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【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第十章 概率 第2讲 古典概型(文)习题


2017 高考数学一轮复习 第十章 概率 第 2 讲 古典概型(文)习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1.(2015·浙江金丽衢十二校二联)4 张卡上分别写有数字 1、2、3、4,从这 4 张卡片中 随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为偶数的概率为 导学号 25402671 ( A. C. 1 2 2 3 1 B. 3 3 D. 4 )

r />[答案] B [解析] 因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4), (3,4),共 6 种.其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3),(2,4)共 2 种,所以两张卡片 1 上的数字之和为偶数的概率为 . 3 2.(2015·武汉调研)同时抛掷两个骰子,则向上的点数之差的绝对值为 4 的概率是 导学号 25402672 ( A. C. 1 18 1 9 ) 1 B. 12 1 D. 6

[答案] C [解析] 同时抛掷两个骰子,基本事件总数为 36,记“向上的点数之差的绝对值为 4” 4 为事件 A,则事件 A 包含的基本事件有(1,5),(2,6),(5,1),(6,2),共 4 个,故 P(A)= = 36 1 . 9 3. (2015·合肥二模)从 2 名男生和 2 名女生中任意选择两人在星期六、 星期日参加某公 益活动, 每天一人, 则星期六安排一名男生、 星期日安排一名女生的概率为 导学号 25402673 ( ) A. C. 1 3 1 2 5 B. 12 7 D. 12

[答案] A [解析] 设 2 名男生记为 A1、A2,2 名女生记为 B1、B2,任意选择两人在星期六、星期日
1

参加某公益活动,共有 A1A2,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,B1B2,A2A1,B1A1,B2A1,B1A2,B2A2,B2B112 种情况,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有 A1B1,A1B2,A2B1,A2B24 种情况, 4 1 则发生的概率为 P= = ,故选 A. 12 3 4.(2015·威海一模)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数 a,从集合{1,3,5}中随机抽取 一个数 b,则向量 m=(a,b)与向量 n=(1,-1)垂直的概率为 导学号 25402674 ( A. C. 1 6 1 4 1 B. 3 1 D. 2 )

[答案] A [解析] 由题意可知 m=(a, b)有: (2,1), (2,3), (2,5), (3,1), (3,3), (3,5), (4,1), (4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共 12 种情况. 因为 m⊥n,即 m·n=0, 所以 a×1+b×(-1)=0,即 a=b, 满足条件的有(3,3),(5,5)共 2 个, 1 故所求的概率为 . 6 5.(2015·亳州质检)已知集合 M={1,2,3,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M},A 是集合 N 中任意一点, O 为坐标原点, 则直线 OA 与 y=x +1 有交集的概率是 导学号 25402675 ( A. C. 1 2 1 4 1 B. 3 1 D. 8
2

)

[答案] C [解析] 易知过点(0,0)与 y=x +1 相切的直线为 y=2x(斜率小于 0 的无需考虑),集 合 N 中共有 16 个元素,其中使 OA 斜率不小于 2 的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共 4 个, 4 1 由所求的概率为 = . 16 4
? ?-1≤x≤2, 6.在平面直角坐标系 xOy 中,不等式组? ?0≤y≤2 ?
2

表示的平面区域为 W,从 W 中 )

随机取点 M(x,y).若 x∈Z,y∈Z,则点 M 位于第二象限的概率为 导学号 25402676 ( A. 1 6 1 B. 3

2

π C.1- 12 [答案] A

π D.1- 6

[解析] 画出平面区域, 列出平面区域内的整数点有: (-1,0), (-1,1), (-1,2), (0,0), (0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),共 12 个,其中位于第二象限 1 的有(-1,1),(-1,2),共 2 个,所以所求概率 P= . 6 二、填空题 7.(2015·浙江模拟)从 2 男 3 女共 5 名同学中任选 2 名(每名同学被选中的机会均等), 这 2 名都是男生或都是女生的概率等于________. 导学号 25402677 [答案] 2 5

