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重庆市开县中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷(理科)


重庆市开县中学 2015 届高三上学期第一次段考数学试卷 (理科)
一.选择题(50 分) 1. (5 分)若复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为() A.﹣4 B. C. 4 D.

2. (5 分)已知集合 A={y|y=x ﹣2x﹣1,x∈R},B={y|y=x+ ,x∈R 且 x≠0},则(?RB)∩A= () A.

(﹣2,2] 5. (5 分)函数 y=

2

B. 的定义域是()

A. ∪(1,2)

B.(﹣

,﹣1)∪(1,



C. D. (﹣2,﹣1)

6. (5 分)设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y=f(x)在 x=5 处的切 线的斜率为() A. B. 0 C. D.5

7. (5 分)如图是一个算法的流程图.若输入 x 的值为 2,则输出 y 的值是()

A.0

B.﹣1

C.﹣2

D.﹣3

8. (5 分)如图所示,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀 速滴下液体(滴管内液体忽略不计) ,设输液开始后 x 分钟,瓶内液面与进气管的距离为 h

厘米,已知当 x=0 时,h=13.如果瓶内的药液恰好 156 分钟滴完.则函数 h=f(x)的图象 为()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y=

(m>0) ,l1 与函数 y=|log2x|的图象从左至

右相交于点 A,B,l2 与函数 y=|log2x|的图象从左至右相交于点 C,D.记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a,b,当 m 变化时, 的最小值为() A.16 B. 8 C. 8 D.4

10. (5 分)已知 R 上的连续函数 g(x)满足: ①当 x>0 时,g′(x)>0 恒成立(g′(x)为函数 g(x)的导函数) ; ②对任意 x∈R 都有 g(x)=g(﹣x) .又函数 f(x)满足:对任意的 x∈R 都有 成立,当 式 g≤g(a ﹣a+2)对 A.a≥1 或 a≤0 C. ?
2

时,f(x)=x ﹣3x.若关于 x 的不等 恒成立,则 a 的取值范围是() B. 0≤a≤1 D.a∈R

3

二.填空题(25 分) 11. (5 分)已知函数 f(x)= 则 a 的取值范围. 12. (5 分)设函数 f(x)=x (x∈R) ,若 立,则实数 m 的取值范围是.
3

(a 为常数) ,f(x)在区间(2,4)上是减函数,

时,f(msinθ)+f(1﹣m)>0 恒成

13. (5 分)已知函数 y= 的取值范围是.

的图象与函数 y=kx﹣2 的图象恰有两个交点,则实数 k

14. (5 分)如图,AB 是半圆 O 直径,∠BAC=30°,BC 为半圆的切线,且 BC=4 O 到 AC 的距离 OD=.

,则点

15. (5 分)在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系,已知点 M 的极坐标为 ,曲线 C 的参数方程为 (α 为

参数) .求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值. 16. (5 分)已知|x﹣3|﹣|x﹣a|>6 有解,则实数 a 的取值范围.

三.解答题(75 分) 17. (13 分)已知集合 U=R,集合 A={x||x﹣a|<2},不等式 ﹣1)的解集为 B,若 A??UB,求实数 a 的取值范围. 18. (13 分)已知函数 f(x)对任意实数 x,y 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y)且当 x>0,f (x)<0.又 f(1)=﹣2. (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)求函数 f(x)在区间上的最大值; 2 (3)解关于 x 的不等式 f(ax )﹣2f(x)<f(ax)+4. 19. (13 分)已知 x=3 是函数 f(x)=aln(1+x)+x ﹣10x 的一个极值点.
2

(x ﹣x﹣2)<

2

2(x

(Ⅰ)求 a; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)若直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围. 20. (12 分)已知二次函数 y=f(x)的定义域为 R,f(1)=2,在 x=t 处取得最值,若 y=g 2 (x)为一次函数,且 f(x)+g(x)=x +2x﹣3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 x∈时,f(x)≥﹣1 恒成立,求 t 的取值范围. 21. (12 分)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切 去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点 重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上,是被切去的等 腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x(cm) . 2 (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? 3 (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值.

22. (12 分) 设 垂直. (1)求 a 的值; (2)若?x∈

, 曲线 y=f (x) 在点 (1, ( f 1) ) 处的切线与直线 2x+y+1=0

2. (5 分)已知集合 A={y|y=x ﹣2x﹣1,x∈R},B={y|y=x+ ,x∈R 且 x≠0},则(?RB)∩A= () A.(﹣2,2] B. ∪ D.(﹣2,﹣1)∪(1,2)

2

B.(﹣

,﹣1)∪(1,



C.

