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世纪金榜2-1习题答案(缩减)


圆学子梦想 铸金字品牌 课时提升作业(一)
命 题

(25 分钟 60 分) 1.【解析】选 A.疑问句和祈使句不是命题,C,D 不是命题,对于 B 无法判断真假,故只有 A 是命题. 2.【解析】选 A.“红豆生南国”是陈述句,所述事件在唐代是事实,所以本句是命题,且是真命题;“春来发几枝”是疑问句,“愿君多采撷”是祈使句, “此物最相思”是感叹

句,都不是命题,故选 A. 3.【解析】选 B.因为命题“非空集合 M 中的元素都是集合 P 中的元素”是假命题,因此 M 中有不属于 P 的元素,也可能有属于 P 的元素,故②④正确, 因此选 B. 【解析】选 A.③正确,①②④错误. 4.【解析】选 C.“若 p,则 q”的形式:若一个数是 6 的倍数,则这个数既能被 2 整除,也能被 3 整除.所以该命题的结论是这个数既能被 2 整除,也能被 3 整除. 5.【解析】选 A.解不等式 x -2x-8<0 得不等式的解集为{x|-2<x<4}. 6.【解析】②是疑问句,不是命题.其余都是命题.①③是真命题,若两直线不平行,则它们相交或为异面直线,④是假命题. 答案:② ①③ 7.【解析】该命题的条件是函数为正弦函数,结论是周期函数,故“若 p,则 q”的形式为“若函数为正弦函数,则此函数是周期函数”. 答案:若函数为正弦函数,则此函数是周期函数 8.【解析】①是真命题.②中若 M∩N=N,则 N?M,故是假命题.③周期函数的定义域应为 R,故函数 y=sinx,x∈[0,2π ]不是周期函数,是假命题.④中 l 与 m 异面,m 与 n 异面,则 l 与 n 可能异面,也可能平行或相交,故是假命题.答案:① 9.【解析】(1)是疑问句,不是陈述句,所以不是命题. (2)(6)不能判断真假,不是命题. (3)(5)是陈述句且能判断真假,是命题. (4)是祈使句,不是陈述句,所以不是命题.
2

10.【解析】(1)为假命题,如当 a=1,b=

时,a+

b 是有理数.

(2)为假命题,如数列-10,-8,-6,-4,-2,它的公差是 2. (3)当 a>0 且 a≠1 时,函数 y=a 是指数函数,所以是假命题. (4)关于 x 的方程 ax+1=x+2 即(a-1)x=1,当 a=1 时,方程无解;当 a≠1 时,方程有惟一解,所以是假命题.
x

(20 分钟 40 分) 1.【解析】选 A.①由 x?y=0 得到 x=0 或 y=0, 所以|x|+|y|=0 不正确,是假命题;

-1-

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②当 a>b,c≠0 时,ac>bc 不一定成立,所以是假命题; ③矩形的对角线不一定垂直,不正确,是假命题. 2.【解析】选 B.若 l∥α ,l∥β ,则α ∥β 或α 与β 相交,选项 A 不正确;若 l∥α ,过 l 的平面与平面α 交于直线 m,则 l∥m,又 l⊥β ,所以 m⊥β ,又 m?α ,从而α ⊥β ,选项 B 正确;若α ⊥β ,l⊥α ,则 l∥β 或 l?β ,选项 C 不正确;若α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β 或 l∥β 或 l 与β 斜交,选项 D 不正确. 3.【解析】①中由 a?b=a?c 得 a?(b-c)=0,不一定有 b=c,①错. ②中由条件得-2k=6,所以 k=-3,正确. ③中由条件得以|a|,|b|,|a-b|为边长的三角形为等边三角形,所以 a 与 a+b 的夹角为 30°,③错.答案:② 4.【解析】该命题的条件是 a>0,结论是二元一次不等式 x+ay-1≥0 表示直线 x+ay-1=0 的右上方区域(包括边界),又由 a>0 可知,直线 x+ay-1=0 的斜 率小于 0,截距大于 0,把(0,0)代入,知原点不在 x+ay-1≥0 的区域内,故该命题是真命题.答案:a>0 二元一次不等式 x+ay-1≥0 表示直线 x+ay-1=0 的右上方区域(包括边界) 真 5.【解析】(1)若一个数是实数,则它的平方是非负数,真命题. (2)若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形,假命题. (3)若一个点是一个角的平分线上的点,则该点到这个角的两边的距离相等,真命题. 6.【解析】这是可以判断真假的陈述句,所以是命题,且是真命题. 函数 f(x)=2 -x 的零点即方程 2 -x =0 的实数根,也就是方程 2 =x 的实数根,即函数 y=2 ,y=x 的图象的交点的横坐标,易知指数函数 y=2 的图象与抛 物线 y=x 有三个交点,所以函数 f(x)=2 -x 有三个零点.
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x

课时提升作业(二)四

种 命 题

(15 分钟 30 分) 一、 【解析】选 A.从两种命题的形式来看是条件与结论换位,因此为逆命题. 2.【解析】选 C.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题. 3.【解析】选 B.①否命题:若 x+y≠0,则 x,y 不互为相反数,真命题.②逆否命题:若 a ≤b ,则 a≤b,假命题.③否命题:若 x>-3,则 x -x-6≤0,假命题. ④逆命题:相等的两个角是对顶角,假命题,故选 B. 4.【解析】 “x>y”的否定是“x≤y”,“x >y -1”的否定是“x ≤y -1”. 答案:若 x≤y,则 x ≤y -1
3 3 3 3 3 3 2 2 2

5.【解析】显然①为真,②为假.对于③中,原命题“若 x- 是有理数,则 x 是无理数”为假命题,所以逆否命题为假命题. 对于④中,“若 a>1 且 b>1,则 a+b>2”的否命题是“若 a≤1 或 b≤1,则 a+b≤2”为假命题.答案:① 6.【解析】逆命题:若 a+b 是偶数,则 a,b 都是奇数,是假命题; 否命题:若 a,b 不都是奇数,则 a+b 不是偶数,是假命题; 逆否命题:若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都是奇数,是真命题.

-2-

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(15 分钟 30 分) 1.【解析】选 D.“且”的否定为“或”,因此其逆否命题为“若 a≠0 或 b≠0,则 a +b ≠0”. 2. 【解析】 选 B.逆否命题 “若 a>0 且 b>0,则 ab>0” ,显然为真命题,又原命题与逆否命题等价,故原命题为真命题.否命题为 “若 ab>0,则 a>0 且 b>0” , 故选 B. 3.【解析】①的逆命题:若空间四点中任意三点都不共线,则这四点不共面,是假命题;②的逆命题:若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点, 是真命题.答案:② 4 【解析】 ①逆命题是: “若 x,y 互为倒数,则 xy=1” ,是真命题;②逆命题是: “若两三角形的周长相等,则它们相似” ,是假命题;③由 b≤0 得Δ =4b -4(b +b) ≥0,所以③是真命题,其逆否命题也是真命题.答案:①③ 5.【解析】原命题的逆否命题为:已知 a,x 为实数,若 a>3,则关于 x 的不等式 x +(2a-1)x+a -2≤0 的解集为空集.真假判断如下: 因为抛物线 y=x +(2a-1)x+a -2 的开口向上,判别式Δ =(2a-1) -4(a -2)=-4a+9, 若 a>3,则-4a+9<0,即抛物线 y=x +(2a-1)x+a -2 与 x 轴无交点. 所以关于 x 的不等式 x +(2a-1)x+a -2≤0 的解集为空集.故原命题的逆否命题为真命题.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

课时提升作业(三)四种命题间的相互关系

(15 分钟 30 分) 1.【解析】选 B.因为 a,b 都是奇数的否定是 a,b 不都是奇数, “ab 必为奇数”的否定为“ab 不为奇数”, 所以命题“若 a,b 都是奇数,则 ab 必为奇数”, 逆否命题是:若 ab 不是奇数,则 a,b 不都是奇数. 2.【解析】选 C.若“ p,则 q”的逆否命题是“若 q,则 p”,又因为互为逆否命题所以真假性相同.所以“若 q,则 p”一定是真命题. 3. 【解析】 选 B.原命题 “若 a>b,则 ac >bc (a,b,c∈R)” 为假命题;逆命题 “若 ac >bc ,则 a>b(a,b,c∈R)” 为真命题;否命题 “若 a≤b,则 ac ≤bc (a,b,c ∈R)”为真命题;逆否命题“若 ac ≤bc ,则 a≤b(a,b,c∈R)”为假命题. 4.【解析】否定命题“若 x∈A∪B,则 x∈A 或 x∈B”的结论做条件, 否定命题“若 x∈A∪B,则 x∈A 或 x∈B”的条件做结论, 得到命题“若 x∈A∪B,则 x∈A 或 x∈B”的逆否命题为: 若 x?A 且 x?B,则 x?A∪B. 答案:若 x?A 且 x?B,则 x?A∪B
2 2 2 2 2 2 2 2

5.【解析】由已知得,若 1<x<2 成立,则 m-1<x<m+1 也成立.所以

所以

1≤m≤2.答案:[1,2] 6.【解析】逆否命题:已知 a,x 为实数,如果 a<1,则关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2≤0 的解集为空集,真命题.判断如下: 抛物线 y=x +(2a+1)x+a +2 开口向上,
2 2 2 2

-3-

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判别式Δ =(2a+1) -4(a +2)=4a-7. 因为 a<1,所以 4a-7<0, 即抛物线 y=x +(2a+1)x+a +2 与 x 轴无交点, 所以关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2≤0 的解集为空集,故逆否命题为真命题.
2 2 2 2 2 2

(15 分钟 30 分)

1.【解析】选 C.由 ab≤

得:a+b=1,则有 ab≤ ,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若 ab≤ ,则 a+b=1 不成立,反例 a=b=0

满足 ab≤ 但不满足 a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.

2.【解析】 选 C.对于命题 p,当 a>b>0 时,有 lo

a<lo

b,则必有 lo

a<lo

b+1,因此原命题正确,逆否命题也正确;但当 lo

a<lo

b+1

时,得 lo

a<lo

,即 a> >0,此时不一定有 a>b>0,因此逆命题不正确,则命题 p 的否命题也不正确.因此一共有 2 个正确命题.

3.【解析】命题“已知不共线向量 e1,e2,若λ e1+μ e2=0,则λ =μ =0”的等价命题为“已知不共线向量 e1,e2,若λ ,μ 不全为 0,则λ e1+μ e2≠0”,是真 命题. 答案:已知不共线向量 e1,e2,若λ ,μ 不全为 0,则λ e1+μ e2≠0 真

4.【解析】若①真,②假,则

故 m>1.

若①假,②真,则

无解.综上所述,m 的取值范围是 m>1.答案:m>1

5. 【证明】 原命题的逆否命题为:已知 a,b,c∈R,若 a,b,c 都大于或等于 ,则 a+b+c≥1.由条件 a≥ ,b≥ ,c≥ ,得 a+b+c≥1.显然逆否命题为真命

题,所以原命题也为真命题.即已知 a,b,c∈R,若 a+b+c<1,则 a,b,c 中至少有一个小于 .

课时提升作业(四)充分条件与必要条件

(25 分钟 60 分) 1.【解析】选 A.只有 x>4?x>3,其他选项均不可推出 x>3. 2.【解析】选 B.原命题的逆命题:“若 q,则 p”,它是真命题,即 q?p,所以 p 是 q 的必要条件.

3.【解析】选 C.x -x<0?0<x<1,运用集合的知识,易知只有 C 中由 <x< 可以推出 0<x<1,其余均不可.

2

4.【解析】选 D.①y=x +mx+m+3 有两个不同的零点,则Δ =m -4(m+3)>0,得 m>6 或 m<-2,所以 p 是 q 的充分条件;②因为 以 f(x)为偶函数;

2

2

=1,所以 f(-x)=f(x),所

③当α =β =kπ + 时,tanα ,tanβ 无意义,所以 p 是 q 的必要条件.

-4-

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5.【解析】选 C.A.存在一条直线 l,l?α ,l∥β ,此时α ,β 可能相交. B.若存在一个平面γ ,γ ⊥α ,γ ⊥β ,则α 与β 可能平行,可能相交. C.若存在一条直线 l,l⊥α ,l⊥β ,则α ∥β 成立,反之不一定成立,满足条件. D.若存在一个平面γ ,γ ∥α ,γ ⊥β ,则α ⊥β ,所以不满足题意. 6.【解析】 “b =ac”
2

“a,b,c 成等比数列”,如 b =ac=0;而“a,b,c 成等比数列”?“b =ac”.答案:必要

2

2

7.【解析】p:x>1,若 p 是 q 的充分条件,则 p?q,即 p 对应集合是 q 对应集合的子集,故 a≤1.答案:(-∞,1] 8.【解析】由于 x <1,即-1<x<1,①显然不能使-1<x<1 成立,②③④满足题意. 答案:②③④ 9.【解析】(1)因为|x|=|y|?x=y 或 x=-y,但 x=y?|x|=|y|,所以 p 是 q 的必要条件,q 是 p 的充分条件.
2

(2)因为 0<A<π 时,sinA∈(0,1],且 A∈

时,sinA 单调递增,A∈

时,sinA 单调递减,所以 sinA> ? A> ,但 A>

sinA> .所以

p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件.

10.【解析】(1)因为命题 p 为真,则对数的真数-2t +7t-5>0,解得 1<t< .

2

所以实数 t 的取值范围是

.

(2)因为命题 p 是 q 的充分条件,所以 t 1<t<
2

是不等式 t -(a+3)t+(a+2)<0 的解集的子集.

2

方法一:因为方程 t -(a+3)t+(a+2)=0 的两根为 1 和 a+2,

所以只需 a+2≥ ,解得 a≥ .即实数 a 的取值范围为

.

方法二:令 f(t)=t -(a+3)t+(a+2),因为 f(1)=0,所以只需 f

2

≤0,解得 a≥ .

即实数 a 的取值范围为

.

(20 分钟 40 分) 1.【解析】选 A.因为甲是乙的必要条件,所以乙? 甲. 又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙? 乙,但乙 综上,有丙? 甲,但甲 丙,如图.

丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.

2.【解析】选 C.A=

={x|-1<x<1},B={x|-a<x-b<a}={x|b-a<x<b+a},因为“a=1”是“A∩B≠?”

的充分条件,所以-1≤b-1<1 或-1<b+1≤1,即-2<b<2.

3.【解析】

a b |a|b = ? a = ?a 与 b 共线且同向?a=λ |a| |b| |b|

b 且λ >0,只有③满足.答案:③

4.【解析】①m∥n,n∥α ,不能推得 m∥α ,m 可能在平面α 内;

-5-

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②m⊥n,n⊥α ,不能推得 m∥α ,m 可能在平面α 内; ③m?α ,m∥β ,α ∥β ,能推得 m∥α ; ④m⊥β ,α ⊥β ,不能推得 m∥α ,m 可能在平面α 内.答案:③ 5.【解析】由于 p:x -2x-3<0?-1<x<3,-a<x-1<a?1-a<x<1+a(a>0). 依题意,得{x|-1<x<3}? {x|1-a<x<1+a}(a>0),
2

所以

解得 a≥2,则使 a>b 恒成立的实数 b 的取值范围是 b<2,即(-∞,2).

6.【解析】先化简集合 A,由 y=x - x+1,配方,得

2

y=

+

.因为 x∈

,所以 y∈

.所以 A=

.

