=100 时,y 最大,此时 y=20×100=2 000; 当 100<x≤600 时, 2 2 y=22x-0.02x =-0.02(x-550) +6 050, 所以当 x=550 时,y 最大,此时 y=6 050. 显然 6 050>2 000. 所以当一次订购 550 件时,利润最大,最大利润为 6 050 元. 4.首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题.某 单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利 用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元) 1 2 与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y= x -200 x+80 000,且每处理一吨 2 二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元. (1)该单位每月处理量为 吨时,才 能使每吨的平均处理成本最低; (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利 润 ;如果不获利,则国家至少需要补贴 元才能使该单位不亏损. 答案:(1) 400 吨 最低成本为 200 (2) 该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元才能不亏损 【 解 析 】 (1) 由 题 意 可 知 , 二 氧 化 碳 的 每 吨 平 均 处 理 成 本 为

y 1 80000 = x+ - x 2 x

200≥2

1 80000 x? -200=200, 2 x
1 80000 x= ,即 x=400 时等号成立, 2 x

当且仅当

故该单位每月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元. (2)不获利.设该单位每月获利为 S,则 S=100x-y =100x- ?

?1 2 ? x ? 200 x ? 80000 ? ?2 ?

=-

1 2 x +300x-80 000 2

-2-

=-

1 2 (x-300) -35 000<0. 2

故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元才能不亏损. 二、解答题:解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 5.某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域) ” ,其中 AC,BD 是过抛物线焦点 F 且互相垂直的两条弦,该抛物线的对称轴为 EF,通径长为 4 .记∠EFA = α,α 为锐角. (1) 用 α 表示 AF 的长; (2)试建立“蝴蝶形图案”的面积 S 关于 α 的函数关系 S(α) ; (3)为使 “蝴蝶形图案”的面积最小,应如何设计 α 的大小? A E D

α B

F C

第 5 题图

-3-

6.如 图 是 一 块 镀 锌 铁 皮 的 边 角 料 A B C D ,其 中 AB ,CD ,DA 都 是 线 段 ,曲 线 段 BC 是抛物线的一部分, 且 点 B 是 该 抛 物 线 的 顶 点 ,BA 所 在 直 线 是 该 抛 物 线 的 对 称 轴 . 经 测 量 , AB ? 2 米 , AD ? 3 米 , A B ? A D, 点 C 到 AD , AB 的 距 离 CH , CR 的 长 均 为 1 米 .现 要 用 这 块 边 角 料 裁 一 个 矩 形 AEFG ( 其 中 点 F 在 曲 线 段 BC 或 线 段

CD 上 ,点 E 在 线 段 AD 上 ,点 G 在 线 段 AB 上 ). 设 BG 的 长 为 x 米 ,矩 形 AEFG 的
面 积 为 S 平 方 米 . (1)将 S 表 示 为 x 的 函 数 ; (2)当 x 为 多 少 米 时 , S 取 得 最 大 值 , 最大值是多少?

-4-

D

C F

H E

B

G

R

A

解: (1)以点 B 为坐标原点, BA 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系.………2 分 D y

F

C

H E A

B

G R

x

设曲线段 BC 所在抛物线的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,将点 C (1,1) 代入,得 2 p ? 1 , 即曲线段 BC 的方程为 y ?

x (0 ? x ? 1) .

…………4 分 …………6 分

又由点 C (1,1), D(2,3) 得线段 CD 的方程为 y ? 2 x ? 1(1 ? x ? 2) . 而 GA ? 2 ? x ,所以 S ? ?

? ?

x (2 ? x), 0 ? x ? 1, ? ?(2 x ? 1)(2 ? x), 1 ? x ? 2.
1 3

…………8 分
1 2

(2 )① 当 0 ? x ? 1 时,因为 S ?

x (2 ? x) ? 2 x 2 ? x 2 ,所以 S ? ? x

?

3 1 2 ? 3x ,由 ? x2 ? 2 2 x

S ? ? 0 ,得 x ?

2 , 3 2 3 2 3

当 x ? (0, ) 时, S ? ? 0 ,所以 S 递增;当 x ? ( ,1) 时, S ? ? 0 ,所以 S 递减,所以当 x ? 时,Smax ? 时, S max ?