考点: 函数的定义域及其求法;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 由函数表达式知,被开方数大于或等于 0,故对数的真数大于 0 且对数值小于或等 2 2 于 1,x ﹣1>0,且 x ﹣1≤1;解可得答案.

解答: 解:

﹣ ∴y=

≤x<﹣1 或 1<x≤

. 的定义域为.

答案:A 点评: 考查对数的定义域和单调性. 6. (5 分)设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y=f(x)在 x=5 处的切 线的斜率为() A. B. 0 C. D.5

考点: 函数在某点取得极值的条件;函数奇偶性的性质;三角函数的周期性及其求法. 专题: 压轴题. 分析: 偶函数的图象关于 y 轴对称,x=0 为极值点,f(x)是 R 上以 5 为周期,x=5 也是 极值点,极值点处导数为零 解答: 解:∵f(x)是 R 上可导偶函数, ∴f(x)的图象关于 y 轴对称, ∴f(x)在 x=0 处取得极值,即 f′(0)=0, 又∵f(x)的周期为 5, ∴f′(5)=0,即曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线的斜率 0, 故选项为 B 点评: 本题考查函数的周期性、奇偶性、导数的几何意义、极值点满足的条件 7. (5 分)如图是一个算法的流程图.若输入 x 的值为 2,则输出 y 的值是()

A.0

B.﹣1

C.﹣2

D.﹣3

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图.

分析: 利用循环结构,直到条件不满足退出,即可得到结论. 解答: 解:执行一次循环,y=0,x=0; 执行第二次循环,y=﹣1,x=﹣2; 执行第三次循环,y=﹣2,满足条件,退出循环 故选 C 点评: 本题考查循环结构,考查学生的计算能力,属于基础题. 8. (5 分)如图所示,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀 速滴下液体(滴管内液体忽略不计) ,设输液开始后 x 分钟,瓶内液面与进气管的距离为 h 厘米,已知当 x=0 时,h=13.如果瓶内的药液恰好 156 分钟滴完.则函数 h=f(x)的图象 为()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 3 分析: 每分钟滴下 πcm 药液,当液面高度离进气管 4 至 13cm 时,x 分钟滴下液体的体 积等于大圆柱的底面积乘以(13﹣h) ,当液面高度离进气管 1 至 4cm 时,x 分钟滴下液体的 体积等于大圆柱的体积与小圆柱底面积乘以(4﹣h)的和,由此即可得到瓶内液面与进气管 的距离为 h 与输液时间 x 的函数关系. 3 解答: 解:由题意知,每分钟滴下 πcm 药液, 当 4≤h≤13 时,xπ=π?4 ?(13 ﹣h) ,即 h=13﹣
2

,此时 0≤x≤144;

当 1≤h<4 时,xπ=π?4 ?9+π?2 ?(4﹣h) ,即

2

2

,此时 144<x≤156.

∴函数单调递减,且 144<x≤156 时,递减速度变快. 故选:A. 点评: 本题考查了函数模型的选择及应用, 考查了简单的数学建模思想方法, 解答的关键 是对题意的理解,属中档题.

9. (5 分)已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y=

(m>0) ,l1 与函数 y=|log2x|的图象从左至

右相交于点 A,B,l2 与函数 y=|log2x|的图象从左至右相交于点 C,D.记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a,b,当 m 变化时, 的最小值为() A.16 B. 8 C. 8 D.4

考点: 基本不等式在最值问题中的应用; 对数函数图象与性质的综合应用; 平行投影及平 行投影作图法. 专题: 计算题;综合题;压轴题. 分析: 设 A,B,C,D 各点的横坐标分别为 xA,xB,xC,xD,依题意可求得为 xA,xB, xC,xD 的值,a=|xA﹣xC|,b=|xB﹣xD|,利用基本不等式可求得当 m 变化时, 的最小值. 解答: 解:设 A,B,C,D 各点的横坐标分别为 xA,xB,xC,xD, 则﹣log2xA=m,log2xB=m;﹣log2xC= ∴xA=2
﹣m

,log2xD= .



,xB=2 ,xC=

m

,xD=

∴a=|xA﹣xC|,b=|xB﹣xD|,
m

∴ =

=|

|=2 ?

=



又 m>0,∴m+

= (2m+1)+

﹣ ≥2

﹣ = (当且仅当 m= 时取“=”)

∴ ≥

=8



故选 B. 点评: 本题考查对数函数图象与性质的综合应用,理解平行投影的概念,得到 = 是关键,考查转化与数形结合的思想,考查分析与运算能力,属于难题.