由|x-m|≥1,解得 x≥m+1 或 x≤m-1.所以 B={x|x≥m+1 或 x≤m-1}. 因为命题 p 是命题 q 的充分条件,所以 A? B.

所以 m+1≤

或 m-1≥2,解得 m≤-

或 m≥3.

故实数 m 的取值范围是

∪[3,+∞).

课时提升作业(五)

充要条件的应用

(25 分钟 60 分) 1.【解析】选 C.在 中,函数 y=tanx 为增函数,所以设α ,β ∈ ,那么“α <β ”是“tanα <tanβ ”的充要条件.

2.【解析选 A.由 a?b=|a||b|得 cos<a,b>=1,<a,b>=0,所以 a 与 b 同向.而 a∥b 包括同向与反向两种情况. 3.【解析】选 D.当 ab<0 时,由 a>b 不一定推出 a >b ,反之也不一定成立. 4. 【解析】 选 A.若 p:l1,l2 是异面直线,由异面直线的定义知,l1,l2 不相交,所以命题 q:l1,l2 不相交成立,即 p 是 q 的充分条件,反过来,若 q:l1,l2 不相 交,则 l1,l2 可能平行,也可能异面,所以不能推出 l1,l2 是异面直线,即 p 不是 q 的必要条件.
2 2

5.【解析】选 C.当 a>0,b>0 时由基本不等式可得



.当且仅当 a=b 时取等号.

反之,当



时,由

有意义结合 a,b≠0,可得 a,b 同号,即 a>0,b>0 或 a<0,b<0,而当 a<0,b<0 时

<0 与



矛盾.

故必有 a>0,b>0 成立,故“a>0,b>0”是“



”的充要条件.

6.【解析】由 Sn+1>Sn(n∈N )?(n+1)a+

*

d>na+

d(n∈N )?dn+a>0(n∈N )?d≥0 且 d+a>0

*

*

.因此数列{Sn}为递增数列的充要条件是 d≥0 且 d+a>0.答案:d≥0 且 d+a>0

7.【解析】直线 x+y+m=0 与圆(x-1) +(y-1) =2 相切?圆心(1,1)到直线 x+y+m=0 的距离等于

2

2

-6-

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?

=

?|m+2|=2?m=-4 或 0.答案:m=-4 或 0

8.【解析】①x>2 且 y>3 时,x+y>5 成立,反之不一定,如 x=0,y=6,所以“x>2 且 y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件;②不等式解集为 R 的充要条件是 a<0 且 b -4ac<0.故②为假命题;
2

③当 a=2 时,两直线平行,反之,两直线平行, = ,所以 a=2,因此,“a=2”是“两直线平行”的充要条件; ④lgx+lgy=lg(xy)=0,所以 xy=1 且 x>0,y>0.所以“lgx+lgy=0”成立,xy=1 必成立,反之不然. 因此“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要而不充分条件.综上可知,真命题是④.答案:④

9.【解析】方程 3x -10x+k=0 有两个同号且不相等的实根等价于

2

解得 0<k<

,

所以方程 3x -10x+k=0 有两个同号且不相等的实根的充要条件 0<k<
n-1

2

.

10.【证明】充分性:当 q=-1 时,a1=S1=p-1;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=p (p-1),且 n=1 时也成立.

于是

=

=p(p≠0 且 p≠1),即{an}为等比数列.
n-1

必要性:当 n=1 时,a1=S1=p+q;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=p (p-1).

因为 p≠0 且 p≠1,所以当 n≥2 时,

=

=p,可知等比数列{an}的公比为 p.



=

=p,即 p-1=p+q,解得 q=-1.综上可知,q=-1 是数列{an}为等比数列的充要条件.

(20 分钟 40 分) 1.【解析】选 A.直线过定点(0,1)在圆上,不妨设其为 A 点,而 B 点也在圆上,

S△OAB=

?

sin∠AOB= sin∠AOB,因此∠AOB 必为直角,所以 S△OAB= 的等价条件是 k=±1.

2. 【 解 析 】 选 D. 函 数 f(x)=a+sinx+

cosx 有 零 点 ? 方 程 a+sinx+

cosx=0 有 实 数 根 ? 方 程 -a=sinx+

cosx 有 实 数 根 , 由 于

-a=sinx+

cosx=2sin(x+60°),

所以-2≤-a≤2,即-2≤a≤2.

3.【解析】依题意,an+1-an=d,且

=q(d,q 为常数),对一切正整数 n 都成立,则 qan-an=d,所以 an(q-1)=d 对一切正整数 n 都成立,故 d=0,q=1,数列

{an}为常数列. 由于 an=0 不是等比数列,所以数列{an}既是等差数列又是等比数列的充要条件是数列{an}是非零常数列. 4.【解析】由题意知函数 f(x)=|log2x|=

要使 f(x)在区间(m-2,2m)内有定义且不是单调函数,则 0≤m-2<1<2m,所以 2≤m<3.答案:[2,3) 5.【解析】当{an}是等差数列时,因为 Sn=(n+1) +c,所以当 n≥2 时,Sn-1=n +c,所以 an=Sn-Sn-1=2n+1,
2 2

-7-

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所以 an+1-an=2 为常数.又 a1=S1=4+c,所以 a2-a1=5-(4+c)=1-c, 因为{an}是等差数列,所以 a2-a1=2,所以 1-c=2.所以 c=-1,反之,当 c=-1 时,Sn=n +2n, 可得 an=2n+1(n≥1,n∈N )为等差数列,所以{an}为等差数列的充要条件是 c=-1.
* 2

6.【证明】充分性:由 a =b(b+c)=b +c -2bccosA 可得 1+2cosA= =

2

2

2

.

即 sinB+2sinBcosA=sin(A+B).化简,得 sinB=sin(A-B).由于 sinB>0 且在三角形中,故 B=A-B,即 A=2B. 必要性:若 A=2B,则 A-B=B,sin(A-B)=sinB, 又 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB.所以 sin(A+B)=sinB(1+2cosA). 因为 A,B,C 为△ABC 的内角,所以 sin(A+B)=sinC,即 sinC=sinB(1+2cosA).

所以
2

=1+2cosA=1+

=

,即 =

.化简得 a =b(b+c).

2

所以“a =b(b+c)”是“A=2B”的充要条件.

课时提升作业(六)简单的逻辑联结词

(25 分钟 60 分) 1.【解析】选 D.根据“且” “或” “非”命题的真假判定法则知 D 正确. 2.【解析】选 C.p:△ABC 中,∠C>∠B?c>b?sinC>sinB, 所以“∠C>∠B”是“sinC>sinB”的充要条件,所以 p 为假命题. q:当 c=0 时,由 a>b ac >bc ,由 ac >bc ? a>b,所以“a>b”是“ac >bc ”的必要不充分条件,
2 2 2 2 2 2

所以 q 为假命题,p∨q 为假命题. 3.【解析】选 B.p 为真命题.对于 q,因为 f(x)对应的函数值只有两个,即 1 或-1,所以 f(x)的值域为{1,-1}, 所以 q 为假命题,所以 p∧q 假,p∨q 真, p 假. 4.【解析】选 A.依题意, p:“甲没有降落在指定范围”, q:“乙没有降落在指定范围”,因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( p) ∨( q).

5.【解析】选 C.点 P(x,y)满足

可验证各选项,只有 C 正确.

6.【解析】 q 表示乙的成绩没有超过 8 环,所以命题“p∨( q)”表示甲的成绩超过 9 环或乙的成绩没有超过 8 环.答案:甲的成绩超过 9 环或乙的 成绩没有超过 8 环 7.【解析】p:x<3;q:-1<x<5.因为 p 且 q 为假命题,所以 p,q 中至少有一个为假, 所以 x≥3 或 x≤-1.答案:(-∞,-1]∪[3,+∞) 8.【解析】因为“p∧q”为假,“ q”为假,所以 q 为真,p 为假.

-8-

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因此,x 的值可以是-1,0,1,2.答案:{-1,0,1,2}

9.【解析】(1)因为 p,q 均为真命题,所以 p∧q,p∨q 为真, p 为假命题. (2)由 x -3x-4=0,得 x=4 或 x=-1.所以命题 p 是真命题,
2

又函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,所以φ =kπ + (k∈Z),则命题 q 是假命题.

由于 p 真,q 假,所以 p,p∧q 为假命题,p∨q 为真命题. 10.【解析】当 0<a<1 时,函数 y=loga(x+1)在(0,+∞)内单调递减. 当 a>1 时,y=loga(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减函数,故 p 真时 0<a<1.

q 真等价于(2a-3) -4>0,即 a< 或 a> .

2

又 a>0,所以 0<a< 或 a> .因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 p,q 中必定是一个为真一个为假.

(1)若 p 真,q 假,则

? ≤a<1,即 a∈

.

(2)若 p 假,且 q 真,则

? a> ,即 a∈

.

综上可知,a 的取值范围为



.

(20 分钟 40 分) 1.【解析】选 D.p:x≥3 或 x≤-1,q:x∈Z,由 p∧q, q 同时为假命题知,p 假 q 真,所以满足-1<x<3 且 x∈Z,故满足条件的集合为{x|-1<x<3,x∈Z}. 3.【解析】因为 p∨q 为假命题,所以 p,q 均为假命题.p 假?a≤0,q 假?a≥b,则 b≤a≤0. 答案:b≤a≤0 4.【解析】命题 p:“方程 x +2x+a=0 有实数根”的充要条件为Δ =4-4a≥0,即 a≤1,则 p 为真时,a>1;命题 q:“函数 f(x)=(a -a)x 是增函数”的充要 条件为 a -a>0,即 a<0 或 a>1,则“ q”为真命题时,0≤a≤1. 由“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,得 p,q 一真一假: 若 p 真 q 假,则 0≤a≤1;若 p 假 q 真,则 a>1. 所以实数 a 的取值范围是 a≥0.答案:a≥0 5.【解析】因为 y=x -2x+a=(x-1) +a-1≥a-1,
2 2 2 2 2

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所以 A={x|x -3x+2≤0}={x|1≤x≤2},B={y|y≥a-1},C={x|x -ax-4≤0}, (1)由命题 p 为假命题可得 A∩B=?,所以 a-1>2,所以 a>3.(2)因为命题 p∧q 为真命题, 所以 p,q 都为真命题,即 A∩B≠?且 A? C,
2 2

所以

可得 0≤a≤3.

6.【解析】当 p 为真命题时,Δ =k -4≤0,所以-2≤k≤2.

2

当 q 为真命题时,令 f(x)=x +(2k-1)x+k ,方程有两个大于 1 的实数根?

2

2



所以 k<-2.

要使 p 且 q 为假,p 或 q 为真,则 p 真 q 假,或者是 p 假 q 真.当 p 真 q 假时,-2≤k≤2, 当 p 假 q 真时,k<-2.综上:k≤2.

课时提升作业(七)全称量词

存在量词

(15 分钟 30 分)

1.【解析】选 A.由命题是特称命题,排除 C,D;在 A 中,当α =45°时,结论正确;B 中, >1,

所以不存在 x0,使 sinx0= .

2.【解析】选 C.当 x0<0 时,2x0>3x0,所以不存在 x0∈(-∞,0),使得 2x0<3x0 成立,即 p 为假命题,显然? x∈ 所以( p)∧q 是真命题.

,恒有 cosx<1,所以命题 q 为真,

3.【解析】选 A.因为命题 p:?x0∈R,
2 2

+ax0+a<0,命题 p 是假命题,则 p 是真命题,即方程 x +ax+a≥0 恒成立,所以Δ =a -4a≤0,解得 0≤a≤4.
2 2

2

2

4.【解析】因为 x -3x+6=0 中,Δ =(-3) -4?6=-15<0,所以 x -3x+6=0 无解,x -3x+6>0 恒成立. 所以①正确,②③错误.答案:①

5.【解析】依题意有:0<a -1<1?

2

?

?-

<a<-1 或 1<a<

.

答案:(-

,-1)∪(1,

)

6.【解析】由“p 且 q”是真命题,知 p 为真命题,q 也为真命题. 若 p 为真命题,则 a≤x 对于 x∈[1,2]恒成立.所以 a≤1. 若 q 为真命题,则关于 x 的方程 x +2ax+2-a=0 有实根,所以Δ =4a -4(2-a)≥0,即 a≥1 或 a≤-2. 综上,实数 a 的取值范围为 a≤-2 或 a=1.
2 2 2

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(15 分钟 30 分) 1.【解析】选 C.f(x)=ax +bx+c=a 当 x=x1 时,函数 f(x)取得最小值, 所以? x∈R,f(x)≥f(x1). 从而 A,B,D 为真命题,C 为假命题.
2

+

(a>0),因为 2ax1+b=0,所以 x1=-

.

2. 【解析】 选 B.当 x=-1 时,x+ =-2,显然 x+ ≥2 不成立,故 A 错.当 x=2 时,x+ =2 >2,故 B 正确,对?x∈R,|x+1|≥0,故 C 错误,当 x=-1 时,|x+1|>0 不成立,故 D 错.

3.【解析】由 0≤x≤ ,可得 0≤tanx≤1.由 tanx≤m 恒成立可知 m≥1,即最小值是 1.答案:1

4. 【解析】 由 g(x)=2 -2<0,可得 x<1,当 x≥1 时,g(x)<0 不成立,满足条件①时,要使?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0,必须使 x≥1 时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0 恒成立, 当 m=0 时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)=0 不满足条件,所以二次函数 f(x)必须开口向下,也就是 m<0,要满足条件,必须使方程 f(x)=0 的两根 2m,-m-3 都小于

x

1,即

解得 m∈(-4,0).

满足条件②时,因为 x∈(-∞,-4)时,g(x)<0,所以要使? x0∈(-∞,-4)时,f(x0)g(x0)<0,只要? x0∈(-∞,-4)时,使 f(x0)>0 即可,只要使-4 比 2m,-m-3 中较小的一个大即可,当 m∈(-1,0)时,2m>-m-3,只要-4>-m-3,解得 m>1 与 m∈(-1,0)的交集为空集;当 m=-1 时,两根为-2,-2>-4,不符合;当 m∈(-4,-1) 时,2m<-m-3,所以只要-4>2m,所以 m∈(-4,-2). 综上所述,m∈(-4,-2)为所求.答案:(-4,-2) 5.【解析】(1)由已知等式 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)?x, 令 x=1,y=0,得 f(1)-f(0)=2.又因为 f(1)=0,所以 f(0)=-2. (2)由(1)知 f(0)=-2,所以 f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)?x.

因为 x∈

,所以 f(x)+2∈

,要使 x∈

时 f(x)+2<logax 恒成立,

显然当 a>1 时不可能,所以

解得

≤a<1.