2 3

5 2 9 5 4 6 ; ② 当 1 ? x ? 2 时, 因为 S ? (2 x ? 1)(2 ? x) ? ?2( x ? ) ? , 所以当 x ? 4 8 4 9

9 ; 8

-5-

综上,因为

5 9 9 4 6 ,所以当 x ? 米时, S max ? 平方米. ? 4 8 8 9

(说明:本题也可以按其它方式建系,如以点 A 为坐标原点, AD 所在直线为 x 轴,建立平 面直角坐标系,仿此给分) 7.如图,在 C 城周边已有两条公路 l 1 ,l 2 在点 O 处交汇.已知 OC=( 2 + 6 )k m,∠ AOB=75°, ∠AOC=45°, 现规划在公路 l 1 ,l 2 上分别选择 A, B 两处为交汇点 (异于点 O) 直接修建一条公路通过 C 城.设 OA=x km ,OB=y km .(1)求 y 关于 x 的函数关系式并指 出它的定义域; (2)试确定点 A,B 的位置,使△OAB 的面积最小.

答案: (1)y=

2 2x 2 (x>2) (2)4( 3 +1) km . x?2

【解析】 (1) 因为△AOC 的面积与△BOC 的面积之和等于△AOB 的面积, 所以

1 ( x 2+ 6) 2

sin 45°+

1 1 1 2 y( 2 + 6 )·sin 30°= xysin 75 °,即 x( 2 + 6 )+ y( 2 2 2 2 2
2? 6 2 2x xy,所以 y= (x>2) . 4 x?2

+ 6 )=

1 4 x2 2? 6 3 ?1 3 ?1 (2) △AOB 的面积 S= xysin 75°= xy= × = (x-2+ 2 x?2 x?2 8 2 2
+4)≥

3 ?1 ×8=4( 3 +1) .当且仅当 x=4 时取等号,此时 y=4 2 . 2
2

故 OA=4 km,OB=4 2 km 时,△OAB 面积的最小值为 4( 3 +1) km

专题四

应用题(2) 班级

编制人:申 磊 姓名

-6-

解答题:解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.【2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考(201411) 】 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射 性污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)=|

2x 2 -a|+2a+ ,x ? [0,24],其 x ?1 3
2

中 a 是与气象有关的参数,且 a ? [0,1],若用每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染 指数,并记作 M(a) . (1)令 t =

2x ,x ? [0,24],求 t 的取值范围; (2)省政府规定, x ?1
2

每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标? 【知识点】函数最值的应用;实际问题中导数的意义。B3 B12 【答案】 【解析】 (1) [0,1] ; (2) 解析: (1)当 x ? 0 时, t ? 0 ; 当 0 ? x ? 24 时,

1 ? a ?1 3

?0 ? t ? 1

2x 2 ? ? 1 (当 x ? 1 时取等号) x ?1 x ? 1 x
2

综上所得 t 的取值范围是 [0,1] (2)当 a ??0,1? 时,记 g ? t ? ? t ? a ? 2a ?

????5 分

2 3

2 ? ?t ? 3a ? , 0 ? t ? a ? ? 3 则 g ?t ? ? ? ? t ? a ? 2 ,a ? t ?1 ? 3 ?

????????8 分

∵ g ? t ? 在 ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a,1? 上单调递增, 且 g ? 0 ? ? 3a ?

2 5 1? ? , g (1) ? a ? , g ? 0 ? ? g (1) ? 2 ? a ? ? . 3 3 2? ?

5 1 1 ? ? a ? ,0 ? a ? g ?1? , 0 ? a ? ? ? ? 3 2 2 ? ?? 故 M ?a? ? ? . ????????11 分 ? g ? 0 ? , 1 ? a ? 1 ?3a ? 2 , 1 ? a ? 1 ? ? ? 2 3 2 ?
1 时, M ? a ? ? 2 . 3 1 1 故当 0 ? a ? 时不超标,当 ? a ? 1 时超标. 3 3
∴当且仅当 0 ? a ?

????????13 分

【思路点拨】 (1)先取倒数,然后对得到的函数式的分子分母同除以 x,再利用导数求出 的 取值范围,最后根据反比例函数的单调性求出 t 的范围即可; (2)先得到函数解析式,然后分 类讨论,分别求出函数 g(x)的最大值 M(a) ,然后解不等式 M ? a ? ? 2 即可求出所求.

-7-

2. 如图,半圆 O 的直径为 2 , A 为直径延长线上一点,OA=2,B 为半圆上一点,以 AB 为 一边向△OAB 的外侧作等边△ABC .(1)问点 B 在什么位置时,四边形 OACB 的面积最大? (2)当 OC 平分 ?AOB 时.(ⅰ)求证: ?OAC ? ?OBC ? ? ; (ⅱ)求 OC 的长度. C

B

O 解 析
2

A

:
2


2

1





?A O? ? B ,



?AOB



,











得: AB ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2cos ? ? 5 ? 4cos ? . 四边形 OACB 的面积 S ? S?OAB ? S?ABC ?