[解析] 设 2 名男生为 A,B,3 名女生为 a,b,c,则从 5 名同学中任取 2 名的方法有(A,

B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共 10 种,而这
2 名同学刚好是一男一女的有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c)共 6 种, 6 2 故所求的概率 P=1- = . 10 5 8.(2015·绵阳诊断)如图的茎叶图是甲、乙两人在 4 次模拟测试中的成绩,其中一个数 字被污损,则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________. 导学号 25402678

[答案] 0.3 [解析] 依题意,记题中的被污损数字为 x,若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩,则 有(8+9+2+1)-(5+3+x+5)≤0,x≥7,即此时 x 的可能取值是 7,8,9,因此甲的平均成 3 绩不超过乙的平均成绩的概率 P= =0.3. 10 9.(2015·宣武模拟)曲线 C 的方程为 2+ 2=1,其中 m,n 是将一枚骰子先后投掷两次 所得点数,事件 A=“方程 ________. 导学号 25402679 [答案] 5 12

x2 y2 m n

x2 y2 + = 1 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 ” , 那 么 P(A) = m2 n2

[解析] 试验中所含基本事件个数为 36; 若想表示椭圆, 则 m>n, 有(2,1), (3,1), ?,
3

15 5 (6,5),共 1+2+3+4+5=15 种情况,因此 P(A)= = . 36 12 10.设集合 P={-2,-1,0,1,2},x∈P 且 y∈P,则点(x,y)在圆 x +y =4 内部的概 率为________. 导学号 25403031 [答案] 9 25
2 2

[解析] 以(x,y)为基本事件,可知满足 x∈P 且 y∈P 的基本事件有 25 个.若点(x,y) 在圆 x +y =4 内部,则 x,y∈{-1,1,0},用列表法或坐标法可知满足 x∈{-1,1,0}且 y 9 2 2 ∈{-1,1,0}的基本事件有 9 个.所以点(x,y)在圆 x +y =4 内部的概率为 . 25 三、解答题 11. (2015·洛阳统考)从某工厂抽取 50 名工人进行调查, 发现他们一天加工零件的个数 在 50 至 350 个之间,现按生产的零件的个数将他们分成六组,第一组 [50,100),第二组 [100,150),第三组[150,200),第四组[200,250),第五组[250,300),第六组[300,350],相 应的样本频率分布直方图如图所示: 导学号 25402680
2 2

(1)求频率分布直方图中的 x 的值; (2)设位于第六组的工人为拔尖工, 位于第五组的工人为熟练工, 现用分层抽样的办法在 这两类工人中抽取一个容量为 6 的样本, 从样本中任意取 2 个, 求至少有一个拔尖工的概率. 3 [答案] (1)x=0.0060 (2) 5 [解析] (1)根据题意, (0.002 4+0.003 6+x+0.004 4+0.002 4+0.001 2)×50=1, 解得 x=0.006 0. (2)由题知拔尖工共有 3 人,熟练工共有 6 人. 抽取容量为 6 的样本,则其中拔尖工有 2 人,熟练工为 4 人. 可设拔尖工为 A1、A2,熟练工为 B1、B2、B3、B4. 则从样本中任抽 2 个的可能有:

A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,A1A2,B1B2,B1B3,B1B4,B2B3,B2B4,B3B4,

4

共 15 种, 至少有一个是拔尖工的可能有 A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,A1A2,共 9 种. 9 3 故至少有一个拔尖工的概率是 = . 15 5 12.(2015·天津)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27、9、18.现采用 分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛. 导学号 25402681 (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数; (2)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A1、A2、A3、A4、A5、A6.现从这 6 名运动 员中随机抽取 2 人参加双打比赛. (ⅰ)用所给编号列出所有可能的结果; (ⅱ)设 A 为事件“编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有 1 人被抽到”, 求事件 A 发生的 概率. 3 [答案] (1)3,1,2 (2)(ⅰ)略,(ⅱ) 5 [解析] (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为 3,1,2. (2)(ⅰ)从 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛的所有可能结果为{A1, A2}, {A1, A3}, {A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5}, {A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共 15 种. (ⅱ)编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有 1 人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,