10. (5 分)已知 R 上的连续函数 g(x)满足: ①当 x>0 时,g′(x)>0 恒成立(g′(x)为函数 g(x)的导函数) ;

②对任意 x∈R 都有 g(x)=g(﹣x) .又函数 f(x)满足:对任意的 x∈R 都有 成立,当 式 g≤g(a ﹣a+2)对 A.a≥1 或 a≤0 C. ?
2

时,f(x)=x ﹣3x.若关于 x 的不等 恒成立,则 a 的取值范围是() B. 0≤a≤1 D.a∈R

3

考点: 奇偶性与单调性的综合;函数的单调性与导数的关系. 专题: 综合题. 分析: 由于函数 g(x)满足:①当 x>0 时,g'(x)>0 恒成立(g'(x)为函数 g(x) 的导函数) ;②对任意 x∈R 都有 g(x)=g(﹣x) ,这说明函数 g(x)为 R 上的偶函数且在 ≤g(a ﹣a+2)?|f(x)|≤|a ﹣a+2|对
2 2 2

恒成立,只要使得|f(x)

|在定义域内的最大值小于等于|a ﹣a+2|的最小值,然后解出即可. 解答: 解:因为函数 g(x)满足:当 x>0 时,g'(x)>0 恒成立且对任意 x∈R 都有 g(x) =g(﹣x) ,则函数 g(x)为 R 上的偶函数且在≤g(a ﹣a+2)在 R 上恒成立?|f(x)|≤|a ﹣a+2|对
2 2 2

恒成立,只要使得定义域内|f(x)|max≤|a ﹣a+2|min,
3

由于当 时,f(x)=x ﹣3x, 2 求导得:f′(x)=3x ﹣3=3(x+1) (x﹣1) ,该函数过点( , (0,0) , ( , 且函数在 x=﹣1 处取得极大值 f(﹣1)=2,在 x=1 处取得极小值 f(1)=﹣2,又由于对任 意的 x∈R 都有 函数 f(x)为周期函数且周期为 T=
2

? ,所以函数 f(x)在

成立, 则

的最大值为 2,所以令 2≤|a ﹣a+2|解得:a≥1 或 a≤0. 故选 A 点评: 此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数, 还考查了函数的周期 的定义,及利用周期可以求得当 了函数恒成立. 二.填空题(25 分) 11. (5 分)已知函数 f(x)= 则 a 的取值范围 ∴ ; (a 为常数) ,f(x)在区间(2,4)上是减函数, 时,f(x)=x ﹣3x,的值域为,还考查
3

在△ ABC 中, ∠BAC=30°, ∴AC=2BC=8 AB= ∴OA=6=BO,

, =12,

∴OD=



故答案为:3 点评: 本题考查三角形相似的判断和性质, 本题解题的关键是熟练应用三角形相似的性质 和直角三角形的特殊角的三角函数,本题是一个中档题目. 15. (5 分)在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系,已知点 M 的极坐标为 ,曲线 C 的参数方程为 . (α 为

参数) .求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值 5﹣

考点: 简单曲线的极坐标方程;圆的参数方程. 专题: 计算题. 分析: 利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ 即可把点 M 的坐标化为直角坐标,进而即可求出直线 OM 的方程;再把曲线 C 的参数方程化为化为普通方程,再利用|MA|﹣r 即可求出最小值. 解答: 解:由曲线 C 的参数方程 化成普通方程为: (x﹣1) +y =2, 圆心为 A(1,0) ,半径为 r= , 由于点 M 在曲线 C 外,故点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值为|MA| . 故答案为:5﹣ . 点评: 充分利用极坐标与普通方程的互化公式及点 M 到曲线(圆)C 上的点的距离的最 小值为|MA|﹣r 是解题的关键. 16. (5 分)已知|x﹣3|﹣|x﹣a|>6 有解,则实数 a 的取值范围(﹣∞,﹣3)∪(9,+∞) . 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由绝对值不等式的几何意义可知:|x﹣3|﹣|x﹣a|≤|a﹣3|,依题意得|a﹣3|>6,解之 即可. 解答: 解:∵|x﹣3|﹣|x﹣a|≤|a﹣3|, ∴|x﹣3|﹣|x﹣a|>6 有解?|a﹣3|>6,解得:a<﹣3 或 a>9, 即实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣3)∪(9,+∞) , 故答案为: (﹣∞,﹣3)∪(9,+∞) . 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,着重考查绝对值的意义,考查转化思想. 三.解答题(7 5 分) 17. (13 分)已知集合 U=R,集合 A={x||x﹣a|<2},不等式 ﹣1)的解集为 B,若 A??UB,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用;补集及其运算. (x ﹣x﹣2)<
2 2 2