1 3 OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4

1 3 5 3 ? 5 3 ? ? 2 ?1? sin ? ? (5 ? 4cos ? ) ? sin ? ? 3 cos ? ? ? 2sin(? ? ) ? . 2 4 4 3 4

0 ? ? ? ? , ??
值.

?
3

?? ?

?
3

?

2? ? ? 5? , 当? ? ? 即? ? 时,四边形 OACB 的面积取最大 3 3 2 6
BC sin OC , sin ?OBC

(2)(ⅰ)在 ?OAC 中,

AC sin

?
2

?

OC , sin ?OAC

在 ?OBC 中,

?
2

?

AC ? BC , 比较以上两式可知: sin ?OAC ? sin ?OBC.
若 ?OAC ? ?OBC , 又 ?AOC ? ?BOC, OC ? OC ? ?OAC ? ?OBC,

?OA ? OB, 这与已知矛盾.??OAC ? ?OBC, 从而 ?OAC ? 1800 ? ?OBC.
即 ?OAC ? ?OBC ? 180 .
0

(ⅱ)由(ⅰ)得 ?AOB ? ?ACB ? ? ,??AOB ?

?
3

? ? , ?AOB ?

2? . 3

又 OC 为 ?AOB 的平分线, ?AOC ?

?
3



-8-

在 ?AOB 中, AB ? OA ? OC ? 2OA ? OC ? cos
2 2 2

2? 1 ? 22 ? 12 ? 2 ? 2 ?1? (? ) ? 7 , 3 2 ? C
2



?AOC





A

2

?2O

C2 ? c 3

?

O ,o ?

As

1 ? 7 ? OC 2 ? 22 ? 2 ? OC ? 2 ? ? OC ? 3. 2
3.某个公园有个池塘,其形状为直角△ABC, ?C ? 90? ,AB=2 百米,BC=1 百米. (1)现 在准备养一批供游客观赏的鱼, 分别在 AB、 BC、 CA 上取点 D, E, F, 如图 (1) , 使得 EF//AB, (2)现在准备新建造一个荷塘, EF ? ED , 在△DEF 喂食,求△DEF 面积 S△DEF 的最大值; 分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,如图(2) ,建造△DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休 憩,且使△DEF 为正三角形,设求△DEF 边长的最小值.
A A

F D C E 图(1) B

F

D

C

E 图(2)

B

4.如图,ABC 为一直角三角形草坪,其中 ?C ? 90? , BC ? 2 米, AB ? 4 米,为了重建草 坪,设计师准备了两套方案:方案一:扩大为一个直角三角形,其中斜边 DE 过点 B,且与
-9-

AC 平行,DF 过点 A,EF 过点 C;方案二:扩大为一个等边三角形,其中 DE 过点 B,DF 过 点 A,EF 过点 C. (1)求方案一中三角形 DEF 面积 S1 的最小值; (2)求方案二中三角形 DEF 面积 S2 的最大值.

方案二 解: (1)在方案一:在三角形 AFC 中,设 ?ACF ? ? , ? ? (0,90 ) , 则 AF ? 2 3sin ? , FC ? 2 3 cos ? , 因为 DE∥ AC,所以 ?E ? ? , EC ? …………………………………………2 分

2 , sin ?
…………………………………4 分



FA FC 2 3 sin ? 2 3 cos ? ? ? ,即 , 2 AD CE AD sin ?
2 , cos ?

解得 AD ? 所以 S1 ?

………………………………………………………………6 分

1 2 2 4 (2 3 sin ? ? )(2 3 cos ? ? ) ? 3(sin 2? ? )?4 3 , 2 cos ? sin ? 3sin 2?

所以当 sin 2? ? 1 ,即 ? ? 45 时, S1 有最小值 7 ? 4 3 . …………………………8 分 (2) 在方案二: 在三角形 DBA 中, 设 ?DBA ? ? , ? ? (0,120 ) , 则

D B s i n ( 1 2 0

? )? ? s i n6 0

A B



解得 DB ?