A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共 9 种.
9 3 因此,事件 A 发生的概率 P(A)= = . 15 5 B 组 能力提升 1. (2015·衡水调研卷)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次, 至少击中 3 次的 概率;先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0,1 表示没有击中目标, 2,3,4,5,6,7,8,9 表示击中目标,以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟 产生了 20 组随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 导学号 25402682 ( A.0.852 C.0.8 [答案] D
5

)

B.0.819 2 D.0.75

[解析] 因为射击 4 次至多击中 2 次对应的随机数组为 7140,1417,0371,6011,7610, 共 5 5 组,所以射击 4 次至少击中 3 次的概率为 1- =0.75,故选 D. 20 2. 从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点, 则以它们作为顶点的四边形是矩形的概 率等于 导学号 25402683 ( A. 1 10 ) 1 B. 8 1 D. 5

1 C. 6 [答案] D

[解析] 在正六边形中,6 个顶点选取 4 个,种数为 15.选取的 4 点能构成矩形的,只有 3 1 对边的 4 个顶点(例如 AB 与 DE),共有 3 种,∴所求概率为 = . 15 5

3.一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中 3 个白球与 2 个黑球,现从袋中任意取出一个 球,取出后不放回,然后再从袋中任意取出一个球,则第一次为白球、第二次为黑球的概率 为 导学号 25402684 ( A. C. 3 5 1 2 ) 3 B. 10 6 D. 25

[答案] B [解析] 设 3 个白球分别为 a1、a2、a3,2 个黑球分别为 b1、b2,则先后从中取出 2 个球的 所有可能结果为(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,

b1),(a3,b2),(b1,b2),(a2,a1),(a3,a1),(b1,a1),(b2,a1),(a3,a2),(b1,a2),(b2, a2),(b1,a3),(b2,a3),(b2,b1),共 20 种.其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1, b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共 6 种,故所求概率为 = .
4.(2015·安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职 工,根据这 50 名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组 区间为:[40,50),[50,60),?,[80,90),[90,100]. 导学号 25402685 6 3 20 10

6

(1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在[40,60)的受访职工中, 随机抽取 2 人, 求此 2 人的评分都在[40,50)的概率. [答案] (1)a=0.006 1 (2)0.4 (3) 10

[解析] (1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以 a=0.006. (2) 由所给频率分布直方图知, 50 名受访职工评分不低于 80 分的频率为 (0.022 + 0.018)×10=0.4, 所以估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率为 0.4. (3)受访职工中评分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人),记为 A1、A2、A3; 受访职工中评分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人),记为 B1、B2. 从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人,所有可能的结果共有 10 种,它们是{A1,A2},{A1,

A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},又因
1 为所抽取 2 人的评分都在[40,50)的结果有 1 种,即{B1,B2},故所求的概率为 . 10 5.一汽车厂生产 A、B、C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产 量如下表(单位:辆): 导学号 25402686 轿车 A 舒适型 标准型 100 300 轿车 B 150 450 轿车 C

z
600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1)求 z 的值; (2)按型号用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本. 将该样本看成一个 总体,从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下: 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这 8 辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一 个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. [答案] (1)z=400 (2) 7 3 (3) 10 4
7

[解析] (1)设该厂这个月共生产轿车 n 辆, 50 10 由题意得 = ,所以 n=2 000, n 100+300 则 z=2 000-100-300-150-450-600=400. (2)设所抽样本中有 a 辆舒适型轿车, 400 a 由题意得 = ,则 a=2. 1 000 5 因此在抽取的容量为 5 的样本中,有 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车.用 A1、A2 表示 2 辆舒适型轿车,用 B1、B2、B3 表示 3 辆标准型轿车,用 E 表示事件“在该样本中任取 2 辆, 其中至少有 1 辆舒适型轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有 (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,

B3),(B2,B3),共 10 个.
事件 E 包含的基本事件有 (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共 7 个. 7 7 故 P(E)= ,即所求概率为 . 10 10 1 (3)样本平均数 x = (9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9. 8 设 D 表示事件“从样本中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5”, 则基本事件空间中有 8 个基本事件,事件 D 包含的基本事件有 9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0, 6 3 3 共 6 个,所以 P(D)= = ,即所求概率为 . 8 4 4

8


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