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(29)人教A版必修一同步训练3.1.2-用二分法求方程的近似解


3.1.2 用二分法求方程的近似解 1、已知函数 f(x)的图象是连续不断的曲线,有如下的 x 与 f(x)的对应值表 X 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 132.1 15.4 -2.31 8.72 -6.31 -125.1 12.6 那么,函数 f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( ) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 1、解、观察对应值表可知,f(1)

>0,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,f(6)<0,f(7)>0, ∴函数 f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 3 个,故选 C. 2、设 f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程 3x+3x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1) <0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( ) A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D. 不能确定 2、解、由已知 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0, ∴f(1.25)f(1.5)<0,因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内,故选 B. 3、 若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点用二分法计算, 附近的函数值参考数据如下: f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.4375)=0.162 f(1.40625)=-0.054 那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确度 0.1)为( )

A.1.25 B.1.375 C.1.4375 D.1.5 3、解、根据题意知函数的零点在 1.40625 至 1.4375 之间,因为此时|1.4375-1.40625|= 0.03125<0.1,故方程的一个近似根可以是 1.4375. 选 C. 4、定义在 R 上的奇函数 f(x)( ) A.未必有零点 B.零点的个数为偶数 C.至少有一个零点 D.以上都不对 4、解、∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0,∴f(x)至少有一个零点,且 f(x)零点的 个数为奇数.选 C. 5、下列函数零点不能用二分法求解的是( ) A.f(x)=x3-1 B.f(x)=lnx+3 C.f(x)=x2+2x+2 D.f(x)=-x2+4x-1 5、解、对于 C,f(x)=(x+)2≥0,不能用二分法.选 C. 6、函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间( ) A.(,) B.(,) C.(,1) D.(1,2) 6、解、f()=-<0,f()=-<0,f()=-1<0,f(1)=1>0,f(2)=4>0,∴函数零点落在区 间(,1)上.选 C. 7、已知 f(x)=-lnx 在区间(1,2)内有一个零点 x0,若用二分法求 x0 的近似值(精确度 0.1), 则需要将区间等分的次数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7、解、由求解方程近似解的步骤可知需将区间等分 4 次.选 B. 8、用二分法判断方程()x=x2 的根的个数是( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 8、解、设 y1=()x,y2=x2,在同一坐标系下作图象(略)可知,它们有两个交点,∴方程()x =x2 有两个根.故选 C. 9、用二分法求如图所示函数 f(x)的零点时,不可能求出的零点是( ) A.x1 B.x2 C.x3 D.x4 9、解析:选 C.观察图象可知:点 x3 的附近两旁的函数值都为负值,∴点 x3 不能用二分法 求,故选 C. 10、用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]内的实根,取区间中点 x0=2.5,那么下一个 有根区间是________. 10、解、设 f(x)=x3-2x-5,∵f(2)=-1<0,f(3)=16>0,又 f(2.5)=5.625>0, ∴f(2)·f(2.5)<0,因此,下一个有根区间是(2,2.5).答案:(2,2.5) 11、 若方程 x3-x+1=0 在区间(a, b)(a, b 是整数, 且 b-a=1)上有一根, 则 a+b=________. 11、解、设 f(x)=x3-x+1,则 f(-2)=-5<0,f(-1)=1>0 可得 a=-2,b=-1,∴a+b =-3. 答案:-3 12、用二分法求函数 f(x)=3x-x-4 的一个零点,其参考数据如下: f(1.6000)=0.200 f(1.5875)=0.133 f(1.5750)=0.067 f(1.5625)=0.003 f(1.5562)=-0.029

f(1.5500)=-0.060

据此数据,可得方程 3x-x-4=0 的一个近似解(精确到 0.01)为________. 12、解、注意到 f(1.5562)=-0.029 和 f(1.5625)=0.003,显然 f(1.5562)f(1.5625)<0,故区间 的端点四舍五入可得 1.56.答案:1.56 13、 在用二分法求方程 f(x)=0 在[0,1]上的近似解时, 经计算, f(0.625)<0, f(0.75)>0, f(0.6875)<0, 即可得出方程的一个近似解为________(精确度 0.1). 13、解、因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,所以 0.75 或 0.6875 都可作为方程的近似解.答 案:0.75 或 0.6875 14、利用二分法求方程 x2-2=0 的一个正根的近似值.(精确到 0.1) 14、解:对于 f(x)=x2-2,其图象在(-∞,+∞)上是连续不断的,∵f(1)·f(2)<0,∴f(x) =x2-2 在(1,2)内有一个零点, 即方程 x2-2=0 在(1,2)内有一个实数解, 取(1,2)的中点 1.5, f(1.5)=1.52-2=0.25>0,又 f(1)<0,所以方程在(1,1.5)内有解,如此下去,得方程 x2-2 =0,正实数解所在区间如下: 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 … 左端点 1 1 1.25 1.375 1.375 1.40625… 右端点 2 1.5 1.5 1.5 1.4375 1.4375… ∴方程的一个正根的近似值为 1.4. 15、 用二分法求函数 f (x) = x3 – 3 的一个正实数零点(精确到 0.1). 15、 【解析】 由于 f (1) = –2<0, f (2) = 5>0, 因此可以确定区间[1, 2]作为计算的初始区间, 用二分法逐步计算,列表如下: 端点或中点的横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间 a0 = 1,b0 = 2 f(1)= –2,f(2)=5 [1,2]

f (x0) = 0.375>0 [1,1.5]

f (x1) = –1.0469<0 [1.25,1.5]

f (x2) = –0.4004<0 [1.375,1.5]

f (x3) = –0.0295<0 [1.4375,1.5]

f (x4) = 0.1684>0 [1.4375,1.46875]

f (x5)>0 [1.4375,1.453125] x6 = 1.4453125 f (x6)>0 [1.4375,1.4453125] 由上表的计算可知区间[1.4375,1.4453125]的左、右端点精确到 0.1 所取的近似值都是 1.4, 所以 1.4 可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.


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