8 sin(120 ? ? ) , 3

……………………………………………………10 分

三角形 CBE 中,有

EB CB 4 ? sin ? , ……………………12 分 ,解得 EB ? sin ? sin 60 3 8 4 4 sin(120 ? ? ) ? sin ? ? (2sin ? ? 3 cos ? ) ,…14 分 3 3 3

则等边三角形的边长为

- 10 -

所以边长的最大值为

4 7 3 4 7 2 28 3 ,所以面积 S2 的最大值为 .……16 分 ?( ) ? 4 3 3 3

应用题(3) 编制人:王远刚 班级 姓名 1.【2015 届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试】北京、张家港 2022 年冬奥会申办委员会在 俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行 一次评估。该商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件.(1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2000 件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多 少元?(2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商 品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入 技改费用,投入 50 万元作为固定宣传费用,投入

专题四

1 2 ( x ? 600) 万作为 6

x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品 5

改革后的销售量 a 至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投 入之和?并求出此时商品的每件定价. 【知识点】函数模型及其应用 B10 【答案解析】(1) 40(2) 30 ? t-25×0.2?t≥25×8, (1)设每件定价为 t 元,依题意得?8- ? 1 ? ? 2 整理得 t -65t+1 000≤0,解得 25≤t≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元. 1 2 1 (2)依题意知当 x>25 时,不等式 ax≥25×8+50+ (x -600)+ x 有解, 6 5 150 1 1 等价于 x>25 时,a≥ + x+ 有解. x 6 5 150 1 150 1 150 x 由于 + x≥2 × x=10,当且仅当 = ,即 x=30 时等号成立,所以 a≥10.2. x 6 x 6 x 6 当该商品改革后的销售量 a 至少达到 10.2 万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入 与总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元. 【思路点拨】根据等量关系求出关系式,再根据重要不等式求出最值。 2.如图,某城市有一条公路,自西向东经过 A 点到市中心 O 点后转向东北方向 OB,现要修建 一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线段,现要求市中 心 O 与 AB 的距离为 10km,问把 A、B 分别设在公路上离中心 O 多远处,才能使|AB|最短? 并求其最短距离.

- 11 -

B L A O

(第 2 题图) 解法 1 设 OA ? a, OB ? b, ?OAB ? ?, 则?OBA ? 45 ? ? .
0

在 ?AOB 中由余弦定理得 AB

2

? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 135 0 ? a 2 ? b 2 ? 2ab .

又 O 到 AB 的 距 离 为 10 , 则 a ?

10 10 , b? , 代 入 上 式 得 s i? n sin(450 ? ? )

AB ?


2

100 100 100 2 . ? ? 2 2 0 sin ? sin (45 ? ? ) sin ? sin(450 ? ? )

AB

2 2 2 ? ? 100 1 ? cos 2? 1 ? sin 2? sin ? (cos? ? sin ? ) 2[2 ? (sin 2? ? cos 2? )] 4 ? = . 1 ? (sin 2? ? cos 2? ) ? sin 2? cos 2? (sin 2? ? cos 2? ) ? 1 ?

2

由 于

? ? (00 ,450 ) , 则 2? ? (0 0 ,900 ) , 设 t ? s i 2? n ? c o2? s ? (1, 2 ] , 则
2

AB 4( 2 ? t ) 4 4 t 2 ?1 ? f (t ) ? ? ? s i 2? n c o2? s? ,则 ,可见当 t ? 2 时, 2 100 t ? 1 (t ? 1) 2 (t ? 1) 2

f (t ) 的最小值为 4( 2 ? 1) 2 ,即 | AB | 的最小值为 20( 2 ? 1) .
解法 2 由于 AB 又 ab ?
2

? a 2 ? b 2 ? 2ab ? (2 ? 2 )ab, 当且仅当 a ? b 时,“=”成立.

? 400 400 100 ? ? , 当且仅当 ? ? 即 a ? b 时, 0 0 8 sin ? sin(45 ? ? ) 2 sin(2? ? 45 ) ? 2 2 ? 2
2

“=”成立,故 AB ?

400(2 ? 2 ) 2? 2

? 400( 2 ? 1) 2 即 AB ? 20( 2 ? 1) ,所以,当且仅当

?OAB ?

?
8

即 a ? b ? 10 4 ? 2 2 时, AB 最短为 20( 2 ? 1) .
2

解 法 3 由 于 AB

? a 2 ? b 2 ? 2ab ?① , 又 S ?OAB ?
2

1 1 ab sin 135 0 ? AB ? 10 所 以 2 2

? 2 ? 2ab 2 2 ? ?② , 由 ①② 得 , ? AB ? ? 20 ab? ? a ? b ? 2ab ? (2 ? 2 )ab , 解 得 20 ? ?

ab ? 200(2 ? 2 ) 代 入 ② 得 AB ?

