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2010年高考数学复习必备精品:空间向量及其应用


空间向量及其应用
一. 【课标要求】
(1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解 及其坐标表示; ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ① 理解直线的

方向向量与平面的法向量; ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) ; ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问 题中的作用

二. 【命题走向】
本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内 容,高考对本讲的考察形式为:以客观题形式考察空间向量的概念和运算,结合主观题借助 空间向量求夹角和距离 预测 2010 年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材 上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何 解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度

三. 【要点精讲】
1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相 等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量 研究的是空间的平移。 2.向量运算和运算率

? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b

? OP ? ?a(? ? R)
加法交换律: a ? b ? b ? a. 加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ). 数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b. 说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;② 向量加法的平行四边形法则在空间仍成立 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? 这些向量叫做共线向量或平行向量。 a 平行于 b 记作 a ∥ b 。 ? ? 注意:当我们说 a 、 b 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行 ? ? 直线;当我们说 a 、 b 平行时,也具有同样的意义。
? ? ? ? ? 共线向量定理:对空间任意两个向量 a ( a ≠ 0 ) 、 b , a ∥ b 的充要条件是存在实数 ? 使 ? ? b =? a ? ? ? ? ? 注:⑴上述定理包含两个方面:①性质定理:若 a ∥ b ( a ≠0) ,则有 b = ? a ,其中 ? 是 ? ? ? ? ? 唯一确定的实数。②判断定理:若存在唯一实数 ? ,使 b = ? a ( a ≠0) ,则有 a ∥ b (若用 ? ? ? ? ? ? 此结论判断 a 、 b 所在直线平行,还需 a (或 b )上有一点不在 b (或 a )上) 。 ? ? ? ? ? ⑵对于确定的 ? 和 a , b = ? a 表示空间与 a 平行或共线,长度为 | ? a |,当 ? >0 时与 ? ? a 同向,当 ? <0 时与 a 反向的所有向量

⑶若直线 l∥ a , A ? l , P 为 l 上任一点, O 为空间任一点, 下面根据上述定理来推导 OP 的表达式。 ? 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对任一点 O,点 P 在 直线 l 上的充要条件是存在实数 t,满足等式

?

OP ? OA ? ta
? 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量
在 l 上取 AB ? a ,则①式可化为 当t ?

?



?

OP ? (1 ? t )OA ? tOB. ②
OP ? 1 (OA ? OB ). 2

1 时,点 P 是线段 AB 的中点,则 2



①或②叫做空间直线的向量参数表示式,③是线段 AB 的中点公式。 注意:⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础,也是常用的直线参数方程的表示形 式;⑵推论的用途:解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。 ? ? 4. 向量与平面平行: 如果表示向量 a 的有向线段所在直线与平面 ? 平行或 a 在 ? 平面内, ? ? ? 我们就说向量 a 平行于平面 ? ,记作 a ∥ ? 。注意:向量 a ∥ ? 与直线 a∥ ? 的联系与区别。 共面向量:我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量 ? ? ? ? ? 共面向量定理 如果两个向量 a 、b 不共线,则向量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存 在实数对 x、y,使 p ? xa ? yb. ① 注:与共线向量定理一样,此定理包含性质和判定两个方面。 推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x、y,使

?

?

?

MP ? xMA ? y MB, ④
或对空间任一定点 O,有 OP ? OM ? xMA ? y MB. ⑤ 在平面 MAB 内,点 P 对应的实数对(x, y)是唯一的。①式叫做平面 MAB 的向量表示式 又∵ MA ? OA ? OM ,. MB ? OB ? OM ,. 代入⑤,整理得

OP ? (1 ? x ? y)OM ? xOA ? yOB.



由于对于空间任意一点 P, 只要满足等式④、 ⑤、 ⑥之一 (它们只是形式不同的同一等式) ,

点 P 就在平面 MAB 内;对于平面 MAB 内的任意一点 P,都满足等式④、⑤、⑥,所以等式 ④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量 MA 、 MB (或不共线三点 M、A、B)确定的空间平面的 向量参数方程,也是 M、A、B、P 四点共面的充要条件 ? ? ? 5.空间向量基本定理:如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么对空间任一向量,存在一 y, z, 使 p ? xa ? yb ? zc . ? ? ? 说明:⑴由上述定理知,如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么所有空间向量所组成的集 ? ? ? ? ? ? ? ? 合就是 p | p ? xa ? yb ? zc , x、y、z ? R ,这个集合可看作由向量 a 、b 、 c 生成的,所以我 ? ? ? ? ? ? 们把{ a , b , c }叫做空间的一个基底, a , b , c 都叫做基向量;⑵空间任意三个不共面向 量都可以作为空间向量的一个基底;⑶一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的 ? 某一个向量,二者是相关联的不同的概念;⑷由于 0 可视为与任意非零向量共线。与任意两个 ? 非零向量共面,所以,三个向量不共面就隐含着它们都不是 0 。 推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的有序实数组 个唯一的有序实数组 x,

?