课时提升作业(八)含有一个量词的命题的否定

(15 分钟 30 分) 1.【解析】选 A.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为?x∈(0,+∞),lnx≠x-1. 2.【解析】选 C.由于 x=10 时,x-2=8,lgx=lg10=1,故命题 p 为真命题,令 x=0,则 x =0,故命题 q 为假命题,得到命题 p∨q 是真命题,p∧q 为假命题, q 是真命题,进而得到命题 p∧( q)是真命题,命题 p∨( q)是真命题.
2

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3.【解析】选 C.对于①,“若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1”的逆命题为“若 a,b 中至少有一个不小于 1.则 a+b≥2”,错误,如 a=3≥1,b=-2, 但 a+b=1<2;对于②,存在正实数 a=2,b=2,使得 lg(2+2)=lg2 =2lg2=lg2+lg2 成立,故②正确;对于③,“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇 数不是素数”,故③正确;对于④,在△ABC 中,A<B?a<b?2RsinA<2RsinB?sinA<sinB,故△ABC 中,A<B 是 sinA<sinB 的充分必要条件,故④错误.综上 所述,②③正确. 4.【解析】命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”,是全称命题,其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.答案:有的 向量与零向量不共线 5. 【解析】 ax +4x+a ≥ -2x +1 是真命题 , 即不等式 ax +4x+a ≥ -2x +1 对 ? x ∈ R 恒成立 , 即 (a+2)x +4x+(a-1) ≥ 0. 当 a+2=0 时 , 不符合题意 . 故有
2 2 2 2 2 2

解得 a≥2.答案:[2,+∞)

6.【解析】(1)这一命题可以表述为 p:“对所有的实数 m,方程 x +x-m=0 有实数根”,其否定形式是 p:“存在实数 m0,使得 x +x-m0=0 没有实数根”.

2

2

注意到当Δ =1+4m0<0 时,即 m0<- 时,一元二次方程没有实数根,所以 p 是真命题. (2)这一命题的否定形式是 q:“对所有实数 x,都有 x +x+1>0”;利用配方法可以证得 q 是一个真命题. (3)这一命题的否定形式是 r:“存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等”,由平面几何知识知 r 是一个假命题. (4)这一命题的否定形式是 s:“存在α 0∈R,有 sin α 0+cos α 0≠1”.由于命题 s 是真命题,所以 s 是假命题.
2 2 2

(15 分钟 30 分) 1.【解析】选 C.A 中当β =0 时,sin(α +β )=sinα +sinβ . B 中当 a>0 时,由于 f(x)=ln x+lnx-a 中Δ =1+4a>0,则 f(x)=0 有根即函数有零点.
2

C 中当φ = 时,f(x)=sin(2x+φ )=cos2x 是偶函数.

D 中的否定为“? x0∈R, 2.【解析】选 C.因为

+1≤0”.
x x

p 为假,故 p 为真,即求原命题为真时 m 的取值范围.由 4 +2 m0+1=0,

得-m0=

=2 +

x

≥2,所以 m0≤-2.

3.【解析】由 p 或 q 为假,得 p,q 都是假命题,从而 ? p,

? q 都是真命题.

? p:对任意 x∈R,mx +1>0 成立,得 m≥0;
2

? q:存在 x ∈R,
0

+mx0+1≤0 成立,得Δ =m -4≥0,解得 m≥2 或 m≤-2.

2

综上所述,m≥2 为所求.答案:m≥2

4.【解析】由“?x∈R,x -5x+

2

a>0”的否定为假命题,可知命题“?x∈R,x -5x+

2

a>0”必为真命题,

即不等式 x -5x+

2

a>0 对任意 x∈R 恒成立,故Δ =25-4?

a<0,

- 12 -

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解得 a> ,即实数 a 的取值范围为 5.【解析】2x>m(x +1)可化为 mx -2x+m<0.
2 2

.答案:

若 p:? x∈R,2x>m(x +1)为真,则 mx -2x+m<0 对任意的 x∈R 恒成立. 当 m=0 时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立; 当 m≠0 时,有 m<0 且Δ =4-4m <0,所以 m<-1.
2

2

2

若 q:? x0∈R,

+2x0-m-1=0 为真,则方程

+2x0-m-1=0 有实根,所以Δ =4+4(m+1)≥0,所以 m≥-2.

又 p∧q 为真,故 p,q 均为真命题.所以 m<-1 且 m≥-2,所以-2≤m<-1.

课时提升作业(九)曲线与方程

(15 分钟 30 分) 1.【解析】选 C.因为 x +xy=x 可化为 x(x+y-1)=0, 所以 x=0 或 x+y-1=0. 2.【解析】选 A.两曲线的交点为(0,-k),由已知点(0,-k)在曲线 x +y =9 上,故可得 k =9,所以 k=±3. 3.【解题指南】结合 xy<0,分情况分别画图求解. 【解析】选 C.x +y =1 的图形是单位圆,因为 xy<0,所以,方程的曲线是单位圆在第二和第四象限的部分. 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)
2 2 2 2 2 2

4.【解析】曲线过 A(0,-2),B

两点,所以 A(0,-2),B

的坐标就是方程的解.

所以

所以 b=1,a=4.答案:4 1

5. 【解析】 ①是正确的;②不正确,如点(-1,-1)在第三象限的角平分线上,但其坐标不满足方程

-

=0;③不正确.如点(-1,1)满足方程 x -y =0,

2

2

但它不在曲线 C 上;④不正确.如点(0,0)在曲线 C 上,但其坐标不满足方程 =1.答案:①

6.【解析】(1)因为 1 +(-2-1) =10,( 表示的曲线上.

2

2

) +(3-1) =6≠10,所以点 P(1,-2)在方程 x +(y-1) =10 表示的曲线上,点 Q(

2

2

2

2

,3)不在方程 x +(y-1) =10

2

2

(2)因为点 M

在方程 x +(y-1) =10 表示的曲线上,所以 x=

2

2

,y=-m 适合上述方程,



+(-m-1) =10.解之得 m=2 或 m=-

2

,所以 m 的值为 2 或-

.

(15 分钟 30 分)
2 2

1.【解析】选 B.因为 y=-2 y =4x 上.
2

≤0,而 y =4x 中 y 可正可负,所以点 M 在曲线 y =4x 上,但 M 不一定在 y=-2

上.反之点 M 在 y=-2

上时,一定在

- 13 -

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2.【解析】选 D.A 中方程

=1 化为整式 y=x-2 时产生增根

,故 A 错.

B 中△ABC 的中线 CO(O 为坐标原点)是线段 CO 而不是整条直线,故 B 错. C 中到 y 轴距离为 2 的点的轨迹方程有两条即 x=2 或 x=-2,故 C 错.

D 中因为 y=

=

=

,所以 y=

表示两条射线.

3. 【解析】 利用 x≥0,y≥0 时,有 x+y=1;x≥0,y≤0 时,x-y=1;x≤0,y≥0 时,有-x+y=1;x≤0,y≤0 时,-x-y=1,作出图形为一个正方形,其边长为 面积为 2.答案:2

,

4.【解析】由

得-|ax|=-

,即 a x =1-x ,所以(a +1)x =1,

2 2

2

2

2

解得 x=

和 x=-

,代入 y=-|ax|,得 y=-

,所以它们有 2 个交点.答案:2

5.【解析】由

得(1+k )x +2k(3-2k)x+(3-2k) -4=0,

2

2

2

Δ =4k (3-2k) -4(1+k )[(3-2k) -4]=48k-20.所以

2

2

2

2

(1)Δ >0,即 k>

时,直线与曲线有两个不同的交点.

(2)Δ =0,即 k=

时,直线与曲线有一个交点.

(3)Δ <0,即 k<

时,直线与曲线没有交点.

课时提升作业(十)求曲线的方程

(15 分钟 30 分) 1.【解析】选 B.注意当点 C 与 A,B 共线时,不符合题意,应去掉. 2.【解析】选 D.设点 Q(x,y),则点 P 为(-2-x,4-y),代入 2x-y+3=0 得 2x-y+5=0.

3.【解析】选 B.由

=

,知 R,A,P 三点共线,且 A 为 RP 的中点.设 P(x,y),R(x1,y1),



=

,得(1-x1,-y1)=(x-1,y),



即 x1=2-x,y1=-y 代入直线 y=2x-4 中,得 y=2x.

4.【解析】可设动点坐标为(x,y),则

=1,即|4x+3y-5|=5.

所以所求轨迹为 4x+3y-10=0 和 4x+3y=0.答案:4x+3y-10=0 和 4x+3y=0 5.【解析】设 M(x,y),则(x,y)=m(2,-1)+n(-1,1)=(2m-n,n-m),

- 14 -

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所以

又 2m -n =2,消去 m,n 得

2

2

-y =1.答案:

2

-y =1

2

6.

【解析】设点 M 的坐标为(x,y),因为 M 为线段 AB 的中点,所以 A(2x,0),B(0,2y).又因为 P(2,4),

所以

=(2x-2,-4),

=(-2,2y-4).因为 l1⊥l2,所以



.

所以

?

=(2x-2)?(-2)+(-4)?(2y-4)=0,即 x+2y-5=0.所以 M 点的轨迹方程是 x+2y-5=0.

(15 分钟 30 分)

1.【解析】选 A.由

?

=0 可知(x+1)(x-1)+y =0,化简得 x +y =1.

2

2

2

2.【解析】选 B.由两点式,得直线 AB 的方程是

=

,即 4x-3y+4=0,线段 AB 的长度|AB|=

=5.

设 C 的坐标为(x,y),则 ?5?
2 2

=10,即 4x-3y-16=0 或 4x-3y+24=0.

3.【解析】设 P(x,y),x +y =1 的圆心为 O,因为∠APB=60°,OP 平分∠APB,所以 ∠OPB=30°,因为|OB|=1,∠OBP 为直角,所以|OP|=2,所以 x +y =4.答案:x +y =4 4.【解析】由题意,l1 可为过原点除 x 轴的任意直线,l2 可为过 A(0,2)除 y 轴的任意直线,由平面几何性质知,向量 a,b 共线,方向相反,l1 与 a 垂直,l2 与 b 平行,则 l1 与 l2 相互垂直,交点 P 的轨迹是以(0,1)为圆心,OA 为直径的圆周除去原点 O 的部分.答案:x +(y-1) =1(y≠0) 以(0,1)为圆心,1 为半 径的圆(不包括原点) 5.【解析】以 O1O2 的中点 O 为原点,O1O2 所在直线为 x 轴,建立如图所示的坐标系.则:O1(-2,0),
2 2 2 2 2 2

O2(2,0).由已知 PM=
2 2

PN,所以 PM =2PN .又两圆的半径均为 1,所以 P
2 2 2 2

2

2

-1=2(P

-1),
2 2

设 P(x,y),则(x+2) +y -1=2[(x-2) +y -1],即(x-6) +y =33,所以动点 P 的轨迹方程为(x-6) +y =33.

- 15 -

圆学子梦想 铸金字品牌 课时提升作业(十一)椭圆及其标准方程

(25 分钟 60 分) 1.【解析】选 D.由 a=6,c=1,所以 b =a -c =35,
2 2 2

当焦点在 x 轴上时,方程为

+

=1; 当焦点在 y 轴上时,方程为

+

=1.

2【解析】选 D.因为|MF1|+|MF2|=8=|F1F2|,所以点 M 的轨迹是线段 F1F2. 3.【解析】选 D.由于椭圆焦点在 x 轴上,

所以



?a>3 或-6<a<-2.

4. 【解析】选 B.设椭圆的另一个焦点为 E,如图, 则|MF|+|ME|=10,所以|ME|=8.

又 ON 为△MEF 的中位线,所以|ON|= |ME|=4. 5.【解析】选 B.因为|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=2?4=8,

所以 2a=8,所以 a=4,所以 b =a -c =16-4=12,所以椭圆方程是

2

2

2

+

=1.

6【解析】由题意可知,椭圆的标准方程为
2 2

+

=1.答案:

+

=1

7.【解析】由题意得:m =25-4 =9,因为 m>0,所以 m=3.答案:3 8.【解析】因为 2c=|AB|=2,所以 c=1,所以|CA|+|CB|=6-2=4=2a,

所以顶点 C 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆(A,B,C 不共线).因此,顶点 C 的轨迹方程为

+

=1(y≠±2).

9.【解析】由椭圆方程知,a =25,b =
2 2 2

2

2

,所以 c =

2

,所以 c= ,2c=5.

在△PF1F2 中,|F1F2| =|PF1| +|PF2| -2|PF1|?|PF2|cos60°, 即 25=|PF1| +|PF2| -|PF1|?|PF2|. ① 由椭圆的定义得 10=|PF1|+|PF2|, 即 100=|PF1| +|PF2| +2|PF1|?|PF2|. ②
2 2 2 2

②-①,得 3|PF1|?|PF2|=75, 所以|PF1|?|PF2|=25,所以

= |PF1|?|PF2|?sin60°=

.

10.【解析】设动圆 M 的半径为 r,则|MA|=r,|MB|=8-r,所以|MA|+|MB|=8,且 8>|AB|=6, 所以动点 M 的轨迹是椭圆,且焦点分别是 A(-3,0),B(3,0),且 2a=8,所以 a=4,c=3,

所以 b =a -c =16-9=7.所求动圆圆心 M 的轨迹方程是

2

2

2

+

=1.

(20 分钟 40 分)

- 16 -

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1.【解析】选 B.由椭圆的标准方程得 a=3,b=2,c=

,所以|PF1|+|PF2|=6.

又|PF1|∶|PF2|=2∶1,所以|PF1|=4,|PF2|=2,所以△F1PF2 为直角三角形,所以

= ?2?4=4.

2. 【解析】选 D.由题意,a =16,b =9,所以 c =7,c=

2

2

2

.

因为△PF1F2 为直角三角形.且 b=3>

=c.所以 F1 或 F2 为直角三角形的直角顶点,

所以点 P 的横坐标为±

,

设 P(±

,|y|),把 x=±

代入椭圆方程,知

+

=1,所以 y =

2

,所以|y|= .

3.【解析】由题意得



所以 1<m< .答案:1<m<

4.【解析】由正弦定理,得 所以|BC|+|AC|=10.

= ,又|AB|=8,

由椭圆定义可知,点 C 的轨迹是以点 A,B 为焦点的椭圆.

又因为 a= ?10=5,c= ?8=4,所以 b =a -c =25-16=9.又因为点 A,B,C 不共线,

2

2

2

所以点 C 的轨迹方程为

+

=1(y≠0).

5.【解析】(1)因为

?

=0,所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以 c=10,所以 F1(-10,0),F2(10,0),

所以 2a=|PF1|+|PF2|=

+

=12

,

所以 a=6

,b =80.所以椭圆方程为

2

+

=1.

(2)因为 PF1⊥PF2,

所以

= |PF1|?|PF2|= |F1F2|?yP=80,所以|PF1|?|PF2|=160,

又|PF1|+|PF2|=12

,且点 P(6,8)在第一象限内,所以|PF2|=4

,

所以 sin∠PF1F2=

=

=

.

6.【解析】(1)因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 的坐标为(1,-1).

设点 P 的坐标为(x,y),由题意得
2 2

?

=- ,化简得 x +3y =4(x≠±1).

2

2

故动点 P 的轨迹方程为 x +3y =4(x≠±1). (2)方法一:设点 P 的坐标为(x0,y0),点 M,N 的坐标分别为(3,yM),(3,yN),

- 17 -

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则直线 AP 的方程为 y-1=

(x+1), 直线 BP 的方程为 y+1=

(x-1),

令 x=3 得 yM= 于是△PMN 的面积

,yN=

.

S△PMN= |yM-yN|(3-x0)=

,

又直线 AB 的方程为 x+y=0,|AB|=2

,点 P 到直线 AB 的距离 d=

.于是△PAB 的面积 S△PAB= |AB|?d=|x0+y0|,

当 S△PAB=S△PMN 时,得|x0+y0|=

,

又|x0+y0|≠0,所以(3-x0) =|

2

-1|,解得 x0= .

因为

+3

=4,所以 y0=±

.故存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为

.

方法二:若存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,

设点 P 的坐标为(x0,y0),则 |PA|?|PB|sin∠APB= |PM|?|PN|sin∠MPN.