2 ab ? 20(1 ? 2 ), AB 取 得 最 小 值 当 且 仅 当 20

a ? b ? 10 4 ? 2 2
3. 某固定在墙上的广告金属支架如图所示,根据要求,AB 至少长 3 米,C 为 AB 的中点,B 到 D 的距离比 CD 的长小 0.5 米,∠BCD=60°.(1)若 CD ? x , BC ? y ,将支架的总长度 表示为 y 的函数,并写出函数的定义域(注:支架的总长度为图中线段 AB、BD 和 CD 长度 之和) ; (2)如何设计 AB,CD 的长,可使支架总长度最短.
- 12 -

D _ B _

C _

A _

解析: (1)由 CD ? x , 则 BD ? ( x ? 0.5)m ,设 CB ? y ,则支架的总长度为 AC ? BC ? BD ? CD , 在 ?BCD 中,由余弦定理 x2 ? y 2 ? 2 xy cos60 ? ( x ? 0.5)2 化简得 y 2 ? xy ? ? x ? 0.25 记 l ? y ? y ? x ? 0.5 ? x ? 2 y ? 2 x ? 0.5 由 y 2 ? xy ? x ? 0.25 ? 0 ,则 x ?
l ? 2y ? 2? y 2 ? 0.25 y ?1

即 y 2 ? xy ? x ? 0.25 ? 0



??4 分

y 2 ? 0.25 2 y 2 ? 0.5 2 y 2 ? 2 y ? 2 y 2 ? 0.5 4 y 2 ? 2 y ? 0.5 ? 0.5 ? 2 y ? ? 0.5 ? ? 0.5 ? ? 0.5 y ?1 y ?1 y ?1 y ?1

(2)由题中条件得 2 y ? 3 ,即 y ? 1.5 设 y ? 1 ? t (t ? 0.5) ,则原式 l ?

4(t ? 1)2 ? 2(t ? 1) ? 0.5 4t 2 ? 8t ? 4 ? 2t ? 2 ? 0.5 ? 0.5 ? ? 0.5 t t 4t 2 ? 6t ? 1.5 1.5 1.5 = ??10 分 ? 0.5 ? 4t ? 6 ? ? 0.5 ? 4t ? ? 5.5 t t t 1.5 t ? 0.5 由基本不等式? 4t ? ?2 6 t
6 6 时成立,又由 t ? 满足 t ? 0.5 4 4

有且仅当 4t 2 ? 1.5 ,即 t ?
?y ? 6 3 6 ?8 ?1 , ?x ? 4 4

? 当 AB ?

6 8?3 6 ? 2, CD ? 时, 金属支架总长度最短. ?16 2 4

分 4. 某中学校园内原有一块四分之一圆面形状的草坪 AMN (图 1 ) ,其中 AM ? AN ? 8 m , ?MAN ? 90? .今年暑假整治校园环境时,为美观起见,学校设计将原有草坪扩大,具体实施 方案是:从圆弧上一点 P 作圆弧的切线 BD ,分别与 AM,AN 的延长线交于 B,D,并以 AB, AD 为邻边构造矩形 ABCD ,再以 C 为圆心制作一块与 AMN 形状相同的草坪,构成矩形绿地 ABCD (图 2) . (1)求矩形绿地 ABCD 占地面积的最小值; (2)若由于地形条件限制,使得 矩形一边 AB 的长度不能超过 10 m,求此时矩形绿地 ABCD 占地面积的最小值.

- 13 -

D
N N

C

P

A
(图 1)

M

A

M
(图 2)

B

解: (1)设 AB ? a, AC ? b ,求矩形绿地 ABCD 占地面积为 S , 则
a ? 8, b ? 8 .
S ? ab



8 a2 ? b2 ? ab



------------------------------------3 分

因为 a 2 ? b 2 ≥ 2ab ,所以 ab ≥ 8 2ab ,解得 ab ≥ 128 , 当且仅当 a ? b ? 8 2 ? ?8, ??? 时, ab 取得最小值为 128, 所 以
2





绿



ABCD



















128m .

------------------------------------6 分
8a a 2 ? 64

(2)由 8 a2 ? b2 ? ab ,知 b ?

,所以 S ? ab ?

8a 2 a 2 ? 64

?8 ? a≤10 ? .---------8 分
8 ? t 2 ? 64 ? t 64 ) t



t ? a ? 64
2





a 2 ? t 2 ? 64



S?

? 8(t ?



----------------------10 分 6 ? t ? 8 ?? t ? 8 ? 64 由于 S ? ? 8(1 ? 2 ) ? ,当 t ? ? 0,6? 时, S ? ? 0 , t t2 所 以 S ? 8(t ?
a ? 10, b ? 64 64 400 ,此时 ) 在 ? 0,6? 上 是 减 函 数 , 所 以 当 t ? 6 时 , Sm i n? 8 ( 6 ? ? ) t 6 3

0 ? t≤6.

40 . 3









绿



ABCD



















400 2 m . 3

------------------------------------14 分

- 14 -


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