?

?

?

?

?

x、y、 z ,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC.
? ? ? ? (1)夹角:已知两个非零向量 a 、 b ,在空间任取一点 O,作 OA ? a , OB ? b ,则 ? ? ? ? 角∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 ? a,b ?

6.数量积

? a ? a
? b

A
? a ? a ? O b ? (1) a ? a

A
? a ? a ? a ? a O ? a (2)

? a

? a
? b

B

? a

? b

B

? a

? ? ? ? ? ? 说明:⑴规定 0≤ ? a,b ? ≤ ? ,因而 ? a,b ? = ?b ,a ? ;
⑵如果 ? a,b ? =

? a

? a

? a

A

? a

?

?

? ? ? ? ? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作 a ⊥ b ; 2

O
? a

(3) A
? a

B

? a

⑶在表示两个向量的夹角时,要使有向线段的起点重 图(3) 、 (4)中的两个向量的夹角不同, 图(3)中∠AOB= ?OA, OB? , 图(4)中∠AOB= ? ? ? AO, OB? , 从而有 ? ?OA, OB? = ?OA,?OB? = ? ? ?OA, OB? . (2)向量的模:表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。 O
? a

合, 注意

(4)

B

? a

? ? ? ? ? ? ? ? (3)向量的数量积: a b cos? a , b ? 叫做向量 a 、 b 的数量积,记作 a ? b 。
即 a ? b = a b cos? a , b ? , 向量 AB 在e 方向上的正射影:

? ?

? ?
?

? ?

B

? e
A
A?

B?
l

? ? ? ? a ? e ?| AB | cos?a, e? ? A?B?
(4)性质与运算率 ⑴ a ? e ? cos? a , e ? 。 ? ? ? ? ⑵ a ⊥ b ? a ? b =0 ⑶ | a |2 ? a ? a.

? ?

? ?

⑴ (?a) ? b ? ? (a ? b ) ? ? ⑵ a ?b =b ?a ⑶ a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c

四. 【典例解析】
题型 1:空间向量的概念及性质 例 1.有以下命题:①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a, b 的关系是不共线;② O, A, B, C 为空间四点,且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个基底,那么 点 O, A, B, C 一定共面;③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,则向量 a ? b, a ? b, c ,也是空 间的一个基底。其中正确的命题是( )

( A) ①②

( B ) ①③

(C ) ②③

( D) ①②③

解析:对于①“如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a, b 的关系 一定共线” ;所以①错误。②③正确。 点评:该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件,为此我们要掌握 好空间不共面与不共线的区别与联系 例 2.下列命题正确的是( )

( A) 若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线; ( B ) 向量 a, b, c 共面就是它们所在的直线共面; (C ) 零向量没有确定的方向; ( D) 若 a // b ,则存在唯一的实数 ? 使得 a ? ? b ;
解析: A 中向量 b 为零向量时要注意, B 中向量的共线、 共面与直线的共线、 共面不一样, D 中需保证 b 不为零向量 答案 C。 点评:零向量是一个特殊的向量,时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。 像零向量与任何向量共线等性质,要兼顾 题型 2:空间向量的基本运算

例 3.如图:在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 为 A1C1 与 B1 D1 的 交 点 。 若

M
D1 A1 M B1 C1

AB ? a , AD ? b

, )
D A

AA1 ? c ,则下列向量中与 BM 相等的向量是( 1 1 1 1 ( A) ? a ? b ? c ( B ) a ? b ? c 2 2 2 2 1 1 1 1 (C ) ? a ? b ? c ( D ) a ? b ? c 2 2 2 2
解析:显然 BM ? BB1 ? B1 M ?

C B

1 1 1 ( AD ? AB ) ? AA1 ? ? a ? b ? c ; 2 2 2

答案为 A。 点评:类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途。用向量的方法处 理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的 加法.考查学生的空间想象能力 例 4. 已知:a ? 3m ? 2n ? 4 p ? 0, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp, 且 m, n , p 不共面.若 a ∥

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

?