因为 sin∠APB=sin∠MPN,所以

=

,所以

=

,即(3-x0) =|

2

-1|,解得 x0= .

因为

+3

=4,所以 y0=±

,故存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为

.

课时提升作业(十二)椭圆的简单几何性质

(25 分钟 60 分) 1.【解析】选 D.椭圆 6x +y =6 可化为 x +
2 2 2

=1,故椭圆长轴的端点坐标为(0,-

),(0,

).

2.【解析】选 C.由题意可知 b =2,所以 b=

2

,所以 2b=2

.

3.【解析】选 A.直线 x+2y=2 与坐标轴的交点为椭圆的顶点,

又因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以 a=2,b=1,所以 c=

=

.所以椭圆的焦点坐标是(±

,0).

4. 【解析】 选 B.依题意知椭圆 C2 的焦点在 y 轴上,对于椭圆 C1:焦距=2 故选 B. 5.【解析】选 A.由椭圆的定义可知,AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a,

=8,对于椭圆 C2:焦距=2

=8,

又因为 AF1+AF2+BF1+BF2=4

,即 4a=4

,解得 a=

.又 =

,则 c=1,b =a -c =2,

2

2

2

所以椭圆的方程为
2

+
2

=1.
2

6.【解析】因为 a =25,b =16,所以 c =25-16=9,所以 c=3.答案:3 7.【解析】当焦点在 x 轴上时,

- 18 -

圆学子梦想 铸金字品牌

因为 a=5,e= =

,所以 c=2

,所以 b =a -c =25-20=5.所以椭圆方程为

2

2

2

+

=1.

当焦点在 y 轴上时,因为 b=5,e= =

,所以

=

,所以 a =125.所以椭圆的方程为

2

+

=1.

答案:

+

=1 或

+

=1

8. 【 解 析 】 当 焦 点 在 x 轴 上 时 ,a=

,b=2,c=

,e=

=

=

, 解 得 k=

;当焦点在 y 轴上

时,a=2,b=

,c=

,e= =

= ,解得 k=

.所以 k= 或 k=

.答案: 或

9.【解析】椭圆方程可化为

+

=1.因为 m-

=

>0,所以 m>

,

即 a =m,b =

2

2

,c=

=

.由 e=



=

,所以 m=1.

所以椭圆的标准方程为 x +

2

=1.所以 a=1,b= ,c=

.所以椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1;

两焦点分别为 F1

,F2

;四个顶点分别为 A1(-1,0),A2(1,0),B1

,B2

.

10.【解析】(1)由题意可知点 M 的坐标是

,又 kOM=

,所以

=

,进而得 a=

b,c=

=2b,故 e= =

.

(2)直线 AB 的方程为

+ =1,点 N 的坐标为

,

设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为

,则 NS 的中点 T 的坐标为

,又点 T 在直线 AB 上,且 kNS? kAB=-1,

从而有

? b=3,所以 a=3

,

故椭圆的方程为

+

=1.

(20 分钟 40 分) 1.【解析】选 B.由题意知,2a+2c=2?2b,即 a+c=2b.所以 a +2ac+c =4b ,又因为 b =a -c ,
2 2 2 2 2 2

所以 3a -2ac-5c =0,所以 5e +2e-3=0 解得 e= 或-1(舍去). 2.【解析】选 D.如图,△F1PF2 为直角三角形,

2

2

2

- 19 -

圆学子梦想 铸金字品牌

∠PF2F1=30°,又|F1F2|=2c,所以|PF1|=c,|PF2|=

c,所以 2a=|PF1|+|PF2|=(1+

)c,

所以 =

=

=

-1.

3.【解析】椭圆 9x +4y =36 可化为

2

2

+

=1,则焦点为(0,-

)与(0,

).

设所求椭圆的方程为

+

=1(λ >0).又椭圆过点(2,-3),所以 +

=1,解得λ =10 或λ =-2(舍去).

所以所求椭圆的方程为

+

=1.答案:

+

=1

4.【解析】设 F(c,0)关于直线 y= x 的对称点为 Q(m,n),则有

解得 m=

,n=

,

所以 Q

在椭圆上,即有

+

=1,解得 a =2c ,所以离心率 e= =

2

2

.

5.【解析】不妨设椭圆方程为

+

=1(a>b>0),其中 F 是左焦点,B 是上顶点,则 F(-c,0),B(0,b),

设 D(x,y),所以(-c,-b)=2(x+c,y),所以

解得 x=- c,y=- .

又因为点 D 在椭圆 C 上.所以

+

=1.整理得

= ,所以 e= =

.

6.【解析】(1)依题意,

?

所以椭圆的方程为

+x =1.

2

(2)证明如下:依题,A(-1,0),B(1,0),直线 l:x=1.设点 P(x0,y0),则点 M

,且 4

+

=4,

直线 AM:y=

(x+1),令 x=1,得 C

,所以 D

,

所以

=

,

= x0-1,

-

=

,

所以

?

=

?

=x0(x0-1)+

=

,

因为 4

+

=4,所以

?

=0,所以∠OMD=90°,故△OMD 是直角三角形.

- 20 -

圆学子梦想 铸金字品牌 课时提升作业(十三)椭圆方程及性质的应用

(25 分钟 60 分) 1. 【解析】选 B.设直线与椭圆交于 A,B 两点,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1+x2=-2,

设直线为 y=k(x+1)+2,联立

得(9+16k )x +32k(k+2)x+16(k+2) -144=0.

2

2

2

所以 x1+x2=

,所以

=-2.解得 k=

.

2. 【解析】选 C.设椭圆方程为

+

=1(a>b>0),联立



(a +3b )y +8

2

2

2

b y+16b -a b =0,由Δ =0 得 a +3b -16=0,而 b =a -4 代入得 a +3(a -4)-16=0

2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

解得 a =7,所以 a=

2

.所以长轴长为 2

,选 C.

3.【解析】选 C.

表示椭圆上的点(x,y)与定点(2,0)连线的斜率.

不妨设

=k,则过定点(2,0)的直线方程为 y=k(x-2).



得(k +4)x -4k x+4k -4=0.令Δ =(-4k ) -4(k +4)?(4k -4)=0,得 k=±

2

2

2

2

2 2

2

2

,

所以 kmin=-

,即

的最小值为-

.

4.【解析】选 D.由椭圆

+

=1 得,b x +a y =a b ,

2 2

2 2

2 2

因为过点 F 的直线与椭圆

+

=1(a>b>0)交于 A,B 两点,

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

=1,

=-1,则 b

2

+ a

2

= ab

2 2

①,b

2

+ a

2

= ab

2 2

②,

由①-②得 b (

2

-

)+ a (

2

-

)=0,化简得 b (x1-x2)(x1+x2)+a (y1-y2)(y1+y2)=0.

2

2

2b (x1-x2)-2a (y1-y2)=0,

2

2

=

,

又直线的斜率为 k=

= ,即

= .因为 b =a -c =a -9,所以

2

2

2

2

= ,解得 a =18,b =9.

2

2

故椭圆方程为

+

=1.

5.【解析】选 C.因为直线 ax+by+4=0 和圆 x +y =4 没有公共点,所以原点到直线 ax+by+4=0 的距离 d=
2 2

2

2

>2,所以 a +b <4,所以点 P(a,b)是在

2

2

以原点为圆心,2 为半径的圆内的点,因为椭圆的长半轴为 3,短半轴为 2,所以圆 x +y =4 内切于椭圆,所以点 P 是椭圆内的点,所以过点 P(a,b)的一条 直线与椭圆的公共点个数为 2.故选 C.

- 21 -

圆学子梦想 铸金字品牌

6.【解析】设弦两端点 A(x1,y1),B(x2,y2),则

+

=1,

+

=1,

两式相减并把 x1+x2=4,y1+y2=2 代入得,

=- ,所以所求直线方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0.

7.【解析】据椭圆焦点在 x 轴上,可设椭圆方程为

+

=1(a>b>0).因为 e=

,所以 =

.

由△ABF2 的周长为 16 得 4a=16,因此 a=4,b=2

,所以椭圆方程为

+

=1.

8.【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2).则



+

=0,因为

=- ,

所以 a =2b ,故 c = a ,即 e=

2

2

2

2

.

9.【解析】(1)由

消去 y 得,5x +2mx+m -1=0,

2

2

因为直线与椭圆有公共点,所以Δ =4m -20(m -1)≥0,解得2 2

2

2

≤m≤

.

(2)设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知 5x +2mx+m -1=0.

由根与系数的关系得 x1+x2=- m,x1x2=

.

所以|AB|=

=

=

=

=

=

.

因为Δ =4m -20(m -1)>0,所以-

2

2

<m<

.所以当 m=0 时,|AB|最大,此时直线方程为 y=x.

10.【解析】(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx+cy-bc=0,则原点 O 到直线的距离 d=

=

,

由 d= c,得 a=2b=2
2 2

,解得离心率 =
2

.

(2)由(1)知,椭圆 E 的方程为 x +4y =4b . ①

依题意,圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点,且|AB|= (1+4k )x +8k(2k+1)x+4(2k+1) -4b =0,
2 2 2 2

.易知,AB 不与 x 轴垂直,设其直线方程为 y=k(x+2)+1,代入①得

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-

,x1x2=

.

- 22 -

圆学子梦想 铸金字品牌

由 x1+x2=-4,得-

=-4,解得 k= .从而 x1x2=8-2b .

2

于是|AB|=

|x1-x2|=

=

.

由|AB|=

,得

=

,解得 b =3.故椭圆 E 的方程为

2

+

=1.

(20 分钟 40 分)

1.【解析】选 B.因为

?

=0,所以 PF1⊥PF2.

所以点 P 即为以线段 F1F2 为直径的圆与椭圆的交点,且半径为 c= 又 b=2,所以点 P 为短轴的端点,有 2 个. 2.【解析】选 D.圆心 M(0,6),设椭圆上的点为 Q(x,y),

=2.



=

=

=

,

当 y=- ∈[-1,1]时,

=5

.所以

=5

+

=6

.

3.【解析】设椭圆右焦点为 F′,由椭圆的对称性知, |P1F|=|P7F′|,|P2F|=|P6F′|,|P3F|=|P5F′|,

所以原式=(|P7F|+|P7F′|)+(|P6F|+|P6F′|)+(|P5F|+|P5F′|)+ (|P4F|+|P4F′|)=7a=35.答案:35

4.【解析】根据题意,椭圆的左右焦点为 F1(-

,0),F2(

,0),由于点 M 的不确定性,不妨令其为椭圆的左顶点 M(-3,0),线段 MN 的中点为椭圆

的 上 顶 点 H(0,2), 则 M 关 于 C 的 焦 点 的 对 称 点 分 别 为 A(-2

+3,0),B(2

+3,0), 而 点 N(3,4), 据 两 点 间 的 距 离 公 式 得

+

=

+

=12.

5.【解析】(1)由题意有

=

,

+

=1,解得 a =8,b =4,所以 C 的方程为

2

2

+

=1.

(2)设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).

将 y=kx+b 代入

+

=1 得(2k +1)x +4kbx+2b -8=0.xM=

2

2

2

=

,yM=kxM+b=

.

于是直线 OM 的斜率 kOM=

=-

,即 kOM?k=- .所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.

6.【解析】(1)因为点

在椭圆 C 上,所以

+

=1.

又因为椭圆 C 的离心率为 e= =

,所以 2c=

a,4c =3a ,结合 c =a -b 可解得 a =4,b =1,

2

2

2

2

2

2

2

即椭圆 C 的方程为

+y =1.

2

- 23 -

圆学子梦想 铸金字品牌

(2)(i)椭圆 E:

+

=1.

设 P(x0,y0)是椭圆 C 上任意一点,则

+4

=4.直线 OP:y=

x 与椭圆 E:

+

=1 联立消 y 得 x

2

=16,x =

2

=4

,

所以 Q(-2x0,-2y0).即

=2.

(ii)因为点 P(x0,y0)在直线 y=kx+m 上,所以 y0=kx0+m,点 Q(-2x0,-2y0)到直线 y=kx+m 的距离为 d=

=

.

将 y=kx+m 与

+

=1 联立消 y 得(1+4k )x +8kmx+4m -16=0,由Δ >0 可得 m <4+16k . ①

2

2

2

2

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-

,x1x2=

,所以

=

.

直线 y=kx+m 与 y 轴交点为(0,m),所以△OAB 面积 S△OAB= |m|

=

=

,令

=t,

则 S△OAB=2

=2

.

将 y=kx+m 与

+y =1 联立消 y 得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0,由Δ ≥0 可得 m ≤1+4k .

2

2

2

2

2

2



由①②可知 0<t≤1,因此 S△OAB=2

≤2

(当且仅当 t=1 即 m =1+4k 时取得最大值),注意到 S△ABQ=3S△OAB,所以 S△ABQ=3S△OAB≤6

2

2

.

即△ABQ 的面积的最大值为 6

.

课时提升作业(十四)双曲线及其标准方程

(25 分钟 60 分) 1.【解析】选 D.易得|F1F2|=10. 当 a=3 时,2a=6,即 2a<|F1F2|,所以 P 点的轨迹为双曲线的一支(靠近点 F2). 当 a=5 时,2a=10,即 2a=|F1F2|,此时 P,F1,F2 共线.所以 P 点的轨迹是以 F2 为起点的一条射线.

2.【解析】选 B.因为

=2a,所以

-

=±6,所以

=9 或-3(舍去).

3.【解析】选 D.方程 mx -my =n 可化为:

2

2

-

=1,因为 mn<0,所以-

>0,

所以方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线. 4.【解析】选 A.方法一:直接法:显然双曲线焦点在 x 轴上,故 4-m =m +2.所以 m =1,即 m=±1. 方法二:验证法:当 m=±1 时,m =1,对椭圆来说,a =4,b =1,c =3.对双曲线来说,a =1,b =2,c =3, 故当 m=±1 时,它们有相同的焦点.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

- 24 -

圆学子梦想 铸金字品牌
5.【解析】选 D.|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,所以|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16, 所以|AF2|+|BF2|=16+5=21,所以△ABF2 的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.

6.【解析】由题意知 c=2,设该双曲线方程是

-

=1,

把点 P(2,-3)代入,得

-

=1,解得 a =1 或 a =16(舍).所以该双曲线方程为 x -

2

2

2

=1.答案:x -

2

=1

7.【解析】由题意知 c=2,a=1,所以 b=

=

.答案:

8.【解析】由题意可设双曲线方程为

-

=1(a>0,b>0).



?

=0,得 PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1| +|PF2| =(2c) ,即|PF1| +|PF2| =20.
2 2

2

2

2

2

2

根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a.两边平方并代入|PF1|?|PF2|=2 得 20-2?2=4a ,解得 a =4,

从而 b =5-4=1,所以双曲线方程为

2

-y =1.答案:

2

-y =1

2

9.【解析】(1)设双曲线方程为

-

=1,

因为 P,Q 两点在双曲线上,所以

解得

所以所求双曲线方程为

+

=1,即

-

=1.

(2)因为焦点在 x 轴上,c=

,所以设所求双曲线方程为

-

=1(其中 0<λ <6).

因为双曲线经过点(-5,2),所以

-

=1,所以λ =5 或λ =30(舍去),所以所求双曲线的方程是

-y =1.

2

10.【解析】因为△MPN 的周长为 48,且 tan∠PMN= ,所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k. 由 3k+4k+5k=48 得 k=4. 所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20. 以 MN 所在直线为 x 轴,以 MN 的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.