(α 为参数) ,

2(x

专题: 计算题;集合. 分析: 由已知可得,A={x|a﹣2<x<a+2},B={x|x>3},进而可求得,CuB={x|x≤3},由 A?CuB 可得 a+2≤3,可求实数 a 的取值范围. 解答: 解:由|x﹣a|<2 可得,a﹣2<x<a+2,即 A={x|a﹣2<x<a+2}, 由 (x ﹣x﹣2)<
2

2(x﹣1)可得 0<2x﹣2<x ﹣x﹣2

2

解不等式可得,x>3, 即 B={x|x>3} ∴CuB={x|x≤3} ∵A?CuB ∴a+2≤3 ∴a≤1. 点评: 本题主要考查了集合的包含关系的应用, 解题的关键是准确解绝对值不等式及对数 不等式,解答该题时注意不要漏掉考虑对数的真数大于 0 的条件. 18. (13 分)已知函数 f(x)对任意实数 x,y 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y)且当 x>0,f (x)<0.又 f(1)=﹣2. (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)求函数 f(x)在区间上的最大值; 2 (3)解关于 x 的不等式 f(ax )﹣2f(x)<f(ax)+4. 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的性质;函数的最值及其几何意义. 分析: (1)先求 f(0)=0,再取 y=﹣x,则 f(﹣x)=﹣f(x)对任意 x∈R 恒成立,故 可得函数为奇函数; (2)先判断函数在(﹣∞,+∞)上是减函数,再求 f(﹣3)=﹣f(3)=6,从而可求函数 的最大值; 2 (3)利用函数为奇函数,可整理得 f(ax ﹣2x)<f(ax﹣2) ,利用 f(x)在(﹣∞,+∞) 2 上 是减函数,可得 ax ﹣2x>ax﹣2,故问题转化为解不等式. 解答: 解: (1)取 x=y=0,则 f(0+0)=2f(0) ,∴f(0)=0…1′ 取 y=﹣x,则 f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)∴f(﹣x)=﹣f(x)对任意 x∈R 恒成立∴f(x) 为奇函数.…3′ (2)任取 x1,x2∈(﹣∞,+∞)且 x1<x2,则 x2﹣x1>0,∴f(x2)+f(﹣x1)=f(x2﹣x1) <0,…4′ ∴f(x2)<﹣f(﹣x1) , 又 f(x)为奇函数∴f(x1)>f(x2) ∴f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数.∴对任意 x∈,恒有 f(x)≤f(﹣3)…6′ 而 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=﹣2×3=﹣6, ∴f(﹣3)=﹣f(3)=6,∴f(x)在上的最大值为 6…8′ 2 (3)∵f(x)为奇函数,∴整理原式得 f(ax )+f(﹣2x)<f(ax)+f(﹣2) , 2 进一步得 f(ax ﹣2x)<f(ax﹣2) , 而 f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数, 2 ∴ax ﹣2x>ax﹣2…10′∴(ax﹣2) (x﹣1)>0. ∴当 a=0 时,x∈(﹣∞,1) 当 a=2 时,x∈{x|x≠1 且 x∈R}

当 a<0 时, 当 0<a<2 时, 当 a>2 时, …12′

点评: 本题考查抽象函数的性质,赋值法事常用方法,同时借助于函数的单调性,抽象函 数的不等式问题可以转化为具体函数求解. 19. (13 分)已知 x=3 是函数 f(x)=aln(1+x)+x ﹣10x 的一个极值点. (Ⅰ)求 a; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)若直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围. 考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题;数形结合法. 分析: (Ⅰ)先求导 ﹣10x 的一个极值点即
2 2

,再由 x=3 是函数 f(x)=aln(1+x)+x 求解.

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)确定 f(x)=16ln(1+x)+x ﹣10x,x∈(﹣1,+∞)再由 f′(x)>0 和 f′ (x)<0 求得单调区间. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在(﹣1,1)内单调增加,在(1,3)内单调减少,在(3,+∞) 上单调增加,且当 x=1 或 x=3 时,f′(x)=0,可得 f(x)的极大值为 f(1) ,极小值为 f(3) 一,再由直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象有 3 个交点则须有 f(3)<b<f(1)求解,因此, b 的取值范围为(32ln2﹣21,16ln2﹣9) . 解答: 解: (Ⅰ)因为 所以 因此 a=16 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, f (x) =16ln (1+x) +x ﹣10x, x∈ (﹣1, +∞) 当 x∈(﹣1,1)∪(3,+∞)时,f′(x)>0 当 x∈(1,3)时,f′(x)<0 所以 f(x)的单调增区间是(﹣1,1) , (3,+∞)f(x)的单调减区间是(1,3) (Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在(﹣1,1)内单调增加, 在(1,3)内单调减少,在(3,+∞)上单调增加,且当 x=1 或 x=3 时,f′(x)=0 所以 f(x)的极大值为 f(1)=16ln2﹣9,极小值为 f(3)=32ln2﹣21 因此 f(16)>16 ﹣10×16>16ln2﹣9=f(1)f(e ﹣1)<﹣32+11=﹣21<f(3) 所以在 f(x)的三个单调区间(﹣1,1) , (1,3) , (3,+∞)直线 y=b 有 y=f(x)的图象 各有一个交点,当且仅当 f(3)<b<f(1) 因此,b 的取值范围为(32ln2﹣21,16ln2﹣9) .
2
﹣2