? b ,求 x, y 的值.
解:? a ∥ b ,,且 a ? 0,? b ? ?a, 即 ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp ? 3?m ? 2?n ? 4?p. 又? m, n , p 不共面,?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

x ?1 8 2y ? ? ,? x ? ?13, y ? 8. 3 ?2 ?4

点评:空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理。 题型 3:空间向量的坐标 例 5. (1)已知两个非零向量 a =(a1,a2,a3) , b =(b1,b2,b3) ,它们平行的充要条件 是( ) B.a1·b1=a2·b2=a3·b3 D.存在非零实数 k,使 a =k b )

A. a :| a |= b :| b | C.a1b1+a2b2+a3b3=0

(2)已知向量 a =(2,4,x) , b =(2,y,2) ,若| a |=6, a ⊥ b ,则 x+y 的值是( A. -3 或 1 B.3 或-1 ) C. -3 D.1

(3)下列各组向量共面的是(

A. a =(1,2,3), b =(3,0,2), c =(4,2,5) B. a =(1,0,0), b =(0,1,0), c =(0,0,1) C. a =(1,1,0), b =(1,0,1), c =(0,1,1) D. a =(1,1,1), b =(1,1,0), c =(1,0,1) 解析: (1)D;点拨:由共线向量定线易知;

(2)A

? ?4 ? 16 ? x 2 ? 36 ? ?4 ? 4 y ? 2 x ? 0 ? 点拨:由题知 ?

? x ? 4, ? x ? ? 4, ? ? y ? ? 3 ? 或 ? y ? 1. ;

(3)A 点拨:由共面向量基本定理可得 点评:空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况 例 6.已知空间三点 A(-2,0,2) ,B(-1,1,2) ,C(-3,0,4) 。设 a = AB ,b = AC , (1)求 a 和 b 的夹角 ? ; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值. 思维入门指导:本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要求 的结果. 解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2) ,C(-3,0,4), a = AB , b = AC , ∴ a =(1,1,0), b =(-1,0,2). (1)cos ? =

a ?b | a ||b |

?1 ? 0 ? 0

=

2? 5

10 10 , ?-

10 10 ∴ a 和 b 的夹角为- 。

(2)∵k a + b =k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2) , k a -2 b =(k+2,k,-4) ,且(k a + b )⊥(k a -2 b ) , ∴(k-1,k,2)· (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0。
5 则 k=- 2 或 k=2。

点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做。 ( a + b )(k a -2 b )=k2 a 2-k a · b -
5 2 b 2=2k2+k-10=0,解得 k=- 2 ,或 k=2。

题型 4:数量积 例 7(2009 江西卷文)如图,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则在下列命题中, 错误 的为 ..

A . AC ? BD

B . AC ∥截面 PQMN

C . AC ? BD
答案:C

D . 异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45

【解析】由 PQ ∥ AC ,QM ∥ BD , PQ ⊥ QM 可得 AC ⊥ BD ,故 A 正确;由 PQ ∥ AC 可得 AC ∥截面 PQMN ,故 B 正确; 异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 PN 所成的角,故 D 正确; 综上 C 是错误的,故选 C .

点评:本题考查平面向量的数量积及运算律 例 8. (1)设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (3,3) , 2b ? a ? (?1,1) , 则 cos ? ? .

?

?

?

?

?

. 解 : 设 向 量 a 与 b 的 夹 角 为 ? , 且 a ? (3,3),2b ? a ? (?1,1) ∴ b ? (1,2) , 则

?

?

?

?

?

?

? ? a ?b 9 3 10 c o? s? ? ? ? = . 10 a ?b 3 2? 5
(2)设空间两个不同的单位向量 a =(x1,y1,0), b =(x2,y2,0)与向量 c =(1,1,1)的夹
? 角都等于 4 。(1)求 x1+y1 和 x1y1 的值;(2)求< a , b >的大小(其中 0<< a , b ><π ) 。

解析 (2)解:(1)∵| a |=| b |=1,∴x 1 +y 1 =1,∴x 2 =y 2 =1.
2 ? ? 4 4 2 又∵ a 与 c 的夹角为 ,∴ a · c =| a || c |cos = 6 12 ? 12 ? 12 = 2 .
2 2 2 2

6 又∵ a · c =x1+y1,∴x1+y1= 2 。

另外

2 x1

2 +y 1

6 1 1 2 2 2 =(x1+y1) -2x1y1=1,∴2x1y1=( ) -1= .∴x1y1= 4 。
2

(2)cos< a , b >=
6 1 2 x+ 4 =0 的解.

a ?b | a ||b |

6 1 =x1x2+y1y2,由(1)知,x1+y1= 2 ,x1y1= 4 .∴x1,y1 是方程 x2-

? ? ? ? 6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 , ? x1 ? , , ?x2 ? , ? x1 ? ?x2 ? ? ? ? ? 4 4 4 4 ? ? ? ? 6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 ? ? ? ? y1 ? , ? y1 ? . y2 ? , ?y2 ? . ? ? 4 4 4 4 ∴? 或? 同理可得 ? 或?

