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高中数学知识点总结---二项式定理


高中数学知识点总结---二项式定理
1. ⑴二项式定理: ( a ? b ) n ? C n0 a n b 0 ? C n1 a n ? 1 b ? ? 展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n ? 1 项;
0 2 r ② 系数:依次为组合数 C n , C n1 , C n , ? , C n , ? , C n ; n

?C

r n?r r b na

? ? ?C

n 0 n na b

.

③ 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.
( a ? b)
n

展开式中的第 r

?1

项为: T

r n?r r b r ?1? C n a

(0 ? r ? n , r ? Z )

.

⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数最大. .....
n

I. 当 n 是偶数时,中间项是第

n 2

?1

项,它的二项式系数 C

2 n

最大;

II. 当 n 是奇数时, 中间项为两项, 即第 最大. ③系数和:
C C
0 n 0 n

n ?1 2

项和第

n ?1 2

n ?1

n ?1

? 1 项, 它们的二项式系数 C

2 n

?C

2 n

?C ?C

1 n? 2 n

? ?C
4 n

n n

?2

n 1 3 n ?C n n ?1

?C

? ? ?C

? ? ?2

附: 一般来说 ( ax

? by ) ( a , b

n

为常数) 在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求 ...........

解. 当

? A k ? A k ?1 , ? A k ? A k ?1 a ? 1或 b ? 1 时,一般采用解不等式组 ? 或? (Ak 为 T ? A k ? A k ?1 ? A k ? A k ?1

k ?1

的系数或系数

的绝对值)的办法来求解. ⑷如何来求 (a ? b ? c) n 展开式中含 a
( a ? b ? c ) ? [( a ? b ) ? c ]
n n
p

b c

q

r

的系数呢?其中
r n

p, q, r ? N ,
n?r


r

p?q?r ? n



视为二项式,先找出含有 C r 的项 C

(a ? b)

C

,另一方面在
a b c
p q r

(a ? b)

n?r

中 含 有 b q 的 项 为 C n ? rq a n ? r ? q b q ? C n ? rq a p b q , 故 在
r
r q n C n?r

(a ? b ? c)

n

中含

的项为

C

r q p q n C n?r a b

c

.其系数为 C

?

n!

r ! ( n ? r )! q ! ( n ? r ? q )!

?

( n ? r )!

?

n! r! q! p!

?C

p q r n C n? p C r

.

2. 近似计算的处理方法.

当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时, 常用近似公式 (1 ? a ) n ? 1 ? na , 因为这时展开式的后 面部分 C n2 a 2 ? C n3 a 3 ? ?
?C n a
n n

很小,可以忽略不计。类似地,有 (1 ? a ) n ? 1 ? na 但使用这两个

公式时应注意 a 的条件,以及对计算精确度的要求.



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