设所求双曲线方程为

-

=1(a>0,b>0).
2

由|PM|-|PN|=4 得 2a=4,a=2,a =4. 由|MN|=20 得 2c=20,c=10.

所以 b =c -a =96,所以所求双曲线方程为

2

2

2

-

=1.

(20 分钟 40 分) 1.

- 25 -

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【解析】选 B.由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点 F1(0,5)和 F2(0,-5),又由椭圆与双曲线的定义可得

所以



又|F1F2|=10,所以△PF1F2 为直角三角形,∠F1PF2=90°.所以△PF1F2 的面积 S= |PF1||PF2|= ?6?8=24.

2.【解析】选 C.由题意,方程可化为

-

=3,所以

解得 m<-2.

3.【解析】设右焦点为 F1(4,0),依题意,|PF|=|PF1|+4, 所以|PF|+|PA|=|PF1|+4+|PA|=|PF1|+|PA|+4≥|AF1|+4=5+4=9. 4.【解析】设动圆 M 的半径为 r. 因为动圆 M 与圆 C1 外切且与圆 C2 内切,所以|MC1|=r+3,|MC2|=r-1. 相减得|MC1|-|MC2|=4. 又因为 C1(-3,0),C2(3,0),并且|C1C2|=6>4,所以点 M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的双曲线的右支,

且有 a=2,c=3.所以 b =5,所以所求的轨迹方程为

2

-

=1(x≥2).答案:

-

=1(x≥2)

5.【解析】(1)当 k=0 时,y=±2,表示两条与 x 轴平行的直线. (2)当 k=1 时,方程为 x +y =4,表示圆心在原点,半径为 2 的圆.
2 2

(3)当 k<0 时,方程为

-

=1,表示焦点在 y 轴上的双曲线.

(4)当 0<k<1 时,方程为

+

=1,表示焦点在 x 轴上的椭圆.

(5)当 k>1 时,方程为

+

=1,表示焦点在 y 轴上的椭圆.

6.【解析】设 F(x,y)为轨迹上的任意一点,因为 A,B 两点在以 C,F 为焦点的椭圆上, 所以|FA|+|CA|=2a,|FB|+|CB|=2a(其中 a 表示椭圆的长半轴长),

所以|FA|+|CA|=|FB|+|CB|,所以|FA|-|FB|=|CB|-|CA|=

-

=2.

所以|FA|-|FB|=2.由双曲线的定义知,F 点在以 A、B 为焦点,2 为实轴长的双曲线的下半支上,

所以点 F 的轨迹方程是 y -

2

=1(y≤-1).

课时提升作业(十五)双曲线的简单几何性质

- 26 -

圆学子梦想 铸金字品牌

(25 分钟 60 分) 1.【解析】选 C.由题意可知选项 A,B 所表示的双曲线焦点在 x 轴上,所以 A,B 不正确;由选项 C 可知双曲线的渐近线方程为 y=±2x,故选 C.

2. 【解析】选 A.双曲线方程化为标准形式:y -

2

=1,则有:a =1,b =-

2

2

,由题设条件知,2=

,所以 m=- .

3.【解析】选 C.双曲线

-

=1 的渐近线方程为 3x±ay=0,对比 3x±2y=0 得 a=2.

4.【解析】选 D.由双曲线的渐近线 bx-ay=0 与圆(x-2) +y =3 相切可知

2

2

=

,又因为 c=

=2,所以有 a=1,b=

,

故双曲线的方程为 x -

2

=1.

5.【解析】选 A.因为 0<k<9,所以曲线
2 2

-

=1 与曲线

-

=1 都表示焦点在 x 轴上的双曲线,且

25≠25-k,9-k≠9,但 a +b =34-k,故两双曲线的焦距相等.

6.【解析】e= =

=

.答案:

7.【 【解析】双曲线的焦点在 x 轴上,所以渐近线方程为 y=± x.所以 =

,即 a=

.答案:

8【解析】因为 e= =

,所以

=

即 a=b,所以双曲线的渐近线方程为 y=±x.所以双曲线两条渐近线的夹角为 90°.

9.【解析】(1)焦点在 x 轴上,设方程为

-

=1,则

-

=1,①又 e= =

=

=

,得 a =4b .②

2

2

由①②得 a =1,b = ,得双曲线的标准方程为 x -

2

2

2

=1.

(2)因为双曲线的一条渐近线是 3x-2y=0,所以可设双曲线方程为

-

=λ (λ ≠0).

因为其中一个焦点是(-4,0),所以 4λ +9λ =16.所以λ =

.所以双曲线方程为

-

=1,离心率 e= =

.

10.【解析】由 l 过两点(a,0),(0,b),设 l 的方程为 bx+ay-ab=0.由原点到 l 的距离为

c,得

=

c.

将 b=

代入,平方后整理,得 16

-16?

+3=0.令

=x,则 16x -16x+3=0,解得 x= 或 x= .

2

因为 e= ,有 e=

.故 e=

或 e=2.因为 0<a<b,故 e= =

=

>

,所以离心率 e 为 2.

(20 分钟 40 分) 1. 【解析】选 D.设双曲线方程为 =1(a>0,b>0),如图所示,

- 27 -

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|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点 M 作 MN⊥x 轴,垂足为 N,在 Rt△BMN 中,|BN|=a,|MN|=

a,故点 M 的坐标为 M(2a,

a),

代入双曲线方程得 a =b =c -a ,即 c =2a ,所以 e=

2

2

2

2

2

2

.

2.【解析】选 A.因为双曲线的一个焦点在直线 l 上,易知直线 l 过双曲线左焦点,所以 0=-2c+10,即 c=5,又因为渐近线平行于直线 l:y=2x+10

,故有 =2,结合 c =a +b ,得 a =5,b =20,所以双曲线的标准方程为

2

2

2

2

2

-

=1.

3.【解析】由渐近线方程为 y=x 知,

=1,所以 b=

,

因为点 P(

,y0)在双曲线上,所以 y0=±1,y0=1 时,P(

,1),F1(-2,0),F2(2,0),

所以

?

=0,y0=-1 时,P(

,-1),

?

=0.答案:0

4.【解析】△ABE 是等腰三角形,AE=BE,所以只需∠AEB 为锐角,所以∠AEF<45°,所以 所以 e -e-2<0,所以-1<e<2.又因为 e>1,所以 1<e<2,所以 e∈(1,2).答案:(1,2)
2

=AF<FE=a+c,

5.【解析】因为 AF1⊥AF2,所以|AF1| +|AF2| =|F1F2| =4c .①因为|AF1|=3|AF2|,所以点 A 在双曲线的右支上.则|AF1|-|AF2|=2a,

2

2

2

2

所以|AF2|=a,|AF1|=3a,代入到①式得(3a) +a =4c ,

2

2

2

=

.所以 e= =

.

6.【解析】(1)设椭圆方程为

+

=1,双曲线方程为

-

=1(a,b,m,n>0,且 a>b),



解得 a=7,m=3,所以 b=6,n=2,所以椭圆方程为

+

=1,双曲线方程为

-

=1.

(2)不妨设 F1,F2 分别为左、右焦点,P 是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,

所以|PF1|=10,|PF2|=4,所以 cos∠F1PF2=

= ,

所以 sin∠F1PF2= .

所以

= |PF1|?|PF2|sin∠F1PF2= ?10?4? =12.

课时提升作业(十六)双曲线方程及性质的应用

(25 分钟 60 分)

- 28 -

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1.【解析】 选 C.点(

,0)即为双曲线的右顶点,过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点,另过该点且与 x 轴垂直的直线

也与双曲线只有一个公共点,故这样的直线只有 3 条.

2.【解析】选 B.由 c=3,设双曲线方程为

-

=1,kAB=

=1,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

-

=1,①

-

=1,②

①-②,得

-

=0,

又 N(-12,-15)为 AB 中点,所以 x1+x2=-24,y1+y2=-30.所以

=

.所以

=

=1.所以 a =4.

2

所以双曲线方程为

-

=1.

3.【解析】选 B.由题意不妨设 l:x=-c,则|AB|=

,又|AB|=2?2a,故 b =2a ,所以 e=

2

2

=

=

.

4. 【解析】选 C.右顶点为 A(a,0),则直线方程为 x+y-a=0,可求得直线与两渐近线的交点坐标 B

,C

,则

=

,

=

.又 2

=

,所以 2a=b,所以 e=

.

5.【解析】选 D.依题意知|PF1|-|PF2|=2a,

=

=4a+

+|PF2|≥8a,当且仅当

=|PF2|时等号成立.

此时|PF2|=2a,|PF1|=4a,因为|PF1|+|PF2|≥2c.所以 6a≥2c,即 1<e≤3.

6.【解析】联立方程组得

消去 y 得 x -(x+4) =1,则 x=-

2

2

,代入 y=x+4 得 y=

.

故直线 y=x+4 与双曲线 x -y =1 的交点坐标为

2

2

.答案:

7.【解析】双曲线

-

=1 的渐近线方程为 y=± x,若直线与双曲线相交,数形结合,得 k∈

.答案:

8.【解析】由已知 a=1,b=2

,c=3,所以 F(3,0),F′(-3,0),又 A

,

所以|AF|=

=15,△APF 周长 l=|PA|+|PF|+|AF|,又|PF|-|PF′|=2,所以|PF|=|PF′|+2,

所以 l=|PA|+|PF′|+2+15≥|AF′|+17=32,当且仅当 A,P,F′三点共线时,△APF 周长最小,如图所示.

设 P(x,y),直线 AF′的方程为

+

=1,联立得

消去 x 得

y +36y-96

2

=0,

- 29 -

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解得 y=-8

(舍)或 y=2

,则 P(x,2

).

因为 S△APF=S△AF′F-S△PF′F= ?6?6

- ?6?2

=12

.答案:12

9.【解析】(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得

-

=1,

-

=1,两式相减得

-

-

=0,

(x1+x2)(x1-x2)- (y1+y2)(y1-y2)=0.

因为 M 为 AB 的中点,所以 x1+x2=4,y1+y2=4,所以 4(x1-x2)-(y1-y2)=0,kl=

=4,所以 l 的方程为 y-2=4(x-2),即 y=4x-6.

(2)将 y=4x-6 代入到 x -

2

=1 中得 3x -12x+10=0,故 x1+x2=4,x1x2=

2

,所以

|AB|=

=

.

10.【解析】(1)因为双曲线的两条渐近线方程为 y=±

x,所以可设双曲线的方程为 2x -y =λ (λ ≠0).

2

2

又因为双曲线经过点(3,-2

),代入方程可得λ =6,所以所求双曲线的方程为

-

=1.

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),过 F 且倾斜角为 60°的直线方程为 y=

(x-3),

联立

得 x -18x+33=0,由根与系数的关系得 x1+x2=18,x1x2=33,

2

所以|AB|=

|x1-x2|=

?

=2

=16

,即弦长|AB|=16

.

(20 分钟 40 分) 1.【解析】选 C.双曲线的渐近线方程为 y=± 150°,所以∠POF 不可能等于 60°. x,所以渐近线的倾斜角为 30°或

2.【解析】选 B.由题意可知,

从而 4<

<9,所以 e=

∈(

,

).

3.【解析】设 P(x,y),由题设条件,得动点 P 的轨迹为(x-1)(x+1)+(y-2)?(y-2)=0(x≠±1),即 x +(y-2) =1(x≠±1),它是以(0,2)为圆心,1 为半径

2

2

的圆(A,B 两点除外).又双曲线 故 1<e<2.答案:(1,2)

-

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,即 bx±ay=0,由题意,可得

>1,即

>1,所以 e= <2,又 e>1,

4.【解析】由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为 y= x 与 y=- x,分别与 x-3y+m=0(m≠0)联立方程组,解得

A

,B

,设 AB 的中点为 Q,

- 30 -

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则Q

,因为|PA|=|PB|,所以 PQ 与已知直线垂直,所以 kPQ=-3,解得 2a =8b =8(c -a ),即

2

2

2

2

= , =

.

5【解析】因为直线 l 过点 F2 且倾斜角为 45°,所以直线 l 的方程为 y=x-2.

代入双曲线方程,得 2x +4x-7=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2).因为 x1?x2=- <0,

2

所以 A,B 两点分别位于双曲线的左、右两支上.因为 x1+x2=-2,x1?x2=- ,

所以|AB|=

|x1-x2|=

?

=

?

=6.

6.【解析】(1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x -y =1 后,整理得,(k -2)x +2kx+2=0.① 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,故

2

2

2

2

解得 k 的取值范围是-2<k<(2)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由①式得

.



假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0). 则由 FA⊥FB 得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得(k +1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c +1=0.③
2 2

把②式及 c=

代入③式化简得 5k +2

2

k-6=0.解得 k=-

或 k=

(舍去).

可知 k=-

时使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F.

课时提升作业(十七)抛物线及其标准方程

(25 分钟 60 分) 1.【解析】选 A.由 y= x 得 x =4y,所以抛物线的准线方程是 y=-1.
2 2

2.【解析】选 B.因为抛物线 y =2px(p>0)的准线经过点(-1,1),所以 =1,所以该抛物线焦点坐标为(1,0).

2

3.【解析】选 C.由题意知动圆圆心到点 F(0,3)的距离等于到定直线 y=-3 的距离,故动圆圆心的轨迹是以点 F 为焦点,直线 y=-3 为准线的抛物线 .故动圆圆心的轨迹方程为 x =12y. 4.【解析】选 D.抛物线的准线为 y=-1,所以点 A 到准线的距离为 5,又因为点 A 到准线的距离与点 A 到焦点的距离相等,所以距离为 5.
2

- 31 -

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5. 【解析】选 A. 如图 , 由抛物线定义知 |PA|+|PQ|=|PA|+|PF|, 则所求距离之和的最小值转化为求 |PA|+|PF| 的最小值 , 则当 A,P,F 三点共线 时,|PA|+|PF|取得最小值.

又 A(0,2),F

,所以(|PA|+|PF|)min=|AF|=

=

.

6.【解析】设 Q

,由|PQ|≥|a|得

+t ≥a ,t (t +16-8a)≥0,t +16-8a≥0,故 t ≥8a-16 恒成立,则 8a-16≤0,a≤2,故 a 的取

2

2

2

2

2

2

值范围是(-∞,2].答案:(-∞,2]

7.【解析】由抛物线的方程得 = =2,再根据抛物线的定义,可知所求距离为 4+2=6.答案:6 8【解析】由题意知点 P 到 F(3,0)的距离比它到直线 x=-4 的距离小 1,则应有 P 到(3,0)的距离与它到直线 x=-3 的距离相等.故 P 的轨迹为抛物线且

以 F(3,0)为焦点,所以 =3,p=6,故抛物线方程为 y =12x.答案:y =12x

2

2

9.【解析】(1)设抛物线方程为 y =-2px(p>0),则焦点坐标 F

2

,准线方程 x= .

由抛物线定义知,点 M 到焦点的距离等于 5,即点 M 到准线的距离等于 5,则 3+ =5,所以 p=4,所以抛物线方程为 y =-8x,

2

又点 M(-3,m)在抛物线上,所以 m =24,所以 m=±2

2

,所以所求抛物线方程为 y =-8x,m=±2

2

.