? ? 6? 2 6? 2 , ? x1 ? y 2 ? , ? x1 ? y 2 ? ? ? 4 4 ? ? 6? 2 6? 2 ? ? x ? y ? , x 2 ? y1 ? . 2 1 ? ? 4 4 ? ? ∵ a ≠ b ,∴ 或

∴cos< a , b >=

6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 1 1 1 4 4 · 4 + · 4 =4+4=2.

? ∵0≤< a , b >≤π,∴< a , b >= 3 。 评述:本题考查向量数量积的运算法则

题型 5:空间向量的应用 例 9. (1)已知 a、b、c 为正数,且 a+b+c=1,求证: 13a ? 1 + 13b ? 1 + 13c ? 1 ≤4 3 。 (2)已知 F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若 F1,F2,F3 共同作用于同一物体上,使 物体从点 M1(1,-2,1)移到点 M2(3,1,2),求物体合力做的功。 解析: (1)设 m =( 13a ? 1 , 13b ? 1 , 13c ? 1 ), n =(1,1,1), 则| m |=4,| n |= 3 . ∵ m · n ≤| m |· | n |, ∴ m · n = 13a ? 1 + 13b ? 1 + 13c ? 1 ≤| m |· | n |=4 3 .
1 当 13a ? 1 = 13b ? 1 = 13c ? 1 时,即 a=b=c= 3 时,取“=”号。
1 1 1

(2)解:W=F· s=(F1+F2+F3)·M 1 M 2 =14。 点评:若 m =(x,y,z), n =(a,b,c),则由 m · n ≤| m |· | n |,得(ax+by+cz)2≤ (a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查| a |·| b |≥ a · b 的应用,解题 时要先根据题设条件构造向量 a , b ,然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对 应做功问题 例 10.如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BC1 ? AB1 , BC1 ? A1C, 求证: AB1 ? A1C. 证明:? A1C ? A1C1 ? C1C,

BC1 ? BC ? CC1 , A1C ? BC1 ? ( A1C1 ? C1C ) ? ( BC ? CC1 ) ? A1C1 ? BC ? C1C 2 ? 0, ? C1C 2 ? A1C1 ? BC .
同理 AB1 ? AB ? BB1 , BC1 ? BB1 ? B1C1 ,

? ? AB1 ? BC1 ? AB ? BC ? CC12 ? 0(? BB1 ? CC1 ),? AB ? BC ? A1C1 ? BC ? 0,
又 A1C1 ? AC, ? BC ? ( AB ? AC) ? 0. 设 D 为 BC 中点,则 AB ? AC ? 2 AD. ? 2BC ? AD ? 0,? BC ? AD,

? AB ? AC, 又 A1 A ? B1 B,? A1C ? AB1 .
点评: 从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题, 要用到空间多边形法则, 向量的运算,数量积以及平行,相等和垂直的条件

D x ? A B 1.过△ABC 的重心任作一直线分别交 AB, AC 于点 D、 E. 若A


xy ? 0 , , AE ? y AC ,

1 1 ? 的值为( x y
(A)4

) (C)2 (D)1

(B)3

解析:取△ABC 为正三角形易得

1 1 ? =3.选 B. x y

评析:本题考查向量的有关知识,如果按常规方法就比较难处理,但是用特殊值的思想就比 较容易处理,考查学生灵活处理问题的能力. 2.如图,设 P、Q 为△ABC 内的两点,且 AP ?

2 1 AB ? AC , 5 5

AQ =

2 1 AB + AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 3 4 1 4 1 1 A. B. C. D. 5 5 4 3

如下图,设 AM ?

2 1 AB , AN ? AC ,则 AP ? AM ? AN . 5 5
1 ?ABP AN ? = , 5 ?ABC AC
N A M P B C

由平行四边形法则,知 NP∥AB,所以 同理可得 3. e1 , e2 A.2 A

?ABQ 1 ?ABP 4 ? .故 ? ,选 B. ?ABC 4 ?ABQ 5
是 平 面 内 不 共 线 两 向 量 , 已 知 B. ? 3 C. ? 2

Q

AB ? e1 ? k e2 , CB ? 2e1 ? e2 , CD ? 3e1 ? e2 ,若 A, B, D 三点共线,则 k 的值是
D. 3

?1 ? ? , BD ? CD ? CB ? e1 ? 2e2 ,又 A、B、D 三点共线,则 AB ? ? AD .即 ? ?? k ? ?2?