2

点评: 此题重点考查利用求导研究函数的单调性,最值问题,函数根的问题; ,熟悉函数 的求导公式, 理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键, 数形结合理解函数的取值范 围. 20. (12 分)已知二次函数 y=f(x)的定义域为 R,f(1)=2,在 x=t 处取得最值,若 y=g 2 (x)为一次函数,且 f(x)+g(x)=x +2x﹣3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 x∈时,f(x)≥﹣1 恒成立,求 t 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: (1)直接利用在 x=t 处取得最值设出函数表达式,再利用 f(1)=2 以及 y=g(x) 为一次函数,且 f(x)+g(x)=x +2x﹣3,求出 a 和 b 即可求 f(x)的解析式; (2)转化为求二次函数 y=f(x)在上的最小值问题,对对称轴分在区间内,以及区间左边, 右边三种情况分别讨论求出对应的 t 的取值即可. 2 解答: 解: (1)设 f(x)=a(x﹣t) +b, 2 ∵f(1)=2,∴a(1﹣t) +b=2. 2 又 f(x)+g(x)=x +2x﹣3,g(x)为一次函数, 2 ∴a=1,则 b=2﹣(1 ﹣t) , 2 2 2 2 ∴f(x)=(x﹣t) +2﹣(1﹣t) =(x﹣t) ﹣t +2t+1. (2)①若 t<﹣1 时, 要使 f(x)≥﹣1 恒成立,只需 f(﹣1)≥﹣1, 即 t≥﹣ ,这与 t<﹣1 矛盾; ②﹣1≤t≤2 时,要使 f(x)≥﹣1 恒成立, 只需 f(t)≥﹣1,即﹣t +2t+1≥﹣1, 即 1﹣ ≤t≤1+ ,∴1﹣ ≤t≤2; ③若 t>2 时,要使 f(x)≥﹣1 恒成立, 只需 f(2)≥﹣1,即 t≤3,∴2<t≤3, 综上所述 t 的取值范围是. 点评: 本题第二问的实质是求二次函数的最值问题, 关于没给定解析式的二次函数在固定 闭区间上的最值问题, 一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论, 如轴在区间 左边,轴在区间右边,轴在区间中间,最后在综合归纳得出所需结论 21. (12 分)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切 去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点 重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的 包装盒,E、F 在 AB 上,是被切去的等 腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x(cm) . 2 (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? 3 (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值.
2 2

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)可设包装盒的高为 h(cm) ,底面边长为 a(cm) ,写出 a,h 与 x 的关系式, 并注明 x 的取值范围.再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积 S 关于 x 的函数解析式,最 后求出何时它取得最大值即可; (2)利用体积公式表示出包装盒容积 V 关于 x 的函数解析式,最后利用导数知识求出何时 它取得的最大值即可. 解答: 解:设包装盒的高为 h(cm) ,底面边长为 a(cm) ,则 a= x,h= (30﹣x) , 0<x<30. 2 (1)S=4ah=8x(30﹣x)=﹣8(x﹣15) +1800, ∴当 x=15 时,S 取最大值. (2)V=a h=2 (﹣x +30x ) ,V′=6 x, 由 V′=0 得 x=20, 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈时,V′<0; 3 ∴当 x=20 时,包装盒容积 V(cm )最大, 此时, .
2 3 2

即此时包装盒的高与底面边长的比值是 . 点评: 考查函数模型的选择与应用,考查函数、导数等基础知识,考查运算求解能力、空 间想象能力、数学建模能力.属于基础题.

22. (12 分) 设 垂直. (1)求 a 的值; (2)若?x∈ 所以

, 曲线 y=f (x) 在点 (1, ( f 1) ) 处的切线与直线 2x+y+1=0



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 累加可得 即

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣(14 分) 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应 用,考查学生的计算能力,属于中档题.


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