(2)因为 p=4,所以抛物线的焦点坐标为(-2,0),准线方程是 x=2. 10.【解析】如图所示

(1)依题意,设该抛物线的方程为 x =-2py(p>0),因为点 C(5,-5)在抛物线上,可解得 p= ,所以该抛物线的方程为 x =-5y. (2)设车辆高 h 米,则|DB|=h+0.5,故 D(3.5,h-6.5),代入方程 x =-5y,解得 h=4.05,所以车辆通过隧道的限制高度为 4.0 米.
2

2

2

(20 分钟 40 分) 1. 【解析】选 C.根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 (|AF|+|BF|)- = - = .

- 32 -

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2. 【解析】选 A.

=

=

=

=

=

.

3.【解析】如图所示,

∠AFE=60°,又 F(2,0),所以 E(-2,0),所以 4.

=tan60°,所以 AE=4

,所以点 P 的坐标为(6,4

),所以|PF|=|PA|=6+2=8.答案:8

【解析】由题意可得 C

,F

,则

=

+1.答案:

+1

5.【解析】(1)如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是 x=-1,由抛物线的定义知:点 P 到直线 x=-1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离,于是,问题转化

为在曲线上求一点 P,使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小.显然,连接 AF 交曲线于 P 点,故最小值为

=

.

(2)

- 33 -

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如图,自 B 作 BQ 垂直准线于 Q,交抛物线于 P1,此时,|P1Q|=|P1F|,那么|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为 4. 6【解析】如图所示,建立平面直角坐标系. 设抛物线方程为 x =-2py(p>0).依题意有 P′(1,-1)在此抛物线上,
2

代入抛物线方程,得 p= .故得抛物线方程为 x =-y.

2

因为点 B 在抛物线上,将 B(x,-2)代入抛物线方程得 x=

,即|AB|=

,则|AB|+1=

+1,

因此所求水池的直径为 2(1+

)m,约为 5m,即水池的直径至少应设计为 5m.

课时提升作业(十八)抛物线的简单几何性质

(25 分钟 60 分) 1.【解析】选 C.由题意|AB|=2p=8. 2.【解析】选 B.由题意,p=2,故抛物线的准线方程是 x=-1, 因为过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,所以|AB|=x1+x2+2,又 x1+x2=6,所以|AB|=x1+x2+2=8.
2

3.【解析】选 C.不妨设抛物线的标准方程为 y =2px(p>0),由于 l 垂直于对称轴且过焦点,故直线 l 的方程为 x= .代入 y =2px 得 y=±p,即|AB|=2p,

2

2

又|AB|=12,故 p=6,所以抛物线的准线方程为 x=-3,故 S△ABP= ?6?12=36.

4【解析】选 B.抛物线的焦点为

.由题意知弦所在直线的斜率存在.

设直线方程为 y=k

,与方程 y =6x 联立得:4k x -(12k +24)x+9k =0.

2

2 2

2

2

设直线与抛物线的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2).所以 x1+x2=

,所以 x1+x2+3=

+3=12.所以 k =1,所以 k=±1.

2

故弦所在直线的倾斜角是 或 π .

5.【解析】选 B.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题可知 p=1,则

?

=(x1,y1)?(x2,y2)=x1x2+y1y2=

-p =- .

2

- 34 -

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6.【解析】双曲线 x -y =1 的左焦点为(-

2

2

,0),故抛物线 y =2px 的准线为 x=-

2

,所以 =

,所以 p=2

.答案:2

7.【解析】如图,设 AF=n,BF=m,AA1⊥l,BB1⊥l,FN⊥AA1 于 N,BM⊥x 轴于 M. 则 AN=n-4,FM=4-m.又∠AFN=∠FBM=30°,

所以

所以

所以λ =

=3.答案:3

8. 【解析】依题意 , 抛物线的焦点 F 的坐标为

, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 直线 AB 的方程为 y- =x, 代入抛物线方程得 y -3py+

2

=0, 故

y1+y2=3p,|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+p=4p,直角梯形 ABCD 有一个内角为 45°.

故|CD|=

|AB|=

?4p=2

p,梯形面积为 (|BC|+|AD|)?|CD|= ?3p?2

p=3

p =12

2

,解得 p=2.答案:2

9.【解析】设抛物线 y=x 上一点 P(x0,y0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为 d,则 d=

2

=

=

.当 x0= 时,dmin=

.

10. 【解析】 由题意知,抛物线焦点在 x 轴上,开口方向向右,可设抛物线方程为 y =2px(p>0),将交点 A

2

代入得 p=2,故抛物线方程为 y =4x,

2

因为双曲线的方程为

-

=1(a>0,b>0),所以双曲线的焦点坐标为 F1(-1,0)和 F2(1,0),且 c=1.

又点 A

也在双曲线上,因此由定义可得 2a=|AF1|-|AF2|=

-

= - =1,

所以 a= ,b=

=

,因此,双曲线的方程为 4x -

2

=1.

(20 分钟 40 分) 1.【解析】选 C.由抛物线的对称性及 AB⊥x 轴知,抛物线的焦点在 x 轴上.设方程为 y =nx(n≠0).
2

由题意知,可令 OA 的方程为 y=

x,且 OA=1.得 A

或A

,

代入 y =nx,得 n=±

2

,所以抛物线方程为 y =±

2

x.

2.【解析】选 C.圆心到抛物线准线的距离为 p,即 4,根据已知只要|FM|>4 即可.根据抛物线定义,|FM|=y0+2.由 y0+2>4,解得 y0>2,故 y0 的取值范围是 (2,+∞).

3.【解析】因为抛物线的焦点为 F(1,0),设 A

,则

=

,

=

,

- 35 -

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?

=-4,得 y0=±2,所以点 A 的坐标是(1,2)或(1,-2).答案:(1,2)或(1,-2)
2

4.【解析】由题意知抛物线的方程为 y =4x,设直线 l 与抛物线 C 的交点 A(x1,y1),B(x2,y2),

则有 x1≠x2,

两式相减得,

-

=4(x1-x2),所以

=

=1,所以直线 l 的方程为 y-2=x-2,即 y=x.

5.【解析】如图所示,设正三角形 OAB 的顶点 A,B 在抛物线上,且坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),



=2px1,

=2px2.又 OA=OB,所以 x1 +y1 =

2

2

+

,即

-

+2px1-2px2=0,

整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.因为 x1>0,x2>0,2p>0,所以 x1=x2,由此可得|y1|=|y2|,即线段 AB 关于 x 轴对称.

由此得∠AOx=30°,所以 y1=

x1,与

=2px1 联立,

解得 y1=2

p.所以|AB|=2y1=4

p.即三角形的边长为 4

p.

6.【解析】(1)由抛物线定义知,|FM|= +4=5,所以 p=2.所以抛物线的方徎为 x =4y,又由 M(m,4)在抛物线上,所以 m=4.故 p=2,m=4. (2)设过 M 点的切线方程为 y-4=k(x-4),代入抛物线方程消去 y 得,x -4kx+16k-16=0,其判别式Δ =16k -64(k-1)=0,所以 k=2, 切线方程为 y=2x-4,切线与 y 轴的交点为 N(0,-4),抛物线的焦点 F(0,1),
2 2

2

所以 S△FMN= |FN|?m= ?5?4=10.

课时提升作业(十九)抛物线方程及性质的应用
(25 分钟 60 分) 1. 【解析】选 A.y= x ?x =4y,焦点为(0,1),其关于 x-y-1=0 的对称点为(2,-1).
2 2

2【解析】选 B.设椭圆 E 的方程为

+

=1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得

解得 a=4,由 b =a -c =16-4=12,所以椭圆 E 的方程为

2

2

2

+

=1,因为抛物线 C:y =8x 的准线为 x=-2,将 x=-2 代入到

2

+

=1,解得 A(-2,3),B(-2,-3),故

=6.

3.【解析】选 D.显然 t≠0,直线 AB 的方程为 y= x-1,代入抛物线方程得 2tx -4x+t=0.由题意Δ =16-8t <0,解得 t<4.【解析】选 C.由抛物线的定义知 AF=AK,又∠KAF=60°,所以△AFK 是正三角形.

2

2

或 t>

.

联立方程组

消去 y 得 3x -10x+3=0,解得 x=3 或 x= .由题意得 A(3,2

2

),

所以△AKF 的边长为 4,面积为 ?4?2

=4

.

5.【解析】选 C.根据抛物线的对称性,正三角形的两个顶点一定关于 x 轴对称,且过焦点的两条直线倾斜角分别为 30°和 150°,如图,所以正三角形 的个数 n=2.

- 36 -

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6.【解析】由直线 y=-2 平行于抛物线的对称轴知 A(2,0)为焦点,故准线方程为 x=-2.答案:x=-2 7.【解析】设直线 y=x-1 与抛物线 y =4x 交于 A(x1,y1),B(x2,y2),其中点为 P(x0,y0),
2

由题意得

消去 y,整理得(x-1) =4x,即 x -6x+1=0.所以 x0=

2

2

=3,y0=x0-1=2.所以 P(3,2).答案:(3,2)

8.【解析】由题知准线 l 为 x=- (p>0),过点 M 且斜率为

的直线为 y=

(x-1),则 A

,

设 B(x,0),由

=

可知 M 为 AB 的中点,又 M(1,0),

所以



代入 y =2px 可知,

2

p +4p-12=0,即 p=2 或 p=-6(舍去). 答案:2

2

9【解析】(1)由

得 x -4x-4b=0.(*)

2

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以Δ =(-4) -4?(-4b)=0.解得 b=-1. (2)由(1)可知 b=-1,故方程(*)为 x -4x+4=0.解得 x=2,代入 x =4y,得 y=1,故点 A(2,1). 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆 A 的半径 r 就等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离, 即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为(x-2) +(y-1) =4.
2 2 2 2

2

10.【解析】设动点 M(x,y),A(0,b),Q(a,0),因为 P(-3,0),所以

=(3,b),

=(a,-b),

=(x-a,y),

因为

?

=0,所以(3,b)?(a,-b)=0,即 3a-b =0.①

2

因为
2

=2

,所以(x-a,y)=2(a,-b),即 x=3a,y=-2b.②
2

由①②得 y =4x.所以动点 M 的轨迹方程为 y =4x.

(20 分钟 40 分) 1.【解析】选 D.因为抛物线 C:y =2px 的准线为 x=- ,且点 A(-2,3)在准线上,所以 p=4.设直线 AB 的方程为 x+2=m(y-3),与抛物线方程 y =8x 联立得
2 2

到 y -8my+24m+16=0,由题易知Δ =0,解得 m=- (舍)或 m=2,这时 B 点的坐标为(8,8),而焦点 F 的坐标为(2,0),故直线 BF 的斜率 kBF=

2

= .

- 37 -

圆学子梦想 铸金字品牌

2. 【解析】选 B.由题意可知,F

.设 A(

,y1),B(

,y2),所以

?

=y1y2+

=2,

解得 y1y2=1 或 y1y2=-2.又因为 A,B 两点位于 x 轴两侧,所以 y1y2<0,即 y1y2=-2.





时,AB 所在直线方程为 y-y1=

(x-

)=

(x-

),令 y=0,得 x=-y1y2=2,即直线 AB 过定点 C(2,0).

于是 S△ABO+S△AFO=S△ACO+S△BCO+S△AFO= ?2|y1|+ ?2|y2|+ ? |y1|= ?(9|y1|+8|y2|)≥ ?2

=3,当且仅当 9|y1|=8|y2|且

y1y2=-2 时 , 等号成立 . 当

=

时 , 取 y1=

,y2=-

, 则 AB 所在直线的方程为 x=2, 此时求得 S △ ABO+S △ AFO=2 ? ? 2 ?

+ ? ?

=

.而

>3,故最小值为 3.

3. 【 解 析 】

=

-(-2,y)=

,

=(x,y)-

=

. 因 为 AB ⊥ BC, 所 以

?

=0, 所 以

?

=0,即 y =8x.所以动点 C 的轨迹方程为 y =8x.答案:y =8x

2

2

2

4【解析】弦 AB 是过焦点 F(1,0)的弦,又过点(0,2),所以其方程为 x+ =1,
2 2

2x+y-2=0 与 y =4x 联立得 y +2y-4=0,y1+y2=-2,y1y2=-4,

+

=

=

= .

答案: 5.【证明】设 kAB=k(k≠0),因为直线 AB,AC 的倾斜角互补,所以 kAC=-k(k≠0),AB 的方程是 y=k(x-4)+2.

由方程组

消去 y 后,整理得 k x +(-8k +4k-1)x+16k -16k+4=0.

2 2

2

2

因为 A(4,2),B(xB,yB)的横坐标是上述方程的解,所以 4?xB=

,即 xB=

.

以-k 代换 xB 中的 k,得 xC=

,所以 kBC=

=

=

=

=- .所以直线 BC 的斜率是定值.

6.【解析】(1)设直线 l1,l2 的方程分别为 y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),

则由

? A1

,由

? A2

,

同理可得 B1

,B2

,

所以

=

=2p1

,

- 38 -

圆学子梦想 铸金字品牌

=

=2p2

,



=

,所以 A1B1∥A2B2.

(2)由(1)知 A1B1∥A2B2,同理可得 B1C1∥B2C2,A1C1∥A2C2,所以△A1B1C1 相似于△A2B2C2,

因此

=

,又由(1)中的

=



=

,故

=

.

课时提升作业(二十)空间向量及其加减运算

(15 分钟 30 分) 1.【解析】选 B.①正确.由相等向量的定义可知;②错误.互为相反向量的两个向量不相等但是模相等;③正确.只有零向量的模等于 0;④错误.在同一 条直线上的单位向量方向可能相同,也可能相反.

2. 【解析】选 A.

-

=

+

-

+

=

+

+

+

=0.

3.【解析】选 B.

+

=

+

=

,

+

=

,易证四边形 EFGH 为平行四边形,故

+

=0.

4.【解析】因为 a 的相反向量与 a 的模相等,又

=1,所以 a 的相反向量的模为 1.答案:1

5【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①:

+

=

恒成立;对于③:当

,

,

方向相同时,有|

|+|

|=|

|;对

于④:当

,

,

共线且



,

方向相反时,有|

|-|

|=|

|.只有②一定不成立.答案:②

6.【解析】

-

+

-

+

-

=

+

+

=

+

=

.

(15 分钟 30 分)

1.【解析】选 C.(1)正确.因为

=

,所以|

|=|

|且



.

又因为 A,B,C,D 不共线,所以四边形 ABCD 是平行四边形.反之,在平行四边形 ABCD 中,

=

.

(2)正确.因为 a=b,所以 a,b 的长度相等且方向相同.因为 b=c,所以 b,c 的长度相等且方向相同.故 a=c. (3)不正确.由 a∥b,知 a 与 b 方向相同或相反.

(4)正确.a=b?|a|=|b|,|a|=|b|

a=b.故选 C.

2【解析】选 D.对于(1),

+

+

=

+

=0;

对 于 (2),

-

+

-

=(

+

)-(

+

)=

-

=0; 对 于 (3),

-

+

=

+

=0; 对 于

(4),

+

+

-

=(

+

)+(

-

)=

+

=0.

- 39 -

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3.【解析】

=

-

=

-(

+

)=-a+b-c.

答案:-a+b-c

4.【解析】

-

=

+

=

,①正确;

+

+

=

+

+

=

,②正确;③正确;(

+

)+

+

=

+

+

=

+

=

,故④错误.

答案:①②③

5.【解析】(1)如图所示,

-

=

,

+

=

+

=

.

(2)如图所示,

+

-

=

-

=

,

+

+

=

+

=

.