∴ k ? 2 ,故选 A . 【总结点评】本题主要考查共线向量的定义和平面向量基本定理的运用. 要求我们熟记公式, 掌握常见变形技巧与方法. 4、已知平面向量 a =( 3 ,?1), b = ( (1)求 a ? b ; (2)设 c ? a ? ( x ? 3)b , d ? ? ya ? xb (其中 x ? 0 ) ,若 c ? d ,试求函数关系式
? ?

1 3 , ). 2 2

y ? f ( x) 并解不等式 f ( x) ? 7 . (1) a ? b ? 0 ;
(2)由 c ? d 得, ? 4 y ? x( x ? 3) ? 0 , 所以 y ?

1 x( x ? 3) ; 4

1 x( x ? 3) ? 7 变形得: x 2 ? 3x ? 28 ? 0 ,解得 x ? 7或x ? ?4 . 4
5.已知 a=( cos ? ,sin ? ) ,b=( cos ? ,sin ? ) ,a 与 b 之间有关系式|ka+b|= 3 |a-kb|,

其中 k>0. (1)用 k 表示 a、b; (2)求 a· b 的最小值,并求此时,a 与 b 的夹角 ? 的大小. 由已知 | a |?| b |? 1. ∵

| ka ? b |? 3 | a ? kb | ,∴ | ka ? b | 2 ? 3 | a ? kb | 2 .∴ a ? b ?
2

1 1 (k ? ) . 4 k



k>0, ∴

a ?b ?

1 ?2 k ? 1 ? 1 . 4 k 2
1 2 1 . ∴ ? =60°. 2

此时 a ? b ?

1 2



cos ? ?

| a |?| b |
11

?

6.. 已知 | AC |? 5 , | AB |? 8 , AD ? 5 DB , CD ? AB ? 0 。 (1)求 | AB ? AC | ;

? 4 , ?? ? x ? ? ,求 sinx 4 5 16 解: (1)由已知 AB ? DB ? DA ? DB ? AD ? DB 11 5 5 11 ∴ DB ? 11 AB , AD ? 5 DB ? 5 AB , | AD | ? | AB |? , | DB |? , 16 11 16 16 2 2 2 2 2 ∵ CD ? AB ? 0 ∴CD⊥AB,在 Rt△BCD 中 BC =BD +CD , 2 2 2 2 2 2 2 又 CD =AC -AD , 所以 BC =BD +AC -AD =49, ??4 分 所以 | AB ? AC ?| BC |? 7 ??6 分
(2)设∠BAC=θ ,且已知 cos(θ +x)=

1 ? ∴? ? ??8 分 3 2 ? 4 ? 3 cos (? ? x) ? cos( ? x) ? sin ( ? x) ?? 3 5 3 5 ? 2? ? ? ? ? 而?? ? x ? ? , ? 如果 0 ? ? x ? , ? ?x? 3 12 4 3 3 12 ? ? ? 1 3 ? 3 则 sin( ? x) ? sin ∴ sin( ? x) ? ? ??10 分 ? sin ? ? 3 12 6 2 5 3 5 ? ? 3? 4 3 sin x ? sin[( ? x) ? ] ? ? 3 3 10
(2)在△ABC 中, cos ?BAC ?

五. 【思维总结】
本讲内容主要有空间直角坐标系,空间向量的坐标表示,空间向量的坐标运算,平行向 量,垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点 O 和一个单 位正交基底{i,j,k}建立坐标系,对于 O 点的选取要既有作图的直观性,而且使各点的坐 标,直线的坐标表示简化,要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质;空间向量的坐 标运算同平面向量类似,具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样,实质 没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积 a·b=|a|· |b|cos<a,b>在二

维、三维都是这样定义的,不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时 同平面两向量平行时表达式不一样,但实质是一致的,即对应坐标成比例,且比值为 ? ,对于 中点公式要熟记 对本讲内容的考查主要分以下三类: 1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质 此类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。 2.向量在空间中的应用 在空间坐标系下,通过向量的坐标的表示,运用计算的方法研究三维空间几何图形的性 质。 在复习过程中,抓住源于课本,高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题, 即源于课本。因此,掌握双基、精通课本是本章关键


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