时提升作业(二十一)空间向量的数乘运算

(15 分钟 30 分)

1.【解析】选 C.选项中

=-

-

,所以点 M,A,B,C 共面.

2. 【解析】选 C.因为 M,G 分别是 BC,CD 的中点,所以 MG∥BD,MG= BD,

所以

=

,

=

,所以

+

+

=

+

+

=

.

3.【解析】选 B.因为 N 为 BC 中点,所以

= (

+

)= (b+c),又因为

=

= a,

所以

=

-

= (b+c)- a=- a+ b+ c.

- 40 -

圆学子梦想 铸金字品牌

4.【解析】

=

+

+

=

+

+ (

+

)=

+

+ (-

+

)

=

+

+

.答案:

+

+

5.【解析】对于①,因为

=

+t

,所以

-

=t

,所以

=t

,所以



共线,所以点 P,A,B 共线;

对于②,因为 3

=

+

,所以 3

=

,所以



共线,所以点 P,O,B 共线,点 P,A,B 不一定共线;

对于③,与①同理可推得 P,A,B 共线;

对于④由

=-

+



=-

+

-

,所以

-

=-2

,所以

=-2

,

所以 OA 与 BP 平行或重合,当 OA 与 BP 平行时,点 P,A,B 不共线.答案:①③

6.【证明】因为 ABCD-A1B1C1D1 是平行六面体,所以

=

=

=

,

又因为 BE= BB1,DF= DD1,所以

=

,

=

所以

=

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

=

+

.由向量共面的充要条件知 A,E,C1,F 四点共面.

(15 分钟 30 分) 1.【解析】选 A.由空间任何两个向量一定为共面向量可知选 A.

2.【解析】选 C.

=

3【解析】延长 DE 交边 BC 于点 F,连接 AF.

因为△BCD 是等边三角形,E 为其中心,所以 F 是 BC 的中点,所以

=

,

=

,

- 41 -

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所以

+

-

-

=

+

-

=

+

-

=

-

=0

4.【解析】因为

=5e1+4e2,

=-e1-2e2,所以

=

+

=5e1+4e2+e1+2e2=6e1+6e2.因为 A,B,D 三点共线,

所以存在实数λ ,使得



,即

因为 e1,e2 是不共线的向量,所以

所以 k=1.答案:1

5.【解析】设此圆柱的母线长为 l,由题意得 2?π ?1 +2π ?1?l=6π ,解得 l=2. 因为∠AOC=120°,所以∠BOC=60°,又因为 OB=OC,所以△OBC 是等边三角形,所以 BC=1,

2

因为 O 是 AB 的中点,所以 OAA1O1 是平行四边形,所以

=

,

=-

,

所以

=

+

=-

+

-

=-

+

-

,=-2e3+e2-e1=-e1+e2-2e3,所以 x=-1,y=1,z=-

课时提升作业(二十二)空间向量的数量积运算

(15 分钟 30 分)

1.【解析】选 D.因为∠AOB=∠AOC=

,所以

?

=

?

=0,所以

?

=

?(

-

)=

?

-

?

=0.

2. 【解析】 选 D.当四边形 AA1D1D 是正方形时,



,

?

=0;当四边形 ABCD 是正方形时,



,

?

=0;

因为 AB⊥平面 AA1D1D,所以



,

?

=0;



所成的角是∠CBD1,而∠BCD1=90°,

所以∠CBD1 是锐角,故

?

≠0.

3. 【解析】选 D.因为 a=(1,n,2),b=(-2,1,2),所以 2a-b=2(1,n,2)-(-2,1,2)=(4,2n-1,2),

因为 2a-b 与 b 垂直,所以(2a-b)?b=(-2)?4+1?(2n-1)+2?2=0,解得 n= ,所以|a|=

=

.

4.【解析】

?

=

?
2

= |
2

||

|cos<

,

>= ?1?1?cos 120°=- .答案:-

5.【解析】因为|a|=|b|=|a-b|=2,所以 b -2a?b+b =4 即 4-2a?b+4=4.解得 a?b=2,

所以|3a-2b| =9a -12a?b+4b =36-12?2+16=28,所以|3a-2b|=2

2

2

2

.答案:2

6.【解析】

=

+

=

+

,

=

+

=

+

=

-

,

因为

?

=0,

?

=0,

?

=0,

- 42 -

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所以

?

=

?

=

?

+

-

?

-

?

=

= ,又|

|=|

|=

,所以 cos<

,

>=

=

= .

(15 分钟 30 分)
2 2

1.【解析】选 C.因为

?

= (

+

)?(

-

)= (|

| -|

| )=0,

?

=(

+

)?

=

?(

-

)+

?

=|

|?|

|?cos120°-|

|?|

|cos120°+ |

|?|

|cos120°<0.所以

?

>

?

.

2【解析】选 A.因为

=

,所以

=

= (

+

+

),

因为点 N 为 BB1 的中点,

=

=

,所以

=

+

=

+

,

所以

=

-

=

+

- (

+

+

)=

+

-

.又因为|

|=|

|=|

|=a,

?

=

?

=

?

=0,所以

=

=

+

+

= a+

2

a+ a=

2

2

a ,所以|

2

|=

a.

3.【解析】因为 a+b=2i-8j+k,a-b=-8i+16j-3k,所以 2a=-6i+8j-2k,2b=10i-24j+4k,所以 a=-3i+4j-k,b=5i-12j+2k. 又因为 i,j,k 两两垂直,所以 a?b=(-3i+4j-k)(5i-12j+2k)=-15i -48j -2k =-65.答案:-65
2 2 2

4.【解析】因为 AB 与 CD 成 60°角,所以<

,

>=60°或 120°,

又因为 AB=AC=CD=1,AC⊥CD,AC⊥AB,所以|

|=

2

=(

+

+

)

2

=

+

+

+2

?

+2

?

+2

?

=1+1+1+0+0+2?1?1?cos<

,

>

=3+2cos<

,

>,所以|

| =4 或 2,所以|

2

|=2 或

.所以 BD 的长为 2 或

.答案:2 或

5.【解析】如图所示,设

=a,

=b,

=c,

- 43 -

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则 a?b=b?c=c?a= ,|a|=|b|=|c|=1.因为 E,F 分别是 AB,OC 的中点,所以

= (

+

)

所以 cos<

,

>=

=

=- .所以异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为 .

课时提升作业(二十三)

空间向量的正交分解及其坐标表示

(15 分钟 30 分) 1.【解析】选 B.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,则 a,b,c 不共面,所以 a,b,c 必须均为非零向量,即 q?p,但三个非零向量未必可以构成基底. 2. 【解析】选 C.设与 x 轴,y 轴,z 轴同向的单位正交基底为{e1,e2,e3},

=

+

=

+

=

-

=e3- e2,所以

=

.

3.【解析】选 D.

=

-

=

+

-

,因为 BM=2A1M,C1N=2B1N,

=

,

所以

=

+

-

=

+

- (

-

)

=

+ (

-

)- (

-

)=

+

+

= a+ b+ c.

4.【解析】如图所示,取 BC 的中点 G,连接 EG,FG,



=

-

=

-

=

+

= (5a+6b-8c)+ (a-2c)=3a+3b-5c.答案:3a+3b-5c

5.【解析】如图所示,有

=

+

+

=

+

+(-1)

.

又因为

=x

+2y

+3z

,

- 44 -

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所以

解得

所以 x+y+z=1+ - = .答案:

6【解析】

=

= (

+

)c-b-a)=- a- b+ c.

=

+

=-a+

=-a+ (

+

)=-a- b+ c.

=

+

=

+

+ (

+

)=-a+c+ (-c+b)=-a+ b+ c.

=

=

= a.

(15 分钟 30 分)

1. 【解析】选 A.A.由

=

+

+

,且向量

,

,

的起点 M 与终点 A,B,C 互不重合且无三点共线,由空间向量运算法则

可知:OM 是以点 O 为顶点以 OA,OB,OC 为邻边的平行六面体的对角线,所以向量

,

,

能构成一个空间基底;

B.因为

=

+

,所以向量

,

,

共面,不能构成一个空间基底;

C.因为

=

+

+

, + + =1,所以点 M 在平面 ABC 内,因此向量

,

,

不能构成一个空间基底;

D.由

=2

-

可知:向量

,

,

共面,因此不能构成空间的一个基底.综上可得:只有 A 正确.

2.【解析】选 A.由已知得, d=xa+yb+zc=x(e1+e2+e3)+y(e1-e2-e3)+z(e1+e2)=(x+y+z)e1+(x-y+z)e2+(x-y)e3,又 d=e1+2e2+3e3,且 e1,e2,e3 不共面,

所以

,解得

.

3.【解析】

=

-

= (

+

)- (

+

)=

-

,即

=

.答案:

4.【解析】

=

+

= (

+

)+

= (

+

)+ (

-

)

=

+

+

= i+ ?2j+ ?3k= i+ j+ k.答案: i+ j+ k

5.【解析】过 A 作 AG 垂直于平面 BCD,

由于 AB=AC=AD,所以 G 为△BCD 的中心,过 G 作 GF∥CD,E 为 CD 的中点,

- 45 -

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以 G 为原点,

,

,

分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,因为△BCD 的边长为 1,则 BE=

,GE=

,又

=

,所以 GF= ? = ,又 BG=

,所以 AG=

=

,

设单位正交基底为{e1,e2,e3},则

=

-

=-

e2-

e3=

,

=

-

=

+

-

=

e2+ e1-

e3=

,

=

-

=

+

-

=

e2- e1-

e3=

.

课时提升作业(二十四)空间向量运算的坐标表示

(15 分钟 30 分) 1.【解析】选 C.因为(1,-3,2)=-2 ,所以 a=(1,-3,2)与 平行.

2.【解析】选 C.因为

=(0,3,3),

=(-1,1,0).所以|

|=

=3

,

|

|=

=

,

?

=(0,3,3)?(-1,1,0)=0?(-1)+3?1+3?0=3,

所以 cos<

,

>=

=

= .又 0°≤<

,

>≤180°,所以<

,

>=60°.

3.【解析】选 D.a+b+c=

,a-b-c=

,

|a+b+c| =|a-b-c| =

2

2

,故①正确.(a+b)?c=(4,2,2)?

=0,a?(b+c)=(1,2,3)?

=0,

所以(a+b)?c=a?(b+c),故②正确.(a+b+c) =

2

+3 +

2

=

,

a +b +c =(1 +2 +3 )+[3 +(-1) ]+

2

2

2

2

2

2

2

2

=

,故③正确,(a?b)?c=[(1,2,3)?(3,0,-1)]?(- ,1,- )

=0?

=0,

a?(b?c)=(1,2,3)?

=(1,2,3)?0=0,所以(a?b)?c=a?(b?c),④正确.

4.【解析】2a-3b+4c=2(3,5,1)-3(2,2,3)+4(4,-1,-3)=(6,10,2)-(6,6,9)+(16,-4,-12)=(6-6+16,10-6-4,2-9-12)=(16,0,-19).

5.【解析】因为 a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(3,1,0)+(6,2,0)=(9,3,0),所以|a-b+2c|=3 6.【解析】(1)因为 a∥b,所以存在实数λ ,使 a=λ b,所以(2,4,5)=λ (3,x,y),

.

- 46 -

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所以

所以

(2)向量(-3,-4,5)的模为 所以与向量(-3,-4,5)共线的单位向量为

=5

,

±

?(-3,-4,5)=±

(-3,-4,5),





.

(15 分钟 30 分)

1.【解析】选 C.以点 D 为原点,以

,

,

的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立直角坐标系,设该正方体的棱长为 2a,

则点 E(2a,0,a),C1(0,2a,2a),设 F(2a,y,0),则
2

=(2a,-2a,-a),

=(0,-y,a),因为∠C1EF=90°,所以

?

=0,

所以(2a,-2a,-a)?(0,-y,a)=2ay-a =0,解得 y= ,即 AF= ,FB=

,所以 AF∶FB=1∶3.

2.【解析】选 B.因为|a|= a?b=(2,-1,2)?(2,2,1)=2?2+(-1)?2+2?1=4,

=3,|b|=

=3.

所以

sin<a,b>=

=

.

所以以 a,b 为邻边的平行四边形的面积为 S=|a||b|sin<a,b>=3?3?

=

.

3.【解析】因为

=(1,-3,-2),

=(2,λ -2,λ -3),



,所以

?

=(1,-3,-2)?(2,λ -2,λ -3)=2-3(λ -2)-2(λ -3)=0,解得λ =

.答案:

4.【解析】a+b=(cosα +sinα ,2,sinα +cosα ),a-b=(cosα -sinα ,0,sinα -cosα ), 所以(a+b)?(a-b)=cos α -sin α +sin α -cos α =0,所以 a+b 与 a-b 的夹角为 90°.答案:90° 5.【解析】(1)因为∠SAB=∠SAC=90°,所以 SA⊥AB,SA⊥AC 且 AB∩AC=A,所以 SA⊥平面 ABC,如图所示,取 A 为坐标原点,AC,AS 所在直线分别为 y 轴、
2 2 2 2

z 轴建立空间直角坐标系,则由 AC=2,BC=

,SB=

,得 C(0,2,0),B(-

,2,0),S(0,0,2

),

- 47 -

圆学子梦想 铸金字品牌

所以

=(0,2,-2

),

=(

,0,0).因为

?

=0,所以 SC⊥BC.

(2)设 SC 与 AB 所成的角为θ ,因为

=(-

,2,0),所以

?

=4,

又|

||

|=4?

=4

,所以 cosθ =

=

.

课时提升作业(二十五)

空间向量与平行关系

(15 分钟 30 分)

1.【解析】选 C.由已知得

=-2

,则



,故两直线平行或重合.

2. 【解析】选 B.由题意可知符合条件的点 P 应满足

?n=0,

选项 A,

=(2,-1,2)-(1,-1,1)=(1,0,1),

?n=3?1+1?0+2?1=5≠0,故点 P 不在平面α 内;

选项 B,

=

,

?n=0,故点 P 在平面α 内;

选项 C,

=

,

?n=6≠0,故点 P 不在平面α 内;

选项 D,

=

,

?n=12≠0,故点 P 不在平面α 内.

3.【解析】选 B.分别以 C1B1,C1D1,C1C 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系.因为 A1M=AN=

a,

所以 M

,N

.所以

=

.

又 C1(0,0,0),D1(0,a,0),

所以

=(0,a,0).所以

?

=0.所以



.

因为

是平面 BB1C1C 的一个法向量,且 MN?平面 BB1C1C,所以 MN∥平面 BB1C1C.

4.【解析】在正三棱锥 S-ABC 中,点 O 是△ABC 的中心,所以 SO⊥平面 ABC,所以 BC⊥SO. 因为 AB=AC,点 D 是 BC 的中点,所以 BC⊥AD,又 SO∩AD=O,所以 BC⊥平面 SAD.

所以

是平面 ABC 的一个法向量,

是平面 SAD 的一个法向量.答案:

(答案不唯一)

5.【解析】类比直线方程求法得平面方程为(-1)?(x-1)+(-2)?(y-2)+1?(z-3)=0,即 x+2y-z-2=0.答案:x+2y-z-2=0 6.

- 48 -

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【解析】由题设知:在 Rt△AFD 中,AF=FD=

,A(0,0,0),B(1,0,0),F

,D

,

P(0,0,2),M(0,0,1),N

.

=

,

=

,

=

.

设平面 PCD 的一个法向量为 n=(x,y,z),

令 z=

,得 n=(0,4,

).因为

?n=

?(0,4,

)=0,又 MN?平面 PCD,所以 MN∥平面 PCD.

(15 分钟 30 分) 1.【解析】选 B.设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z),则有 取 x=1,则 y=-2,z=2.

所以 n=(1,-2,2).因为|n|=3,所以平面 ABC 的一个单位法向量可以是(- , ,- ).

2. 【解析】 选 B.以点 A 为原点,

,

,

的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设 AB=a,则 A(0,0,0),D(0,1,0),

E

,B1(a,0,1),设点 P 的坐标为(0,0,z0),故

=(a,0,1),

=

,

=(0,-1,z0).

又设平面 B1AE 的法向量为 n=(x,y,z).

因为 n⊥平面 B1AE,所以 n⊥

,n⊥

,得

取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向量为 n=

.

因为 DP∥平面 B1AE,所以 n⊥

,有 -az0=0,解得 z0= .所以 AP 的长为 .

3.【解析】由题意得

=(1,1,x),

=(1,0,0),

=(0,1,0).设平面 ABC 的法向量 n=(a,b,c).

- 49 -

圆学子梦想 铸金字品牌





可取 c=1,故平面 ABC 的一个法向量为 n=(0,0,1).

因为 AD? 平面 ABC,所以

?n=0.所以 1?0+1?0+x=0,解得 x=0.答案:0

4.【解析】因为

=

+

=

+

,

=

+

=

+

,所以



,从而 A1M∥D1P,可得

①③④正确.又 B1Q 与 D1P 不平行,即 B1Q 与 A1M 不平行,故②不正确.答案:①③④ 5.

【证明】由题意知 A(0,

,2),B(0,-

,0),D(0,

,0).设点 C 的坐标为(x0,y0,0),因为

=3

,

所以 Q

.因为点 M 为 AD 的中点,故 M(0,

,1).又因为点 P 为 BM 的中点,故 P

,

所以

=

.因为平面 BCD 的一个法向量为 u=(0,0,1),故

?

课时提升作业(二十六) 空间向量与垂直关系

(25 分钟 60 分)

1.【解析】选 C.因为 l⊥α ,所以直线 l 的方向向量与平面α 的法向量是共线向量,所以 =

=

.解得 m=4.

2.【解析】选 C.因为 n1?n2=(2,-3,5)?(-3,1,-4)=2?(-3)+(-3)?1+5?(-4)=-29≠0, 所以 n1 与 n2 不垂直,显然 n1 与 n2 不平行,所以α ,β 相交但不垂直.

3.【解析】选 B.因为

=(2,-1,-4),

=(4,2,0),

=(-1,2,-1),

所以

?

=(-1)?2+2?(-1)+(-1)?(-4)=0,

?

=(-1)?4+2?2+(-1)?0=0.

所以



,



,即 AP⊥AB,AP⊥AD,又因为 AB∩AD=A,所以直线 PA⊥平面 ABCD.

4.【解析】选 A.因为|a|=

=3,所以 x=±1.

又因为 l1⊥l2,所以 a⊥b,所以 a?b=2?2-2y-2x=0,所以 y=2-x, 当 x=1 时,y=1;当 x=-1 时,y=3.所以 x-y=0 或 x-y=-4. 5.【解析】选 B.以 D 点为坐标原点,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 1,

- 50 -

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则 A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E

,

F

,B(1,1,0),D1(0,0,1),

=(-1,0,-1),

=(-1,1,0),

=

,

=(-1,-1,1),

=-

,

?

=

?

=0,从而 EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.

6.【解析】法向量平行的两个平面互相平行,①正确;法向量垂直的两个平面互相垂直,②正确; 直线的方向向量与平面的法向量垂直时,直线与平面平行或在平面内,③错误;直线的方向向量与平面的法向量共线,则直线与平面垂直,④正确. 答案:①②④

7【解析】由已知得

=(-x,1-y,0),

=(-1,-1,-1),

=(1,1,1).

若 PA⊥平面 ABC,则



解得 x=0,y=1.

故点 P 的坐标为(0,1,0).答案:(0,1,0)

8..【解析】因为 A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),所以

=(4,-5,0),

=(0,4,-3),

因为点 D 在直线 AC 上,所以设



=(0,4λ ,-3λ ),

由此可得

=

-

=(0,4λ ,-3λ )-(4,-5,0)=(-4,4λ +5,-3λ ),

又因为



,所以

?

=-4?0+(4λ +5)?4+(-3λ )?(-3)=0,解得λ =- .

因此

=(-4,4λ +5,-3λ )=

,可得|

|=

=5.答案:5

9.【证明】设 PA=1,以点 A 为原点,AB,AC,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系如图.则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0).

M

,N

,S

.

=

,

=

,

因为

?

=- + +0=0,所以 CM⊥SN.

- 51 -

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10【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),

M

.

假设存在 P(0,0,a)满足条件,则 设平面 PAC 的法向量为 n=(x1,y1,z1).

=(1,0,-a),

=(-1,1,0),

则由 令 x1=1,得 y1=1,z1= ,所以 n= .

若 MD⊥平面 PAC,则

∥n,又因为

=

.

所以 a=2,又因为 0≤a≤1,所以不存在点 P 使 MD⊥平面 PAC.

(20 分钟 40 分) 1.【解析】选 B.以点 D 为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,

依题意,可得,D(0,0,0),P(0,1,

),C(0,2,0),A(2

,0,0),M(

,2,0).

所以

=(

,1,-

),

=(-

,2,0),所以

?

=(

,1,-

)?(-

,2,0)=0,





,所以 AM⊥PM.

又|

|=

=

,|

|=

=

.

所以 S△APM= |

|?|

|= ?

?

=3.

2. 【解析】选 A.由题意得 O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),P(0,0,6),因为点 E,F 分别为 PA,PB 的中点,所以 E(0,-4,3),F(4,0,3).设 M(x,y,0),

可得

=(8,0,0),

=(0,-4,3),

=(x-4,y,-3),

- 52 -

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因为 FM⊥平面 BOE,则

所以

解得 x=4,y=- .所以点 M 的坐标为

.

3【解析】由题意可知



,



.

于是有



解得 x=

,y=-

,z=4.

4.【解析】由题意得



.所以 cosx?(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0.所以 2cos x-cosx=0.所以 cosx=0 或 cosx= .

2

又 x∈[0,π ],所以 x=

或 x=

.答案:



5.【解析】如图,以点 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系.依题意,易得 A(1,0,0),M(0,0,1),N(1,1,1),E

.

假设在线段 AN 上存在点 S,使得 ES⊥平面 AMN.因为

=(0,1,1),可设



=(0,λ ,λ ),

又因为

=

,所以

=

+

=

.

由 ES⊥平面 AMN,得



故λ = ,此时

=

,|

|=

.经检验,当 AS=

时,ES⊥平面 AMN.故线段 AN 上存在点 S,使得 ES⊥平面 AMN.

课时提升作业(二十七) 空间向量与空间角

(25 分钟 60 分) 1. 【解析】选 B.y 轴的一个方向向量为 m=(0,1,0),

所以<m,n>=

,所以 y 轴与平面α 所成角的大小为

-

=

.

2. 【解析】选 B.如图所示建立空间直角坐标系,

- 53 -

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则 O(1,1,0),E(0,2,1),D1(0,0,2),F(1,0,0).所以

=(-1,1,1),

=(-1,0,2),

所以 cos<

,

>=

=

=

.所以异面直线 OE 与 FD1 所成的角的余弦值等于

.

3. 【解析】选 A.如图所示建立空间直角坐标系. 设 AA1=2AB=2a,则

B(a,0,0),D(0,a,0),C1(a,a,2a),C(a,a,0).所以 设平面 BDC1 的法向量为 n=(x,y,z),

=(-a,0,0),

=(-a,a,0),

=(0,a,2a),





令 y=2,则 x=2,z=-1.所以平面 BDC1 的一个法向量为 n=(2,2,-1). 设 CD 与平面 BDC1 所成的角为α ,则

4. 【解析】选 C.以 D 为坐标原点,以 DA,DC,DD1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图.则 A(1,0,0),

E

,F

,D1(0,0,1).故

=(-1,0,1),

=

.

设平面 AEFD1 的法向量为 n=(x,y,z),则

- 54 -

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故 x=2y=z,取 y=1,则 n=(2,1,2). 而平面 ABCD 的一个法向量为 u=(0,0,1),

设截面 AEFD1 与底面 ABCD 所成二面角的大小为θ ,

则|cosθ |=|cos<n,u>|,故 sinθ =

=

=

.

5. 【 解 析 】 选 B. 如 图 , 以 O 为 坐 标 原 点 ,

,

,

的 方 向 分 别 为 x 轴 ,y 轴 ,z 轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则

O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,

).

设 n1=(x2,y2,z2)是平面 PAC 的一个法向量,

则由 n1?

=0,n1?

=0,得

所以 x2=-

z2,y2=

z2.

取 z2=1,得 n1=(-

,

,1).因为 y 轴⊥平面 PAB,所以平面 PAB 的一个法向量为 n2=(0,1,0).

设向量 n1 和 n2 的夹角为θ ,

由图可知,二面角 B-PA-C 为锐角,所以二面角 B-PA-C 的余弦值为

.

6.【解析】建立坐标系如图,则 B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,1,0),P(0,0,1).故

=(2,2,0),

=(0,1,-1).

- 55 -

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从而 cos<

,

>=

=

= ,即<

,

>=

.于是 PE 与 DB 所成的角为

.答案:

7.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设 BC=CA=CC1=2,所以 A(2,0,0), B(0,2,0),C1(0,0,2),A1(2,0,2),B1(0,2,2),因为 D1,F1 分别为 A1B1,A1C1







,





D1(1,1,2),F1(1,0,2),





=(-1,1,-2),

=(-1,0,2),





?

=(-1,1,-2)?(-1,0,2)=-3,|

|=

=

,|

|=

=

,

所以 cos<

,

>=

=

=

.所以异面直线 D1B 与 AF1 的夹角的余弦值为

.答案:

8.【解析】如图建立空间直角坐标系,



A(2,0,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),B(0,0,0), 由

D



A1C1 中 点 知

D(1,1,2), 所 以

=(-1,1,2),

=(0,2,2). 所 以

cos<

,

>=

=

=

,所以异面直线 AD 与 BC1 所成的角为 30°.答案:30°

9.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系.则 A(2,0,0),B(2,2,0),

D(0,0,0),A1(2,0,2),E(0,2,1),D1(0,0,2).

所以

=(-2,0,2),

=(2,2,0),

=(0,0,2),

=(-2,2,1),

(1)cos<

,

>=

=

=- .所以<

,

>=

.直线 AD1 与 DB 所成的角为

.

(2)因为

?

=(2,2,0)?(0,0,2)=0,

?

=(2,2,0)?(-2,2,1)=0,所以



,



,

即 DB⊥AA1,DB⊥AE,又 AA1∩AE=A,所以 DB⊥平面 AEA1.

- 56 -

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10.【解析】(1)因为 DEF-ABC 是三棱台,且 AB=2DE,所以 BC=2EF,AC=2DF. 因为点 G,H 分别是 AC,BC 的中点,所以 GH∥AB,因为 AB?平面 FGH,GH? 平面 FGH, 所以 AB∥平面 FGH;因为 EF∥BH 且 EF=BH,所以四边形 BHFE 是平行四边形,所以 BE∥HF,BE?平面 FGH,HF? 平面 FGH, 所以 BE∥平面 FGH; 又因为 AB∩BE=B,所以平面 ABE∥平面 FGH, 因为 BD? 平面 ABE,所以 BD∥平面 FGH. (2)因为 CF⊥平面 ABC,所以 CF⊥AB,又 BC⊥AB,BC∩CF=C,所以 AB⊥平面 BCFE, 以 B 为坐标原点,BC 所在直线为 x 轴,BA 所在直线为 y 轴建立空间直角坐标系, 因为∠BAC=45°,所以 BC=AB,设 DE=1,则 B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),H(1,0,0),G(1,1,0),F(2,0,1),

所以

=(0,1,0),

=(1,0,1),设平面 FGH 的一个法向量为 n=(x,y,z),则

,令 x=1,则 z=-1,所以 n=(1,0,-1).

连接 BG,可得 BG⊥AC,BG⊥CF,又 AC∩CF=C,所以 BG⊥平面 ACFD.

所以

=(1,1,0)是平面 ACFD 的一个法向量,所以 cos<n,

>=

= .所以平面 FGH 与平面 ACFD 所成的锐二面角的大小为 60°.

(20 分钟 40 分) 1. 【解析】选 A.设 CB=1,则 A(2,0,0),B1(0,2,1),C1(0,2,0),B(0,0,1),

=(0,2,-1),

=(-2,2,1).cos<

,

>=

=

=

.

2【解析】选 D.以点 D 为原点,建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(1,2,0),D1(0,0,1).

因为 AB⊥平面 BCC1B1,所以

为平面 BCC1B1 的一个法向量.设直线 BD1 与平面 BCC1B1 所成角为θ ,则有 sinθ =|cos<

,

>|=

= 3.

=

.

【解析】设 PD=a(a>0),则 A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E

,

所以

=(0,0,a),

=

,因为 cos<

,

>=

,所以

=a

?

,所以 a=2,所以点 E 的坐标为(1,1,1).

答案:(1,1,1)

- 57 -

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4.【解析】平面 xOy 的一个法向量为 n=(0,0,1),设平面α 的法向量为 u=(x,y,z),



则 3x=4y=az.

取 z=1,则 u=

.

又 a>0,故 a= 5.【解析】(1)交线围成的正方形 EHGF 如图:

.答案:

(2)作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EM=AA1=8.

因为四边形 EHGF 为正方形,所以 EH=EF=BC=10.于是 MH=

=6,所以 AH=10.

以 D 为坐标原点,

的方向为 x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则

A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8), 设 n=(x,y,z)是平面 EHGF 的法向量,则

=(10,0,0),

=(0,-6,8).

所以可取 n=(0,4,3),又

=(-10,4,8),

所以 AF 与平面 EHGF 所成的角的正弦值为

.

6.【解析】由题设知,AA1,AB,AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点 的坐标为 A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),

- 58 -

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Q(6,m,0),其中 m=BQ,0≤m≤6.

(1)若 P 是 DD1 的中点,则 P

,

=(6,m- ,-3),又

=(3,0,6),于是

?

=18-18=0,所以



,即 AB1⊥PQ.

(2)由题设知,

=(6,m-6,0),

=(0,-3,6)是平面 PQD 内的两个不共线向量.

设 n1=(x,y,z)是平面 PQD 的一个法向量,

则 取 y=6,得 n1=(6-m,6,3).又平面 AQD 的一个法向量是 n2=(0,0,1),所以

,而二面角 P-QD-A 的余弦值为 ,

因此

= ,解得 m=4,或 m=8(舍去),此时 Q(6,4,0),设



(0<λ ≤1),而

=(0,-3,6),由此得点 P(0,6-3λ ,6λ ),

所以

=(6,3λ -2,-6λ ).因为 PQ∥平面 ABB1A1 且平面 ABB1A1 的一个法向量为 n=(0,1,0),所以 n?

=0,即 3λ -2=0,亦即λ = ,从而 P(0,4,4).

于是,将四面体 ADPQ 视为以△ADQ 为底面的三棱锥 P-ADQ,则其高 h=4,

故四面体 ADPQ 的体积 V= S△ADQ?h= ? ?6?6?4=24.

- 59 -


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